数学中的公理化方法(下)
中学几何公理体系公理化方法与中学几何
中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。
这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。
一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。
一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。
从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。
③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。
从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。
公理化方法
公理化方法
公理化方法简介如下：
公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理”(如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
《数学史》网上考试题库
7、在古希腊的文明进程中，形成了占文化传统主导地位的宗教体系。 答案：错
8、特殊的民族文字帮助古希腊比较容易地形成了数学神秘主义。 答案：对
9、在古代文化中，数学在不同民族文化中的地位差异，会把数学对民族文化的 作用明显地表现出来。 答案：对
A.帕特洛克罗斯
B.赫克托
C.阿基里斯
D.亚伯拉罕
E.利沙
答案：选 ABC
5、在原始数学发展中，数字符号以及数字符号运算的发展过程可分为下列哪几 个表现层次（ ）？
A.表象层 B.行动层 C.思维层 D.想象层 E.精神层 答案：选 ACE
6、按照数学家的研究活动总是在一定的传统之中进行的事实，数学传统一般包
（A）杨辉 答：C
（B）朱世杰 （C）沈括（D）贾宪
二、多项选择题 1、数学走向结构特征体系化道路的一种类型是数学与神秘性解释功能相分离， 数学只保留极少个别数字的原始神秘性，下列属于这一类型的国家有（ ）。
A.中国 B.古巴比伦 C.印度 D.埃及 E.美索不达米亚 答案：选 ACDE
2、数学作为一种文化，通常是指由（ ）。
2、下列哪些数学神秘性对数学后来在不同民族中的发展都产生了巨大的影响 （ ）？
A.个别数字神秘性。 B.群体数字神秘性。 C.巫术式神秘性。 D.宗教式神秘性。
E.神学式神秘性。 答案：选 ACD
3、在原始数学发展中，数字符号以及数字符号运算的发展过程可分为下列哪几 个表现层次（ ）。
A.表象层 B.行动层 C.思维层 D.想象层 E.精神层 答案：选 ACE
A.数学的概念、方法、理论
B.数学家群体
C.民族文化中的观念、行为、精神 D.数学思想方法
几何学：第五公设——公理化方法
公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。 2．等量加等量，其和相等。 3．等量减等量，其差相等。 4．彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5．整体大于部分。
公设：1．由任意一点到任意一点可作直线。 2．一条有限直线可以继续延长。 3．以任意点为心任意距离可以画圆。 4．凡直角都相等。 5．平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的
十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》， 《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》， 《光学》，《镜面反射》，《现象》。
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。
• 第五公设——从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，《原本》的公理
体系存在严重缺陷。例如： 《原本》第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，
则外角大于任何一个内对角。
鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他 公理，公设或定理证明它，以至将它取消。
设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与
AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理：
1°任意 ABC的两个内角和小于 ． 2°对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)， 且存在一个内角 (1/2)B.
自然数的公理化
自然数的公理化
自然数的公理化是通过皮亚诺公理（Peano axioms）来定义的。
皮亚诺公理是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）提出的关于自然数的五条公理系统。
这些公理是数学中用于定义自然数的基础，它们描述了自然数的基本性质和运算规则。
皮亚诺公理包括：
0是一个自然数：这条规定了自然数的起点，即自然数系包含0。
