第九章 直线和圆
2014创新设计(苏教版)第九章 第4讲 直线与圆的位置关系
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二
圆的切线问题
【例2】 (2011· 福建卷)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴
上，求该圆的方程； (2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝ 4y是否相切？说明理由．
解析 如图，取 AB 中点 C，连接 OC、
OA. 则 OC ⊥ AB ， |OA|＝ 2 2 ， OC ＝ |0－2×0＋5| 2 2 ＝ 5， 1 ＋－2 ∴AC＝ 8－5＝ 3，∴AB＝2AC＝2 3.
答案
2 3
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4．(2012· 泰州模拟)过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y －1)2＝2的两切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆 心C的距离为________．
解 (1)依题意，点 P 的坐标为(0，m)．∵MP⊥l，
0－m ∴ ×1＝－1，解得 m＝2，即点 P 的坐标为(0,2)． 2－0 从而圆的半径 r＝|MP|＝ 2－02＋0－22＝2 2， ∴所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
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(2)∵直线 l 的方程为 y＝x＋m， ∴直线 l′的方程为 y＝－x－m.
(2)AO＝ 9＋25＝ 34，lAO：5x－3y＝0， 1 1 1 点 C 到直线 OA 的距离 d＝ ，S＝ d· AO＝ . 2 2 34
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考向三
【例3】
直线与圆的综合问题
(2013· 淮安模拟)如图所示，已知
数学(文)一轮教学案：第九章第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系 Word版含解析
第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系考纲展示 命题探究1 圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程(2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2 点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点M 在圆上；(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点M 在圆外；(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点M 在圆内．注意点 圆的标准方程与一般方程的关系圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别.1．思维辨析(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12 －3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )(5)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．圆心在曲线y ＝14x 2(x <0)上，并且与直线y ＝－1及y 轴都相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4答案 D解析 设圆心的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，14x 2，据题意得14x 2＋1＝－x ，解得x ＝－2，此时圆心的坐标为(－2,1)，圆的半径为2，故所求圆的方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.3．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( )A ．2 2B.2－1 C ．22－1D ．1答案 C解析 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，故所求距离d min ＝22－1.[考法综述] 求圆的方程是考查圆的方程中的一个基本点，一般涉及圆的性质，直线与圆的位置关系等．主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用代数方法和几何方法解决问题．命题法1 求圆的方程典例1 (1)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O ′位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O ′的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5(2)求经过A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程．[解析] (1)设圆心坐标为(a,0)(a <0)，因为圆与直线x ＋2y ＝0相切，所以5＝|a ＋2×0|5，解得a ＝－5，因此圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.(2)解法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. ∴⎩⎨⎧ 52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，32＋22＋3D ＋2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－10，F ＝31.∴圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0.解法二：从形的角度，AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P 应在AB 中垂线x ＝4上，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＝4，得圆心P (4,5)． ∴半径r ＝|P A |＝10.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.[答案] (1)D (2)见解析【解题法】 用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程．(2)根据所给条件，列出关于D ，E ，F 或a ，b ，r 的方程组．(3)解方程组，求出D ，E ，F 或a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．命题法2 与圆有关的最值问题典例2 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)y x 的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，半径r ＝3的圆．(1)设yx＝k，即y＝kx，由题知，直线y＝kx与圆恒有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径 3.∴|2k－0|k2＋1≤ 3.∴k2≤3，即－3≤k≤3，∴yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y－x＝b，则当直线y－x＝b与圆相切时，b取最值，由|2－0＋b|2＝3，得b＝－2±6，∴y－x的最大值为6－2，最小值为－2－ 6.(3)令d＝x2＋y2表示原点与点(x，y)的距离，∵原点与圆心(2,0)的距离为2，∴d max＝2＋3，d min＝2－ 3.∴x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.【解题法】与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．命题法3与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x 0，y 0)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x 0－2,2y 0)．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x 0－2)2＋(2y 0)2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ′，y ′)．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |. 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝04D ＋2E ＋F ＋20＝0D －7E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.故选C.2．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________________；(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③解析 (1)依题意，设C (1，r )(r 为圆C 的半径)，因为|AB |＝2，所以r ＝12＋12＝2，所以圆心C (1，2)，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0(x －1)2＋(y －2)2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2－1或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2＋1，因为B 在A 的上方，所以A (0，2－1)，B (0，2＋1)．不妨令直线MN 的方程为x ＝0(或y ＝2－1)，M (0，－1)，N (0,1)，所以|MA |＝2，|MB |＝2＋2，|NA |＝2－2，|NB |＝ 2.所以|NA ||NB |＝2－22＝2－1，|MA ||MB |＝22＋2＝2－1，所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，所以|NB ||NA |－|MA ||MB |＝22－2－(2－1)＝2＋1－(2－1)＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22－2＋(2－1)＝2＋1＋2－1＝22，正确结论的序号是①②③.3.设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 解法一：当x 0＝0时，M (0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N (－1,0)或N (1,0)，使∠OMN ＝45°.当x 0≠0时，过M 作圆的两条切线，切点为A 、B .若在圆上存在N ，使得∠OMN ＝45°，应有∠OMB ≥∠OMN ＝45°，∴∠AMB ≥90°，∴－1≤x 0<0或0<x 0≤1.综上，－1≤x 0≤1.解法二：过O 作OP ⊥MN ，P 为垂足，OP ＝OM ·sin45°≤1，∴OM ≤1sin45°，∴OM 2≤2，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1.4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 因为(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆C 是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.注意点 切线长的计算涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解.1．思维辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1， 又∵r ＝2，∴0<d <r .显然圆心(0,0)不在直线y ＝kx ＋1上，故选C.3．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．答案 23解析 圆C 1的方程减圆C 2的方程，即得公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到l 的距离d ＝12，由条件知，r 2－d 2＝234，∴弦长为23. [考法综述] 直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想考查直线和圆的几何性质．命题法 直线与圆的位置关系及应用典例 (1)直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 (2)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] (1)直线ax －y ＋2a ＝0⇒a (x ＋2)－y ＝0，即直线恒过点(－2,0)，因为点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交．(2)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]． [答案] (1)C (2)C【解题法】 1.有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l 2，弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，即r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2. (2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k (－3)－2－2k －3|1＋k 2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.2.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 答案 D解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2x 0y 1＋y 2＝2y 0. 又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2B ．4 2C ．6D ．210 答案 C解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4 C ．(6－25)πD.5π4 答案 A解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝45. ∴圆C 面积的最小值为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.故选A. 解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半． 因此，圆C 半径的最小值为r min ＝45×12＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝4π5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.答案 2解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 答案 2555解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555.8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15.9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253， P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：注意点判别式与两圆的位置关系在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ>0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ<0是两圆外离(内含)的必要不充分条件.1．