第五章应力状态和应变状态分析

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应力及应变状态

斜切微分面上的应力
19Βιβλιοθήκη 一、一点附近应力表示法4. 主应力和应力不变量已知单元体的应力状态为：
és x t xy t xz ù és x t xy t xz ù ê ú ê ú s ij = êt yx s y t yz ú = ê s y t yz ú êt zx t zy s z ú ê sz ú û ë û ë
s 1 = s 0 × cos a
F
单向拉伸时轴向应力随截面方位变化
16
外载荷不变的情况下，应力的数值取决于其所作用平面的方位。
一、一点附近应力表示法
3. 直角坐标系下一点的应力状态
s ij =
és x t xy t xz ù êyx s y t yz ú t êt yx s y t yz ú êt zx t zy s z ú ë û
应力状态和应变状态分析
内容
l塑性加工应力分析 — 一点附近应力表示方法 l平衡微分方程 l塑性加工应变分析 --- 点的应变状态分析
2
F
预测金属变形？载荷？缺陷？应力和应变分析变形区域内接触应力变形力F
平衡方程 Forging F 塑性条件物理方程几何方程边界条件
Extrusion
三维空间问题（十三个未知数，十三个方程）轴对称问题（九个未知数，九个方程）平面问题 3 （三个未知数，三个方程）
一、一点附近应力表示法
1.基本概念
外力：外部施加作用在物体上的力。（接触力，摩擦力，重力等）内力：外力作用下，物体各点之间产生相互作用的力。应力：变形体中单位面积上的内力。
4
一、一点附近应力表示法外力分析
正压力—工具与工件接触面上的垂直作用力

材料力学性能第五章缺口试样的力学性能.

6.1.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论
设想有一单位厚度的无限宽形板，对其施加一拉应力后，与外界隔绝能源。在板内制造一穿透裂纹，裂纹的扩张来自与系统内部的弹性能释放。当裂纹扩张时，其表面能增加了。
u uE us
系弹统性总应能变
表面能
能
《材料力学性能》第六章断裂韧性基础
冷脆：材料因温度的降低导致冲击韧性的急剧下降并引起脆性破坏的现象
《材料力学性能》第五章缺口试样的力学性能
5.4.1 系列温度冲击试验
试验表明：随着温度降低，冲击功由高阶能转变为低阶能，材料由韧性断裂过渡到脆性断裂，断口形式也由纤维状断口经过混合断口过渡为结晶状断口，断裂性质由微孔聚集型断裂过渡为解理断裂。
定义： G u ( 2a2 ) 2a (2a) (2a) E E
G是弹性应变能的释放率或者裂纹扩展力。
《材料力学性能》第六章断裂韧性基础
恒位移条件：裂纹扩展释放出的弹性能是三角形 OAC的面积。
恒载荷条件：外力做的功一半用于弹性能的增加，一半用于裂纹扩展裂纹扩展释所需的弹性能是三角形OAC的面积。
以 a 代替 2E a
1
1

2
2
1,

E
2

a
Griffith 公式
《材料力学性能》第六章断裂韧性基础
6.1.3 奥罗万(Orowan)的修正
Griffith研究的对象主要是玻璃这类很脆的材料，对于大多数金属材料，虽然裂纹尖端由于应力集中作用，局部应力很高，但是一旦超过材料的屈服强度，就会发生塑性变形。在裂纹尖端有一塑性区，材料的塑性越好强度越低，产生的塑性区尺寸就越大。裂纹扩展必须首先通过塑性区，裂纹扩展功主要耗费在塑性变形上，金属材料和陶瓷的断裂过程不同，主要区别也在这里。由此，奥罗万修正了格里菲斯的断裂公式，得出：