每个自然数a都有一个后继数a'：这意味着每个自然数都有一个唯一的“下一个”数，即它的后继。
0不是任何自然数的后继数：这确保了0作为自然数系的起始点是唯一的。
不同自然数的后继数不相同：如果a和b是两个不同的自然数，那么它们的后继数a'和b'也不相同。
如果一个性质适用于0，并且假设它适用于一个自然数，那么它也适用于该自然数的后继数，则该性质适用于所有自然数：这是数学归纳法的基础，它是证明涉及自然数的性质时非常重要的工具。
值得一提的是，皮亚诺公理为自然数的算术运算（如加法、乘法）提供了基础，并且在逻辑上构建了整个自然数的理论体系。
通过这些公理，我们可以定义加法、乘法等运算，并证明它们的性质，如交换律、结合律和分配律。
此外，皮亚诺公理还可以用来定义减法和除法运算。
总的来说，皮亚诺公理是现代数学中对自然数进行公理化描述的基础，它不仅为自然数的性质提供了清晰的描述，而且还为更高层次的数学理论，如实数、微积分等，提供了坚实的基础。
公理化方法
公理化方法的产生阶段----几何原本
《几何原本》共13卷，467个命题。其中有5个公设，5 个公理。 公设：1.从一点到任一点作直线可能； 2.有限直线可 以延长；3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆； 4.所有直角彼此相等；5.若一直线与两直线相交，且 若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长后 相交于该侧的一点。 公理：1.与一件东西相等的一些东西，它们彼此也是 相等的；2.等量加等量，总量仍相等；3.等量减等量， 余量仍相等；4.彼此重合的东西是相等的；5.整体大 于部分。
实数
定义1:十进小数 叫做实数。 10 10 10 定义2:如果有理闭区间序列{ [ a n , b n ] }满足 （1）[ a n 1 , b n 1 ] [ a n , b n ] 即 a a b b ( n 1, 2 ,3 ) （2）对于任意的 0 ，存在自然数N，当n>N时，恒 有 b a ,那么称这个序列为退缩有理闭区间序列， 简称为有理闭区间套。 在集合R上定义运算：实数a对应有理闭区间套 {[a , a ]}，实数b对应有理闭区间套{[ b , b ]}，那 么a+b对应有理闭区间套{[ a b , a b ]}，ab对应有 理闭区间套{[ a b , a b ]}。 a a0
有理数
设E={（a，b）∣a，b∈Z,b≠0} 在该集合上定义关系：（a，b）∽（c，d）当且仅当 ad=bc 上述关系是等价关系，它将集合E划分成若干等价类， 把每一等价类叫做一个有理数，一切有理数所组成的集 合叫做有理数集，记为Q。 在集合Q上定义加法：（a，b）+（c，d）=（ad+bc， bd） (b≠0，d≠0) 在集合Q上定义乘法：（a，b）（c，d）=（ac，bd） (b≠0，d≠0)
公理法
公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．。
国家开放大学2020年春季学期电大《数学思想与方法》形成性考核及解析
一、填空题（每空格3分，共30分）
题目1
未回答
满分3.00
标记题目
题干
1．（）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，
提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
答案：
反馈
正确答案是：数学思想方法
题目2
未回答
满分9.00
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题干
2．三段论是演绎推理的主要形式，它由（）、（）、（）三部分组成。
答案：
反馈
正确答案是：大前提、小前提、结论
题目3
未回答
满分6.00
标记题目
题干
3．传统数学教学只注重（）的传授，而忽略对知识发生过程中（）的挖掘。
答案：
反馈
正确答案是：形式化数学知识，数学思想方法
题目4
未回答
满分3.00
标记题目
题干
4．特殊化方法是指在研究问题中，（）的思想方法。
答案：
反馈
正确答案是：从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合题目5
未回答
满分9.00
标记题目
题干。
第四章 数学中的公理化方法
§4.1公理化方法的历史概述
• 公理化方法的历史考察 • 众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，
哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家 和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑 知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其 余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一 个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方 法创造了条件。
§4.1公理化方法的历史概述
萨克利最先使用归谬法来证明第五公设。他
在一本名叫《欧几里得无懈可击》（1733年）
的书中，从著名的“萨克利四边形”出发来证明
平行公设。
萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，
如图，其中 AC BD,A B 且为直角。
萨克利指出，顶 C
D
角具有三种可能性并
分别将它们命名为：
第四章 数学中的公理化方法 与结构方法
• 公理化方法在近代数学的发展中起着基本 的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统 形成有着深刻的影响，而数学结构方法则是全 面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其 观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革 运动，即“新数学”运动。
• 两种方法均是用来构建数学理论体系的， 一个是局部，一个是整体。
§4.1公理化方法的历史概述
• 在1854年又发现了钝角假设（三角形内角和 大于180°）也成立的黎曼几何系统，后来人们称 这两种几何为非欧几何。
• 非欧几何产生后，还有两方面的问题有待进 一步解决。从逻辑方面看，这种逻辑无矛盾性还 有待于从理论上得到严格证明；从实践方面看， 非欧几何的客观原型是什么？人们还不清楚。也 就是说，非欧几何到底反映了哪种空间形式也没 有得到具体的解释。
亚里斯多德的思想方法深深地影响了公元前3世纪的 希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑的公理演绎方法 应用于几何学，从而完成了数学史上重要著作《几何原 本》。
数学公理化方法在研究数学中的重要作用-2019年精选教育文档
数学公理化方法在研究数学中的重要作用1数学公理化方法概述1.1数学公理化方法的内涵纯形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，命题的证明用一个公式串表达。
一个符号化的形式系统只有在解释之后才有意义。
同时，作为一个符号化的形式系统，可以用来提供简洁精确的形式化语言；提供数量分析及计算的方法；提供逻辑推理的工具。
公理化方法的具体形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来的理论体系分别为《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
1.2公理化方法的基本思想数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。
其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。
因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。
2数学公理化方法的逻辑特征2.1协调性无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题A与其否定命题，显然，这是对公理系统的最基本的要求。
如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。
2.2独立性独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。
公理化方法的发展及其对数学教育的启示
公理化方法的发展及其对数学教育的启示【摘要】数学问题解决的方法由来已久，公元前三世纪古希腊的《几何原本》在几何问题解决中形成了对数学体系建立影响巨大的公理化方法。
文章深入考察公理化方法产生和发展的历史脉络并指出公理化方法在数学教育中的作用和应遵循的原则。
【关键词】公理化方法；数学教育；启示一、公理化方法的发展公理化方法是从数学（主要是几何学）和逻辑学的发展中产生的，其历史发展可分为如下几个阶段。
（一）欧几里得《几何原本》与公理化方法古希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德是历史上“第一个伟大的公理化方法理论家”。
但他没有实际用过公理化方法推出定理，构造一个理论化知识体系。
在数学发展史上，第一个成功地应用了公理化方法，并改造了亚里士多德创立的公理化方法的是古希腊数学家欧几里得，这充分体现在他那13卷的鸿篇巨著——《几何原本》里。
该书把亚里士多德创立的公理化方法应用于数学，特别是几何学，从5条公设、5条公理和23个定义出发，推出了467条定理，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，其内容和形式对于几何学本身以及数学逻辑基础的发展产生了巨大影响。
欧几里得的《几何原本》具有封闭的几何理论演绎体系、抽象化的数学内容等特点，是实质性公理化阶段形成的重要标志。
（二）非欧几何及其对公理化的发展自《几何原本》问世后，历代数学家都企图消除“平行公设”这个“几何原理中的家丑”（达朗贝尔语）。
从希腊时代到1800年间，他们的研究途径大致有两条：一是用更为自明的命题来代替平行公设，二是试图从欧氏几何的其他几条公设和公理推出平行公设。
如果能办到这一点，平行公设将成为定理，它也，就无可怀疑了。
循着第一条途径走的数学家们曾提出或隐含地假定作为欧氏几何的平行公设的替代公设有很多，但并不比欧氏几何中的平行公设好接受，因为它们或者同样复杂，或者假定了绝不是“自明的”几何性质。
沿着第二条途径走的数学家们，试图从其他几条公设和公理推出欧氏几何中平行公设，都无一例外地失败了。