思维辨析(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y ＝r2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案 B解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.3．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l 对称，则直线l的方程是()A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0答案 C解析圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.[考法综述] 根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题．命题法 圆与圆的位置关系典例 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是______．[解析] (1)两圆心之间的距离为d ＝(－2－2)2＋(0－1)2＝17，两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝3.则r 2－r 1＝1<d <r 1＋r 2＝5，故两圆相交．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1.由题意知，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x ，kx －2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解得0≤k ≤43，故k 的最大值为43.[答案] (1)B (2)43【解题法】 两圆位置关系的相关问题(1)圆与圆的位置关系有5种：外离、外切、相交、内切、内含．在高考中涉及两圆位置关系时，常见有两种命题方式：①已知两圆方程判断两圆的位置关系，一般采用几何法求解． ②圆与圆位置关系的应用，即通过圆与圆的位置关系，研究公共弦及公切线等问题．(2)两圆相交公共弦问题①求相交圆公共弦问题设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如果先求交点坐标，再用两点式求直线方程，显然太繁琐，为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．设两圆任一交点坐标是(x0，y0)，则有：x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②①－②得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0.显然，两交点坐标均满足此方程．因此，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0就是两圆的公共弦方程．②求两圆公共弦长的步骤第一步，先求两圆公共弦所在的直线方程；第二步，利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两圆公共弦长．(3)两圆位置关系与公切线条数，12M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析圆C1，C2如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理可得|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.选A.2．已知两圆⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y －3＝0和⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y －3＝0都经过点A (2，－1)，则同时经过点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)的直线方程为( )A ．2x －y ＋2＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．2x ＋y －2＝0 答案 A解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋2D 1－E 1－3＝05＋2D 2－E 2－3＝0即⎩⎪⎨⎪⎧2D 1－E 1＋2＝02D 2－E 2＋2＝0，∴点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)都在直线2x －y ＋2＝0上，故同时经过(D 1，E 1)和(D 2，E 2)的直线方程为2x －y ＋2＝0.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.答案 1解析 两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y ＝1a ，如图，由已知得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a ＝1，∴a ＝1.创新考向与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最值等．常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等．创新例题设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)答案 D解析 由圆的方程得圆心为(1,1)，半径为r ＝1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为d ＝|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1. 整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22 设m ＋n ＝x ，则有x ＋1≤x 24解得，x ≥2＋22或x ≤2－2 2.则m ＋n 的取值范围是(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选D.创新练习1．M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，则M ∩N ≠∅时，a 的最大值与最小值分别为________、________.答案 2＋22 22－2 解析 由已知可得集合M 表示圆x 2＋y 2＝2a 2的上半部分，而集合N 表示圆心(1，3)半径为a 的圆，若M ∩N ≠∅，则圆N 与半圆M 有公共点，设两圆的圆心距为d ，且d ＝2.则(2－1)a ≤d ≤(2＋1)a ，解得a ≥22－2或a ≤22＋2.2．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．答案 5－1解析根据条件画出可行域如图．设z＝|PQ|表示圆上的点到可行域的距离．当点P在A处时，求出|PQ|＝5，即|PQ|min＝5－1.创新指导1．准确转化：解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决．2．方法选取：对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，对于涉及参数的问题，要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否需要分类讨论．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点P(－1,1)的圆的切线方程为________．[错解][错因分析]没有对k进行分类讨论，从而遗漏了k不存在的情况．[正解](1)当直线的斜率不存在时，方程为x＝－1.此时圆心C(1，－2)到直线x＝－1的距离d＝|－1－1|＝2.故该直线为圆的切线．(2)当直线的斜率存在时，设为k，则其方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0.由已知圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k×1－(－2)＋k＋1|k2＋(－1)2＝2，整理得|2k＋3|k2＋1＝2，解得k＝－512，故此时切线方程为－512x－y＋712＝0，即5x＋12y－7＝0，综上，圆的切线有两条：x ＝－1或5x ＋12y －7＝0.[答案] x ＝－1或5x ＋12y －7＝0[心得体会] ………………………………………………………………………………………………时间：50分钟基础组1.[2016·衡水二中仿真]已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8答案 A解析 根据题意，直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －y ＋1＝0，得(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．[2016·枣强中学期中]已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13 答案 C解析 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣孤所对圆心角为23π，设圆心为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.3．[2016·衡水二中热身]圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋()y －32＝3C ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝34D ．x 2＋(y －2)2＝4答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A.4．[2016·武邑中学期末]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11答案 A解析 由题意可知，将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度后，所得直线l 的方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O (－1,2)，半径为 5.解法一：直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离等于圆的半径，即|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或λ＝7.解法二：设直线l 与圆相切的切点为C (x ，y )，由直线与圆相切，可知CO ⊥l ，所以y －2x ＋1×2＝－1.又C (x ，y )在圆上，满足方程x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，解得切点坐标为(1,1)或(－3,3)．又C (x ，y )在直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝7.5. [2016·衡水二中一轮检测]已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径为2，直线l 的斜率为－1，方程为x ＋y －1＝0.圆心到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为22，∴△OAB 的面积为12×22×22＝1，故选A.6．[2016·衡水二中猜题]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0，则|2x －y －2|的最小值是( )A ．5－ 5B ．4－ 5 C.5－1 D ．5 5答案 A解析 将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，|2x －y －2|＝5×|2x －y －2|5，几何意义表示圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上的点到直线2x －y －2＝0的距离的5倍，要使其值最小，只使|2x －y －2|5最小，由直线和圆的位置关系可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －y －2|5min ＝|2×2＋3－2|5－1＝5－1，∴|2x －y －2|的最小值为5×(5－1)＝5－5，选A. 7．[2016·衡水二中猜题]已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(注：此题条件还经常论述为“圆x 2＋y 2－2y －5＝0关于直线ax ＋by ＋c －1＝0对称”．)答案 A解析 依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎨⎧b ＋c ＝1(bc >0)4c b ＝bc，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9，选A.8. [2016·衡水二中一轮检测]已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)答案 C解析 如右图，当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故2<k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．[2016·冀州中学周测]已知点N (3,4)，圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，M 是圆C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 52－1解析 作点N 关于x 轴的对称点N ′(3，－4)，则(|PC |＋|PN |)min＝|CN ′|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－1.10．[2016·冀州中学热身]已知圆C 过定点A (0，a )(a >0)，且被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，若∠MAN ＝45°，则圆C 的方程为________．答案 (x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2 解析 设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，依题意，圆C 的半径r ＝x 2＋(y －a )2，又圆C 被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，所以|y |2＋a 2＝r 2，即y 2＋a 2＝x 2＋(y －a )2，化简得x 2＝2ay .因为∠MAN ＝45°，所以∠MCN ＝90°.从而y ＝a ，x ＝±2a ，圆的半径r ＝x 2＋(y －a )2＝2a ，所以圆C 的方程为(x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2.11．[2016·枣强中学周测]设圆C ：(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1，则圆C 的圆心轨迹方程为________，若k ＝0，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为________．答案 2x －y －1＝0 2155解析 由圆的方程(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1得圆心坐标C (k,2k －1)，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝2k －1，消去k ，得2x －y －1＝0，即圆C 的圆心轨迹方程为2x －y －1＝0；当k ＝0时，圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心到直线l ：3x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1－1|10＝105，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为21－25＝2155.12．[2016·冀州中学预测]已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．