塑性理论第五章应变分析

u y x
dx
u y y
dy
u y z
dz
x
uz
'
uz
(x
dx,
y
dy,
z
dz)
uz (x,
y, z)
uz x
dx
uz y
dy
uz z
dz
z
ui
M
' 1
ui ui
M1
uz
M(xi)
uy
ux
0
u
' z
u'
M (x dxi )
y
u
' x
y
变形体内无限接近两点的位移分量
——M’点位移到M’1点
z
第五章应变分析
radius 3/8 in.
diameter, 0.5 in.
diameter, 0.75 in.
gauge length, 2 in.
reduced section, 2.25 in.
主要内容
5.1 应变的基本概念 5.2 几何方程 5.3 一点附近的应变分析 5.4 主应变、应变张量不变量 5.5 主剪应变，最大剪应变５.6 应变速率 5.7 变形表示法 5.8 应力一应变曲线 5·9 变形体模型 5.10 变形协调方程 5.11 平面变形问题和轴对称问题
crack propagation
(in shear)
单元体均匀变形：直线—→直线，平行—→平行
小变形：
大变形：
103 ~ 102
102 ~ 101
例：将矩形六面体在千锤下进行撤粗，其塑性变形前后物体的形状：
图矩形件塑性变形前后形状
第一类变形：诸棱边的相对变化，其下标表示伸长的方向或与棱边平行的轴向。

应力分析的基本知识

5、了解三组特殊方向面与三向应力状态应力圆，掌握一点处的最大正应力、最大切应力的计算。

6、掌握广义虎克定律及其应用。

7、了解应变能密度、体积改变能密度与畸变能密度的概念和计算。

重点、难点重点：一点处应力状态的概念、描述与研究目的；平面应力状态的应力坐标变换式与应力圆，主应力、主方向与面内最大切应力；广义虎克定律及其应用。

难点：对构件内危险点处的最大切应力（）、第一主方向与最大切应力及其作用方位客观存在的理解。

广义虎克定律的应用（解决应力分析与应变分析的工程实际问题）教学方法安排三次课堂讨论：1、材料破坏与应力状态的关系：塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的破坏形式为什么不同？塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的机械性能（屈服滑移线、颈缩、断口等）2、应力圆是否描述了一点的应力状态，包含了一点应力状态的各种信息？3、如何应用广义虎克定律解决应力分析和应变分析问题？课外作业第五章应力状态分析前面两章的分析结果表明，一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。

本章还将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。

因此，当提及应力时，必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面"上的应力。

此即"应力的点和面的概念"。

所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。

应力状态分析是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。

与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微段杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的微元局部。

此外，本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分析和思考问题的一种手段，快速而有效地处理一些较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。

§5-1一点处应力状态描述及其分类对于受力的弹性物体中的任意点，为了描述其应力状态，一般是围绕这一点作一个微六面体，当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点。

材料力学一

第三节杆件变形的基本形式
杆的基本变形可分为：轴向拉伸或压缩 : 直杆受到一对大小相等、方向相反、
作用线与轴线重合的外力作用时，杆件的变形主要是
轴线方向的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压
缩.
F
F
F
F
剪切:杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线相互平行且相距很近的外力作用时，杆件的变形主要是两部分沿外力作用方向发生料的机械性能测定（力和变形的关系，
强度指标等〕
2、验证理论和假设
3、实测：对复杂的结构、载荷难以估计的以
及检验设计要求，需要借助于试验来完成。
材料力学是固体力学的一个有机组成部分，是研
究变形固体的第一门课程，在基本概念、基本理论和基本方法等方面为结构力学、弹性力学等奠定了基础；同时也是机械设计、结构设计等课程的先导课程，是工程技术人员必备的基础知识，
在材料力学中则对变形固体作如下假设：
1.连续性假设。假设物质毫无空隙地充满了整个固体。可
把某些力学量用坐标的连续函数来表示。
2.均匀性假设。假设固体内各处的力学性能完全相同。将
物体性能看作各组成部分性能的统计平均量，物体的任一部分的力学性能都与整体的力学性能相同。
3.各向同性假设。假设固体在各个方向的力学性能完全相
同-----各向同性材料，如铸钢、铸铁、玻璃、塑料等，还有些材料在不同的方向具有不同的力学性能，称为各向异性
材料，如木材，还有正交各向异性材料，如胶合板等。
4.小变形假设。如果固体的变形较之其尺寸小得多，这种
变形称为小变形。研究物体的静力平衡时，可略去这种小变形，按原始尺寸计算，在分析物体的变形规律时，不能忽略。
材料力学
第一章绪论第二章杆件的内力分析第三章杆件横截面上的应力应变分析第四章杆件的变形计算第五章应力状态和应变状态分析第六章材料力学性能及实验应力分析基础第七章压杆稳定第八章杆类构件静力学设计 *第九章能量方法初步第十章简单静不定问题 *第十一章动荷载第十二章交变应力附录Ⅰ 平面图形几何性质