公理化方法
公理化方法的特征及功能数学家欧几里得以亚里士多德的演绎逻辑为工具总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》，它是演绎逻辑与几何相结合的产物。
因此它的出现使演绎逻辑第一次成功的应用于数学。
欧几里得的《几何原本》是有史以来用公理思想建立起来的第一门演绎数学，后来成为公理化方法的初级阶段，既然是初级阶段，就少不了后来人的应用和发展。
它不仅作为基础为后来人的研究打下基础，也激发了许多杰出数学家的研究几何演绎与公理化的热情。
希尔伯特在1899年出版的名著《几何基础》就是在之后的研究热潮中的重要成果的突出代表。
他在《几何基础》中放弃了欧几里得《几何原本》中公理的直观显然性把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摒弃，着眼于对象间的联系，强调了逻辑推理，首次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式公理系统。
从此，公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已经被其他学科领域所采用。
以下介绍希尔伯特在《几何基础》中对于几何的应用提出的公理化方法，以及上面所提到在其他领域中应用的几个例子，总结公理化方法在教学中的启示。
几何学公理化方法结合公理：Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B，存在着直线a通过每个点A、B．Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B，至多存在着一条直线通过每个点A、B．Ⅰ3在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上．Ⅰ4对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，存在着平面α通过每个点A、B、C．在每个平面上至少有一个点．Ⅰ5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，至多有一个平面通过每个点A、B、C．Ⅰ6如果直线a上的两个点A、B在平面α上，那么直线a上的每个点都在平面α上．Ⅰ7如果两个平面α、β有公共点A，那么至少还有另一公共点B．Ⅰ8至少存在着四个点不在一个平面上．顺序公理：Ⅱ1如果点B在点A和点C之间，那么A、B、C是一条直线上的不同的三点，且B也在C、A之间．Ⅱ2对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A、C之间．Ⅱ3在一条直线上的任意三点中，至多有一点在其余两点之间．Ⅱ4设A、B、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平面ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点，（①线段AB的内点即A、B之间的点．）那么a也必通过AC或BC的一个内点(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．合同公理：Ⅲ1如果A、B是直线a上两点，A′是直线a或另一条直线a′上的一点，那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同．Ⅲ3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；A′B′、B′C′是a或另一直线a′上的两线段，也无公共的内点．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那么AC≡A′C′．Ⅲ4设平面α上给定∠(h，k)，在α或另一平面α′上给定直线a′和a′所确定的某一侧，如果h′是α′上以点O′为端点的射线，那么必有且只有一条以O′为端点的射线k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．Ⅲ5设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．平行公理：过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行连续公理：Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段，那么以A为端点的射线AB上，必有这样的有限个点A1，A2，…，An，使得线段AA1，A1A2，…，An-1An都和线段CD合同，而且B在An-1和An之间(阿基米德公理)．Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的条件下，不可能再行扩充．注1．有些《几何基础》书中，常以康托(Cantor，1845—1918)公理代替上述的Ⅴ2：“一条直线上如果有线段的无穷序列A1B1，A2B2，A3B3，…，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段PQ总有一个n存在，使得AnBn<PQ，那么在这直线上必有且只有一点X落在A1B1，A2B2，A3B3，…的内部．”注2．也有的书中，用与V1，V2等价的戴德金(Dedekind，1831—1916)公理作为连续公理：“如果线段AB及其内部的所有点能分为有下列性质的两类：(1)每点恰属一类；A属于第一类，B属于第二类；(2)第一类中异于A的每个点在A和第二类点之间．那么，必有一点C，使A、C间的点都属于第一类，而C、B间的点都属于第二类．”各个领域的应用应用公理化设计，进行可用于在轨组装飞行器总体设计的步骤为：1) 了解组装服务的需求：根据任务的实施环境、任务类型及任务特点，获取“5WlH”（why、what、where、when、who、how）等需求信息；2) 定义满足这些需求所需解决的问题：将任务需求转化；3) 通过综合分析产生或选择解决方案，将由组装服务需求转化而成的功能需求和设计参数进行“之”字型展开，根据独立公理调整FR 或DP，使得二者层级上各层次的射矩阵为对角阵或三角阵。