答案 1或－7解析 由圆的性质易知，当切线过圆M 的圆心(1,3)时，|PQ |取最大值，这个最大值即为圆M 的直径，设此直线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0(k 显然存在)．由|k －3|k 2＋1＝2得k ＝1或－7.能力组13.[2016·衡水二中月考]圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911答案 C解析 因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.14．[2016·枣强中学模拟]在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差为d ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6,7}B ．{4,5,6}C ．{3,4,5,6}D ．{3,4,5,6,7}答案 A解析 圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，∴圆心为⎝⎛⎭⎪⎫52，0，半径r＝52，则最大的弦为直径，即a n ＝5，当圆心到弦的距离为32，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32为垂足时，弦长最小为4，即a 1＝4，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得d ＝a n －a 1n －1＝5－4n －1＝1n －1，∵16≤d ≤13，∴16≤1n －1≤13，即3≤n －1≤6，∴4≤n ≤7，即n ＝4,5,6,7，选A.15．[2016·衡水二中期末]已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点M 的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．解 (1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r ＝2， 当过点M 的直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心(1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当过点M 的直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34. ∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过点M 的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋(－1)2＝2，解得a ＝0或a ＝43. (3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 16. [2016·武邑中学猜题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a的值．解(1)曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)，故可设圆的圆心坐标为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t ＝1，则圆的半径为32＋(t－1)2＝3.所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a2>0.由根与系数的关系可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.所以y1y2＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2，即2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②可得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.。
《直线与圆的位置关系》教案
《直线与圆的位置关系》教案第一章：引言教学目标：1. 让学生了解直线与圆的位置关系的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆的位置关系。
教学内容：1. 直线与圆的定义。
2. 直线与圆的位置关系的分类。
教学步骤：1. 引入直线和圆的定义，让学生回顾相关概念。
2. 提问：直线和圆有什么关系？它们可以相交、相切还是相离？3. 引导学生观察和思考直线与圆的位置关系，让学生举例说明。
练习题目：a) 直线x=2与圆x^2+y^2=4b) 直线y=3与圆x^2+y^2=9c) 直线x+y=4与圆x^2+y^2=8第二章：直线与圆的相交教学目标：1. 让学生了解直线与圆相交的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相交的性质。
教学内容：1. 直线与圆相交的定义。
2. 直线与圆相交的性质。
教学步骤：1. 引入直线与圆相交的概念，让学生了解相交的含义。
2. 提问：直线与圆相交时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相交的性质，让学生举例说明。
练习题目：a) 直线y=2x+3与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第三章：直线与圆的相切教学目标：1. 让学生了解直线与圆相切的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相切的性质。
教学内容：1. 直线与圆相切的定义。
2. 直线与圆相切的性质。
教学步骤：1. 引入直线与圆相切的概念，让学生了解相切的含义。
2. 提问：直线与圆相切时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相切的性质，让学生举例说明。
练习题目：a) 直线y=3x+2与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第四章：直线与圆的相离教学目标：1. 让学生了解直线与圆相离的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相离的性质。
第九章 第二节 第1课时 系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
第二节圆与方程[考纲要求]1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F2点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点.(2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上.(3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________．答案：(x －2)2＋y 2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝0直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化 方程观点Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard .[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|. [谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C．相离D．随a的变化而变化解析：选B∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝2 2.答案：2 2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提醒]涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).[小题练通]1.[人教A版教材P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋(－1)2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选A两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.[课时跟踪检测]1．(2019·广西陆川中学期末)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是()A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为(2＋1)2＋(2＋4)2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋(5－2)2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62 C.32或－32D.62或－62解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)， ∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为(2－3)2＋(2－1)2＝2，所截得的最短弦长为222－(2)2＝22，故选C.7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C. 8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝r 2，a 2＋(0＋1)2＝r 2，a 2＋(0－1)2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.9．(2018·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：选C因为圆C的圆心的坐标C(6,8)，所以OC的中点坐标为E(3,4)，所求圆的半径|OE|＝32＋42＝5，故以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.10．(2018·荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是() A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选B∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.11．(2019·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4解析：选A由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.12．(2019·孝义一模)已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∵圆O的半径为1，∴|OP|＝2，∵原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为2，∴符合条件的点P只有一个，故选B.13．(2019·北京东城联考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k ＝1”是“|AB|＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离d ＝11＋k 2，则|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2＝2k 21＋k 2，当k ＝1时，|AB |＝2 12＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2k 21＋k 2＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝⎛⎭⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x －y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝015．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝216．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(3－b )2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得⎩⎨⎧b ＝72，r ＝52.∴该圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝54. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝5417．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________． 解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝(1－1)2＋(－2－3)2＝5. 答案：518．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，(a ＋5)2＋(b ＋5)2＝52－r ，(0－a )2＋(－6－b )2＝r 2，解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32， ∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18。
2020版高考数学历史专用讲义：第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).概念方法微思考1．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) 题组二 教材改编2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三易错自纠5．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是() A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]答案 D解析圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝|2－1＋m|2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m|2≤2，解得－22－1≤m≤22－1，故选D.6．(2018·石家庄模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝(a－4)2＋(a－1)2，解得a＝5＋22或a＝5－22，可取C1(5＋22，5＋22)，C2(5－22，5－22)，故|C1C2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.7．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵|OA|＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.题型一 直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 (2018·贵州黔东南州联考)在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定答案 A解析 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A. 命题点2 弦长问题例2 已知直线：12x －5y ＝3与圆x 2＋y 2－6x －8y ＋16＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 4 2解析 把圆的方程化成标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径r ＝3，所以圆心到直线12x －5y ＝3的距离d ＝|12×3－5×4－3|122＋(－5)2＝1，则|AB |＝2r 2－d 2＝4 2.命题点3 切线问题例3 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 ①几何法：利用d 与r 的关系． ②代数法：联立方程之后利用Δ判断．