应力和应变状态

由应力圆可计算出： 1 5P， 2 P
例3 已知受力构件的A点处于平面应力状态，过A点两斜截面上的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应力。
解：
1 OA1 232.5MPa
3 OB1 107.5MPa
100
max 170MPa R
四、三向应力状态和最大剪应力
若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力；各方向的主应变为：
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
2 1 2
3 3 1
各平面的剪应变为零
12 23 31 0.
例1、测得A点处的x=400×10-6，y=-120×10-6 （）。已知： E=200GPa，=0.3，求A点在x和y方向上的正应力。
3）夹角关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。
3.应力圆的应用:
1）确定单元体上任一斜截面上的正应力σα、剪应力τα；
2）确定两个主应力的大小和方位；
3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；
例1 σx=60MPa,τxy=20.6MPa ,σy= 0 , 用图解法求： 1）该点的主应力和主平面的方位； 2）求与轴线方向成-450的应力σ-450、τ -450 ？
100 (80) sin 600 40cos600 2
97.64(MPa)
4）计算σmax、σmin及主平面方位角
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
10888.5.（5 MPa）
1 108 .5, 2 0, 3 88.5
t g20
2xy x y

第五章：屈服准则与塑性应力应变关系

2
OP (1, 2 , 3 )
P点向OE投影，投影点N，则OP：。
O
OP ON NP
1
ON ( m , m , m )
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
所以：
3
P
N
E
NP ( 1 , 2 , 3 ) ( m , m , m ) ( 1 m , 2 m , 3 m ) ( '1 , '2 , '3 )
f ( J 2 , J3 ) C
对拉压性能相同时，以f()是J3的偶函数。注意：屈服准则方程也是进入塑性后应力需要准则。因为塑性行为的复杂性，对材料的单向应力状态下，应力应变关系作以下几种模型的假定，本教材主要用前两种：
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.1 屈服准则概念
屈服准则、屈服条件，描述材料从弹性进入塑性并使塑性变形继续的条件。对于单向应力采用：
s
作为屈服准则。但是对于复合应力状态，屈服准则与应力状态有关，屈服准则为：
f ( x , y , z , xy , yz , zx ) C
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
屈服函数表现出几何图形，对了解其性质和两种屈服准则的比较有积极作用。屈服函数是一曲面，首先看二维应力，即： 3 0
Mises屈服函数：
2 12 1 2 2 s2
为一椭圆。 Treasca屈服函数：
1 2 s 2 3 s 3 1 s
代表应力偏量。如果P应力状态代表塑性变形，对于Mises屈服准则：

