不等式与不等关系

作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
2．实数的运算性质与大小顺序之间的关系 a＞b ；a－b＝0⇔ ______ a－b＞0⇔_____ a＝b ；a－b＜0⇔ ______. a＜b 实数的运算性质 ，右边反映的是 等价符号的左边反映的是_______________ 实数的大小顺序 ，它是不等式这一章内容的理论基础，是 _______________ 不等式性质的证明，也是解(或证)不等式的重要依据． 想一想：不等关系与不等式有什么区别？ 提示 不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号 “＞”、“＜”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表 示不等关系的，可用“a＞b”、“a＜b”、“a≠b”、“a≥b”或 “a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．
a b ab 0 a b ab 0
知识上,本节课我们主要学习了如何将实际问 题中的不等关系表示成不等式. 方法上,用不等式（组）表示实际问题中的不 等关系时， (1)要先读懂题,设出未知量; (2)抓关键词，找到不等关系; (3)用不等式表示不等关系.


思维要严密、规范.
(设儿童身高为h，物品外部尺寸长、宽、高之和为p.)
文字表述 符号表示
1.1 1.4m 1.1 h 1.4
超过1.4m
不足1.1m
不超过 160cm
p 160
h 1.4
h 1.1
例3 如图所示，y=f(x)反映了某公司产品的 销售收入y万元与销售量x t的函数关系，y=g(x)反 映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系。 （1）当销售量为多少时，该公司盈利（收入大于 成本）； （2）当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于 成本）？
如果a－b是正数，则a>b；如果a>b ，则a－b为正数； 如果a－b是负数，则a<b；如果a<b ，则a－b为负数； 如果a－b等于零，则a=b；如果a=b ，则a－b等于零.
通常，“如果p，则q”为正确命题，则
简记为 pq ，读作“p推出q”.
如果 p q且q p 为 pq
都是正确的命题，记
“东方红一号”与“神舟”五号部分参数的对比 如下： 近地点 s/km “东方红一号”(a) “神舟”五号(b) 439 200 远地点 s’/km 2384 350 绕地球 一周 t/min 114 90 飞船质 量 m/kg 173 7790
a与b进行比较
sa sb
s ' a s 'b ta tb ma mb
符号 语言
＞
＜
≥
≤
关于a≥b或a≤b的含义
(1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式． 大于或等于b 或者a (2)不等式“a≥b”读作“_____________” ．其含义是指“_____ ＞ b，或者a＝b ，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有 ______________” 一个正确，则a≥b正确． a小于或等于b ．其含义是指“或者 (3)不等式“a≤b”读作“______________” a不大于b ，即a＜b或a＝b中 a＜b，或者a＝b”，等价于“__________” 有一个正确，则a≤b正确．
课堂练习: 1 在下列各题的横线中填入适当的不等号. < 6 2 6; ⑴ ( 3 2) 2 _____
⑵ ( 3 2) 2 ____( < 6 1) 2 ; 1 1 < ⑶ ______ ; 52 6 5
> log 1 b. ⑷若0 a b ， log 1 a ____
解 设软件数为x,磁盘数为y，则由题意可得：
60 x 70 y 500, x 3且x N , y 2且y N .
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式. 数轴上的任意两点中，右边点对应的 实数比左边点对应的实数大.
2 2
2. 比较 x 3 与 x 2 x 1 的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1 =x2(x－1)+(x－1) =(x－1)(x2+1), ∵ x2+1>0， ∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，
当x<1时，x3<x2－x+1.
1.不等关系是现实世界和日常 生活中客观存在的广泛的数量 小 关系，不等式是研究不等关系 的数学工具，用不等式或不等 结 式组表示实际问题中的不等关 系时，思维要严密、规范. 2.判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
x A O B
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分 别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系 有以下三种： （1）点A和点B重合；
（2）点A在点B的右侧； （3）点A在点B的左侧. 在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由 此可得到结论： 对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立.
例5．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.
作差,与零比较大小.
规律方法: (1)作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后 变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断． (2)变形的方法 ①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数运 算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论.
y/万元 y=f(x) y=g(x) b
O
a
x/t
y/万元
y=f(x)
y=g(x)
b a x/t 解 （1）当销售量大于a t时，即x>a时，公司盈利，即 f(x)>g(x). （2）当销售量小于a t时，即 0 x a 时，公司亏损， 即 f(x)<g(x).
O
例4 某用户计划购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元. 根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，问： 软件数与磁盘数应满足什么条件？
例1 2003年10月15日9时，我国“神州”五 号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现 了中华民族千年的飞天梦想。这是自1970年4月24 日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国 航天史上又一座新的里程碑，我国已成为继俄、 美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功 发射载人飞船的国家。
读作“p等价于q或q等价于p”.

上述结论可以写成：
a b 0 a b a b 0 a b
a b 0 a b
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
例2 《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行身高1.1 1.4米的儿童，享受半价客票（以 下称儿童票），超过1.4米时应买全价票。每一成人旅客可免费带 文字 1.1 一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。 表述 ………… 十、旅客每人免费携带品的体积和质量是每件物品的外部尺 寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，质量 不得超过20千克…… 符号 表示
实际生活中的不等关系:
轻重 大小
高矮
思考一下什么是不等式？
我们用数学符号“≠”，“>” ，“<”，“≥”，“≤”连接两个
数或代数式，以表示它们之间的 不等关系.含有这些不等号的式
子叫做不等式.
1.常见的文字语言与符号语言之间的转换
大于， 小于等于，至 小于，低于， 大于等于，至 文字 高于， 多，不多于， 语言 少于 少，不低于 超过 不超过
例4 试比较( x 1)( x 5)与( x 3)2的大小. 解 用作差法
由于
( x 1)( x 5) ( x 3)
2 2
2
( x 6x 5) ( x 6x 9)
4 0,
所以 ( x 1)( x 5) ( x 3)2 .
比较两个数(式)的大小的方法: