数列经典题型总结精品

合集下载

数列求和5种常考题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

数列求和5种常考题型总结【题型目录】题型一：分组求和法题型二：裂项相消法求和题型三：错位相减法求和题型四：先求和，再证不等式题型五：先放缩，再求和【典型例题】【例1】已知数列{}n a 的前n 项和1*44(N )33n n S n +=-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【例2】已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =且满足221122n n n n a a a a ++-=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足213n n S b +=.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若在k b 与1k b +之间依次插入数列{}n a 中的k 项构成新数列{}1122334564:,,,,,,,,,,n c b a b a a b a a a b ，求数列{}n c 中前40项的和40T .【例3】设n S 是各项为正的等比数列{}n a 的前n 项的和，且*2334N S a n ∈=，=，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 的任意k a 与1k a +项之间，都插入()*N k k ∈个相同的数()1kk -，组成数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项的和为n T ，求100T 的值．【题型专练】1.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若111a b ==，22331a b a b -=-=．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，请在①4713a a +=；②137,,a a a 成等比数列；③1065S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n b a -是公比为2的等比数列，13b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.4.已知等差数列{}n a 满足121,21n n a a a ==+，设2n an b =.(1)求{}n b 的通项公式，并证明数列{}n b 为等比数列；(2)将1b 插入12,a a 中，23,b b 插入23,a a 中，456,,b b b 插入34,a a 中，，依此规律得到新数列1122334564,,,,,,,,,,a b a b b a b b b a ，求该数列前20项的和.题型二：裂项相消法求和【例1】首项为4的等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，其中546S S S 、、成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；100【例2】已知数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和n S 满足2343n n n nS a S a =--．(1)求实数λ的值，使得{}2n S λ+是等比数列；(2)设13n n n n b S S +=，求数列{}2n b 的前n 项和．【解析】(1)当1n =时，111823a a a =-，11S a =，解得22118S a ==；当2n ≥时，把1n n n a S S -=-代入题设条件得:22198n n S S -=+，即()221191nn S S -+=+，很显然}{21n S +是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，∴1λ=；(2)由（1）知{}21n S +是首项为21190S +=≠，公比9q =的等比数列，所以291nnS =-，()()()()()()1211191919111188919919199111n nnnn n n n n n b ++++---⎛⎫==⨯=- ---⎝---⎭．故数列{}2n b 的前n 项和为：2221122334112111111111111891919191919191918891n n n n b b b ++⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=- ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭.【例3】数列{}n a 的前n 项和n S ，342n n S a =-.(1)求n a ；(2)令2log 1n n b a =，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T .）问的结论以及对数的运算性质，再利用裂项相消法进行求解【例4】（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知等差数列{}n a 的首项10a >，记数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，且数列为等差数列.(1)证明：数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列；(2)设数列11n n n a S a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()*N n T n ∈，求{}n T 的通项公式.【例5】已知数列{}n a 满足1n a +=11a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)1n c a a =+，n S 是数列{}n c 的前n 项和，求n S ．【题型专练】1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知53227S S S -=-，且12,1,a a -成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；2．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设4n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.3.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且1a ，2a ，6a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】(1)等差数列{}n a 中，324214a a a =+=，解得37a =，因1a ，2a ，6a 成等比数列，即2216a a a =，设{}n a 的公差为d ，于是得()()()277273d d d -=-+，整理得230d d -=，而0d ≠，解得3d =，所以()3332n a a n d n =+-=-.(2)由（1）知，()()1111()323133231n b n n n n ==--+-+，所以111111[(1)()()]34473231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+11(1)33131nn n =-=++.4.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，且13n n S a +=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n c 满足________，记n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：2n T <．从①211(1)(2)n n n n c a a a +++--=②221log n n n a c a ++=两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.【解析】(1)13n n S a +=- ①，当1n =时，123a a =-，24a ∴=；当2n ≥时，13n n S a -=-②①-②得，即12n n a a +=又2142a a =≠，∴数列{}n a 是从第2项起的等比数列，即当2n ≥时，2222n nn a a -=⋅=．1,1,2, 2.n n n a n =⎧∴=⎨≥⎩．(2)若选择①：()()()()()()2211111122211212212121222121n n n n n n n n n n n n a c a a ++++++++⋅⎛⎫====- ⎪--------⎝⎭，2231111111121212212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭．若选择②122n n n c ++=，则23134122222nn n n n T +++=++++ ③，34121341222222n n n n n T ++++=++++ ④，③-④得341212131112311212422224422n n n n n n n T ++-+++⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，14222n n n T ++∴=-<．5．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且()21n S n n =+，记221(1)nn n n na b a a +=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2021T .【解析】(1)()112n S n n =+，当1n =时，111212S =⨯⨯=；当2n ≥，n *∈N 时，()1112n S n n -=-，()()1111122n n n a S S n n n n n -=-=+--=.当1n =时也符合,()n a n n N *∴=∈.(2)()()()()()()221212111111111nn n n n n n n n n a n b a a n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪++++⎝⎭202111111111 (122)33420212022T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111112023=1 (1223342021202220222022)--++--+--=--=-.题型三：错位相减法求和【例1】已知数列{}n a 满足12a =，且11220n n n n a a a a +++⋅-=，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，n S 为{}n b 的前n 项和，满足14b a =，378S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设nnb C a =，记数列{}n C 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.【例2】已知各项均不为零的数列{}n a 满足()1212320n n n n n a a a a a ++++-+=，且11a =，23a =，设1n n nb a a +=-.(1)证明：{}n b 为等比数列；(2)求1n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【例3】已知数列{}n a 的首项*112,322,N n n a a a n n -==+≥∈.(1)求n a ；(2)记()3log 1n n n b a a =⋅+，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .【例4】已知各项为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，若()214n n S a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设3nn na b =，且数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：1n T <．【例5】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*22N n n S a n =-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令4n n b a n =-，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【题型专练】1．若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11a =且满足12(3,4,)2n n n a a a n --+==⋅⋅⋅．