二重积分(习题)

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第九章 二重积分

习题9-1 1、设⎰⎰+=

1

3221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;

又⎰⎰+=

2

3222)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,

试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.

解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =.

2、利用二重积分的几何意义说明:

(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即

),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=⎰⎰D

d y x f σ;

(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即

),(),(y x f y x f =-时,有⎰⎰⎰⎰=1

),(2),(D D

d y x f d y x f σ

σ,其中1D 为D 在

0≥x 的部分.

并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2

22R y x y x D ≤+=.

(I)⎰⎰D

d xy σ4

; (II)⎰⎰--D d y x R y σ2

2

2

; (III)⎰⎰++D d y x x

y σ2

231cos . 解：令⎰⎰=

D d y x f I σ),(,⎰⎰=1

),(1

D d y x f I σ,其中1

D 为D 在0≥x 的部分,

2

(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

(2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

(I)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4),(xy y x f =为x 的奇函数, 于是

04

=⎰⎰D

d xy σ;

(II)由于

}|),{(222R y x y x D ≤+=关于

x

轴对称,且

222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--⎰⎰D

d y x R y σ;

(III)由于}|),{(2

2

2

R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2

231cos ),(y x x

y y x f ++=

为y 的奇函数,于是01cos 2

23=++⎰⎰D

d y x x

y σ.

3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)⎰⎰+=

D

d y x I σ21)(与⎰⎰+=D

d y x I σ3

2)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成;

解：由于在D 内,10<+

3)()(0y x y x +<+<,所以

1232)()(I d y x d y x I D

D

=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.

(2)⎰⎰+=

D

d y x I σ)ln(1与⎰⎰+=D

d y x I σ2

2

)][ln(,

其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

3

解：由于在D 内,63<+<+y x ,2)][ln()ln(y x y x +<+,所以

221)][ln()ln(I d y x d y x I D

D

=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.

4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值： (1)⎰⎰++=

D

d y x xy I σ)1(,

其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ；

解：由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0<++

1628)1(200=⨯<++<⨯=⎰⎰D

d y x xy σ.

(2)⎰⎰++=

D

d y x I σ)94(22, 其中}4|),{(22≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为π4,且在D 内,

25313949222≤+≤++≤y y x ,那么

ππσππ100425)94(493622=⨯<++<⨯=⎰⎰D

d y x .

(3)⎰⎰++=D

y x d I 22cos cos 100σ

, 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为200,且在D 内, 100

1

cos cos 1001102122≤

++≤y x ,那么 2100

200

cos cos 100102200511002

2=<++<⎰⎰D y x d σ＝.

4

习题9-2

1、计算下列二重积分： (1)

⎰⎰+D

d y x σ)(22,其中D 是矩形区域: 1||,1||≤≤y x ； 解：

38)31(2)()(112

11112222=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dx x dy y x dx d y x D

σ. (2)

⎰⎰+D

y x

d xy

e σ2

2

,其中},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=；

解：

⎰⎰⎰⎰⎰-==++b a x c d b

a

d

c

y x D

dx xe e e dy xye

dx d y x

2

222

2)(2

1)()(2

2

σ.

))((4

12222

c d a b e e e e --=. (3)

⎰⎰+D

d y x σ)23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域；

解：3

20)224()23()23(2

22

20

=

-+=+=

+⎰⎰

⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx d y x x D

σ. (4)

⎰⎰+D

d y x x σ)cos(,其中D 是顶点分别为)0,(),0,0(π和),(ππ的三角形

闭区域. 解：

πσπ

π

23

)sin 2(sin )cos()cos(000-=-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dx x x x dy y x x dx d y x x x

D

.

2、画出积分区域,并计算下列二重积分： (1)

⎰⎰

D

d y x σ,其中D 是由两条抛物线2

,x y x y ==所围成的闭区域；