材料力学培训讲稿概论

注册工程师执业资格考试培训讲稿基础考试：上午4小时 120道题每题1分其中材料力学15道题平均每道题用时2分钟。

根据考试特点复习时应：基本概念要清楚，基本公式和定义要记牢，解题方法要熟练，要培养快速反应能力一、基本概念内力：构件在外力作用下发生变形，引起构件内部各质点之间产生的附加内力（简称内力）。

应力：截面内一点处内力的分布集度。

单位是：N/m2（Pa）、N/mm2（MPa）等。

应力可分为正应力σ和剪应力τ（剪应力）。

位移：构件内任一点由其原来位置到其新位置的连线称为该点的线位移。

构件内某一线段（或平面）由原始位置所转过的角度称为该线段（或平面）的角位移。

变形：构件形状的改变。

应变：构件内任一点处的变形程度。

应变又可分为线应变ε和剪应变γ，均为无量纲量。

线应变ε表示变形前构件内任一点处的一条微线段,变形后的长度改变量与其原始长度之比。

剪应变γ表示过构件内任一点的两个互相垂直的微线段，变形后两个微线段的角度改变量。

例题0 单元体变形后的形状如图中虚线所示，则A点的剪应变是( )。

(A) O，2γ，２γ (B) γ，γ，２γ(C) γ，２γ，２γ (D) O，γ，２γ例题0图答案： D二、四种基本变形的内力、应力及强度、变形1、内力15拉压内力：轴力N扭转内力M T弯曲内力Q、M关键点内力的正负号，内力图的画法重点弯曲内力（因拉压、扭转内力较简单）熟练利用剪力、弯矩与分布力的微分关系及其图形的规律判断内力图的正确性。

（1）利用剪力Q、弯矩M与荷载集度q之间的微分关系,可得到下述结论:a）q＝0段，Q图为水平直线，M图为斜直线；当Q >0，M图／（上升），Q < 0，M图 \（下降）。

b）在q＝c（常数）的区段，Q图为斜直线，M图为抛物线。

当q (↑) > 0，Q图／，M图；当q (↓) < 0，Q图 \，M图。

c)在Q = 0的点处，M图有极值；在Q 突变处，M图有一个折角。

（2）Q图、M图的一般规律：a）集中力作用处，Q有突变，突变量等于集中力值，突变方向与集中力作用方向一致。

M斜率有突变，出现折角。

b）在集中力偶作用处，Q图无变化。

M图有突变，突变量等于该集中力偶矩值。

c）在分布力的起点和终点，Q图有拐点; M图为直线与抛物线的光滑连接。

d)当梁的简支端或自由端无集中力偶时, M为零。

e）梁的最大弯矩通常发生在剪力Q=0处或集中力、集中力偶作用点处。

f）对称结构承受对称荷载作用时，剪力图是反对称的（剪力指向仍是对称的），弯矩图是对称的。

对称结构承受反对称荷载时，剪力图是对称的，弯矩图是反对称的。

以上剪力图与载荷之间关系可以推广到拉压轴力N、扭转内力M T中。

例1根据梁的受力分析Q、M图图形16图2图115例 2 悬臂梁受载如图，弯矩图有三种答案：图(A)、图(B)、和图(C)。

其中正确的为( )。

答案 C例3 梁的弯矩图如图所示，则梁上的最大剪力为( )。

(A) Ｐ (B) ５Ｐ/2 (C)３Ｐ/2 (D) ７Ｐ/2答案： D例4 连续梁两种受力情况如图所示，力F 非常靠近中间铰链。

则下面四项中正确结论为( )。

(A)两者的Q 图和M 图完全相同 (B)两者的Q 图相同，M 图不同 (C)两者的Q 图不同，M 图相同 (D)两者的Q 图和M 图均不相同答案 A例题2图例题3图例题4图例题5 图例题作图示梁的弯矩图和剪力图解题关键:为求出全部约束反力, 将两梁在铰界处拆开162、应力及强度（1）拉伸（或压缩）正应力：N Aσ=A为横截面积。