(1)求c 的值；(2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,121n n S a +=-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设(21)n n b n a =-,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若存在*n ∈N 且2n ≥,使得2(1)(1)(1)n T n n n λ-≤-+成立,求实数λ的最小值.3．已知数列{}n a 前n 项和为12,n S a =，且满足()*1,N 2n n S a n n +=+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()211n n b n a =--，求数列{}n b 的前n 项和n T .4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，()121n n a S +=+.(1)证明：{}n a 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，123n n a -=⨯（*n ∈N ）5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，426S =．正项等比数列{}n b 中，12b =，2312b b +=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】(1)31n a n =-，2nn b =，(2)()13428n n T n +=-+【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；（2）由错位相减法求解即可(1)设等差数列的公差为d ，由已知得，4342262d ⨯⨯+=，解得3d =，所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，即{}n a 的通项公式为31n a n =-；设正项等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，因为12b =，2312b b +=，所以()2212q q+=，所以260qq +-=，解得2q =或3q =-（负值舍去），所以2nn b =．(2)()312n n n a b n =-，所以()()1231225282342312n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以()()23412225282342312n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，相减得，()123412232323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅--()()211132122231212n n n -+⨯⨯-=⨯+---，所以()13428n n T n +=-+．题型四：先求和，再证不等式【例1】设n S 为数列{n a }的前n 项和，已知123n n S a a +=，且10a ≠．(1)证明：{n a }是等比数列；(2)若12341,21,a a a -+成等差数列，记32log 1n n b a =-，证明12231111n n b b b b b b ++++ ＜12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【例2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，___________，*n ∈N .在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.①22n n S a =-；②122222n n a a a n ++⋯⋯+=；③221232n n n a a a a +⋯⋯=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记(1)(1)n n a b a a =--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，1n kT n>-，求实数k 的取值范围.项和，再将不等式恒成立问题转化求函数的最值问【例3】（2022江西丰城九中高二阶段练习）等差数列{}n a 中，前三项分别为,2,54x x x -，前n 项和为n S ，且2550k S =.(1)求x 和k 的值；(2)求n T =1231111nS S S S ++++ (3)证明:n T 1<【例4】（2022·浙江·高二期末）已知数列{}n a 满足114a =，134n n a a +=-.(1)证明数列{}2n a -为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)设()()()113131nnn nn a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*n ∈N ，使n m T ≥，求m 的取值范围.【题型专练】1．已知数列{}n a 满足：()2222*12323N n a a a n a n n n ++++=+∈ .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和()*N n ∈，求证：24n S ≤<.2.（2022陕西安康市教学研究室高一期末）已知数列{}n a 满足12a =，1(2)2(1)n n n a n a ++=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：6n S <．3．已知数列{}n a 的首项13a =，()*1212,N n n a a n n -=+≥∈，()2log 1n n b a =+.(1)证明：{}1n a +为等比数列；(2)证明：1223111112n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)证明见解析4．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，342n n S a =-，(1)求数列{n a }的通项公式；(2)设33log 4n n a b =，n T 为数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.证明：12n T ≤<【答案】(1)143n n a -=⨯；(2)证明见解析.【分析】（1）利用,n n a S 关系及等比数列的定义求通项公式；，结合数列单调性即可证结论5.已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*N n ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b =，()132n n n b b a n -=+≥，（i ）证明：数列13nn b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（ii ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求380n n T n -⋅<-成立的n 的最小值.【答案】(1)()1*2·3n n a n -=∈N (2)（i ）证明见解析；（ii ）5【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求解；（2）11323n n n b b --=+⨯，两边除以13n -即可证明等差数列；利用错位相减法求n T ，解不等式即可求得n 的最小值.（1）31n n S =-，6．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n -+++-=- 且)*N n ∈，且24a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列()()1211n n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：132<≤n T .【答案】(1)()*2n n a n =∈N (2)证明见解析【分析】（1）将已知条件与1212n n a a a a ++++-=- 两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出n T 即可证明.（1）题型五：先放缩，再求和【例1】已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，，当2n ≥时，()21212n n n S nS n n --=+-．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求证：2222111123a a a a +++< ．【例2】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列{}n a 单调递增且12a >，前n 项和n S 满足2441n n S a n =+-，数列{}n b 满足212n n nb b b ++=，且123a a b +=，233b a +=.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)若1n c a b =，求证：123415n c c c c ++++< .【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()1202n n n a S S n -+=≥(1)求n a 和n S (2)求证：22221231124n S S S S n+++⋯+≤-．【例4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且214n n n S S a ++=+．(1)求n a ；(2)求证：121112111n a a a +++<+++ ．【答案】(1)()12n n a n -*=∈N (2)证明见解析【分析】（1）分析可知数列{}21k a -是首项为11a =，公比为4的等比数列，数列{}2k a 是首项为22a =，公比【题型专练】1.已知数列{}n a 满足：12a =，132n n a a +=-，n *∈N .(1)设1n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式；(2)设31323log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+，()n *∈N ，求证：()12n n n T ->.【答案】(1)13n n b -=(2)证明见解析2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 前n 项积为n T ，且*1()n n a T n +=∈N ．(1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)设22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，求证：112n n S a +>-．为以3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*322n n a S n n N =+∈.(1)证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和为n S ；(2)设()31log 1n n b a +=+，证明：222121111nb b b ++⋅⋅⋅+<.【解析】(1)当1n =时，11322a S =+，即12a =由322n n a S n =+，则()1132212n n a S n n --=+-≥两式相减可得13223n n n a a a -=+-，即132n n a a -=+所以()1131n n a a -+=+，即1131n n a a -+=+数列{}1n a +为等比数列则()112133n n n a -+=+⨯=，所以31n n a =-则()()1231333333132nn n n n n S +--=+++-==--L (2)()1313log 1log 31n n n b a n ++=+==+()()2211111111n b n n n n n =<=+++所以2221211111111111122311n b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L4．已知数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+,n S 是1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.(1)求n S ；(2)若n T 为数列2n S n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和，求证：232n n T n >>+.。

