平面向量等值线法

技巧八平面向量基本定理系数的等值线法

一、适用题型

在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。

二、基本理论

（一）平面向量共线定理

三点共线；反之亦然

，则若已知C B A ,,1,=++=μλμλ（二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R ∈+=μλμλ,，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则)(定值k =+μλ,反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线。

（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；

（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，()1,0∈k ；

（3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，

()∞+∈，1k ；（4）当等和线过O 点时，0=k ；

（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；

（6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；

（三）等差线平面内一组基底,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，C 为

线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则)(定值k =-μλ,反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线。

（1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ；

（2）当等差线过A 点时，1=k ；

（3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，()1,0∈k ；

（4）当等差线与BA 延长线相交时，()∞+∈，

1k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数；

（四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线

（1）当双曲线有一支在AOB ∠内时，0>k ；

（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内时，0

（3）特别的，若()()b a OB b a OA -==,,,，点P 在双曲线

)0,0(12222>>=-b a b y a x 时，4

1=k ；（五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，

若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则

)(定值k =μ

λ，反之也成立。我们把过点O 的直线（除OA 外）称为等商线。

（1）当等商线过AB 中点时，1=k ；（2）当等商线与线段AC （除端点）相交时，()∞+∈，

1k ；

（3）当等商线与线段BC （除端点）相交时，()1,0∈k ；

（4）当等商线即为OB 时，0=k ；

（5）当等商线与线段BA 延长线相交时，()1,-∞-∈k ；

（6）当等商线与线段AB 延长线相交时，()0,1-∈k ；

（7）当等商线与直线AB 平行时，1-=k ；

（六）等平方和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，且

OB OA =，

若点P 在以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆上，则22μλ+为定值k ，反之也成立，我们把以以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线。

特别的，若()()b a OB b a OA -==,,,，点P 在双椭圆)0,0(122

22>>=+b a b

y a x 时，2

1=k ；三、解题步骤

1、确定等值线为1的线；

2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；

3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；

四、几点补充

1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；

2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；

五、典型例题

例1给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°，如图所示，

点C 在以O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈，，则

y x +的最大值是___________.

答案：2

例2在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP x AB y AF =+ ,则y x +的取值范围__________

答案：[]

4,3

例3如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为CD 边的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 边上一动点，Q 为△SMN 内一点（含边界），若,BN y AM x PQ +=则y x +的取值范围是__________.

答案：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡341，例4梯形ABCD 中，AB AD ⊥，P AB DC AD ,3,1===为三角形BCD 内一点

（包括边界），AP x AB y AD =+ ，则y x +的取值范

围__________答案：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡341，例5设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 3

2=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为__________.

（注：此题为13江苏高考题第8题，但点E 为三等分的条件其实没有必要，可舍）

答案：21