2019-2020学年上海市南模中学高二上学期期末数学试题
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点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：
一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
11．已知 是坐标原点，点 ，若点 为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是_________.
答案：
试题分析：由题意 ，渐近线为 ，所以 ，解得 ．
【考点】双曲线的渐近线．
9．设向量 ，若向量 与向量 共线，则
答案：2
由题意首先求得向量 ，然后结合向量平行的充分必要条件可得 的值.
解：
= ，
由向量共线的充分必要条件有： .
故答案为2．
点评：
本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
设动圆半径为 ,则圆心 到 与 的距离之和为 .
故动圆的圆心 是以 与 为焦点, 的椭圆,
故 .
故动圆的圆心 的轨迹方程是 .
故答案为：
点评：
本题主要考查了根据动圆相切时半径之和的关系以及椭圆的定义求解椭圆的方程的方法,重点在于找到半径之和为定值的关系.属于基础题.
13．直线 （t为参数）与双曲线 交于A、B两点，求AB的弦长_____________．
（2）若 ， 是曲线 上的两个动点，满足 ，证明：直线 过定点；
（3）若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ， ，求直线 的斜率 的取值范围．
答案：(1) ；(2) 直线 过定点 ；(3)
(1)设出动点 ,则 的坐标可表示出,利用 ,可求得 的关系式,即 的轨迹方程．
(2)设直线 ,联立直线与(1)中所得抛物线的方程,利用韦达定理表示 ,进而求得 即可.
A．2个B．4个C．8个D．无穷个
答案：D
椭圆 和 ， 为 上动点， 为 上动点，
可设 ， ，
则 ，
当 时， 取得最大值 ，
则 在 上， 在 上，且 中的元素有无穷对对，故选D.
二、填空题
5．以原点为顶点， 轴为对称轴，并且经过 的抛物线的标准方程为________．
答案：
设抛物线的标准方程,再代入 求解即可.
答案：A
解：试题分析：设直线 因为 ， 表示点 到直线 的距离，所以圆心 的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，圆 的半径最小值为 ，圆 面积的最小值为 ．故本题的正确选项为A.
【考点】抛物线定义.
4．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 和 . 为 上的动
点， 为 上的动点， 是 的最大值. 记 在 上， 在 上，且 ，则 中元素个数为（ ）
（1）﹣（2）得： ．
因为，直线 和直线 的斜率都存在，所以 ，
等式两边同除以 ，得： ，即 ．
（2）由已知得 ，求得双曲线方程为 ，直线 斜率为 ，
直线 方程为 ，代入双曲线方程可解得 ，中点 坐标为 ．
面积 ．
另解：线段 中点 在直线 上．所以由中点 ，可得点 的坐标为 ，代入双曲线方程可得 ，即 ，解得 （ ），所以 ．面积 ．
答案：
解：
令 ，则 ，画出 对应的可行域，可得在点（1，1）处取得最小值0，在点（0,2）处取得最大值2
12．已知动圆过定点 ，且与圆 相切，则动圆的圆心 的轨迹方程是_______．
答案：
根据圆心 到定点 与圆 圆心的距离之和为定值判断即可.
解：
圆 即圆 ,圆心为 ,半径为 .
又因为 在圆 内,故动圆与圆 内切.
（1）若直线 和直线 的斜率都存在且分别为 和 ，求证： ；
（2）若双曲线的焦点分别为 、 ，点 的坐标为 ，直线 的斜率为 ，求由四点 、 、 、 所围成四边形 的面积．
答案：（1）见解析；（2）
（1）法一：设不经过点 的直线 方程为 ，与双曲线方程联立，利用中点坐标表示 ，再求 ；法二：利用点差法表示 ；
(3)设出直线 的方程,A,B的坐标,根据 推断出 ,把直线与抛物线方程联立消去 求得 的表达式,进而求得 ,利用弦长公式表示出 ,再根据 的范围,求得 的范围．
解：
(1)设动点 ,则 , ,
∵ ,即 ,化简得 .
(2)设直线 ,联立 .
设 ,则 , .
又 ,故由题有 ,即 .
由题意可知 ,故 .故直线 ,恒过定点 .
7．已知向量 ， ， ，则 ________.
答案：5
本题首先可以根据 得出 ，然后根据 得出 ，最后通过化简即可得出结果。
解：
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ， 。
点评：
本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若 ，则 ，考查计算能力，是简单题。
8．双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为 _________
即
当且仅当 时，“=”成立， 取得最大值
（3）点 在直线 上，因为
设 、 、 ，且
于是 ，即 、 、 、
又 ，
，
，即 在直线 上.
点评：
本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．
2019-2020学年上海市南模中学高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．设 ， 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 （ 为正实数），那么 D．如果 （ 为正实数），那么
答案：D
对A,举出反例判断正误；
对B,举出反例判断正误；
对C,利用复数的几何意义判断正误；
设 、 、 ，且 ，于是 ，向量坐标化，得 、 、 、 ，将 代入椭圆方程，结合 、 在椭圆上，整理化简得 ，即 在直线 上.
解：
（1）联立 ，整理得
依题意 ，即
（2）设 、 ,于是直线 、 的方程分别为 、
将 代入 、 的方程得 且
所以直线 的方程为
联立
显然 ，由 ， 是该方程的两个实根，有 ，
面积
点评：
本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，已知考查转化与化归的思想和计算能力，涉及双曲线中定值和四边形面积的求法，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
20．已知定点 ，动点 在 轴上运动，过点 作直线 交 轴于点 ，延长 至点 ，使 ． 点 的轨迹是曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
10．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．
答案：
分析：分类讨论截距为0和截距不为零两种情况求解直线方程即可.
详解：当截距为0时,直线的方程为 ，满足题意；
当截距不为0时,设直线的方程为 ,
把点 代入直线方程可得 ，此时直线方程为 .
故答案为 .
对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可．
解：
对于A,如果 , , ,所以 不正确。
对于B,如果 , , ,但 不正确。
对于C, , 是正实数,说明复数对应的点到原点的距离小于 ,且复数不能比较大小,故 不成立.
对于D, （ 为正实数）,设 ,则 ,
故 成立.
故选：D.
点评：
本题主要考查了复数的基本性质与判定,需要根据题意举出反例或者直接设复数形式进行推导,属于中档题.
（3）在（2）的条件下，经过点 作直线 与该椭圆 交于 、 两点，在线段 上存在点 ，使 成立，试问：点 是否在直线 上，请说明理由.
答案：（1） （2） （3）见解析
（1）将直线y＝x 代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线 , , ，再将M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点 在直线 上，因为
21．教材曾有介绍：圆 上的点 处的切线方程为 ．我们将其结论推广：椭圆 上的点 处的切线方程为 ，在解本题时可以直接应用．已知，直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
（1）求 的值；
（2）设 为坐标原点，过椭圆 上的两点 、 分别作该椭圆的两条切线 、 ，且 与 交于点 ．当 变化时，求 面积的最大值；
答案：
直线方程： ，联立双曲线方程得：
14．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 ．
答案：
解：
故答案为： .
15．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点 ，其中 ， 分别为点 到两个顶点的向量；若将点 到正六角星 个顶点的向量，都写成 的形式，则 的最大值为_________．
16．已知直角坐标平面上任意两点 、 ，定义 为 、 两点的“非常距离”．当平面上动点 到定点 的距离满足 时，则 的取值范围是_________．
答案：
由题意可知点 在以 为圆心,半径 的圆周上,由“非常距离”的新定义,求出 表达式,再分析最小值与最大值,即可得出结论．
解：
由题意可知点 在以 为圆心,半径 的圆周上,如图所示：
由“非常距离”的新定义可知：当 时, 取得最小值, ；
当 或 时, 取得最大值, ,
故 的取值范围为 .
故答案为： .
点评：
本题主要考查了新定义的距离问题,需要根据题意画图分析新距离的几何意义,属于中档题.
三、解答题
17．复数 （ ），
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若在复平面内复数 对应的点在第一象限，求 的范围．
答案：5
利用等和线判断取 的最大值时的顶点位置,再利用基底向量的方法求解即可.
解：
先推导等和线定理：
三点共线 , 为平面 内任意一点, 为平面 内任意一点,
深化：若 , ,则做平行线有：
如图,显然当过 作与 平行的直线时, 能使得 取最大值.
此时
,此时 .
故答案为：5
点评：
本题主要考查了平面向量的等和线的运用,需要根据题意找到使得 取得最大值时的点,再求解即可.属于中档题.
(3)设直线 方程为 , 与抛物线交于点 ,
则由 ,得 ,即 ,
∴ ,解得 ,
由 ,
∴ ,
当 恒成立,
.
由题意, ,
可得 ,
即 ,
因为 ,故
解得 ,
∴ 或 .
