画正多边形(一)

画正多边形(一)

教学目标：

1、使学生了解用量角器等分圆心角等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形．

2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形．

3、通过画图培养学生的画图能力；

4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培养学生观察、抽象、迁移能力．

、通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力．

教学重点：

(1)用量角器等分圆心角等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；

(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形．

教学难点：

准确作图．

教学过程：

一、新引入：

前几我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂我们一起学习画正多边形．

二、新讲解：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接圆半径R或内切圆半径rn，画出圆，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形．

n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法．其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可．

另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出的．

由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

复习提问：1．哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2．哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等)

现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个

定理中，你有什么启发？(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为R的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家相互间讨论．(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看．(安排中等生回答：先画半径2的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形．

学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大．对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长．其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会．

大家想想如何画一个半径为2的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径2的圆，用量角器作90°的圆心角．)画出∠AB=90°后，方法1，可依次作90°圆心角；方法2，用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将A与B边延长交⊙于、D)．正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2的正方形？(安排中上等生回答，先作半径2的圆，然后画两条互相垂直的直径)

请同学们用尺规画出半径为2的正方形．

大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙的八等分点)为什么？根据什么定理？(安排中上等生回答：垂径定理)

还有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分线．)

请同学们用此二法在图上画出正八边形．

照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16边形等)

综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙相交，或作各中心角的角平分线与⊙相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

大家再思考一个问题：如何画半径为2的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论．

方法1．画半径2的⊙，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周．

方法2．画半径2的⊙，然后用量角器画出60°的圆心角，

如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关

系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)

在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙上依次截取AB=B=D=DE=EF，由于误差积累AB≠FA，其二，首先画出⊙的直径AD，然后分别以A、D为圆心，2长为半径画弧交⊙于B、F、、E．画出图形比较准确．

请同学们用第二种方法画半径3的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越越接近于圆，正多边形将越越难画．

大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正三角形)

画半径为2的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举手同学回答：画出⊙直径AB，以A为圆心，2