数学的公理化方法
• 拓扑结构：领域、连续、极限、连通性、 维数等构成一般拓扑学的研究对象
• 14．中学教材中的公理系统—— • 平面几何公理： • 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 • 在所有连接两点的连线中，线段最短 • 平行公理：经过直线外一点，有一条而且只有
相等的
• 等量加等量，总量仍相等 • 等量减等量，余量仍相等 • 彼此重合的东西是相等的 • 整体大于部分 • 7．罗巴切夫斯基引入了一个与第五公设完全相
反的公设：过平面上一个已知直线外一点至少 可以引出两条直线与已知直线平行。
• 8．罗巴切夫斯基的新几何——锐角假设的双曲 式几何
• 黎曼——钝角假设的椭圆式几何 • 从而非欧几何被人们所承认
一条直线和该直线平行 • 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行 • 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的
两个三角形全等 • 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的
两个三角形全等 • 矩形的面积等于它的长a和宽b的积
• 立体几何公理：
• 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线上的所有点都在这个平面内
• 6．欧几里得列出五个公设和五个公理，公理是适用于 一切科学的真理，而公设则只用于几何。
• 欧几里得《几何原本》中以直观几何背景为基础构成的 体系，它代表的是“实质性公理体系”（也称实体性公 理体系），这种公理化方法也称为实质性公理化方法。
• 欧几里得从上述的五个公设和五个公理出发，推出了 465个命题。
• 定理：经过公理推演出来的命题
• 5．亚里士多德提出了历史上第一个成文的三段论式的演 绎方式的公理化方法。
• 第一次把公理化方法系统用于数学中的是古希腊的欧几 里得，他把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学
电大小学教育本科【数学思想与方法】形成性考核册答案(附题目)
电大本科【数学思想与方法】形成性考核册答案电大【数学思想与方法】形考作业一：一、简答题1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。
答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。
代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。
2、比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。
答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。
决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。
因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。
随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。
对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。
在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。
用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。
但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。
同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。
这些是确定数学的局限所在。
二、论述题1、论述社会科学数学化的主要原因。
答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。
第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。
第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。
公理化方法在小学数学中的渗透
公理化方法在小学数学中的渗透
公理化方法是指以公理为基础，以逻辑推理为主要手段，以定义、定理、证明为基本结构，以结论为终点的一种数学思维方法。