即所求 的取值范围是 .
点评：
本题主要考查了轨迹方程的求解以及直线与抛物线中的定点问题,同时也考查了弦长范围求解参数的问题,需要根据题意将题中所给的数量积关系转换为斜率的表达式,再列出不等式进行求解等.属于难题.
答案：（Ⅰ） 或 ;（Ⅱ） ．
解：试题分析：将复数化简得 （1）中 ，所以虚部为0，（2）中复数对应点为
，在第一象限得到不等式，求得 范围
试题解析： ，
（1）由 知， ，故 ．当 时， ；当 时， ．
（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即 ，即 ，
所以 ．
18．已知平面内向量 ，点Q是直线OP上的一个动点．
（1）当 取最小值时，求 的坐标；
（2）当点 满足（1）中的条件时，求 的值．
答案：（1） ；（2）
解：
（1）设 , 在直线 上, 向量 与 共线.
, , ,
又 , ,
.
故当 时, 有最小值 ,此时 .
（2）由(1)知, ， ， ；
， ；
.
19．设 和 是双曲线 上的两点，线段 的中点为 ，直线 不经过坐标原点 ．
解：
由题,设抛物线方程为 ,代入 有 .
故抛物线 .
故答案为：
点评：
本题主要考查了抛物线的标准方程,属于基础题.
6．已知复数 满足 ，则 的虚部为________．
答案：
根据复数的基本运算求解 再判定即可.
解：
因为 ,故 .
故 的虚部为 .
故答案为：
点评：
本题主要考查了复数的除法运算与虚部的概念,属于基础题.
（2）先由已知求得双曲线方程和直线 的方程，由条件表示四边形的面积 ；令解，利用 的中点是 ，直接求点 的坐标，再表示四边形的面积 .
解：
（1）证明：法1：设不经过点 的直线 方程为 ，代入双曲线 方程得： ．
设 坐标为 ， 坐标为 ，中点坐标为 ，则 ， ，
， ，所以， ， ．
法2：设 、 ，中点 ，则 ， 且 ，
2．在ΔABC中，若 ，则ΔABCwenku.baidu.com（ ）
A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
答案：C
此题考查向量的数量积的计算、余弦定理的应用。由已知得 ，所以是直角三角形，选C
3．在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
11．已知 是坐标原点，点 ，若点 为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是_________.
答案：
试题分析：由题意 ，渐近线为 ，所以 ，解得 ．
【考点】双曲线的渐近线．
9．设向量 ，若向量 与向量 共线，则
答案：2
由题意首先求得向量 ，然后结合向量平行的充分必要条件可得 的值.
解：
= ，
由向量共线的充分必要条件有： .
故答案为2．
点评：
本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
设动圆半径为 ,则圆心 到 与 的距离之和为 .
故动圆的圆心 是以 与 为焦点, 的椭圆,
故 .
故动圆的圆心 的轨迹方程是 .
故答案为：
点评：
本题主要考查了根据动圆相切时半径之和的关系以及椭圆的定义求解椭圆的方程的方法,重点在于找到半径之和为定值的关系.属于基础题.
13．直线 （t为参数）与双曲线 交于A、B两点，求AB的弦长_____________．
（2）若 ， 是曲线 上的两个动点，满足 ，证明：直线 过定点；
（3）若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ， ，求直线 的斜率 的取值范围．
答案：(1) ；(2) 直线 过定点 ；(3)
(1)设出动点 ,则 的坐标可表示出,利用 ,可求得 的关系式,即 的轨迹方程．
(2)设直线 ,联立直线与(1)中所得抛物线的方程,利用韦达定理表示 ,进而求得 即可.
A．2个B．4个C．8个D．无穷个
答案：D
椭圆 和 ， 为 上动点， 为 上动点，
可设 ， ，
则 ，
当 时， 取得最大值 ，
则 在 上， 在 上，且 中的元素有无穷对对，故选D.
二、填空题
5．以原点为顶点， 轴为对称轴，并且经过 的抛物线的标准方程为________．
答案：
设抛物线的标准方程,再代入 求解即可.
答案：A
解：试题分析：设直线 因为 ， 表示点 到直线 的距离，所以圆心 的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，圆 的半径最小值为 ，圆 面积的最小值为 ．故本题的正确选项为A.
【考点】抛物线定义.
