工程力学2-汇交力系

工程力学
例2-1 已知AC=CB，P=10kN，各杆重力不计， 求CD杆及铰链A的受力
解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图
工程力学
用几何法画封闭力三角形 或按比例量得 FC=28.3kN，FA=22.4kN
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几何法解题步骤：①选研究对象； ②作出受力图； ③选择适当的比例尺，作力多边形； ④求出未知数
cos(FR , j) FRy / FR
x
合力在某一轴上的投影，等于各个 分力在同一轴上的投影的代数和。
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合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。
平面时：
合力的大小：R Rx2 Ry2
X2 Y2
方向： tg Ry , tg1 Ry tg1 Y
几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
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三、汇交力系合成的解析法（投影法）
1.力在轴上的投影
Fx ab F cos
B A
B F
A
a
bx
b
ax
力在轴上投影是代数量
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2.力在平面上的投影
FM F cos
B F A
aFra Baidu bibliotekFM b
M
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Rx
Rx
X
作用点：为该力系的汇交点
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例2-2 已知图示平面共点力系，求此 力系的合力。
解：用解析法
FRx
F ix
F1 cos 30
F2 cos 60
F3 cos 45
F4 cos 45
129.3N
FRy
F iy
F1 sin 30
F2 sin 60
F3 sin 45
F4 sin 45
3.力在直角坐标轴上的投影
z’ z
F A
y’
o
y
x’
x
一次投影
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
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z
F o
x
y Fxy
二次投影
Fxy F cos
Fx Fxy cos F cos cos
Fy
Fxy
sin
F
cos
sin
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4.力的解析表示式 z
将F沿坐标轴正交 分解，分力分别 为F1，F2，F3，即
F1 F3
Fn
F2
FR Fi
改变各力的顺序，力多边形的形状也将改变，
但封闭边不变。
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求合力的注意事项：
1.合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关。
2.各分力矢必须首尾相接。 3.合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。 4.按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。
结论： 平面汇交力系合成的结果是一个合力，它 等于原力系中各力的矢量和，合力的作用 线通过各力的汇交点。
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3.增加平衡力系原理 在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变原 力系对刚体的作用效应。 作用在刚体上的力是滑移矢量，力的三要素是大 小、方向、作用线。
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二、汇交力系合成的几何法（矢量法） 1.二力的合成 力三角形法则
c FR
F2 a F1 b
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2.汇交力系合成的几何法
设汇交于A点的力系由n个力Fi（i = 1、2、…、n）组成。
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 (4) 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
工程力学
例2-3 已知 P=2kN 求SCD ,RA
解：①研究AB杆
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 RAcos SCDcos4500 Y 0 PRA sin SCD sin450 0
112.3N
FR FR2x FR2y 171.3N
cos θ FRx 0.7548 FR
cos β FRy 0.6556 FR
θ 40.99 , β 49.01
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§2-2 汇交力系的平衡条件
一、三力平衡汇交定理
三力平衡汇交定理：当刚体在同一平面内作 用线互不平行的三个力作用下平衡时，这三 个力的作用线必汇交于一点。
记为（
F1、F2、…F）n。
根据平行四边形法则，将各力依次两两合成，FR为最后
的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的
矢量和确定，作用线通过汇交点。
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力的多边形法则：
由力系中各力的力矢首尾相接构成的开口多边形称为 开口的力多边形，由开口的力多边形始点指向终点的 封闭边即为合力矢。合力的作用点仍在力系公共作用 点上。这种求合力的方法称为力多边形法则。
F3
o
x F1
F F2 y
F=F1+F2+F3 i，j，k为x，y，z轴的单 位矢量。 F1=Fxi，F2=Fyj，F3=Fzk
F=Fxi+Fyj+Fzk
F Fx2 Fy2 Fz2
cos F, i Fx , cos F, j Fy , cos F,k Fz
F
F
F
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5.汇交力系合成的解析法
注意：三力作用线汇交于一点只是刚体在平面 互不平行三力作用下平衡的必要条件，而不是充 分条件，也就是说作用于刚体上同平面互不平行 三力作用线汇交于一点，刚体不一定平衡。
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二、汇交力系平衡的条件 汇交力系平衡必要充分条件是：合力等于零 即：F＝0 1.几何条件 力多边形自行封闭。
2.解析条件
力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别 等于零。
y
F1y FRy
F2y
F1 FR F2
FRx F1x F2x ...... Fnx Fx FRy F1y F2y ...... Fny Fy
FR FR2x FR2y
Fnx
j O
F3x i F1x FRxF2x
Fn Fny F3y
F3
cos(FR , i) FRx / FR
主讲教师：门玉涛
第二章 汇交力系
问题： 1、怎样对刚体上的汇交力系进行简化？ 2、汇交力系的平衡条件是什么？
§2-1 汇交力系的合成
一、力的可传性 1.二力平衡条件：二力等值、反向、共线，作用在 同一物体上
F1 F2
最简单的力系平衡条件
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2.力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内 的任一点，而不改变该力对刚体的效应。
即：Fx＝0，Fy＝0，Fz＝0
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例题 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方向与 梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
A
B
C
30º
a
a
60º 60º
30º
30º
(a)
(b)
解：
(1) 取梁AB 作为研究对象。