第一章随机过程

第一章 随机过程

1.1 引言

对随机微分方程的研究所需要的随机过程的知识很多，因篇幅关系，只在本章中列出重要的、必备的相关知识和重要结论，这些知识主要包括：随机变量的概念及相关知识及条件期望；随机过程，特别是Markov 过程和Brown 运动的相关知识；随机微积分；Itô公式；一些重要不等式及随机比较定理。

本章的内容参考或转引自文献（Murry ，1998陈希孺，2003；林无烈2002；Mao ，1997；Mao ，2006胡适耕等，2007；王克，2010等），谨向相应的作者表示感谢。

1.2 随机变量

概率用于度量随机事件的可能性，某个随机试验的所有可能的所有可能的基本结果或基本随机事件ω所构成的集合记为Ω，称为样本空间。Ω的满足下面三个条件的子集族F 称为样本空间Ω的一个σ代数：

（1）F ∅∈

（2）若D F ∈，则其补集c

D D F =Ω-∈； （3）若(i 1,2,

)i D F ⊂=，则

1

i i D F ∞=∈。

F 中的元素称为Ω的F 可测集或随机事件。若C 是样本空间Ω的一个子集族，则存在一个Ω的包含C 的最小的σ代数，记为(C)σ，称为由C 生成的σ代数。由

n

的所有开

集所生成的σ代数称为Borel σ代数，记为n

B ，其中的元素称为

n

中的Borel 集。

定义在F 上的函数[]:0,1P F →称为可测空间(,F)Ω上的概率测度，如果它满足： （1）()1P Ω=；

（2）若(i 1,2,)i A F ∈=且(i j)i j A A ⋂=∅≠，则()11

i i i i P A P A ∞

∞==⎛⎫

= ⎪⎝⎭∑。

三元组(),F,P Ω称为概率空间。若一个概率空间的F 包含Ω的所有P 零外测集，也就是说，如果

()(){}*:inf ,0P G P F F F G F =∈⊂=，

则G F ⊂，此概率空间称为完备的。任何一个概率空间都可以通过把其所有P 零外测集加入F 中，并重新定义概率测度来完备化。本书总假设所涉及的概率空间为完备的。

若()A,B F ∈且()()

P 0B >，定义条件概率

()()

()

P A B P A B P B ⋂=

。

引理1.2.1（全概率公式） 如果()1A,B ,

,n B F ∈且

()1

,n k i j k B B B i j ==Ω⋂=∅≠，

()()01,,k P B k n >=，则有()()1

(A)n

k k k P P A B P B ==∑

引理1.2.2 （Bayes 公式） 如果()1A,B ,,n B F ∈且

()1

,n k i j k B B B i j ==Ω⋂=∅≠，

()()01,,k P B k n >=，则有()()()

()()

1

n n n n

i

i

i P B A P B P B A P A B P B ==

∑

定义在样本空间Ω上的F 可测的实值函数:X Ω→称为随机变量。类似地，定义在样本空间Ω上的m 维F 可测的向量值函数:m

X Ω→称为m 维随机向量，或

m

值随机

变量。

设X 是

m

值随机变量，则由集合族(){}

1m X B F B B -∈∈所生成的最小σ代数，称

为由X 生成的σ代数，记为()X σ。

随机事件族j B F ∈（j J ∈，其中J 是指标集）称为独立的，如果对任意有限个不同的指标1,

,k j j J ∈有()()()11j jk j jk P B B P B P B ⋂⋂=。

σ代数族j F （j J ∈，其中J 是指标集）称为独立的，如果对任意有限个不同的指标

1,

,k j j J ∈和任意的11,

,j j jk jk B F B F ∈∈有()()()11j jk j jk P B B P B P B ⋂

⋂=。

随机变量族()j Y j J ∈称为独立的，如果由它们所生成的σ代数族()

j Y σ（j J ∈）是独立的。

引理 1.2.3 （Borel-Cantelli 引理） 如果()1,2,

k B F k ∈=且()1

k k P B ∞

=<∞∑，则

10k i k i P B ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()1k k P B ∞==∞∑且{}k B 独立，则11k i k i P B ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭

。

也就是说，若

()1

k

k P B ∞

=<∞∑，则对几乎所有的ω∈Ω都存在一个随机整数()0k ω>，

使得当()k k ω>时，所有的随机事件k B 都不会发生。

如果随机变量X 关于概率测度P 可积，则积分

()()X dP ωωΩ

⎰称为随机变量Xr 均值

或数学期望，记为EX 。此时，该随机变量称为可积的。期望EX 显然可改写为

()1

EX XdP P Ω

=

Ω⎰，

这表明EX 正是X 在Ω上关于概率P 的加权平均，因而也称EX 为X 的均值或统计均值，设()()112,,

,,R T

d d X X X X L =∈Ω，则由EX XdP Ω

=⎰显然有

()12,,,T

d d EX EX EX EX R =∈。

受此启发，自然将期望概念扩展到()

1,dxm

ij X X L R ⎡⎤=∈Ω⎣⎦

，约定 dxm ij EX EX R ⎡⎤=∈⎣⎦

。 对随机变量X ，如果积分()2

E X EX -存在，则称之为随机变量X 的方差，记为DX 或 (X)Var 。()0p

E X

p >称为随机变量X 的p 阶矩。所有p 阶矩有限的m 维随机变量

所构成的空间记为()

,p m L R Ω。如果Y 也是实值随机变量，则积分

()()E X EX Y EY --⎡⎤⎣⎦

称为X 和Y 的协方差，记为(),Cov X Y 。

如果随机变量族()1,

,m j Y j =是独立的且它们的均值都存在，则有 ()()()

()12

12m m E YY Y E Y E Y E Y =；

若它们的方差都存在，则有

()()()()1212m m D Y Y Y D Y D Y D Y +++=++

+。

下面介绍有关矩的等式和极限式，设(

)2

,,,d

mxd

X Y L R

A R

∈Ω∈，则

()()()()()()()()()()cov ,cov ,,

cov ,;T T i j T T

i j X Y E XY EX EY X Y Var X E XX EX EX X X ⎧⎡⎤=-=⎪⎣⎦

⎨⎡⎤=-=⎪⎣⎦⎩

()()T Var AX AVar X A =