③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 跟踪训练1 (1)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为________． 答案 相交解析 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交．(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案 2 2解析 设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(3)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.题型二 圆与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例4 分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．解 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ， 则圆C 1的圆心为C 1(－2,3)，半径r 1＝1； 圆C 2的圆心为C 2(1,7)，半径r 2＝50－k ，k <50.从而|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k <6，即14<k <34时，两圆相交． 当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切；当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切．所以当k ＝14或k ＝34时，两圆相切． 命题点2 公共弦问题例5 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明 由题意得，圆C 1和圆C 2一般方程化为标准方程，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝16，则圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2， ∴圆C 1和C 2相交．(2)解 圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离 d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察． (2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到． (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解．跟踪训练2 (1)(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2<|MN |<r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)圆x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0与圆x 2＋y 2＋2x －13＝0相交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为______________． 答案 x －2y ＋6＝0解析 两个圆的方程两端相减，可得2x －4y ＋12＝0. 即x －2y ＋6＝0.1．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(121，＋∞) C ．[1,121] D ．(1,121)答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为 (x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.2．直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532 C ．4 2 D ．3 3答案 A解析 圆(x －1)2＋(y －3)2＝10的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝10，圆心(1,3)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－9＋3|10＝510，故弦|AB |＝210－2510＝30，故选A.3．已知直线l ：x cos α＋y sin α＝2(α∈R )，圆C ：x 2＋y 2＋2x cos θ＋2y sin θ＝0(θ∈R )，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．与α，θ有关答案 D解析 圆C ：x 2＋y 2＋2x cos θ＋2y sin θ＝0(θ∈R )，即(x ＋cos θ)2＋(y ＋sin θ)2＝1(θ∈R )，圆心C 的坐标为(－cos θ，－sin θ)，半径为r ＝1.圆心C 到直线l ：x cos α＋y sin α＝2(α∈R )的距离d ＝|－cos θcos α－sin θsin α－2|cos 2α＋sin 2α＝2＋cos(θ－α)．当cos(θ－α)＝－1时，d ＝r ，直线l 和圆C 相切； 当－1<cos(θ－α)≤1时，d >r ，直线l 和圆C 相离，故选D.4．(2018·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14答案 B解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.5．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．6．(2018·东北三省联考)直线x ＋2y ＋m ＝0(m >0)与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，若|OA →＋OB →|>2|AB →|，则m 的取值范围是( )A ．(5，25)B ．(25，5)C ．(5，5)D ．(2，5)答案 B解析 ∵直线x ＋2y ＋m ＝0与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于相异两点A ，B ，∴O 点到直线x ＋2y ＋m ＝0的距离d < 5.记OA →＋OB →＝OD →，则四边形OADB 是菱形，且|OD →|＝2d . ∵|OA →＋OB →|>2|AB →|，∴2d >2|AB →|， 即d >|AB →|＝25－d 2，解得d >2.又d <5，∴2<d <5，即2<|m |5< 5. 又m >0，解得m ∈(25，5)．7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 答案 4解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得x 1＝－3，y 1＝3；x 2＝0，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为 y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0， 则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.8．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|P A |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形， 其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°. ∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.10．(2018·成都模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，若点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分，则1a ＋1b 的最小值为____________． 答案7＋4355解析 圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，则直线l 与圆C 相离，设圆心到直线的距离为d ，则d －r ＝1，可得|9＋16＋m |9＋16＝6，解得m ＝－55或m ＝5(舍去)．因为点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分， 所以3a ＋4b ＝55，a >0，b >0. 则1a ＋1b ＝155⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (3a ＋4b )＝155⎝⎛⎭⎫7＋4b a ＋3a b ≥155⎝⎛⎭⎫7＋24b a ·3a b ＝7＋4355， 当且仅当a ＝－55＋11033，b ＝55－5532时取等号．11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ， 得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34.∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围． 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0)． 且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝ 52－⎝⎛⎭⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴PQ ≤2r ＝10. ∴TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221]．13．(2018·贵阳第一中学月考)已知直线l ：(m ＋2)x ＋(m －1)y ＋4－4m ＝0上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤1或m ≥2B ．2≤m ≤8C ．－2≤m ≤10D ．m ≤－2或m ≥8答案 C 解析 如图，设切点分别为A ，B .连接AC ，BC ，MC ，由∠AMB ＝∠MAC ＝∠MBC ＝90°及MA ＝MB 知，四边形MACB 为正方形，故|MC |＝2＋2＝2，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝|－m －2＋2m －2＋4－4m |(m ＋2)2＋(m －1)2≤2，即m 2－8m－20≤0，∴－2≤m ≤10，故选C.14．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________． 答案 4解析 ⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍， ∴|AB |＝2×5×255＝4.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫49，89 B.⎝⎛⎭⎫29，49 C ．(1,2) D ．(9,0)答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为P A ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝(9－2m )2＋m24， ① 又x 2＋y 2＝9， ②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1,2)，故选C.16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝⎛⎭⎫－32，t ，求实数t 的取值范围．解 由题意可得直线AB 的方程为x ＝y ＋1，与y 2＝4x 联立消去x ，可得y 2－4y －4＝0，显然Δ＝16＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，设E (x E ，y E )，则y E ＝y 1＋y 22＝2，x E ＝y E ＋1＝3，又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋1＋y 2＋1＋2＝8，所以圆E 是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外．圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝⎛⎭⎫－32，t ，即圆E 上存在点P ，Q ，使得DP ⊥DQ ，设过D 点的两直线分别切圆E 于P ′，Q ′点，要满足题意，则∠P ′DQ ′≥π2，所以|EP ′||DE |＝4⎝⎛⎭⎫3＋322＋()2－t 2≥22，整理得t 2－4t －314≤0，解得2－472≤t ≤2＋472，故实数t 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－472，2＋472.。
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
第9章 第47讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
第九章 解析几何
3. 求有关弦长问题的两种方法：
(1) 几何法：直线被圆截得的半弦长2l ，弦心距 d 和圆的半径 r 构成直角三角形， 即 r2＝_____2l_2_＋__d_2___；
(2) 代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于 x 的一元二次方程，由 根与系数的关系即可求得弦长 AB＝____1_＋__k_2|_x_1－__x_2_| __＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2或 AB＝_____1_＋__k1_2_|y_1_－__y2_|_＝ 1＋k12· y1＋y22－4y1y2.
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第九章 解析几何
第九章 解析几何 第47讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
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第九章 解析几何
设所求直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为：y－5＝kx，即 kx－y＋5＝0.由点 C 到直线 AB 的距离 d＝|－2kk－2＋6＋1 5|＝2，得 k＝34，此时直线 l 的方程为 3x－4y＋20＝ 0.
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第九章 解析几何
激活思维
1. (必修 2P128 第 4 题改编)若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则
实数 a 的取值范围是( C )
第9章 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型一 • 例1
直线与圆的位置关系
m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5.
• (1)无公共点； • (2)截得的弦长为2； • (3)交点处两条半径互相垂直．
• 【思路】
判断；
(1)无公共点即相离，用圆心到直线的距离d>r
• (2)充分利用直角三角形； • (3)两半径互相垂直，形成等腰直角三角形．
成直角三角形表示出切线长，可以设出点的坐标，将其转
化为函数的最值求解；也可根据平面几何的知识将其转化
为圆心到直线上的点的距离的最小值，直接求解．
【解析】 方法一：圆 C 的方程化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝ 1，圆心为 C(－2，－2)，半径 r＝1. 设直线 l 上任意一点 P(x，y)，则由 x＋y＝1，得 y＝1－ x. 则|PC|＝ x＋22＋y＋22 ＝ x＋22＋1－x＋22 ＝ 2x2－2x＋13.
• 3．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是( • A．相交 • C．外切 B．内切 D．内含
)
• 答案
• 解析
B
两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆
心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2. • ∵|O1O2|＝1＝r2－r1.
