立体几何平行专题(史上最全)

立体几何专题――平行

1、若直线l 不平行于平面a ,且l a ⊄,则 B

(A) a 内所有直线与l 异面 (B) a 内不存在与l 平行的直线 (C) a 内存在唯一的直线与l 平行 (D) a 内的直线与l 都相交 2、一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是

( C )

A.异面

B.相交

C.平行

D.不能确定

3、一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是4

π3

,则正方体的表面积是 A

(A)8 (B)6 (C)4 (D)3

4、在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1=AB,则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为( C ) A.

22 B.515 C.46 D.3

6 5、某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是B

(B)16+(C)48 (D)16+1、线线平行的判断：

（1）三角形中位线定理；

（2）构造平行四边形，其对边平行； （3）对应线段成比例，两直线平行；

（4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性）

（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直

线和交线平行；（线面平行的性质）

（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质） （7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质） 2、线面平行的判断：

（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

侧(左)视图 俯视图

正(主)视图

例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证：1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。

例2、（证明是平行四边形）已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证： C 1O ∥面11AB D ； 证明：（1）连结11A C ，设

11111

A C

B D O ⋂=，连结1AO

∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形

∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂

∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D

3、面面平行的判断：

（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 （2）垂直于同一条直线的两个平面平行。

例4、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是

AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .

证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G

EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB

又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG 1EF D E E

⋂=，∴平面1D EF ∥平面

BDG

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

练习：

1．（利用三角形中位线）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD ,

点F 为PC 的中点.求证://PA 平面BDF ;

2、（构造平行四边形）如图,在三棱柱111ABC A B C -中,每个侧面均为正方形,D 为底边AB 的

中点,E 为侧棱1CC 的中点，求证:CD ∥平面1A EB ;

3、（线面平行的性质）如图，四面体A —BCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形.

求证：CD ∥平面EFGH .

（1）证明：∵截面EFGH 是一个矩形， ∴EF ∥GH ， 又GH ⊂平面BCD . ∴EF ∥面BCD ，而EF ⊂面ACD ， 面ACD ∩面BCD =CD .

∴EF ∥CD ，∴CD ∥平面EFGH .

A

F

P

D

C B

C

A

B

E

H

F

G

D

4．（对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平行）如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且

MB AM =NP

DN

，求证：直线MN ∥平面PBC 。 N

D

C

B

M A P

分析：要证直线MN ∥平面PBC ，只需证明MN ∥平面PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面∥平面PBC

证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意得

NR

NR DC -=NP DN

=MB

AM =MB

MB AB -

=MB

MB DC -⇒NR =MB

∵NR ∥DC ∥AB ，

∴四边形MNRB 是平行四边形 ∴MN ∥RB . 又∵RB

平面PBC ，

∴直线MN ∥平面PBC

证法二：过N 作NQ ∥AD 交PA 于点Q ，连结QM ， ∵MB

AM =NP

DN =QP

AQ ，

∴QM ∥PB 又NQ ∥AD ∥BC ，

∴平面MQN ∥平面PBC

∴直线MN ∥平面PBC