高考数列题型总结（优秀范文五篇）

高考数列题型总结（优秀范文五篇）第一篇：高考数列题型总结数列1.2.3.4.5.6.坐标系与参数方程 1.2.34..5.6.(1)(2)第二篇：数列综合题型总结数列求和1.（分组求和）(x-2)+(x2-2)+…+（xn-2）2.(裂相求和)++Λ+1⨯44⨯7(3n-2)(3n+1)3.（错位相减）135+2+3+222+2n-12n1⨯2+2⨯22+3⨯23+Λ+n⨯2n4.（倒写相加）1219984x)+f()+Λ+f()=x 求值设f(x），求f(1999199919994+25.（放缩法）求证：1+数列求通项6.（Sn与an的关系求通项）正数数列{an}，2Sn=an+1，求数列{an}的通项公式。

7．（递推公式变形求通项）已知数列{an }，满足，a1=1,8.累乘法an+1=5an求{an }的通项公式 5+an11++2232+1<2n2数列{an}中，a1=122，前n项的和Sn=nan，求an+1.2222a=S-S=na-(n-1)a⇒(n-1)a=(n-1)an-1 nnn-1nn-1n解：⇒∴∴an=ann-1=an-1n+1，anan-1a2n-1n-2111⋅Λ⋅a1=⋅Λ⨯=an-1an-2a1n+1n32n(n+1)an+1=1 (n+1)(n+2)9累加法第三篇：数列题型及解题方法归纳总结文德教育知识框架⎧列⎧数列的分类⎪数⎪⎪⎨数列的通项公式←函数⎪的概念角度理解⎪⎪⎩数列的递推关系⎪⎪⎧⎧等差数列的定义an-an-1=d(n≥2)⎪⎪⎪⎪⎪等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d⎪⎪⎪等差数列⎪⎨n⎪⎪⎪等差数列的求和公式Sn=2(a1+an)=na1+n(n-1)d⎪⎪⎪⎪⎪2⎪⎩等差数列的性质an+am=ap+aq(m+n=⎪⎪p+q)⎪两个基⎪⎧等比数列的定义an=q(n≥⎪本数列⎨⎪⎪a2)n-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪等比数列的通项公式an-1⎪n=a1q数列⎪⎪等比数列⎨⎨⎧a1-anq=aqn1(1-)⎪⎪⎪等比数列的求和公式S(q≠1)n=⎪⎨1-q1-q⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩na1(q=1)⎪⎪⎪⎩等比数列的性质anam=apaq(m+n=p+q)⎪⎩⎪⎧公式法⎪⎪分组求和⎪⎪⎪⎪错位相减求和⎪数列⎪⎪求和⎨裂项求和⎪⎪倒序相加求和⎪⎪⎪⎪累加累积⎪⎪⎩归纳猜想证明⎪⎪⎪数列的应用⎧分期付款⎨⎩⎩其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

数列的19种经典题型

数列的19种经典题型一、公差不等于零的等差数列1. 前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，Sn=n/2*(a1+an)；2. 等比数列的前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，若q为等比数列的公比，则Sn = a1(1-q^n)/(1-q)；3. 概率的前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，若q为概率的公比，则Sn = a1(1-q^n)/(1-q)；4. 等差数列的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn = a1*a2*…*an，若d为等差数列的公差，则Pn = (a1 + (n-1)*d) * (a1 + (n-2)*d) * … * a1；5. 等比数列的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn = a1*a2*…*an，若q为等比数列的公比，则Pn = a1 *q^(n-1) * q^(n-2) * … * a1；6. 概率的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn =a1*a2*…*an，若q为概率的公比，则Pn = a1 * q^(n-1) * q^(n-2) * … * a1；7. 等差数列的通项公式：若a1,a2,…,an为等差数列，若d为该数列的公差，则an = a1+(n-1)*d；列，若q为该数列的公比，则an = a1*q^(n-1)；9. 概率的通项公式：若a1,a2,…,an为概率的序列，若q为该数列的公比，则an = a1*q^(n-1)；10. 等差数列中某项的值：若a1,a2,…,an为等差数列，若d为该数列的公差，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。

11. 等比数列中某项的值：若a1,a2,…,an为等比数列，若q为该数列的公比，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。

12. 概率的某项的值：若a1,a2,…,an为概率的序列，若q为该数列的公比，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。

(经典)高中数学最全数列总结与题型精选

高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作a n ,在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号为 n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ；数列的一般形式：a1, a 2, a 3,……，……，简记作｛a n ｝。