方法二：圆 C 的方程化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心为 C(－2，－2)，半径 r＝1. 设过点 P 的切线与圆相切于点 Q，则 CQ⊥PQ. 故|PQ|＝ |PC|2－r2＝ |PC|2－1. 故当|PC|取得最小值时，切线长最小．
显然，|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离 |－2－2－1| 5 2 d＝ ＝ 2 ，所以切线长的最小值为 2 2 1 ＋1 5 22 46 2 －1＝ 2 .
直线与圆的位置关系教案
直线与圆的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆的位置关系，掌握相关概念。
2. 学会利用直线与圆的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 直线与圆的位置关系的判定。
2. 直线与圆的位置关系的应用。
教学难点：1. 理解并掌握直线与圆的位置关系的判定条件。
2. 解决实际问题时，如何正确运用直线与圆的位置关系。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 直线与圆的位置关系的相关例题和练习题。
教学过程：第一章：直线与圆的基本概念1.1 直线的定义及性质1.2 圆的定义及性质1.3 直线与圆的位置关系的基本概念第二章：直线与圆的位置关系的判定2.1 直线与圆相交的判定条件2.2 直线与圆相切的判定条件2.3 直线与圆相离的判定条件第三章：直线与圆的位置关系的应用3.1 求圆的方程3.2 求直线的方程3.3 求直线与圆的位置关系第四章：实际问题中的应用4.1 求点到直线的距离4.2 求点到圆心的距离4.3 求直线与圆的交点坐标第五章：综合练习5.1 判断直线与圆的位置关系5.2 求直线与圆的位置关系5.3 解决实际问题教学反思：通过本章的学习，学生应能掌握直线与圆的位置关系的基本概念，判定条件以及应用。
在教学过程中，应注意引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题的训练，使学生巩固所学知识，提高解题能力。
第六章：直线与圆的位置关系的性质6.1 直线与圆相交的性质6.2 直线与圆相切的性质6.3 直线与圆相离的性质本章主要学习直线与圆的位置关系的性质。
学生将学习到在直线与圆相交、相切、相离的情况下，直线和圆的特定性质。
这些性质包括交点的数量、切点的位置、距离的关系等。
教学活动：通过图形和实例，让学生观察和总结直线与圆相交、相切、相离时的性质。
引导学生通过几何推理证明这些性质。
提供练习题，让学生应用这些性质解决具体问题。
教学评估：通过课堂讨论和练习题，评估学生对直线与圆位置关系性质的理解程度。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理(2021年最新整理)
2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝｛(x，y)｜x，y为实数，且x2＋y2＝1｝，B＝{（x，y）｜x，y为实数，且x ＋y＝1｝，则A∩B的元素个数为( ）．A．4 B．3 C．2 D．1解析法一（直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝错误!＝错误!＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C。
法二（数形结合法）画图可得，故选C.答案C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是（）．A．[－3,－1］B．［－1,3]C．[－3,1] D．(－∞,－3］∪［1，＋∞）解析由题意可得,圆的圆心为（a,0），半径为错误!，∴错误!≤错误!，即｜a＋1|≤2,解得－3≤a≤1.答案C3．若圆(x－a)2＋（y－b）2＝b2＋1始终平分圆(x＋1）2＋（y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是（)A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0解析即两圆的公共弦必过（x＋1)2＋(y＋1）2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0,将圆心坐标(－1,－1）代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.答案C4．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0（b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 ( ）．A．－3错误!B．－3 C．3 D．3错误!解析易知圆C1的圆心为C1（－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0,b），半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴｜C1C2｜＝r1＋r2，即a2＋b2＝9。
2021-2022年高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练62直线与圆圆与圆的位置关系理
2021年高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练62直线与圆圆与圆的位置关系理1．(xx·江西南昌市一模)对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 C解析 圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0，配方，得(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)，直线y ＝kx －1恒过M(0，－1)，而(0－1)2＋(－1)2<3，即M 点在圆内，所以直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ＝2.所以直线与圆相切． 3．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．4．(xx·安徽屯溪一中月考)若曲线x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)与直线y ＝k(x ＋2)有公共点，则k的取值范围是( ) A ．[－34，0)B ．(0，34)C ．(0，34]D ．[－34，34]答案 C解析 ∵x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)可化为(x －3)2＋y 2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3，0)，半径为3的上半圆，它与直线y ＝k(x ＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3，0)到直线y ＝k(x ＋2)的距离d≤3，且k>0，∴|3k －0＋2k|k 2＋1≤3，且k>0，解得0<k≤34.故选C. 5．(xx·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin ∠AOC ＝d |OC|＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3. 6．(xx·福建福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3.∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0. 7．(xx·保定模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A．(3，2) B．(3，3)C．(33，233) D．(1，233)答案 D解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝|m|1＋（33）2＝1，解得m＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233.8．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c 的值是( )A．－3 B．3C．2 2 D．8答案 A解析由题知圆心为(2，－1)，半径为r＝5－c.令x＝0得y1＋y2＝－2，y1y2＝c，∴|AB|＝|y1－y2|＝21－c.又|AB|＝2r，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.9．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.10．(xx·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x－2)＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.11．(xx·重庆一中期末)已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为22，则k 的值为( ) A ．3 B ．2 C.13 D.152答案 A解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，则圆心为C(1，－2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S 四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ，而S △PAC ＝12|PA|·|CA|＝12|PA|，S △PBC ＝12|PB|·|CB|＝12|PB|，又|PA|＝|PB|＝|PC|2－1，∴|PC|取最小值时，S △PAC ＝S △PBC 取最小值，此时，CP 垂直于直线，四边形PACB 面积的最小值为22，S △PAC ＝S △PBC ＝2，∴|PA|＝22，|CP|＝3，∴|k －8－10|k 2＋16＝3，又k>0，∴k ＝3.故选A.12．(1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． (2)以C(1，3)为圆心，并且与直线3x －4y －6＝0相切的圆的方程为________． 答案 (1)x ＋2y －5＝0 (2)(x －1)2＋(y －3)2＝9 解析 (1)由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.(2)r ＝|3×1－4×3－6|5＝3，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________． 答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.14．已知点P(2，2)和圆C ：x 2＋y 2＝1，设k 1，k 2分别是过点P 的圆C 两条切线的斜率，则k 1·k 2的值为________． 答案 1解析 设过点P 的切线斜率为k ，方程为y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0. 其与圆相切则|2k －2|k 2＋1＝1，化简得3k 2－8k ＋3＝0.所以k 1·k 2＝ 1.15．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________． 答案 (2，2)解析 ∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有|OP|＝2|OM|＝2.由两点间的距离公式得，|OP|＝x 02＋（－x 0＋22）2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 16．(xx·大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________． 答案 43解析 利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB 各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值． 如图，|OA|＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB|＝|OA|2－|OB|2＝10－2＝2 2. ∴tan ∠OAB ＝|OB||AB|＝222＝12.∴所求夹角的正切值为tan ∠CAB ＝2tan ∠OAB1－tan 2∠OAB ＝2×121－14＝43. 17．(xx·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.18．(xx·杭州学军中学月考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称． (1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1.由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.1．(xx·安徽，文)若过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．(0，π3]C ．[0，π6]D ．[0，π3]答案 D解析 设直线l 的方程为y ＋1＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0. 由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，得0≤k≤ 3. ∴0≤tan α≤3，∴α∈[0，π3]，选D. 2．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.另解：易知PACB 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0， ∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.3．(xx·山东，文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0的圆心M(0，a)，半径为a ， 所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离为|a|2.由直线x ＋y ＝0被圆M 截得的弦长为22，知a 2－a22＝2，故a ＝2，即M(0，2)且圆M 的半径为2. 又圆N 的圆心N(1，1)，且半径为1， 根据1<|MN|＝2<3，知两圆相交．故选B.4．(xx·课标全国Ⅱ，理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M(0，y 1)，N(0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN|＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝46，故选C.5．已知点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B两点，则|AB|的最小值是( ) A ．2 6B ．4C. 6 D ．2答案 B解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点，即图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB|min ＝214－10＝4，故选B.6．(xx·唐山一中模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 ⊙C 1关于x 轴对称的⊙C 1′的圆心C 1′(2，－3)，半径仍为1，⊙C 2的圆心为(3，4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为⊙C 1′和⊙C 2的圆心距离减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为52－4.7．(xx·衡水调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值． 答案 (1)(x －3)2＋(y －1)2＝9 (2)a ＝－1解析 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.因此x 1＝（8－2a ）＋56－16a －4a 24，x 2＝（8－2a ）－56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA⊥OB，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.8．(xx·课标全国Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 答案 (1)(4－73，4＋73) (2)2解析 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以|MN|＝2.。
