混料回归设计

几种常用的混料回归设计

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针对各种回归模型和试验区域以及各种“最优性”要求，人们提出了许多种混料回归设计方案，下面介绍几种常用的方法和应用实例。

一、单纯形格子设计

将试验点取在相应阶数的正规单纯形格子点上，这样的试验设计称为单纯形格子设计。

单纯形格子设计是混料回归设计方案中最先出现的，也是最基本的设计方案，很多其它设计方案的构成要用到单纯形格子设计。对于由约束条件(1)构成的正规单纯形因子空间，当采用(4)、(5)、(6)模型形式的完全形规范多项回归模型时，试验点可以取在正规单纯形的格子点上，构成单纯形格子设计。它可以保证试验点分布均匀，而且计算简单、准确，回归系数只是相应格子点的响应值的简单函数。

下面介绍格子点概念与计算公式。

将下图中高为1的等边三角形(a)三条边各二等分，则此三角形(b)的三个顶点与三个边中点的总体称为二阶格子点集，记为{3，2}，3表示正规单纯形的顶点个数，2表示每边的等分数。将等边三角形(c)各边三等分，对应分点连成与一边平行的直线，在等边三角形上形成许多格子，则这些小等边三角形的顶点，

即这些格子的顶点的总体称为三阶格子点集，记为{3，3}。前面的3指明正规单纯形顶点个数，后面的3指明了每边的等分数。

用类似的方法,可做出其它各种格子点集。三顶点正规单纯形的四阶格子点集记为{3，4}，总共有15个点。四顶点正规单纯形(d)的二阶和三阶格子点集分别用{4，2}和{4，3}表示，如图(e)和(f)所示。

图b { 3，2 }单纯形格子设计

图c { 3，4 }单纯形格子设计

下面一般地介绍(n－1)维正规单纯形(有n个顶点)d阶格子点集｛n，d｝中各格子点的正规单纯形坐标(重心坐标)的计算法。

取n个互相正交的单位向量

a 1＝(1，0，...，0)，a

2

＝(0，1，...，0)，...，a

n

＝(0，0，...，1)，则这n

个单位向量的顶点便围成一个(n－1)维正规单纯形，此正规单纯形上任一点Ａ都可以表示为

Ａ＝i

1a

1

＋i

2

a

2

＋...＋i

n

a

n

＝(i

1

，i

2

，...，i

n

)， (10)

其中

i 1，i

2

，...，i

n

≥ 0， i

1

＋i

2

＋...＋i

p

＝1 ， (11)

当i

1，i

2

，...，i

n

都取分母是d的分数时，即

则式(11)所确定的总体就是(n－1)维正规单纯形的d阶格子点集｛n，d｝，也就是说可以算出｛n，d｝中各点的单纯形坐标系的坐标。

下面我们以n＝4为例，算出｛4，2｝，｛4，3｝各点的坐标。

{ 4，2 }单纯形格子设计

{ 4，3 }单纯形格子设计

(1) p＝4，d＝2.：此时a

1、a

2

、a

3

、a

4

只有两种取法：

①某个a为2，其余为零，有4 个点；

②某两个a为1，其余者为零，有6 个点。

｛4，2｝的10个点如表所示。

(2) p＝4，d＝3。此时a1、a2、a3、a4有三种取法：

①某个a为3，其余者为零，有4个点；

②某个a为2，另外一个为1，其余两个为零，有12个点；

③某三个a为1，剩下那个a为零，有4个点。

｛4，3｝的20个点如表所示。

单纯形格子设计法

设有n分量系统，各分量X

i

(i＝1，2，...，n)的变化范围满足约束条件(1)，当采用d阶完全型规范多项式回归模型时，试验点选为｛n，d｝的C个格子点。

在单纯形格子设计中，n分量d阶格子点集｛n，d｝中有C个点，正好与所采用的d 阶完全型规范多项式回归方程中待估计的回归系数的个数相等，故单纯形格子设计是饱和设计，是在“试验次数最少”意义下的最优设计。

常用的单纯形格子设计的试验点数及相应的完全型规范多项式回归方程阶数d 之间的关系如表所示。

单纯形格子设计回归系数的计算

单纯形格子设计中，每个回归系数的值，取决于对应的一些格子点上的响应值，而与其它设计点上的响应值无关，各回归系数都可以表达成相应设计点上响应值的简单线性组合，用计算机建模更方便。下面是三分量混料设计的二阶多项式回归方程。三分量二阶多项式回归方程的规范形式为：

Y＝X

1＋X

2

＋X

3

＋X

1

X

2

＋X

1

X

3

＋X

2

X

3

非单纯形格子设计回归系数的计算

由于实际的试验区域有时是没有规则的几何形状，对于三分量的混料试验，当有上、下界约束条件时，有可能出现如下图所示的几种情况，可用极端顶点设计等方法进行试验设计。

设计变量约束区间时，第一要注意区间最小值之和要小于1，第二要注意n-1个组分的最小值之和再加上第n个组分的最大值要不小于1，这是必要条件，否则设计出的组分区间是没法实现的。

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