(2)通项公式的定义：如果数列｛a n ｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 5.1111 1,—2 3 4 5说明:①｛a n ｝表示数列，斗表示数列中的第n 项，a n = f (n 庚示数列的通项公式; n-1,n =2k-1a n =（-1）n =n1,n=2k③不是每个数列都有通项公式。

例如， 1, 1.4, (3)数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N + (或它的有限子集)的函数 f (n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 f(1),f(2), f(3),……，f(n),…….通常用an 来代替f (n ),其图象是一群孤立点。

(4)数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1,0, 1,0, 1,0,…(4)a, a, a, a, a,…(5)数列｛a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系:二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第_2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母_d 表示。

数列经典题型总结

一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和例1(07高考山东文18)设｛a n ｝是公比大于1的等比数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和•已知S 3 7，且6 3,3a 2, a 3 4构成等差数列.(1) 求数列｛a n ｝的等差数列.(2) 令 b n In a 3n 1, n 1,2,L ，求数列｛b n ｝的前 n 项和 T .二、错位相减法例2( 07高考天津理 21)在数列 a n 中，a 1 2, a n 1其中 0 •(I)求数列 a n 的通项公式；(n)求数列 a n 的前n 项和S n ；例3 (07高考全国n 文 21 )设｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝是各项都为正数的等比数列，且 a 1 b 1 1 , a 3 b 5 21, b 3 13(I)求｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式；a(n)求数列 n 的前n 项和S n .b n 练习：设 S = 1+2+3+ …+n , n € N ,求 f (n )S n (n 32) S n 1 的最大值 a n n1 (2 )2n (n N ),、逆序相加法- 1•• 1 y 2)，若OP —(OR 0P 2),且点P 的横坐标为一•2 2(I )求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；(II )若 S n f(-) f (2) f (3) n n n 四、裂项求和法1 ii 例5 求数列 ------ -=,F ------ 一 ,, ---- ------- , 的前 n 项和.1 V2 42 V3 J n J n 1例6( 06高考湖北卷理 17)已知二次函数 y f (x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f '(x) 6x 2，数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，点(n ,S n )( n N)均在函数y f (x)的图像上。

(I)求数列｛a n ｝的通项公式；1 m(n)设b n, T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，求使得「对所有n N 都成a n a n 1 20 立的最小正整数 m ；五、分组求和法例 7 数列｛ a n ｝的前 n 项和 S n 2a n 1，数列｛b n ｝满 6 3, b n 1 a n b n (n N ) (I)证明数列｛ a n ｝为等比数列；(n)求数列｛b n ｝的前n 项和T n 。

(完整)数列题型及解题方法归纳总结,推荐文档

1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。

（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。

(word完整版)数列全部题型归纳(非常全面,经典),推荐文档

数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三）累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。

数列题型及解题方法归纳总结

数列题型及解题方法归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之差都相等的数列。

下面对等差数列的题型及解题方法进行归纳总结。

1. 求第n项的值设等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，则有公式：an = a + (n-1)d2. 求前n项和设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)3. 求公差已知等差数列的首项为a，第m项与第n项的和为s，则公差d的值可以通过以下公式计算得出：d = (sm - sn)/(m - n)4. 求项数已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = (an - a)/d + 15. 应用题解题思路在解等差数列应用题时，关键是要找到规律。

可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。

二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之比都相等的数列。

下面对等比数列的题型及解题方法进行归纳总结。

1. 求第n项的值设等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，则有公式：an = a * q^(n-1)2. 求前n项和（当公比q不等于1时）设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn，则有公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)3. 求前n项和（当公比q等于1时）当公比q等于1时，等比数列的前n项和为n * a。

4. 求公比已知等比数列的首项为a，第m项与第n项的比为r，则公比q的值可以通过以下公式计算得出：q = (an / am)^(1/(n-m))5. 求项数已知等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = log(an/a) / log(q)6. 应用题解题思路在解等比数列应用题时，关键是要找到规律。

可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。

三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第一、第二项为1，后续项为前两项之和的数列。

数列题型总结(全)

10、已知则的坐标是.
11、设平面内的向量点是直线上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及的余弦值。
12、设向量，，，，，与的夹角为，与的夹角为，且，求的值。
参考答案
二、1、1、 ∥ ，
2、(1) ．
= =
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ max= ．
(2)由已知，得．
一：定义法：
例：（1）设是等差数列，证明：数列（c>0, 是等比数列。（2）设是正项等比数列，证明
（c>0, 是等差数列。
变式一：数列的前n项和记为，已知（n=2,3,4…）,证明：数列是等比数列。
变式二：已知定义在R上的函数f(x)和数列满足下列条件：，，其中a为常数，k为非零实数。令是等比数列。
数列题型归纳（全）
题型一：求等差数列的公差或取值范围
例一：等差数列的前n项和，若 =4， =20，则该数列的公差d等于
变式一：等差数列中，，则该数列的的公差为
变式二：已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是
题型二：求等比数列的公比
例一：在等比数列中，，则公比q的值为
=
= ．
3、（1）
由得又
（2）由，得
又 =
所以， = 。
三、1—6 B D A D A A
7、. 8、 9、只要满足即可10、（5，2）或（-5，-2）
11、设点在直线上，与共线，而
即有 .
故当且仅当时，取得最小值，此时
于是
12、
变式一：设数列，都是等差数列，若
变式二：在等差数列中，已知，则该数列前11项和等于