chap05-2 应力与应变

纯剪切：
一种均匀共轴变形，应变椭球体中主轴质点线在变形前后保持不变且具有同一方位。
简单剪切：一种无体应变的均匀非共轴变形，由物体质
点沿彼此平行的方向相对滑动形成。
简单剪切视频
2020/6/12
40
简单剪切特点：
１、与剪切方向平行的方向上无线应变，三维上剪切面上无应变，故此简单剪切属于平面应变。
2020/6/12
10
= a+
= 1cos2a + 2cos2
= 1cos2a + 2cos2（a+900 ）
1 2 1 2 Cos2a
2
2
t ta t
t
1 Sin2a 2 Sin2a
2
2
1 2 Sin2a
2
2
0
提示
2020/6/12
P ( , t )
2a 1
11
第五章应力与应变
1. 你是如何理解应力、正应力、主应力的？
2. 单轴应力状态下，当假想面的延伸方向与作用力方向平行时，应力=？在双轴应力状态下又是何种情况？
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9
应力：单位面积上所受的内力，主要用来表示内力的强度。
正应力：垂直于截面的应力。
主应力：当截面上只有正应力而无剪应力时，这个截面上的正应力叫主应力。
伸缩面或不变歪面。
圆截面半径与变形前不等，该截面称为等伸缩面或均匀变歪面。
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28
圆截面与X轴（A 轴或λ1)的夹角随着变形程度不同而
不同。
当应变无限小时，夹角为45度。
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29
旋转和非旋转变形
根据应变椭球体主轴方向物质线方位改变与否，把变

《应力状态分析》课件

意义
揭示了物体在受力状态下内部应力的分布规律，为分析强度、刚度和稳定性问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的正应力作用，即平面应力状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的的正应力作用，即空间应力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢量在空间位置和方向上的分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力状态由三个正交的主应力及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对每个单元进行受力分析，再通过单元的集合得到整体的平衡方程，求解得到各点的应力分量。适用于复杂几何形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关系，从而反推出物体的应力状态。适用于无法通过理论分析求解的复杂问题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。

材料加工原理第5章-材料加工的力学基础

xy yx； yz zy； zx xz
9个应力分量中只有6个是互相独立的，它们组成对称的应力张量。
x yx zx
xy y zy
xz yz z
作用在 x 面上作用在 y 面上作用在 z 面上作用方向为 z 作用方向为 y 作用方向为 x
（14-13）
其中
J1 x y z
2 2 2 J 2 ( x y y z z x ) xy yz zx 2 2 2 J 3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy )
金属塑性成形的主要方法
应用：
轧制、挤压、拉拔 —— 金属型材、板材、管材、线材等；自由锻、模锻 —— 承受重载的机械零件，如机器主轴、重要齿轮、连杆等；板料冲压 —— 汽车制造、电器、仪表及日用品。
金属塑性成形基本假设
由于金属塑性成形非常复杂，数学与力学的处理非常困难，因此需要做一些假设和近似处理：
例题解答
对于 ij
1
同理，对于
J1
2 ij
J1 a b 0 a b
a 0 b 0 0 0 J2 ab 0 b 0 0 0 a
a 0 0
ab ab 0 ab 2 2 a b a b ab 0 0 2 0 2 J2 2 a b ab 0 a b a b 0 0 2 2 2
利用应力张量的三个不变量，可以判别应力状态的异同。
例题
试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
a 0 0 1 ij 0 b 0 0 0 0

材料力学-应力状态与应变状态分析

s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义虎克定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz

材料力学复习题cllx

第二章杆件的内力分析1、梁弯曲时，凡剪力对梁内任一点的力矩是____ __转向的为正。

2、梁弯曲时，凡弯矩使所取梁段产生______ ____变形的为正。

3、梁在某截面处剪力为零，则该截面处弯矩有_________值。

4、同一根梁采用不同的坐标系（如右手坐标系与左手坐标系）时，则对指定截面求得的剪力和弯矩将；两种坐标系所得的剪力方程和弯矩方程是的；由剪力、弯矩方程绘制的剪力、弯矩图是的。