4．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 和 . 为 上的动
点， 为 上的动点， 是 的最大值. 记 在 上， 在 上，且 ，则 中元素个数为（ ）
（1）﹣（2）得： ．
因为，直线 和直线 的斜率都存在，所以 ，
等式两边同除以 ，得： ，即 ．
（2）由已知得 ，求得双曲线方程为 ，直线 斜率为 ，
直线 方程为 ，代入双曲线方程可解得 ，中点 坐标为 ．
面积 ．
另解：线段 中点 在直线 上．所以由中点 ，可得点 的坐标为 ，代入双曲线方程可得 ，即 ，解得 （ ），所以 ．面积 ．
答案：
解：
令 ，则 ，画出 对应的可行域，可得在点（1，1）处取得最小值0，在点（0,2）处取得最大值2
12．已知动圆过定点 ，且与圆 相切，则动圆的圆心 的轨迹方程是_______．
答案：
根据圆心 到定点 与圆 圆心的距离之和为定值判断即可.
解：
圆 即圆 ,圆心为 ,半径为 .
又因为 在圆 内,故动圆与圆 内切.
（1）若直线 和直线 的斜率都存在且分别为 和 ，求证： ；
（2）若双曲线的焦点分别为 、 ，点 的坐标为 ，直线 的斜率为 ，求由四点 、 、 、 所围成四边形 的面积．
答案：（1）见解析；（2）
（1）法一：设不经过点 的直线 方程为 ，与双曲线方程联立，利用中点坐标表示 ，再求 ；法二：利用点差法表示 ；
(3)设出直线 的方程,A,B的坐标,根据 推断出 ,把直线与抛物线方程联立消去 求得 的表达式,进而求得 ,利用弦长公式表示出 ,再根据 的范围,求得 的范围．
解：
(1)设动点 ,则 , ,
∵ ,即 ,化简得 .
(2)设直线 ,联立 .
设 ,则 , .
又 ,故由题有 ,即 .
由题意可知 ,故 .故直线 ,恒过定点 .
7．已知向量 ， ， ，则 ________.
答案：5
本题首先可以根据 得出 ，然后根据 得出 ，最后通过化简即可得出结果。
解：
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ， 。
点评：
本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若 ，则 ，考查计算能力，是简单题。
8．双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为 _________
即
当且仅当 时，“=”成立， 取得最大值
（3）点 在直线 上，因为
设 、 、 ，且
于是 ，即 、 、 、
又 ，
，
，即 在直线 上.
点评：
本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．
2019-2020学年上海市南模中学高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．设 ， 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 （ 为正实数），那么 D．如果 （ 为正实数），那么
答案：D
对A,举出反例判断正误；
对B,举出反例判断正误；
对C,利用复数的几何意义判断正误；
设 、 、 ，且 ，于是 ，向量坐标化，得 、 、 、 ，将 代入椭圆方程，结合 、 在椭圆上，整理化简得 ，即 在直线 上.
解：
（1）联立 ，整理得
依题意 ，即
（2）设 、 ,于是直线 、 的方程分别为 、
将 代入 、 的方程得 且
所以直线 的方程为
联立
显然 ，由 ， 是该方程的两个实根，有 ，
面积
点评：
本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，已知考查转化与化归的思想和计算能力，涉及双曲线中定值和四边形面积的求法，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
20．已知定点 ，动点 在 轴上运动，过点 作直线 交 轴于点 ，延长 至点 ，使 ． 点 的轨迹是曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
10．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．
答案：
分析：分类讨论截距为0和截距不为零两种情况求解直线方程即可.
详解：当截距为0时,直线的方程为 ，满足题意；
当截距不为0时,设直线的方程为 ,
把点 代入直线方程可得 ，此时直线方程为 .
故答案为 .
对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可．
解：
对于A,如果 , , ,所以 不正确。
对于B,如果 , , ,但 不正确。
对于C, , 是正实数,说明复数对应的点到原点的距离小于 ,且复数不能比较大小,故 不成立.
对于D, （ 为正实数）,设 ,则 ,
故 成立.
故选：D.
点评：
本题主要考查了复数的基本性质与判定,需要根据题意举出反例或者直接设复数形式进行推导,属于中档题.
（3）在（2）的条件下，经过点 作直线 与该椭圆 交于 、 两点，在线段 上存在点 ，使 成立，试问：点 是否在直线 上，请说明理由.
