2011年湖南高考理科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

参考公式：（1）()

()()

P AB P B A P A =

，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式34

3

V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）

A ．1,1a b ==

B ．1,1a b =-=

C ．1,1a b =-=-

D ．1,1a b ==- 答案：D

2.设{1,2}M =，2

{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件 答案：A

解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2

{}={1}N a =，或2

{}={2}N a =，不一定有“1a =”。

3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A ．

9122π+ B ．9

182

π+ C ．942π+ D ．3618π+

答案：B

解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积

3439+332=18322

V ππ=⨯⨯+（）。

由22

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22

110(40302020)7.860506050

K ⨯⨯-⨯=

≈⨯⨯⨯ 附表：

A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C

解析：由2

7.8 6.635K ≈>，而2

( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选

C.

5.设双曲线22

21(0)9

x y a a -

=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

答案：C

解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3

y x a

=±，故可知2a =。

6. 由直线,,03

3

x x y π

π

=-

=

=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）

A ．

1

2

B ．1

C ．2

D 答案：D

解析：由定积分知识可得3

33

3

cos sin |(S xdx x ππ

ππ

--

=

==

=⎰D 。 7. 设1m >，在约束条件1

y x

y mx x y ≥⎧⎪

≤⎨⎪+≤⎩

下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值

范围为（ ）

A ．(1,1+

B ．(1)++∞

C ．

(1,3) D ．(3,)+∞ 答案：A

解析：画出可行域，可知5z x y =+在点1(

,)11m

m m

++取最大值，由21211m m m +<++解得11m <<

。

8.设直线x t =与函数2

(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最

小时t 的值为（ ） A ．1 B ．1

2

C ．52

D ．22

答案：D

解析：由题2

||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2

()ln h x x x =-，则1

'()2h x x x

=-

，令'()0h x =解得22x =

，因2(0,

)2x ∈时，'()0h x <，当2

(,)2

x ∈+∞时，'()0h x >，所以当2

2

x =

时，||MN 达到最小。即22t =。

二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在

答题卡中对应题号的横线上。

一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

9.在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐

标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。 答案：2

解析：曲线221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离

|011|

012

d -+=

=<，故1C 与2C 的交点个数为2. 10.设,x y R ∈,则222

211

()(4)x y y x

++的最小值为 。 答案：9

解析：由柯西不等式可知2222

211

()(4)(12)9x y y x

+

+≥+=。 11.如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，

AD BC ⊥,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。