新高一衔接课-韦达定理

8、韦达定理

韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．

【知识梳理】

（一）方程有两个实数根⇔

240b ac ∆=-≥

（二）韦达定理及应用： 1212,b c x x x x a a

+=-= 2

22121212()2x x x x x x +=+-,

12x x a -=== 3322212121122121212()()()()3x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦

（三）方程根的分布

1. 方程有两根同号 ⇔ 1200c x x a ∆>⎧⎪⎨=>⎪⎩

2.方程有两根异号⇔ 1200c x x a ∆>⎧⎪⎨=<⎪⎩

3.拓展： （1）方程有两根同正⇔ 1212000b x x a c x x a ∆>⎧⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎩

（2）方程有两根同负⇔ 1212000b x x a c x x a ∆>⎧⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎩

（3）方程有两根同时比t 大⇔ 1212

00()()0x t x t x t x t ∆>⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩

（4）方程有两根同时比t 小⇔ 1212

00()()0x t x t x t x t ∆>⎧⎪-+-<⎨⎪-->⎩

1、已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

2、已知不等式x 2+mx +n =0的解集为

, 求实数的值.

3、已知不等式ax 2+bx −6=0的解集为

, 求实数a ,b 的值.

4、若不等式的两个根为，求的值

5、1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式

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2121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．

1、若12,x x 是方程x 2+2x −1=0的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2212x x +； (2) 12

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -； （5）31x ＋32x

2、已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．

3、已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．

4、关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．

5、设a ,b 是相异的两实数，满足a b b a b b a a 2

22

2,34,34++=+=求的值．

【例3】1、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根。

(1)是否存在实数k ，使12123(2)(2)2

x x x x --=-

成立？若存在，求出k 的值； 若不存在，请您说明理由。 (2)求使1221

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值。

2、已知关于x 的方程2

21(1)104

x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值。 (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =。

【例3】

1、一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．

2、已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．

【巩固练习】

1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则

p 、q 的值分别等于( )

A ．1，-3

B ．1，3

C ．-1，-3

D ．-1，3

2．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x

的两根，那么AB 边上的中线长是( )

A ．

23 B ．25 C ．5 D ．2

3．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______

4．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．

5、已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )

A ．3-

B ．5

C ．53-或

D ．53-或 6、若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则12

11x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12 D ．92

7、若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．

8、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．

（1）求| x 1－x 2|的值；

（2）求22

1211x x +的值； （3）x 13＋x 23．

02=++p qx x