3幂级数展开 (1)

第三章幂级数展开

函数有精确表示和近似表示：

精确表示（解析表示）

表示为初等函数通过四则运算；

近似表示：

逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算；级数表示 -表示为一个函数级数。

函数级数表示的意义：

利用级数计算函数的近似值； 级数法求解微分方程；

以级数作为函数的定义；

奇点附近函数的性态。

§3.1 复数项级数

（一）复数项级数的概念 ++++=∑∞=k k k w w w w

210k

k k v u w i +=级数是无穷项的和, 复无穷级数 ()∑∑∑∑∞

=∞=∞=∞=+=+=000

0k k k k k k k k k v i u iv u w 原级数成为 ∑∞

=0k k w ∑∞=0k k u ∑∞=0k k v 这样复级数 归结为两个实级数 与 ， 实级数的一些性质可移用于复级数。

（二）收敛性问题

1、收敛定义：

2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时，

,

1ε<∑++=p n n k k w ,0∑==n

k k n w S 前n+1项和

当n → ∞，有确定的极限， 便称级数收敛， S 称为级数和；若极限不存在，则称级数发散。

n n S S ∞

→=lim

3、绝对收敛级数

若 收敛，则 绝对收敛. ∑∑∞=∞=+=1220||k k k k k v u w ∑∞=0

k k w , ,00B q A p

k k k k ==∑∑∞

=∞=AB

c q p q p n n k l l

k k k k k ===⋅∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=00000∑-=n

k

n k n q p c 绝对收敛级数改变先后次序，和不变.

两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积.

(三) 复变项级数

++++=∑∞

=)()()()(210z w z w z w z w k

k k 的每一项都是复变函数。实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。 复变项级数有一个定义域 B 。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。

收敛-复变项级数在其定义域 B 中每一点都收敛，则称在 B 中收敛。

柯西收敛判据 (复变项级数收敛的充分必要条件)： 对B 内每点 z ，任给小正数 ε>0，必有 N (ε,z ) 存在，使得当 n>N (ε,z ) 时，

,)(1ε<∑++=p

n n k k

z w 式中 p 为任意正整数。N 一般随 z 不同而不同。

∑∞=1)(k k z w 但如果对任给小正数 ε>0，存在与 z 无关的 N (ε) ,

使得 n>N (ε)时，上式成立，便说 在B 内一致收敛。

（四）一致收敛级数的性质

记级数和为w (z )。

在B 内一致收敛的级数，如果级数的每一项 w k (z ) 都是B 内的连续函数，则级数的和w (z )也是B 内的连续函数。

∑⎰⎰∑⎰∞

∞==d )(d )(d )(l k l k l z z w z z w z z w 逐项求积分 —在曲线 l 上一致收敛的级数，如果级数的每一项 w k (z )都是l 上的连续函数，则级数的和w (z )也是l 上的连续函数，而且级数可沿 l 逐项求积分。

逐项求导数—设级数 在 中一致收敛， w k (z ) (k=0,1,2 ,… )在 中单值解析，则级数的和w (z )也是 中的单值解析函数, w (z ) 的各阶导数可由 逐项求导数得到，即：

且最后的级数 在 内的任意一个闭区域

中一致收敛。

B B B ∑∞

=0)(k k z w ∑∞==0

)()()()(k n k

n z w z w ∑∞

=0)(k k

z w B ∑∞=0)

()(k n k

z w

（五）级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法

如果对于某个区域B (或曲线l )上所有各点z, 复变项级数各项的模（m

k 是与z 无关的正常数)，而正的常数项级数

∑∞=0 k

k m

∑∞=0

) (

k

k

z

w

,

|)

(

|

k

k

m

z

w≤

∑∞=0

) (

k

k

z w

收敛，则在区域B (或曲线l )上绝对且一致收敛。

§3.2 幂级数

（一）定义 ,)()()(2

0201000 +-+-+=-∑∞

=z z a z z a a z z a k k k (3.2.1)

最简单的解析函数项级数是幂级数，其各项均为幂函数

其中 z 0, a 0 , a 1 , a 2 , … 为复常数。这样的级数叫作以 z 0为中心的幂级数。

,|)(||||)(||||||)(|||2

0201000 +-+-+=-∑∞

=z z a z z a a z z a k k k （二）幂级数敛散性

1、比值判别法（达朗贝尔判别法）

(3.2.2)