拉压斜截面上的应力k-k斜截面的法线与x轴夹角为α，则该面上的正应力和剪应力为：⎭⎬⎫==αστασσαα2sin)2/(cos2角α以逆时针为正，反之为负。

（2）圆截面轴扭转剪应力公式：TpMIρρτ=maxT Tp pM R MI Wτ==式中I p称为截面的极惯性矩，W p称为抗扭截面模量。

实心圆截面（直径为d）163234dWdI ppππ==外径为D，内径为d的空心圆截面)1(32)1(324344απαπ--=DWDI pp式中α = d/D。

例5 在图示受扭圆轴横截面上的剪应力分布图中，正确的结果是( )。

图图例题5图15例6 图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。

扭转变形时，横截面上剪应力分布有图示四种答案。

其中正确的一种为( )。

答案 B（3）弯曲应力1）弯曲正应力公式zIMy=σ最大正应力zzzWMyIMIMy===maxmaxmax/σ在上下缘处矩形截面：123bhIx=62bhW z=圆形截面644DIxπ=323dW zπ=空心圆截面：)1(64)(644444αππ-=-=DdDIx34(1)32zDWπα=-式中dDα=。

2）弯曲剪应力公式例题6图图1615bI QS z z*=τ剪应力最大值在中性轴处。

max 32Q Aτ=例7 T 字形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图5.7-8(a)示，C 为T 形截面的形心，惯矩I z ＝6013×104mm 4，材料的许可拉应力[σt ]＝40MPa ，许可压应力[σc ]＝160MPa ，试校核梁的强度。

解：梁弯矩图如图5.7-8(b)所示。

绝对值最大的弯矩为负弯矩，发生于B 截面上，应力分布如图 5.7-8 (c)所示。

此截面最大拉、压应力分别发生于截面上、下边缘各点处6243010(230157.5)()601310B t B z M y I σ⨯-==⨯＝36.2MPa<[σt ] 6143010157.5()601310B c B z M y I σ⨯⨯==⨯＝78.6MPa<[σc ] 虽然A 截面弯矩的绝对值|M A |<|M B |，但M A 为正弯矩，应力分布如图5.7-8 (d)所示。

最大拉应力发生于截面下边缘各点，由于y 1>y 2因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上，必须经计算才能确定。

A 截面最大拉应力为61415010157.5()601310A t A z M y I σ⨯⨯==⨯＝39.3MPa<[σt ] 最大压应力在B 截面下边缘处，最大拉应力在A 截面下边缘处，都满足强度条件。

例8 直径为d 的等直圆杆，在外力偶作用下发生纯弯曲变形，已知变形后中性层的曲率为ρ，材料的弹性模量为E ，则该梁的弯矩M 为多少？解：由z EI M =ρ1，有ρπρ644d E EI M ==例题7图16 例9 矩形截面混凝土梁，为提高其抗拉强度，在梁中配置钢筋。

若梁弯矩如图示，则梁内钢筋(虚线所示)的合理配置是( )。

答案 D例题、求图示梁横截面的剪应力。

提示：利用剪应力互等定律例题、问图示梁横截面有无剪应力。

提示：利用剪应力互等定律3) 弯曲中心的概念当横向力作用平面平行于形心主惯性平面并通过某一特定点时，杆件只发生弯曲而无扭转，则称该点为弯曲中心。

弯曲中心实际上是横截面上弯曲剪应力的合力作用点，因此弯曲中心又称为剪切中心。

薄壁截面梁横截面上的剪应力沿壁厚均匀分布，作用线平行于截面边缘的切线方向，形成“剪应力流”。

4） 弯曲中心的特征（1）弯曲中心的位置仅取决于横截面的形状与尺寸，与外力无关。

（2）若截面具有一个对称轴时，弯曲中心必位于该对称轴上；若截面具有两个对称轴，两轴交点必是弯曲中心；由两个狭长矩形组成的截面，如T 形，L 形，十形等，弯曲中心必位于该两个狭长矩形中线的交点。