数列常见题型及解题技巧

数列常见题型及解题技巧
数列常见题型及解题技巧
一、等差数列
1、求首项：求出首项a1可用公式：a1=Sn−n(d+a2)
2、求末项：求出末项an可用公式：an=Sn−n(d+a1)
3、求和：求出数列前n项和可用公式：Sn=n(a1+an)2
4、求通项公式：求出通项公式可用公式：an=a1+(n-1)d
5、求某项：求出第k项可用公式：ak=a1+(k-1)d
二、等比数列
1、求首项：求出首项a1可用公式：a1=Sn(qn−1)
2、求末项：求出末项an可用公式：an=a1qn−1
3、求和：求出数列前n项和可用公式：
Sn=a1(1−qn)1−q
4、求通项公式：求出通项公式可用公式：an=a1qn−1
5、求某项：求出第k项可用公式：ak=a1qk−1
三、复合数列
1、求和：求出数列前n项和可用公式：
Sn=a1+a2+…+an
2、求某项：求出第k项可用公式：ak=ak−1+ak
解题技巧：
1、利用性质转化：根据所给的条件，尝试将原数列转换成更简单的形式，如等差数列、等比数列或者复合数列。

2、利用关系性：通过对数列中一些特殊项的求出，可以确定整个数列的情况，比如求出第一项和最后一项，就可以确定数列的前n项和。

3、利用规律性：数列中的每一项都有一定的规律性，依靠这一点可以得到数列的通项公式，进而求出数列的其他项。

数列全部题型归纳(非常全面,经典!)(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a（三）累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式 (3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期 16 （1）121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠ （1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围 2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n na a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134nn n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式。

数列经典常考题型归纳

1 / 22.6.3复习：数列常考题型归纳学习目标通过典型例题总结归纳数列的常考题型重点难点重点：等差、等比数列的性质难点：等差等比综合运用学习过程一.课前准备n 项和公式及其性质.二.新课导学题型一：等差数列的基本量运算例1(1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6例2(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.题型二等差、等比数列的性质及应用例3(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝________.例4(1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________. (2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.题型三等差、等比数列的判定与证明例5已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列；例6已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．2 / 2题型四等差数列、等比数列的综合问题例7 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .题型五数列的通项与求和例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n .(1)证明：数列{a nn }是等比数列；(2)求通项a n 与前n 项的和S n .当堂检测1.若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．152.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ．483.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312 B ．31 C.314 D ．以上都不正确 5.(2014·天津)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．6.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________.7.在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________.8.设数列{a n }、{b n }都是正项等比数列，S n 、T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n2n ＋1，则log b 5a 5＝________. 9.在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝22n an ＋，求数列{b n }的前n 项和T n .自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差。

(完整版)数列全部题型归纳(非常全面,经典)

数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三）累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。

考向27 数列求和经典题型归纳(十二大经典题型)(原卷版)