5、若简支梁上的均布荷载用静力等效的集中力来代替，则梁的支反力值将与原梁的支反力值，而梁的最大弯矩值将原梁的最大弯矩值。

6、根据q与剪力、弯矩间的微分关系，若梁段上有均布荷载q作用，则该梁段的剪力图为一条，弯矩图为一条；若剪力图数值由正到负或由负到正经过零处，则弯矩图在该处具有第三章杆件横截面上的应力应变分析1、截面上任一点处的全应力一般可分解为方向和方向的分量。

前者称为该点的，用符号表示；后者称为该点的，用符号表示。

2、横截面面积为A的等直杆两端受轴向拉力F时，杆件内最大正应力为，发生在面上，该截面上的切应力为；最大切应力为，发生在面上，该截面上的正应力为；任意两个相互垂直的斜截面上的正应力之和都等于。

3、各向同性材料有个弹性常数，它们分别是，它们之间的关系是。

因此，各向同性材料独立的弹性常数是个。

4、内、外直径分别为d和D的空心圆轴，则横截面的极惯性矩表达式为____________。

5、变速箱中的高速轴一般较细，低速轴较粗，这是因为6、纯弯曲是指________________ ________。

7、应用叠加原理分析组合变形杆内的应力，应满足的条件为：(1)_________________________ ; (2)_________________ 。

8、当梁只受集中力和集中力偶作用时，最大剪力必发生在。

9、称为切应力互等定理。

10、梁在横向力作用下发生平面弯曲时，横截面上的最大正应力发生在，最大切应力发生在。

工程力学-应力状态与应力状态分析

8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。

（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变12122x y xyx y()tg εεεεγϕεε⎡=+±⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。

”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。

图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。

再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。

截取出的单元体如图8.1(d)所示。

(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。

工程力学材料力学之应力应变状态分析

工程力学材料力学之应力应变状态分析
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0

7__应力状态及应变状态分析

确定构件上的危险点及危险方向
7.2 平面应力状态分析－－－－解析法
平面一般应力状态，即空间应力状态中，z方向的应力分量全部为零；或只存在作用于x-y平面内的应力分量。
y
y
7.2.1平面一般应力状态斜截面上应力
斜截面平行于z轴且与x面成倾角，由力的平衡条件可求得斜截面上应力σ ，τ 。
x
y
t 0
( x - y )sin cos + x (cos - sin )
2 2
1 ( x - y ) sin 2 + x cos 2 2
例一单元体如图所示，试求在 = 30的斜截面上的应力。
x 10 MPa, y 30 MPa , x 20 MPa, y -20 MPa, 30
２．一点处的应力状态：是指通过一点不同截面上的应力情况的集合。
二、单元体分析法
一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。
轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。
特点：
1、微元体三个方向的尺寸均无穷小；
2、每个面上的应力是均匀的；
3、微元体内相互平行的截面上，应力相同； 4、互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
7 应力状态及应变状态分析
7.1 应力状态概述
一、一点的应力状态
1．凡提到“应力”，必须指明：
在哪一点；在哪个面；在哪个方向。
7.1 应力状态概述
一、一点的应力状态
1．凡提到“应力”，必须指明：
在哪一点；在哪个面；在哪个方向。
目的：判断受力构件在那个点，那个方向最危险，以便解决构件在复杂受力情况下的强度问题。

应力状态图和应变状态图

3
2
1 约定： 1 2 3
应力状态图和应变状态图
一、应力状态图
主应力表示的应力状态
可能的主应力状态
6.在各种受力情况下，可能的主应力状态图共有九种：
一种零应力状态、二种线性应力状态、三种平面应力状态、四种立