在小学数学中，公理化方法的渗透可以从以下几个方面来考虑：一是在教学过程中，教师可以引导学生思考，使用公理化方法来解决实际问题，培养学生的独立思考能力。
二是在教材编写上，可以在教材中植入公理化方法，让学生掌握公理化思维方法，从而让学生更好地理解数学知识，提高学习效率。
三是在评价方面，可以通过考查学生使用公理化方法解决问题的能力，来衡量学生的数学水平。
四是在教学活动中，可以结合公理化方法，让学生在实践中体验数学知识，更好地理解数学思维。
总之，公理化方法在小学数学中的渗透，有助于培养学生的数学思维能力，提高学生的数学学习能力，为学生今后学习更高层次的数学知识打下坚实的基础。
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數學中的公理化方法(下)吳開朗四、數學公理系統的美學標準美國數學家F.S.梅里特在其所著《工程中的現代數學方法》一書中曾經說過:“每一模型都是由一組公理定義的,···公理自身必須無矛盾且相互獨立”[11]。
所謂一組公理,即是一個公理系統。
關於公理系統的無矛盾性,是指借助於演算不可能在一個公理系統中推出兩個相互否定的命題。
關於公理系統的獨立性,是指在該系統中任何一條公理都不可能作為其餘各公理的邏輯推論。
如果一個公理系統具備無矛盾性(即相容性)和獨立性,那麼,這個公理系統(或者說這個理論體系)就是優美的。
因此,相容性和獨立性也就是公理系統的美學標準。
獨聯體維林金等編著的《中學數學現代基礎》一書中曾指出:“可以由給定的公理系統導出的全部不同的命題,一般說來有無窮多個。
因此,為了證明給定的公理系統的相容性,要想由這一公理系統作出全部可能的推論,並且指出其中沒有相互矛盾的命題,這是不可能的。
為了解決這個難題,曾經創造一種特殊的方法,它的名稱叫做模型法”。
[12]所謂模型法,即是欲證明某一新數學理論的無矛盾性(一致性),或者欲證明某一新數學理論與某一已知的(舊)數學理論的相容性(相對一致性),可以設法為它在古典數學中構造一個模型,並且進而證明這個新數學理論的公理系統在該模型中都能夠得以實現,這樣,即可以把這個新理論的相容性,化歸為新理論與建造它的模型(新理論的模型)時所需要的古典數學理論的相容性(相對一致性)。
因此,這種模型法,又可稱之為化歸法。
例如,我們利用龐卡萊(Poincar´e)模型和球面模型,可以把非歐幾何的相容性,化歸為歐氏幾何的相容性,再利用算術模型,又可進一步把歐氏幾何的相容性,化歸為算術理論的相容性。
[13]然而,對於一個新理論而言,並不需要如此逐步化歸,一般地說,只要是在古典數學中,能夠為其構造一個數學模型已足,因為古典數學已經過億萬群眾長期的科學實踐檢驗。
維林金在《中學數學現代基礎》一書中指出:“利用模型法也可以解決所給公理系統的獨立性問題。
如果理論T中的公理A,由其它公理既不能證明,也不能否定,則稱公理A是與其它公理相獨立的。
要證明所給公理A的獨立性,應該建立一個新的公理系統,在其中將公理A換成它的否定,而T中其它公理則保持不變。
如果所給的公理系統以12數學傳播十七卷二期民82年6月及用上述方法由它所得到的新公理系統都是相容的,那麼,則稱公理A與該理論體系T中的其它公理是相獨立的”。
[14]假設Σ為一個公理系統,並且已證得它是相容的。
令Σ={A1,A2,A3,···,A n},欲證其中某一條公理A i(i=1,2,···,n)對於Σ中其餘各條公理是獨立的,可以先構造一個與A i相矛盾的命題A i}具備相容性(其中Σ′={A1,A2,···,A i−1,A i+1,···,A n}),由此即可推得A i對於Σ中其餘各條公理具有獨立性。
現在我們來證明歐氏幾何希爾伯特公理系統中平行公理的獨立性:該公理系統共有二十條,按照希爾伯特著《幾何學基礎》一書中所排列的順序,平行公理可記為p18,而整個公理系統可記為:={p1,p2,p3,···,p20}。
欲證p18對於Σ′={p1,p2···p17,p19,p20}是獨立的,可以另構造一個公理系統{Σ′+p18={設a為任一直線,A為a外的任一點,在a和A所決定的平面上,至少有兩條直線通過A,但不和a相交。
},此為羅氏幾何的平行公理。
p18};對於黎氏幾何的公理系統,可以表示為{Σ+p18}和{Σ′+數學中的公理化方法(下)3盾性問題。
然而,關於集合論的無矛盾性問題又將如何解決呢?在第三次數學危機[15]的沖擊下,數學家們積極開展集合論公理化的研究,設法把集合概念限制為康托在1899年所提出的相容的集合。
[16]數學家E.策墨略(Zermelo,1871-1953)在1908年提出了一個集合論公理系統,後來,數學家弗倫克林(Fraenkel)和斯考萊姆(Skolem)又加以改進,從此便形成舉世公認的ZF公理系統。
引起數學家們爭論的另一個問題,就是選擇公理。
這條公理說:從一族非空集合中各取一個元素,可以構成一個新的集合。
在一個相當長的時間內,有些數學家希望用ZF 系統來否定選擇公理,可是,1940年哥德爾(G¨o del)卻出人意料地證明了ZF系統與選擇公理彼此相容。
於是,到本世紀40-50年代,數學家們又普遍傾向於接受選擇公理。
因而,在數學大廈裡,現在實際上存在著兩種集合論,即不包含選擇公理的集合論(簡稱ZF 系統)和包含選擇公理的集合論(簡稱ZFC 系統)。