第九章 第三节 圆的方程
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2．点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，则 (1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆 上 ． (2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆 外 ． (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在航
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解析：(1)由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又 |4a－3| 由圆与直线 4x－3y＝0 相切可得 5 ＝1，解得 a＝2，所以圆的标准方 程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选 A.
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(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 设 C(a,0)，且 a＞0， 2a 4 5 所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝ ＝ ， 5 5 解得 a＝2，所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3， 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(1)(x－3)2＋y2＝2 (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0
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规律方法 求圆的方程的方法 (1)待定系数法：利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于 a，b， r 或 D，E，F 的方程组． (2)几何法：利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
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方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， ∵点 A(4,1)，B(2,1)在圆上，
2 2 2 4－a ＋1－b ＝r ， 故 2 2 2 2 － a ＋ 1 － b ＝ r .
b－1 又∵ ＝－1，解得 a＝3，b＝0，r＝ 2， a－2 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
第九章直线和圆的方程
第九章 直线和圆考点1 直线与方程1. (2016·北京，7)已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A.－1B.3C.7D.81.解析 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x ≤4. 即2x ＋y －9＝0，2≤x ≤4，因为P (x ，y )在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7，故2x －y 最大值为7.答案 C2.(2015·安徽，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或122.解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D. 答案 D3.(2014·福建，6)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A.x ＋y －2＝0B.x －y ＋2＝0C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝03.解析 依题意,得直线l 过点(0,3),斜率为1,所以直线l 的方程为y －3＝x －0,即x －y ＋3＝0.故选D.答案 D4.(2014·四川，9)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋ 3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A.[5，25]B.[10，25]C.[10，45]D.[25，45]4.解析 易知直线x ＋my ＝0过定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1，3)，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故|P A |＋|PB |＝|AB |cos ∠P AB ＋|AB |sin ∠P AB ＝10·2sin ⎝⎛⎭⎫∠P AB ＋π4∈[10，25]，故选B. 答案 B5.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________.5.解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 答案 22考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系1.(2016·新课标全国Ⅱ，6)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A.－43B.－34C. 3D.2 1.解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43. 答案 A2.(2016·北京，5)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.222.解析 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2. 答案 C3.(2016·山东，7)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离3.解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝（1－0）2＋（1－2）2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.答案 B4.(2015·新课标全国Ⅱ，7)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.434.解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，①由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x －12，② 联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1，23 3， 其到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎫23 32＝213.故选B. 答案 B5.(2015·北京，2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D.(x －1)2＋(y －1)2＝2 5.解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 D6.(2014·湖南，6)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A.21B.19C.9D.－116.解析 圆C 1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m .从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.答案 C7.(2014·浙江，5)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－87.解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ,所以圆心为(-1,1),半径r ＝2－a ,圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2,故r 2－d 2＝4,即2－a －2＝4,所以a ＝-4，故选B.8.(2014·北京，7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.48.解析 若∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝m 2.由题意知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1与圆O ：x 2＋y 2＝m 2有公共点，所以|m －1|≤|OC |≤m ＋1，易知 |OC |＝5，所以4≤m ≤6，故m 的最大值为6.故选B.答案 B9.(2014·安徽，6)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎦⎤0，π3 9.答案 过P 点作圆的切线P A 、PB ，连接OP ，如图所示.显然，直线P A 的倾斜角为0，又OP ＝（－3）2＋（－1）2＝2，P A ＝3，OA ＝1，因此∠OP A ＝π6，由对称性知，直线PB 的倾斜角为π3.若直线l 与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.故选D. 答案 D10.(2014·新课标全国Ⅱ，12)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－12，12C.[－2，2]D.⎣⎡⎦⎤－22，22 10.解析 过M 作圆O 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A 、B ，若在圆O 上存在点N ，使∠OMN ＝45°，则∠OMB ≥∠OMN ＝45°，所以∠AMB ≥90°，所以－1≤x 0≤1，故选A.11.(2017江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r ≤则点P 的横坐标的取值范围是 .11.解析 设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤u u u r u u u r ，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧»AB 上,结合限制条件x -≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.答案 [-12.(2016·新课标全国Ⅰ，15)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.12.解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2. 又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π13 (2016·新课标全国Ⅲ，15)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________. 13.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，则y 1＋y 2＝33，又y 2＝23，∴y 1＝3，∴A (－3，3)，B (0，23).过A ，B 作l 的垂线方程分别为y -3＝-3(x ＋3)，y －23＝-3x ，令y ＝0，则x C ＝-2，x D ＝2，∴|CD |＝2-(-2)＝4.答案 414 (2016·浙江，10)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.14.解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (-2，-4) 515 (2015·湖南，13)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.15.解析 如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1， ∴r ＝2|OD |＝2.答案 216 (2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.16.解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案 (x －1)2＋y 2＝217.(2015·湖北，16)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________.(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.17.