体应力状态。
应力状态图和应变状态图
二、塑性变形体积不变定律
1.定律的应用：它可以应用于计算毛料尺寸，也可以用于塑性理论的各种计算，并用来判断应变状态。
z
z
zx zy
xz yz
x x
xy
yx
y y
应力状态图和应变状态图
一、应力状态图
3.主平面:只有正应力而无剪应力存在的坐标面称为主平面。
4.点的主应力状态图:是表示所研究的点，在各主轴方向上，有无主应力及其主应力性质的定性图形。
5.主应力性质:是指拉或压应力，通常规定，拉应力为正，其箭头向外；压应力为负，其箭头指向内。
主应变状态图
2.根据塑性变形体积不变定律方程可得如下结论
（1）主应变状态图只存在三种形式。
（2）无论何种应变状态，总有一个主应变的符号与其他两个主应变
的符号相反，且其绝对值最大。
谢谢观看！
应力状态图和应变状态图
1
应力状态图
2
塑性变形体积不变定律
3
最小阻力定律
4
应变状态图
应力状态图和应变状态图
一、应力状态图
1.点的应力状态:是指物体内的任意一个质点附近不同方位上所承受的应力情况。
（实心截面）
T
Ip
应力状态图和应变状态图
一、应力状态图
2.应力状态图:在立方体的三个互相垂直的截面上，用箭头定性地表示有无应力及应力方向的图形，称为应力状态图。

应力状态与应变状态分析

概念
应变状态分析对应力状态分析起到补充作用，特别是在复杂受力情况下，能够更准确地描述物体的变形行为。
应变状态的分类
单轴应变
物体在单向受力过程中发生的应变，只有一个方向的长度变化。
双轴应变
物体在双向受力过程中发生的应变，长度变化发生在两个相互垂直的方向上。
三轴应变
物体在三向受力过程中发生的应变，长度变化发生在三个相互垂直的方向上。
塑性变形
在某些高应力状态下，材料可能会发生塑性变形，影响其机械性能和稳定性。
断裂韧性
材料的断裂韧性可能会受到其内部应力的影响，高应力状态可能降低材料的断裂韧性，导致材料更容易断裂。
02
应变状态分析
定义与概念
定义
应变状态分析是研究物体在受力过程中内部应变的分布和变化情况，以及应变与应力之间的关系。
详细描述
在塑性行为下，材料发生屈服，即应力达到某一特定值后，应变开始急剧增加。这种行为通常发生在材料承受的应力高于其屈曲点时。
脆性行为
总结词
当材料受到外力作用时，它可能会突然断裂，而不会发生显著的形变。
详细描述
在脆性行为下，材料在较低的应力状态下就会断裂，且断裂前几乎没有明显的塑性变形。这种行为常见于某些脆性材料，如玻璃或陶瓷。
弹性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变，但当外力去除后，材料能够完全恢复其原始形状和尺寸。
详细描述
在弹性行为下，材料的应力和应变之间呈线性关系，即应力与应变成正比。这种行为通常发生在材料承受的应力低于其屈服点时。
塑性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变，并且当外力去除后，材料不能完全恢复其原始形状和尺寸。

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确定两个互相垂直的平面，分别作用最大和最小切
应力。

切应力的最大和最小值为

m
ax

min

x

2
y
2

2 x
tan 20

1 tan 21
21

2 0

2
1

0

4
即最大主应力平面逆时针转45°为最大切应力平面。
三、两相互垂直面上应力的关系
最大及最小正应力为
max

min

x
y
2

2
x y
2

2 x
此即二向应力状态求主应力的公式。
tan 20 2 x
x y
令σx为两个主应力中代数值较大的一个，即σx> σy ，则绝对值较小α0的所确定的平面对应最大正应力σmax ，较大的对应最小正应力σmin 。 α0从x轴正向量起逆时针为正。
用完全相似的方法，可以确定最大和最小切应力以及它
们所在的平面。 d d
( x
y ) cos2 2 x sin 2
d / d 0 ( x y ) cos 21 2 x sin 21 0
tan
21