例题9图(a) (b) (c)图5.7-6155) 发生平面弯曲的条件为：（1）外力偶作用平面与梁的形心主惯性平面平行；（2）横向外力作用平面与梁的形心主惯性平面平行并通过截面的弯曲中心。

（4）剪切强度的实用计算 名义剪应力： AQ=τ 式中A 为剪切面的面积；名义挤压应力：tF A F bsbs bs bs d ==σ 关键在于正确确定剪切面A Q 、挤压面A bs 及相应的剪力Q 和挤压力F bs 。

剪切计算面积为实际受剪面积；挤压面计算面积，如挤压面是平面，按实际挤压面积计算。

当挤压面为曲面时取挤压面在挤压力方向的投影面积。

对挤压面为半圆柱面，如铆钉等，其挤压计算面积为直径乘被连接件厚度：d ×t 。

例10 正方形截面的混凝土柱，其横截面边长为200mm ，其基底为边长a=1m 的正方形混凝土板。

柱受轴向压力P ＝100kN ，如图所示。

假设地基对混凝土板的支反力均匀分布，混凝土的许可剪应力［τ］＝1.5MPa，则使柱不致穿过板，而混凝土板所需的最小厚度t 为( )。

(A) 83mm(B) 100mm(C) 125mm (D) 80mm解： MPa 1.011101003=⨯⨯==A P p kN 96)04.01(1.0)2.02.0(=-⨯=⨯-⨯=A p Q例题10图16 []ττ≤⨯⨯⨯==tA Q Q 42.010963[]mm t 8042.010963=⨯⨯⨯≥τ3、变形1）拉压 Nll EA∆=2）扭转 单位长度的扭转角：T pM GI θ=p T GI lM =ϕ对于变内力、变截面的杆件应分段计算变形，再求和得变形；3）弯曲：挠曲线曲率与弯矩有以下关系EIx M x )()(1=ρ 在小变形条件下挠曲线近似微分方程为 ''()M x v EI=利用积分法求弯曲变形时需注意确定积分常数的条件：挠曲线、转角方程连续，满足约束条件。

例题11 选择图示梁确定积分常数的条件为( )。

(A) v Ａ＝０，v Ｂ＝０，v D 左＝v D 右，θD 左＝θD 右，v Ｃ＝０，θＣ＝０(B) v Ａ＝０，v Ｂ＝０，θＢ＝０， v D 左＝v D 右，θD 左＝θD 右，v Ｃ＝０(C) v Ａ＝ＦＡ/Ｋ，v Ｂ左＝v B 右，θB 左＝θＢ右，v D 左＝v D 右，v Ｃ＝0，θＣ＝０(D) v Ａ＝ＦＡ/Ｋ，v Ｂ左＝v B 右，θD 左＝θD 右，v D 左＝v D 右，v Ｃ＝０，θＣ＝０答案 D例题12 图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( )。

例题11图例题12图15例题14图例题15＋图(A)平动 (B)转动 (C)不动 (D)平动加转动答案 D例题13 已知图示杆1、2的E 、A 相同，横梁AB 的变形不计，试求两杆应力比。

解： 122l l ∆∆= 122N N =∴ 122σσ=∴例题14 已知图示杆1、2的E 、A 相同，横梁AB 的变形不计，α＝300试求两杆应力比。

解：1'22l l ∆∆=122'23230cos 2l l l l ∆∆∆∆===123l l ∆∆= EAl N EA lN 12330cos = EAlN EA l N 12332= 1232N N =125.1σσ=例题 15 在等直梁平面弯曲的挠曲线上，曲率最大值发生在下列何项的截面上？（A ） 挠度最大 （B ）转角最大 （C ）弯矩最大 （D ）剪力最大 答案 C例题15＋ 图示超静定梁，错误的静定基为（A ） 图（b ） （B ）图（c ） （C ）图（d ） (D) 上图均无错误 答案：B例题13图例题16图示梁的正确挠曲线大致形状为( )。