多速率数字信号处理

数字信号探究性学习

--多速率数字信号处理

一、问题的提出

在一维信号处理中，有效地利用抽取和插值操作以便与有处理带宽要求的信号处理系统的采样率相一致，这就是所谓的多速率数字信号处理。在采样速率变化问题中，插值涉及到由滤波器引起上行采样，而抽取涉及到下行采样。本次探究性学习即是分析抽取和插值过程的频谱特性的变化，然后研究整数倍抽取和插值，并在此基础上进一步研究有理数因子速率转换，其中也有几个应用例子。二、对该问题的分析和具体实现（含程序及波形）

多速率数字信号处理共分为三个方面的问题：信号整数倍抽取，信号整数倍插值，以及信号有理数倍速率转换。以下将分别描述三个问题的原理和实现方法。

1、信号整数倍抽取

（1）抽取过程的时域描述

已知信号为x(n)，抽取因子为M，抽取后得到信号为y(n)，则整个信号抽取过程可表示为：y(n)= x(Mn)

带有M因子的抽取过程分为两个步骤：首先，x(n)与一个周期为M的采样脉冲序列相乘，即每M个点保留一个点，其余M-1个点全为0，以便得到采样信号w(n)；然后，去掉这些0点后得到一个低速率的信号y(n)，具体描述如下：给定输入信号x(n)，定义中间信号w(n)为：w(n)= x(n)

抽取后信号为：y(n)= w(Mn)

（2）抽取过程的频域描述

为分析抽取信号的频谱，需要计算中间信号w(n)的频谱。

抽取信号的频谱与原来信号的频谱有以下关系：首先X(w)作M-1次等间隔平移，其平移间隔为2π/M，然后做叠加平均得到W(w)；最后频谱拉伸M倍即可得到抽取信号的频谱。

（3）抽取过程的实际结构

如果输入信号的频谱大于π/M，那么W(w)将会混叠，会给抽取信号的频谱带来失真，因为抽取信号的采样速率不允许降到奈奎斯特采样速率以下，因此在抽取前应进行“反混淆”滤波，该低通滤波器的截止频率为π/M。

由图(1)可知：

图(1)

所以

令“反混叠”低通滤波器为理想滤波器，表示为：

那么

整个过程可描述为：信号X(w)通过低通滤波器H(w)（wc=π/M），然后伸长M倍即得抽取信号的频谱Y(w)。

MATLAB信号处理工具箱提供了抽取函数decimate用于信号整数倍抽取，其调用格式为：

y=decimate(x,M)

y=decimate(x,M,n)

y=decimate(x,M,’fir’)

y=decimate(x,M,n,’fir’)

其中y=decimate(x,M)将信号x的采样率降低为原来的1/M。在抽取前缺省地采用了8阶Chebyshev I型低通滤波器压缩频带；

y=decimate(x,M,n)指定所采用chbyshev I型低通滤波器的阶数，通常n<13；

y=decimate(x，M，`fir`)的30点滤波器来压缩频带；

y=decimate(x，M，n,`fir`)指定所使用FIR滤波器的点数；

以下为具体举例分析：

【例】线性调频信号采样频率

fs，采样点数为N=T*fs，现将其采样频率降为原来的1/2。

其MATLAB程序如下：

k=1;

T=4;

fc=k*T;

fs=4*fc;%(或是fs=2*fc)

Ts=1/fs;

N=T/Ts;

x=zeros(1,N); t=0:N-1;

x=cos(k*pi*(t*Ts).^2); subplot(2,2,1); stem(t*Ts,x); M=2;

y=decimate(x,M); tnew=0:N/M-1; subplot(2,2,3); stem(tnew*M*Ts,y); X=fft(x);

X=fftshift(X); subplot(2,2,2);

plot((t-N/2)*fs/N,abs(X)); Y=fft(y);

Y=fftshift(Y); subplot(2,2,4);

plot((tnew-N/M/2)*fs/N,abs(Y)); 输出结果如图（2），（3）

01234-1

-0.500.510

1

2

3

4

-1-0.500.51

1.5-4-2024

23456-2

-1012

012

34(2) fs=2fc

01234

-1

-0.500.5

10

1

2

3

4

-1-0.5

00.51

1.5-10-50510

05

10

15

-4

-2024

02

4

6

(3) fs=4fc

若原信号采样率为fs=4fc ，从图（3）中可看出抽取后K 采样率降为

仍然满足乃奎斯特准则，信号的频谱没有太大变化。

若原信号采样率为fs=2fc ，由图（2）可见，抽样后采样频率降为不满足乃奎斯特准则，信号频谱有较大变化，信号波形损失较大，由此可以看出信号采样会损失一定的信息。 2、信号整数倍插值 （1）插值过程的时域描述

已知信号为x （n ）,插值后得到的信号为u （n ），则整个信号抽取的过程可表示为

用图（4）说明由“填零”方式进行上行采样的过程，这里L=3。

(4)

（2）差值过程的频域描述

对填充的信号进行傅里叶变换，得到的信号u（n）的频谱为

由上式可知，以填充的信号频谱与经过频率压缩的输入信号频谱相关，它是原信号频谱的L倍压缩。

（3）插值过程的实际结构

在实际的插值过程中，“插零”后以填充的信号还要经过低通滤波，滤波的目的在于消除填零过程引起的“复制”。在时域中，可以将滤波操作看作为一个使得采样值被非零值代替的平滑运算。通常情况下信号u（n）通过低通滤波器H

（w），截止频率过程由图（5）表示。

(5)