考向27 数列求和经典题型归纳经典题型一：通项分析法经典题型二：公式法经典题型三：错位相减法经典题型四：分组求和法经典题型五：裂项相消法经典题型六：倒序相加法经典题型七：并项求和经典题型八：先放缩后裂项求和经典题型九：分段数列求和经典题型十：含绝对值、取整、取小数等数列求和经典题型十一：数列插项求和经典题型十二：数列奇偶项求和（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<．（2022·天津·高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=． (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．一．公式法（1）等差数列{}n a 的前n 项和11()(1)22++==+n n n a a n n S na d ，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列{}n a 的前n 项和111(1)11，，=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩n n na q S a q q q，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n 项和： ①112123(1)==++++=+∑nk k n n n ；122462(1)==++++=+∑nk k n n n②21(21)135(21)=-=++++-=∑n k k n n ； ③22222116123(1)(21)==++++=++∑nk k n n n n ；④3333321(1)2123[]=+=++++=∑nk n n k n二．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列{}n a 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）111(1)1=-++n n n n （2）1111()()=-++n n k k n n k（3）21111()4122121=---+n n n （4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦n n n n n n n（5）211111()(1)(1)(1)2(1)(1)==---+-+n n n n n n n n n（6）22111414(21)(21)⎡⎤=+⎢⎥-+-⎣⎦n n n n （7）314(1)(3)11114()()(1)(2)(3)(1)(2)(3)2312++-+==---++++++++++n n n n n n n n n n n n n（8）[]1(1)(1)(2)(1)(1).3+=++--+n n n n n n n n （9）[]1(1)(2)(1)(2)(3)(1)(1)(2)4++=+++--++n n n n n n n n n n n （10）1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦n n n n n n n n n n（11）2222211111)(()+=-++n n n n n （12）222211112)42)((⎡⎤+=-⎢⎥++⎣⎦n n n n n 积累裂项模型2：根式型（111=+++n n n n（21(=+++n k n kn k n（31(2121)22121=+--++n n n n（42211(1)11111(1)(1)1++++==+-+++n n n n n n n n （533322221121+++-+-+n n n n n 3333322233111(21121)+-+-++--+n nn n n n n n n（62(1)1(1)1(1)11(1)(1)+-++-+===++++⎡⎤+-+⎣⎦n n n n n n n n n n n n n n n n n n积累裂项模型3：指数型（1）11112(21)(21)11(21)(21)(21)(21)2121++++---==-------n n n n n n nn n （2）113111()(31)(31)23131++=-----n n n n n（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2-++-⎛⎫==-⋅=- ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）1111(41)31911333(2)2(2)22-+--⎛⎫⎡⎤-⋅=-⋅=- ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭n n n n n n n n n n n（5）11(21)(1)(1)(1)(1)++⋅---=-++n n n n n n n n （6）1 3-=⋅n n a n ，设1()3[(1)]3-=+--+⋅n n n a an b a n b ，易得11,24==-a b ，于是111(21)3(23)344-=---⋅n n n a n n（7）222111(1)2(1)(1)(42)2(1)(42)2(1)2(1)2(1)2+++-++++-++-++==⋅⋅+⋅+⋅+⎡⎤⎣⎦nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n1111(1)1111(1)(1)(1)()22(1)2222(1)2++++⎡⎤⎡⎤---=+-+=-+-⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⋅+⋅⎣⎦⎣⎦n n n n n n n n n n n n n n 积累裂项模型4：对数型 11log log log ++=-n a n aa a n na a a 积累裂项模型5：三角型（1）11(tan tan )cos cos sin()=--αβαβαβ（2）[]11tan(1)tan cos cos(1)sin1=+︒-︒︒+︒︒n n n n（3）1tan tan (tan tan )1tan()=---αβαβαβ（4）[]tan tan(1)tan tan(1);tan1tan (1)1tan tan(1)--=⋅-=--=+⋅-n n n a n n n n n ，则tan tan(1)tan tan(1)tan tan(1)1,1tan1tan1----⋅-=-=-n n n n n n n a积累裂项模型6：阶乘（1）1!(1)!1(1)!+=-+n n n n （2）2(2)(2)!(1)!(221111=-!(1)!!(2)!!(2)!2)++++++===++++++n n n n n n n n n n n n n 常见放缩公式：（1）()()21111211<=-≥--n n n n n n ；（2）()2111111>=-++n n n n n ；（3）2221441124412121⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭n n n n n ；（4）()()()11!111112!!!11+=⋅=⋅<<=-≥---rr n r r n T C r n r n r n r r r r r；（5）()1111111312231⎛⎫+<+++++< ⎪⨯⨯-⎝⎭nn n n；（6(()2121=<=--≥+-+n nn n n n n n ；（7(211=>=++++n n n n n n n ；（8222212111212122=<==--++-++-++n n nn nn n n n ；（9）()()()()()()()1211222211212121212122212121---=<==----------nn n n n n n n n n n n n()2≥n ；（10()()()()3211111111+--=<+---+-+⋅n n n n n n n n n n n n n()()1121111211⎡⎤++-⎢==+---+⎢-+⎣n n n n n n n n n n n ()2211<≥-+n n n ；（11()()()3221111-+--+-⋅+⋅n n n nn n n n nn n n n()()21211--=≥--n nn n nn n；（12）()()01211122221111111=<==--++-+++-n n n n n C C C n n n n ；（13）()()()111121122121212121---<=-≥-----n n n nn n n ．（14）21211112()2()+-+++--=<<=-n n n n n nnn n ．经典题型一：通项分析法1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））数列112，134，158，1716，，()1212n n -+，的前n 项和n S 的值等于_____________2．（2022·湖南·模拟预测）已知单调递减的正项数列{}n a ，2n ≥时满足()()()22111111210n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----+++-++=．112n a S =，为{}n a 前n 项和．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：11n S n >+3．（2022·全国·高三专题练习）求和()()()22122323322332322n n n n n S --=+++⋅++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+．4．数列9，99，999，⋯的前n 项和为( )A ．10(101)9nn -+ B ．101n - C ．10(101)9n- D ．10(101)9nn --经典题型二：公式法5．已知等差数列{}n a 中，29a =，521a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．6．如图，从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线x y e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ⋯；n P ，n Q ，记k P 点的坐标为(k x ，0)(1k =，2，⋯，)n ．（Ⅰ）试求k x 与1k x -的关系(2)k n ；（Ⅱ）求112233||||||||n n PQ P Q PQ P Q +++⋯+．经典题型三：错位相减法7．（2022·浙江·高三开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,1n n a S a +==-，数列{}n b 为等差数列，且4365231,7a b S b =+=. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)记nn n b c a=，求{}n c 的前n 项和为n T .8．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且38n n S a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n na 的前n 项和为n T ，证明：329n T <.9．（2022·河南·高三开学考试（文））在①121n n a a +=+；②122n n S n +=--；③2n n S a n =-，三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，______． (1)n a ；(2)设n n b na =求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．10．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）在数列{}n a 中，11111,1,421n n n n a a b a a +==-=-，其中N n *∈. (1)证明数列{}n b 是等差数列，并写出证明过程； (2)设122n nn b b c -=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；经典题型四：分组求和法11．（2022·河南省杞县高中高三开学考试（文））已知数列{}n a 满足213,21n n a a a +==+，设1n n b a =+.(1)证明：{}n b 是等比数列； (2)求13521n a a a a +++++.12．（2022·广东·高三开学考试）已知数列{}n a 满足13a =，22a =，21,213,2n n n a n k a a n k+-=-⎧=⎨=⎩.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项的和2n S .13．（2022·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =．若5a ，2a ，1a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知等比数列{}n a 的公比大于1，26a =，1320a a +=. (1)求{}n a 的通项公式； (2)若12331log log 22n n n n b a a a ++=+，求{}n b 的前n 项和n T .15．（2022·河南·高三开学考试（理））已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的公差为2d ，且13b =，36S =，73a b =． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设112nan n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n C ．经典题型五：裂项相消法16．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知数列{}n a 满足：()12121,3,21,n n n a a a a a n *++==+=+∈N ．(1)证明数列{}1n n a a +-为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式．(2)若524n n c a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，证明：121111nc c c +++<．17．