解析 (1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2) 方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0, 2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－118 (2014·湖北，17)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(1)b ＝________；(2)λ＝________.18.解析 设M (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，y 2＝1－x 2，λ2＝|MB |2|MA |2＝（x －b ）2＋y 2（x ＋2）2＋y 2＝x 2－2bx ＋b 2＋1－x 2x 2＋4x ＋4＋1－x 2＝b 2＋1－2bx 5＋4x ＝－b 2＋b 2＋52b ＋15＋4x. ∵λ为常数，∴b 2＋52b ＋1＝0，解得b ＝－12或b ＝－2(舍去). ∴λ2＝－b 2＝14，解得λ＝12或λ＝－12(舍去). 答案 (1)－12 (2)1219.(2014·重庆，14)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________.19. 解析 圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x +1)2+(y -2)2＝9，所以圆心为C (－1，2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6. 答案 0或620.(2017课标3，20)在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.20 答案（1）不会；（2）详见解析解析 试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得122x x =-，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0x = 得22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.(2)设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值.21.(2015·新课标全国Ⅰ，20)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.21.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.22.(2015·广东，20)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.22.解 (1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0).(2)设线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1M 垂直于直线l ，设直线l 的方程为y ＝mx ，易知直线l 的斜率存在，所以kC 1M ·m ＝－1，y 0＝mx 0，所以y 0x 0－3·y 0x 0＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94， 因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m |m 2＋1<2，所以m 2<45， 所以y 20＝m 2x 20<45x 20，所以3x 0－x 20<45x 20，解得x 0>53或x 0<0，又因为0<x 0≤3，所以53<x 0≤3. 所以M (x 0，y 0)满足⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94⎝⎛⎭⎫53<x 0≤3，即M 的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)由题意知直线L 表示过定点T (4，0)，斜率为k 的直线.结合图形，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝⎛⎭⎫53，－253按逆时针方向运动到⎝⎛⎭⎫53，253的圆弧. 根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧，设P ⎝⎛⎭⎫53，－253，则k PT ＝2534－53＝257，而当直线L 与轨迹C 相切时，⎪⎪⎪⎪3k 2－4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34在这里暂取k ＝34，因为257<34，所以k PT <k . 结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当－257≤k ≤0或k ＝34时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－257≤k ≤257或k ＝±34， 综上所述：当－257≤k ≤257或k ＝±34时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一交点. 23.(2014·新课标全国Ⅰ，20)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.23.解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ,y ),则CM →＝(x ,y -4)，MP →＝(2-x ,2-y ).由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2-y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.。
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x
第九章 直线与圆的方程
引言:
通过坐标系把点和坐标、曲线和 方程联系起来，使形和数结合，是研 究几何图形的一种重要的方法，这一 方法是用代数方法研究几何问题的基 础，它的产生对于促进教学的发展起 到了巨大的作用。
在本章中，我们将学习平面直角 坐标系中直线和圆的方程的知识， 一般曲线方程的概念，以及用坐标 的方法研究几何问题的初步知识。 这些知识是进一步学习圆锥曲线方
(3,
1 ),一个方向向 2
量为 v=(-2,0),写出l的点向式方程.并且画
出直线l
y 解 直线l的点向式方程是
(x
3)
*
0
(
y
1 2
)
*
(2)
-2 -1 o 1 x
-1
例向量4 为直线 vl=经(0过,2点),写M出0 (l的-1,点1)向,一式个方方程向.
并且画出直线l
y
2
解 直线l的点向
量,其中k是任意非零实数。
在平面上取一个平面直角坐标系oxy ,
设 M0(x0, y0) 是直线上一个点, 是l的一个方向向量.
v (v1,v2)
如图8-2
y
M0 .
Ml
v
O
x
图8-2
点M(x,y)在直线l上
M0M与 v 共线
M0M tv,(t R)
∴ (x x0, y y0) (tv1,tv2)
程、导数和微分等知识的基础。
一 平面上直线的方程 8.1 直线的点向式方程
❖议一议 ❖在空旷的平地上走路，怎样在能走
出一条笔直的线？
图8-1
❖1、一个点和一个非零向量决定一条直
线
❖2的、一如个果方一向个相非同零，向那量么v称的 v方是向l的与一直个线l
直线与圆的方程 对称问题
高考总复习.理科.数学
第九章 直线与圆的方程
第三节 对称问题
高考总复习.理科.数学
高考总复习.理科.数学
变式探究
2.求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的 方程. 分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具 有下列几何性质：①若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；② 若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上， 这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；③a以l为轴旋转180°，一 定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法 很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件， 选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由 轨迹求方程.
x 点坐标公式得， 0 + x y0 + y = 1, = 2 2 2
.
于是得x0=2－x,y0=4－y.，因为点Q（x0，y0）在直线l1:2xy+2=0上，所以2（2-x）-(4-y)+2=0 即2x-y-2=0.所以直线m的 方程为2x-y-2=0.
高考总复习.理科.数学
轴对称问题 ( 原 创 ) 设 点 A(1,0) 关 于 直 线 y=kx 的 对 称 点 为 P(x,y),O为坐标原点. (1)用k表示直线OP的斜率f(k); (2)证明|OP|=1. 解析：(1)当k≠0时，由
4.(2009年成都测试)光线由点P(2，3)射到直线x+y=-1上，反射 后过点Q(1，1)，则反射光线方程为___________. 解析：法一：如右图所示，设点Q(1,1)关于已知直线的对称点为 Q′(m,n),则入射光线所在的直线为PQ′.则直线PQ′与已知直线的 交点M为反射点. 由m
2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系跟踪检测文含解析
第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( ) A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选 C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b|12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x ＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y ＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y ＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r>0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x－1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C(－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：45π9．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M(x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B.若|AB|≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA⊥AC，MC⊥AB， 则S △MAC ＝12×|MA|×|AC|＝12×|MC|×|AB|2.又由|AC|＝1，变形可得|AB|＝2×|MA||MC|，则有|MA||MC|≥22.又由M(x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC|2＝x 20＋14，|MA|2＝|MC|2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12， 解得x 0≤－72或x 0≥72， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C(1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|， 不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3AD →＝5DB →可得|BD|＝3m ，|AB|＝8m ，则|DE|＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m)2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C(a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．。
高一中职数学直线与圆的方程知识点提纲
第九章直线与圆的方程第一节直线的方程一、基本定义：1.直线的方向向量：，通常用表示，一条直线的方向向量不是唯一的。
2.直线的法向量：，通常用表示，一条直线的法向量不是唯一的。
3.直线的倾斜角：，取值范围：4.直线的斜率：，通常用表示，即：。
倾斜角为的直线，斜率不存在。
已知直线上两点求斜率：。
5.截距的定义：，6.方向向量、法向量和斜率：，，，二、直线的五种直线方程1.点向式：，，2.点法式：，3.点斜式：，4.斜截式：，5.一般式：，第二节两直线的位置关系1.当斜率存在时，对于两条直线方程y=k1x+b1,y=k2x+b2有：两直线平行：，两直线重合：，两直线相交：，两直线垂直：，当斜率不存在时：当时，两直线重合，当时，两直线平行，斜率不存在直线与斜率为0的直线。
2.对于直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0（A1,A2,B1,B2全不为0）则有：两直线平行：，两直线重合：，两直线相交：，两直线垂直：，3.一般地，我们把与直线Ax+By+C1=0平行的直线表示为：，我们把与直线Ax+By+C1=0垂直的直线表示为：，第三节点到直线的距离1.点到直线的距离公式：，特别地，，2.两平行线间的距离：，特别地，，第四节圆的方程1.圆的定义：，2.圆的标准方程：，其中圆心为：半径为：特别地，当圆心为（0,0）时，圆的标准方程为，3.圆的一般方程：，其中圆心为：半径为：其特点：，，第五节直线和圆的位置关系方法一：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断，其中d=直线和圆相离直线和圆相切直线和圆相交方法二：联立方程组根据方程组是否有解及解的个数来判断直线与圆的位置关系：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；。
第九章第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
_一__组__实__数__解__ 两组不同的
实数解 __一__组__实__数__解___
无__解__
1．与圆的切线有关的结论 (1)过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为 x0x＋y0y＝r2； (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a) ＋(y0－b)(y－b)＝r2； (3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为 A，B，则过 A，B 两点的直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