答案：（1） （2） （3）见解析
（1）将直线y＝x 代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线 , , ，再将M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点 在直线 上，因为
21．教材曾有介绍：圆 上的点 处的切线方程为 ．我们将其结论推广：椭圆 上的点 处的切线方程为 ，在解本题时可以直接应用．已知，直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
（1）求 的值；
（2）设 为坐标原点，过椭圆 上的两点 、 分别作该椭圆的两条切线 、 ，且 与 交于点 ．当 变化时，求 面积的最大值；
答案：
直线方程： ，联立双曲线方程得：
14．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 ．
答案：
解：
故答案为： .
15．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点 ，其中 ， 分别为点 到两个顶点的向量；若将点 到正六角星 个顶点的向量，都写成 的形式，则 的最大值为_________．
16．已知直角坐标平面上任意两点 、 ，定义 为 、 两点的“非常距离”．当平面上动点 到定点 的距离满足 时，则 的取值范围是_________．
答案：
由题意可知点 在以 为圆心,半径 的圆周上,由“非常距离”的新定义,求出 表达式,再分析最小值与最大值,即可得出结论．
解：
由题意可知点 在以 为圆心,半径 的圆周上,如图所示：
由“非常距离”的新定义可知：当 时, 取得最小值, ；
当 或 时, 取得最大值, ,
故 的取值范围为 .
故答案为： .
点评：
本题主要考查了新定义的距离问题,需要根据题意画图分析新距离的几何意义,属于中档题.
三、解答题
17．复数 （ ），
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若在复平面内复数 对应的点在第一象限，求 的范围．
答案：5
利用等和线判断取 的最大值时的顶点位置,再利用基底向量的方法求解即可.
解：
先推导等和线定理：
三点共线 , 为平面 内任意一点, 为平面 内任意一点,
深化：若 , ,则做平行线有：
如图,显然当过 作与 平行的直线时, 能使得 取最大值.
此时
,此时 .
故答案为：5
点评：
本题主要考查了平面向量的等和线的运用,需要根据题意找到使得 取得最大值时的点,再求解即可.属于中档题.
(3)设直线 方程为 , 与抛物线交于点 ,
则由 ,得 ,即 ,
∴ ,解得 ,
由 ,
∴ ,
当 恒成立,
.
由题意, ,
可得 ,
即 ,
因为 ,故
解得 ,
∴ 或 .
即所求 的取值范围是 .
点评：
本题主要考查了轨迹方程的求解以及直线与抛物线中的定点问题,同时也考查了弦长范围求解参数的问题,需要根据题意将题中所给的数量积关系转换为斜率的表达式,再列出不等式进行求解等.属于难题.
答案：（Ⅰ） 或 ;（Ⅱ） ．
解：试题分析：将复数化简得 （1）中 ，所以虚部为0，（2）中复数对应点为
，在第一象限得到不等式，求得 范围
试题解析： ，
（1）由 知， ，故 ．当 时， ；当 时， ．
（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即 ，即 ，
所以 ．
18．已知平面内向量 ，点Q是直线OP上的一个动点．
（1）当 取最小值时，求 的坐标；
（2）当点 满足（1）中的条件时，求 的值．
答案：（1） ；（2）
解：
（1）设 , 在直线 上, 向量 与 共线.
, , ,
又 , ,
.
故当 时, 有最小值 ,此时 .
（2）由(1)知, ， ， ；
， ；
.
19．设 和 是双曲线 上的两点，线段 的中点为 ，直线 不经过坐标原点 ．
解：
由题,设抛物线方程为 ,代入 有 .
故抛物线 .
故答案为：
点评：
本题主要考查了抛物线的标准方程,属于基础题.
6．已知复数 满足 ，则 的虚部为________．
答案：
根据复数的基本运算求解 再判定即可.
解：
因为 ,故 .
故 的虚部为 .
故答案为：
点评：
本题主要考查了复数的除法运算与虚部的概念,属于基础题.
（2）先由已知求得双曲线方程和直线 的方程，由条件表示四边形的面积 ；令解，利用 的中点是 ，直接求点 的坐标，再表示四边形的面积 .
解：
（1）证明：法1：设不经过点 的直线 方程为 ，代入双曲线 方程得： ．
设 坐标为 ， 坐标为 ，中点坐标为 ，则 ， ，
， ，所以， ， ．
法2：设 、 ，中点 ，则 ， 且 ，
2．在ΔABC中，若 ，则ΔABCwenku.baidu.com（ ）
A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
答案：C
此题考查向量的数量积的计算、余弦定理的应用。由已知得 ，所以是直角三角形，选C
3．在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．