（2022·黑龙江·高三开学考试）已知数列{}n a 的首项为1，满足3434a a a a -=，且2n na a +，21n n a a ++，1成等差数列. (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：1232343451214n n n a a a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.18．（2022·浙江·高三开学考试）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且21244,,,a a a a =成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，令1(1)n n n na b S +=-，求数列{}n b 的前2022项和.19．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1nn n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .20．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n -+++-=-且)*Nn ∈，且24a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列()()1211n n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：213n T <.21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，1436n n n a a S ++=+.(1)求n a ；(2)求数列()21n n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.22．（2022·河南·高三开学考试（文））已知数列{}n a 是递增的等差数列，3a 是1a 与11a 的等比中项，且25a =.若1n n n b a a +{}n b 的前n 项和n S =（） A 322n +B 352n +C 325n +D 355n +经典题型六：倒序相加法23．（2022·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对123100+++⋯⋯+的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数()22x x f x +{}n a 满足()121(0)(1)N n n a f f f f f n n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若12n n n b a +=，则{}n b 的前n 项和n S =_________．24．（2022·全国·高三专题练习）设函数()12ln xf x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______．25．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对123100++++的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数4()42xx f x =+，则1232018()()()()2019201920192019f f f f ++++等于（） A ．1008B ．1009C ．2018D ．201926．（2022·全国·高三专题练习）函数()ln f x x =，其中()()2f x f y +=，记()()()11*ln ln ln ln nn n nn S x x y xyy n N --=++++∈，则202211i iS==∑（）A ．20222023 B ．20232022 C ．20234044D ．40442023经典题型七：并项求和27．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足12(1)31n n n a a n +++-=-，前16项和为540，则2a =__．28．（2022·全国·高三专题练习（文））在等差数列{an }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{an cos nπ}的前2020项的和为（） A ．1009B ．1010C ．2019D ．202029．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为(1)sin 2n n a n n π=+⋅(n ∈+N )，其前n 项和为n S ，则8S =_______.30．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足120a a +=，(1)22(1)2n n n n a a +++-=，则数列{}n a 的前2020项的和为（）A ．0B ．1010C ．2020D ．202431．（2022·河北唐山·一模）已知数列{}n a 满足11a =-，()11112nn n a a n ++-=-，记数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求101S 的值；（2）求n S 的最大值.经典题型八：先放缩后裂项求和32．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，()1202n n n a S S n -+=≥(1)求n a 和 n S(2)求证：22221231124n S S S S n+++⋯+≤-．33．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 前n 项和为n S 满足12S =，()132n n S S n N *+=+∈.（1）求通项公式n a ；（2）设()n n n a S b n N *=∈，求证：1221 (32)n b b b n +++-≤.34．（2022·全国·高三专题练习）求证:11114313213217n -+++<+⨯+⋅+.经典题型九：分段数列求和35．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，令2n n b a =.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若222,2log log nn n n b n c n b b +⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前14项和.36．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，1,,2,.n n na n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (1)令2n nb a =，求1b ，2b 及{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .37．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,为奇数为偶数⎧=⎨⎩n n n S n n（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前20项和20T ．38．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和()2n S n n R λλ=+∈，且36a =，正项等比数列{}n b 满足：11b a =，2324b b a a +=+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2021n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .经典题型十：含绝对值、取整、取小数等数列求和 39．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列{}n a 满足222320nn a a n n--=（n *∈N ）. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令π3|sin |124n n a b =-，记{}n b 的前n 项和为n S ，求2021S .40．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和()2n S n n R λλ=+∈，且36a =，正项等比数列{}n b 满足：11b a =，2324b b a a +=+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2021n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .41．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，5(4)n S n n =+(1)求{}n a 的通项公式；(2)设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=．42．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（） A ．67B ．68C ．134D ．16743．（2022·上海中学高三期中）已知数列{}n x 满足00x =且112,k k x x k N *-+=+∈，则1232021++++x x x x 的最小值是___________．44．（2022·全国·高三专题练习）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]2=，[]1.52-=-在数列{}n a 中，[]lg ,n a n n N +=∈，记n T 为数列{}n a 的前n 项和，则2021T = ___________. 45．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列24nn a n =-，则数列{}n a 的前n 项和n S =___________.经典题型十一：数列插项求和46．（2022·广东广州·高三开学考试）已知集合{}21,A x x n n *==-∈N ，{}=3,n B x x n *=∈N ，将A 与B 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{}n a （若有相同元素，按重复方式计入排列）为1，3，3，5，7，9，9，11，….,设数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)若27m a =，求m 的值； (2)求50S 的值.47．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为2n a n =，2n n b =，现从数列{}n a 中剔除{}n a 与{}n b 的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列{}n c ，则数列{}n c 的前150项之和为（） A ．23804B ．23946C ．24100D ．2461248．（2022·全国·高三专题练习）“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，，则下列说法中，正确的是（） A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9832410⋅+C ．“提丢斯数列”前31项和为30321211010⋅+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项经典题型十二：数列奇偶项求和49．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，22424a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求122021b b b ++⋅⋅⋅+.50．（2022·广东佛山·三模）设各项非零的数列{}n a 的前n 项和记为n S ，记123n n T S S S S =⋅⋅⋅⋅⋅，且满足220n n n n S T S T --=．(1)求1T 的值，证明数列{}n T 为等差数列并求{}n T 的通项公式；(2)设(1)nn nc na -=，求数列{}n c 的前n 项和n K ．51．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，15a =，且()*121n n a a n N +=-∈.(1)证明：{}1n a -为等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .52．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足15a =，214321n n a a n n +=-++.(1)证明：数列{}2n a n-为等比数列.(2)求数列(){}1nn a -的前n 项和n S .53．（2022·江苏·高三专题练习）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1)()2n n n nS a n N +=-∈，则数列{}n S 的前7项和为________.1．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+==∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S <<2．（2020·江苏·高考真题）设{an }是公差为d 的等差数列，{bn }是公比为q 的等比数列．已知数列{an +bn }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．3．（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<．4．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．5．（2020·天津·高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．6．（2020·全国·高考真题（理））设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．7．（2020·全国·高考真题（理））设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．8．（2021·全国·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .。