2．(必修 2P127 例 1 改编)直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．Hale Waihona Puke 交但直线不过圆心C．直线过圆心
D．相离
B
[圆心为(0，0)，到直线 y＝x＋1 即 x－y＋1＝0 的距离 d＝
1 2
＝
2 2
，
而 0<
2 2
<1，但是圆心不在直线 y＝x＋1 上，所以直线与圆相交，但直线不
过圆心．]
3．(必修 2P129 例 3 改编)两圆 x2＋y2－2y＝0 与 x2＋y2－4＝0 的位置关
系是( )
A．相交
B．内切
C．外切
D．内含
B [两圆方程可化为 x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4，两圆圆心分别为 O1(0， 1)，O2(0，0)，半径分别为 r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内 切．]
第九章 平面解析几何
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
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第九章 直线和圆 考点1 直线与方程1.(2014·广东，10)曲线y ＝e －5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.1.5x ＋y －3＝0 [y ′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.]2.(2014·四川，14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________.2.5 [易求定点A (0，0)，B (1，3).当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5.]3.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________.3.－3 [由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1).又y ′＝2ax －bx 2，所以在点P处的切线斜率4a －b 4＝－72 (2).由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.]考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系1.(2016·全国Ⅱ,4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝( )A.－43B.－34C.3D.21.A [由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1,解之得a ＝－43.]2.(2015·广东,5)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝02.D [设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0,依题有|0＋0＋c |22＋12＝5,解得c ＝±5,所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0,故选D.]3.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M 、N 两点,则|MN |＝( ) A.2 6 B.8 C.46D.103.C [由已知,得AB →＝(3,-1),BC →＝(-3,-9),则AB →·BC →＝3×(-3)＋(-1)×(-9)＝0,所以AB →⊥BC →,即AB ⊥BC ,故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径,得其方程为(x -1)2＋(y +2)2＝25,令x ＝0得(y ＋2)2＝24,解得y 1＝－2－26,y 2＝－2＋26,所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46,选C.]4.(2015·重庆,8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴,过点A (－4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |＝( ) A.2 B.42C.6 D.2104.C [圆C 的标准方程为(x -2)2＋(y -1)2＝4,圆心为C (2,1),半径为r ＝2,因此2＋a ×1-1＝0,a ＝-1,即A (-4,-1),|AB |＝|AC |2－r 2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6,选C.]5.(2015·山东,9)一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－345.D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(-3,2),半径r ＝1.(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x -2),即kx -y -2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切,∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1,整理得12k2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43.]6.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34πC.(6－25)π D.54π 6.A [由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ,要使圆C 的面积最小,只需圆C 的半径或直径最小.又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离,此时2r ＝45,得r ＝25,圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2＝45π.]7.(2016·全国Ⅲ,16)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ,B 两点,过A ,B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,若|AB |＝23,则|CD |＝________.7.4 [设AB 的中点为M ,由题意知,圆的半径R ＝23,AB ＝23,所以OM ＝3,解得m ＝－33,由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3,3),B (0,23),则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3),BD 的直线方程为y －23＝－3x ,令y ＝0,解得C (－2,0),D (2,0),所以|CD |＝4.]8.(2016·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x ＝6上,求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点,且BC ＝OA ,求直线l 的方程； (3)设点T (t ,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA →＋TP →＝TQ →,求实数t 的取值范围. 8.解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25,圆心M (6,7),半径r ＝5, 由题意,设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0).且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5. 解得b ＝1,∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2,∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ,即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意,圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝⎛⎭⎫BC 22＝25－5＝2 5. 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25,解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15. (3)由TA →＋TP →＝TQ →,则四边形AQPT 为平行四边形,又∵P 、Q 为圆M 上的两点,∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10,即（t －2）2＋42≤10,解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221,2＋221].9.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.9.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,－2)三点,(4,0),(0,－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2),令y ＝0,解得x ＝32,圆心为⎝⎛⎭⎫32，0,半径为52.故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254.]10.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.10.(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2,－1),由题意,得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]11.(2015·广东,20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ,B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ,使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围；若不存在,说明理由.11.解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.∴圆C 1的圆心坐标为(3,0).(2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0,则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45.设A ,B 两点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝6k 2＋1.⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1，⎝⎛⎭⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94,53<x ≤3. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，y ＝k （x －4）⇒(1＋k 2)x 2－(3＋8k )x ＋16k 2＝0.令Δ＝(3＋8k )2－4(1＋k 2)16k 2＝0⇒k ＝±34.又∵轨迹C (即圆弧)的端点⎝⎛⎭⎫53，±253与点(4,0)决定的直线斜率为±257.∴当直线y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点时, k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34.12.(2014·陕西,12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称,则圆C 的标准方程为____________.12.x 2＋(y －1)2＝1 [因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称点的坐标为(0,1),即圆心C 为(0,1),又半径为1,∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.]13.(2014·湖北,12)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧,则a 2＋b 2＝____________.13.2 [由题意得,直线l 1截圆所得的劣弧长为π2,则圆心到直线l 1的距离为22,即|a |2＝22⇒a 2＝1,同理可得b 2＝1,则a 2＋b 2＝2.]14.(2014·重庆,13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a ＝________.14.4±15 [依题意,圆C 的半径是2,圆心C (1,a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3,于是有|1·a ＋a －2|a 2＋1＝3,即a 2－8a ＋1＝0,解得a ＝4±15.]15.(2014·江苏,9)在平面直角坐标系xOy 中,直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________.15.2555 [因为圆心(2,－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35,所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555.]16.(2014·新课标全国Ⅱ,16)设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是________.16.[－1,1] [由题意可知M 在直线y ＝1上运动,设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1).当x 0＝0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求；当x 0≠0时,过M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN ＝45°,只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP＝45°时,有x0＝±1.结合图形可知,符合条件的x0的取值范围为[－1,1].]。