x 2 x
y
由式可求出两个角度α1，它们相差90°，从而可以
(17.32 20)MPa 37.32 MPa
(2)求主应力大小及方位

m m
ax in

x
y
2

x

2
y
2

2 x
[100 60
τ

τ
dy τ
τ
z
dz x
dx

A
F
D
τ
C
E
l/2 B l/2

Cτ

τD

τ

τ

Eτ
1
C
3

3
1

A B
二、主平面与主应力
单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上
的正应力称为主应力。单元体最多有三对主平面及三个
主应力。主应力按代数值由大到小的顺序排列，用σ 1、 σ 2、σ 3表示，则有σ 1≥σ 2≥σ 3。
l+ -
Fab
l+ +
Bx FB
Fa l
第一节应力状态概念
一、单元体应力状态及其表示法构件受力后，构件内过某一点的各个截面上的应力情况的集合称为一点处的应力状态，简称一点的应力状态。单元体。假定：单元体各个面上的应力都是均匀分布的，且两个平行面上的应力大小相等。
F
K

K

T
γ
TR
F
y
三、应力状态的分类
把只有一个主应力不为零的应力状态称为单向应
力状态。两个主应力不为零时，称为二向应力状态，
也称为平面应力状态。当三个主应力都不为零时，则
称为三向应力状态。
3 2
1 A 1
2
3
第二节二向应力状态分析的解析法
一、截面上的应力
y
y

x
x
z
y y x
y
dy x
dz x
cos 2
x
sin 2

x
yபைடு நூலகம்
2
sin 2
x
cos 2
利用该公式可由已知应力σx、σy和τx计算任一方位截面上的应力σα和τα。
二、应力极值
斜截面上的正应力σα和切应力τα随截面方位角α的改变而变化，即σα和τα都是α的函数。
将式(5-1)对α求一阶导数，得
d d
dx y
x
x
y
y
n
x

x
x
x
x
y

y y
n
Fn 0, d A ( x d Acos ) cos ( x d Acos ) sin
( y d Asin ) sin ( y d Asin ) cos 0
Ft 0, d A ( x d Acos ) sin ( x d Acos ) cos
第五章应力状态和应变状态分析
受力构件不同截面处的内力、应
力不同，同一截面的不同点上的 y x
应力一般不相同。即使对同一点， A
若所取截面的方位不同，其应力也不相同。构件内一点处材料的 FA
a
F C
b l
破坏不仅与构件横截面上的应力 Fb
有关，还与过该点不同方位截面上的应力有关。

MPa）。试求：(1)ab斜截面上的正应力和切应力；
(2)主应力的大小及其所在截面的方位，并在单元体
上画出。 y
60 40
100

x
60
n 60
2 60
y
40
1
0 100 x
1
2
60
解：(1)求 ab斜截面上的正应力和切应力。取水平轴
为x轴，则根据正负号规定可知：
x 100 MPa, x 40 MPa, y 60 MPa, 30
若以β=α+90°代换公式(5-1)中的α，化简后得

x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
σα+σβ=σx+σy=σmax+σmin=常量
通过受力物体内一点，任意两相互垂直平面上的正应力之和为一常量。
以上对二向应力状态进行应力分析的方法---解析法
例5-1 单元体各面上的应力如图所示（应力单位为

2(
x

y
2
sin 2
x cos 2 )
令其等于零，

x

2
y
sin
2 0

x
cos 20

0
tan
2 0

x
2 x
y
由此式可求出相差90°的两个角
度α 0，它们确定两个相互垂直的平面，其中一个是最大正应力所在平
面，另一个是最小正应力所在平面
满足上式的角恰好使切应力等于零。也就是说，在切应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值，且它们就是主应力。
( y d Asin ) cos ( y d Asin ) sin 0
由切应力互等定理可知τx=τy，又
sin2 (1 cos 2) / 2 cos 2 (1 cos 2) / 2
2sincos sin2

x
y
2
x
y
2

x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
[100 60 100 60 cos(60) (40) sin(60)]MPa
2
2
(80 10 34.64)MPa 55.36MPa

x
y
2
sin 2
x
cos2
[100 60 sin(60) (40) cos(60)]MPa 2