[17]由於承認選擇公理與不承認選擇公理,都可能會引出一些悖論[18],因而,我們必須清楚地看到:今天數學大廈的基礎仍然存在一道裂縫,數學的理論體系尚未達到最終的完善與和諧!那麼,究竟應該以何種態度來對待數學理論中的悖論問題呢?布爾巴基學派的態度是“泰然自若”,他們曾經這樣說過:“就像以往曾多次出現過的一樣,將來有朝一日悖論可能會產生,在悖論突然出現的迅猛打擊下,數學一定會保存下來,其巍巍大廈的主體部分決不會傾毀。
為了重新建立無矛盾的體系,人們將繼續通過對數學的概念和方法進行調整來克服這些困難,而系統地採用公理方法,像在《數學原本》中所做的那樣,必然會大大有助於縮短追索悖論產生根源的過程。
廿五個世紀以來,數學家們曾一再糾正他們的錯誤,眼看著他們的科學並不因為產生過悖論而變得荒蕪貧瘠,反而日益繁榮昌盛。
追思往昔,默念未來,我們完全有權利感到心寧神怡,泰然自若。
”五、建立數學公理系統的一般思維方法有人把數學公理系統的建立說得神秘莫測,甚至加以歪曲,把公理系統的建立說成是神的意志。
很顯然,公理學並非神學,公理系統乃是對於大量數學知識的抽象概括,是數學推理論證的出發點,並非像神學那樣極力排斥理性,把一切根據統統歸諸於聖經。
法國數學家R.笛卡爾(Descartes, 1596-1650)是近代唯理論哲學的傑出代表,他提出:演繹法以公理為前提,公理是不需要任何論證的,只要純粹的直覺就能理解。
在笛卡爾看來,直覺是一種理智活動,不只是感性直觀活動。
他認為通過直覺就能發現作為推理起點的、無可懷疑而清晰明白的概念,也就是說,直覺是發現公理的過程或活動。
美籍華人數學家王浩教授在《對哥德爾的反思》的學術報告中曾經提出:戴德金得到匹阿諾自然數公理系統,是來自於對自然數列的分析。
分析顯然是以一種數學直觀為4數學傳播十七卷二期民82年6月基礎。
王浩教授認為這個事實對於說明哥德爾的公理化理論,乃是一個最合適的例子,而哥德爾的公理化理論的主要內容,則是由分析概念而確定公理。
[19]當然,這種由分析概念而確定公理條文的思維方法,也並非一朝一夕之功效。
往往要經由幾代數學家的艱苦的思維勞動,甚或經過曲折迂迴的歷史發展過程。
以自然數的公理系統而論,十七世紀,德國著名數學家J. W.萊布尼茲(Leibniz,1646-1716),曾經利用演繹法一絲不苟地證明了2+2=4。
2+2=2+(1+1)=(2+1)+1=3+1=4他在這個證明中使用了加法的結合律以及2=1+1,3=2+1,4=3+1等自然數的定義。
到十九世紀中葉,德國著名數學家格拉斯曼又挑選出一個定義加法和乘法的公理系統。
1888年,J.W.R.戴德金在其論文《數是什麼?數應該是什麼?》中提出了關於自然數的性質應該接受的六條事實,並以此作為公理。
1891年G.匹阿諾(Peano,1850-1932)正式在自己的論文中提出了自然數公理系統,此系統後來被稱為匹阿諾自然數公理系統。
[20]德國著名數學家 D.希爾伯特在名著《幾何學基礎》一書中,曾經提出:“建立幾何的公理和探究它們之間的聯繫,是一個歷史悠久的問題,關於這個問題的討論,從歐幾里得以來的數學文獻中,有過難以數計的傑作,這個問題實際上就是把我們的空間直觀,加以邏輯的分析”。
[21]由此可見,對於空間直觀的邏輯分析乃是建立幾何公理系統的一般思維方法。
從數學理論的邏輯結構上來看,不外乎是通過一些元素和關係,來定義和推演另外的一些元素和關係。
然而,要想對於其中的所有元素和關係都下定義,並且對於這些元素和關係之間的一切性質都加以證明,那是根本不可能的。
追本求源,必然會存在有不可定義的元素和關係,而這些元素和關係,分別稱為基本元素和基本關係,二者統一稱為基本概念。
再者,對於它們的含意和性質,還必須加以規定,亦即是對於它們在數學推理和演算中的作用,還必須加以說明和限制。
這種說明和限制的條文,就叫做基本命題,或者稱之為公理。
因此,在任何公理系統中都必須包含有基本概念和基本命題這兩個組成部分,並且其中的基本命題乃是對於基本概念的定義。
由於這種定義並非十分顯然,有時又稱之為隱定義。
以中國象棋而論,“馬走‘日’字,象走‘田’,車走直路,砲翻山”,這是下棋規則,也是下棋的公理,這些公理亦即是對“馬”、“象”、“車”、“砲”的隱定義。
1900年,希爾伯特在巴黎國際數學家代表大會上的講演中,曾經明確提出:“在研究一門科學的基礎時,我們必須建立一套公理系統,它包含著對於這門科學基本概念之間所存在的關係的確切而完備的描述。
如此所建立起來的公理,同時也是這些基本概念的定義”。
任何一個數學公理系統的建立,都是在該分支的理論發展到比較成熟的階段才開始醞釀的。
數學家從實際問題加工提煉成數學知識,這是第一次抽象,而後由已經積累的數學知識,加工改造成為具有內部邏輯脈絡的理論系統,則需要進一步再抽象。
這種再抽象,即是該數學分支的公理化過程。
在這個過數學中的公理化方法(下)5程中,要經由邏輯分析,把有關形成概念和理論的最根本的要素抽取出來,而把那些無關宏旨的東西加以揚棄,這裡往往需要分析與綜合、演繹與歸納、實驗與抽象等科學方法的並舉兼施。
按照著名數學家阿蒂亞(M.F. Atiyah)的描述,建立公理系統的思維過程是:“專心致志地考慮問題的各個方面,把它們變成公理,然後研究它們的推論。
像物理的情形一樣,認識到形形色色的問題中那些共有的特徵,應該抽出來加以公理化,這是一個經驗和判斷的問題。
最終的嚴格考驗,就是對原來的數學問題是否有新的認識”。
[22]在建立公理系統時,由於對基本概念和基本命題的不同選擇,使得同一個數學分支,在不同的時間和地點,經過不同數學家的抽象思維活動,也可以建立起形式迥異的公理系統。
例如,就群論來說,它的很多性質都可以用來作為自己的定義。
荷蘭數學家H.A.羅倫茲(Lorentz,1853-1928)曾舉出四十多種關於群的定義。