数列常见题型总结计划经典超级经典

一、数列的定义与性质1.数列的定义：数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的序列。

2.数列的性质：（1）有限数列：数列中的项数是有限的。

（2）无限数列：数列中的项数是无限的。

（3）严格递增数列：数列中的每一项都小于它后面的项。

（4）严格递减数列：数列中的每一项都大于它后面的项。

（5）等差数列：数列中相邻两项的差是常数。

（6）等比数列：数列中相邻两项的比是常数。

二、数列的通项公式与求和公式1.数列的通项公式：数列的第n项与序号n之间的关系式。

2.数列的求和公式：数列前n项的和与序号n之间的关系式。

（1）等差数列的求和公式：$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ （2）等比数列的求和公式：$S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}$三、数列的常见题型及解题方法1.求数列的通项公式（1）等差数列：已知前几项或公差，求通项公式。

（2）等比数列：已知前几项或公比，求通项公式。

（3）其他数列：根据题意，找出数列的规律，求通项公式。

2.求数列的前n项和（1）等差数列：利用求和公式求解。

（2）等比数列：利用求和公式求解。

（3）其他数列：根据题意，找出数列的规律，求和。

3.数列的单调性（1）判断数列的单调递增或单调递减。

（2）证明数列的单调性。

4.数列的周期性（1）判断数列的周期性。

（2）求数列的周期。

5.数列的极限（1）求数列的极限。

（2）判断数列的收敛性。

6.数列的错位相减法（1）应用错位相减法求数列的和。

（2）证明错位相减法的正确性。

四、经典题目解析1.题目：已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=2,a_6=10$，求数列的通项公式。

解析：根据等差数列的性质，可知$a_6=a_1+5d$，代入已知条件，解得$d=2$，进而求得通项公式$a_n=2n$。

2.题目：已知数列$\{b_n\}$是等比数列，且$b_1=2,b_3=8$，求数列的通项公式。

解析：根据等比数列的性质，可知$b_3=b_1\cdotq^2$，代入已知条件，解得$q=2$，进而求得通项公式$b_n=2^n$。

数列的19种经典题型及答案

数列的19种经典题型及答案
1.求n项和：Sn=n*(a1+an)/2
2.求公差为d的等差数列前n项和：Sn=n*(2a1+(n-1)*d)/2
3.求公比为q的等比数列的前n项和：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
4.求公比为q的等比数列的通项公式：an=a1*q^(n-1)
5.求等比数列前n项和与n项均值的关系：Sn=n*a1*q^(n-1)/(1-q).（当q>1时Sn>n*a1/2，当q<1时Sn<n*a1/2）
6.求等差数列前n项和与n项均值的关系：Sn=n*(a1+an)/2（Sn>n*a1/2）
7.求等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)*d
8.求等比数列的前n项积：Pn=a1*q^(1+2+...+(n-1))=a1*q^(n(n-1)/2)
9.求等差数列的前n项积：Pn=(a1a2)*[(an-d)-(a1-d)]/d^2
10.求公差为d的等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)*d
11.求等差数列的第n项：an=a1+(n-1)*d
12.求n项均值：a1+an/2
13.求前n项均值：3a1+3an/4
14.求连续项和：Sn=n/2*(2a1+(n-1)*d)
15.求联立等比数列之积：Pn=a1*q^n
16.求互差等比数列之积：Pn=a1a2...an=a1q^(2+4+...+(2n-2))
17.求满足条件的等差数列最小项：a1=a+l*d
18.求满足条件的等比数列最小项：a1=a*q^k
19.求满足条件的等比数列最大项：an=a*q^(n-1-k)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【关键字】方法、条件、规律、结构、关系、分析、满足、解决一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．练习：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、错位相减法例2（07高考天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；．例3（07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．三、逆序相加法例4（07豫南五市二联理22.）设函数222)(+=x xx f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2,y 2)，若)(2121OP +=,且点P 的横坐标为21. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若;求,),()3()2()1(*n n S N n nn f n f n f n f S ∈+⋯+++= 四、裂项求和法例5 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；五、分组求和法例7数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。

例8求2222121234(1)n S n -=-+-++-（n N +∈）六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例9 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k个个（找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ 例10 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即所以na a n 111-=-211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a an n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ 例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---。

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则 11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。

解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1nn n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：qq a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中nn n q a b =），得：q b q p b nn 11+=+再待定系数法解决。

例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(32211+•=•++n n n n a a令n nn a b •=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )32(23-=所以类型5递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .解：（1）由2214---=n n n a S 得：111214-++--=n n n a S 于是所以11121-+++-=n n n n a a a nn n a a 21211+=⇒+. （2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a 由1214121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n na 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n2)1(222=-+=12-=⇒n n n a类型6b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n n 说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设 C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为 n n n qb pb b +=++12求之.。