分式方程有增根和无解 PPT课件
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复习回顾
1.解分式方程的思路是：
分式
转化
整式
方程
去分母
方程
2.解分式方程的一般步骤
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
“一化 二 解 (2)解这个整式方程. 三验 四结”
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最 简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
(4)写出原方程的根.
当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6.
∴ a=-4或a=6时.原方程产生增根. 方法：1.化为整式方程。
2 有增根使最简公分母为零时，求增根
3.把增根 代入整式方程求出字母的值。
随堂练习
• 1、分式方程
1 m • x 2 x 1
• 有增根，则增根为（ C ）
•
A、2
B、-1
•
C、2或-1 D、无法确定
∴ x=2或x=-2是 整式方程的根. 当x=2时 2（a-1） =-10， 则a= -4
当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6.
∴ a=-4或a=6时.原方程产生增根.原分式方程无解。
综上所述：当 a= 1或-4或6时原分式方程无解.
方法总结：1.化为整式方程. 2.把整式方程分两种情况讨 论，整式方程无解和整式方程的解为增根.而无解
则a ______
4：关于x的方程 x 1 x 2 2x a x 2 x 1 (x 2)( x 1)
的解是非负数数，求a的取值范
随堂练习
• 4、若关于x的分式方程
mx 1 5 m 3
2x 1
无解，则m= 6，10 。
例4：关于x的方程
x 21xxa 2 1 2x a x 2x 1x 1 (x 2)( x 1)
解方程： (1) x 1 3 x 2
x2 2x
X=1
(2)
x x
2 2
16 x2
4
1
X=-2 不 是是 分分 式式 方方 程程 的的增解根
.
∴原分式方程的无解
学习目标:
1.掌握分式方程的增根与无解这两个概念； 2.掌握增根与无解有关题型的解题方法；
例1 解方程：
2 4x 3 x 2 x2 4 x 2
①
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）得
2（x+2）-4x=3（x-2）②
解之得 x=2． 检验：当x=2时（x+2）（x-2） =0 ∴ x=２是原方程的增根． ∴原方程无解．
方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．去分母后 方程②中未知数x的取值范围扩大为全体数． ∴当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根． 本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，
例2
解关于x的方程
2 x2
ax x2 4
3 x2
产生增根,求
a
解：变形为： 2
ax
3
x 2 (x 2)(x 2) x 2
两边乘 （x+2）（ x-2）化简得
∵有增根 ∴ （x+2）（ x-2）=0 ∴ x=2或x=-2
∴ x=2或x=-2是
的根.
当x=2时 2（a-1） =-10， 则a= -4.
随堂练习
• 1、若分式方程
mx 1 1 x 1
• 有无解，求m的值
随堂练习
• 2、关于x的分式方程 2 3 kx x4 4x
有无解，求k的值
随堂练习
• 3、若分式方程 2m m x 0 无 x 1
解，则m的取值是（ A ）
•
A、-1或
1 2
B、
1 2
•
C、-1
D、
1 2
或0
随堂练习
反思小结
1.有关分式方程增根求字母系数的问题： 2.有关分式方程无解求字母系数的问题： 3.数学思想：
当 堂 检 测 作业；
1.如果分式方程 根可能是_____.
1 x5
10 有增根，那么增
x2 25
2.当m为何值时,方程 根.
x
2
2
mx x2 4
x
3
2
会产生增
3. 关于x的方程x a 3 1无解 x 1 x
则常数m的值等于( A )
m x-1
产生增根,
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
（4）ຫໍສະໝຸດ Baidum为何值时，方程x
x
3
2
m x3
无解？
例4 若分式方程 2x a 1的解是正数，求 a
x2
的取值范围.
解：两边乘（x-2）得: 2x+a=-(x-2)
解得
且x-2 ≠0 ∴ x≠2
由题意得不等式组：
随堂练习
• 2、若分式方程
mx 1 1 x 1
• 有增根，求m的值
随堂练习
• 3、关于x的分式方程 2 3 kx x4 4x
有增根，求k的值 因增根产生无解。那么无解是否都是由增根 造成的？ 无解和增根一样吗？
例2
x 1
解方程：
3
x
2
x2 2x
解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8．
的解是正数，求a的取值范围。
谢谢指导！
再见
2012、3、10
• 4、分式方程 x 2 ● x 1 1- x
• 中的一个分 子被污染成了●，已知 这个方程无解，那么被污染的分子 ●应该是 。
（1）方程
X-4 x-5
=
1 X-5
有增根，则增根是_X_=_5
（2）
1-X x-2
=
1 2-X
-2
有增根，则增根是_X_=_2
（3） 解关于x的方程
x-3 x-1
=
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
分式方程化为整式方程，整式方程本身就无解 当然原分式方程肯定就无解了．
∴分式方程无解不一定是因为产生增根．
分式方程无解:
则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边 的值等．它包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但 这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增 根，从而原方程无解．
例3 解关于x的方程
（例2变式)
x
2
2
ax x2 4
x
3
无解，求
2
a。
解：变形为： 2 ax 3
x 2 (x 2)(x 2) x 2
两边乘 （x+2）（ x-2）化简得
原分式方程无解分两种情况：
整式方程无解 当a-1=0时 解得a=1原分式方程无解。
整式方程的解为分式方程的增根时（x+2）（ x-2）=0 ∴ x=2或x=-2
所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．
分式方程有增根:
指的是解分式方程时，在把分式方程转化为
整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了
一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数
的取值范围产生的未知数的值；从而使分式
方程无解。
（1）整式方程有解
从而使 分式方
（2）整式方程的解使最简公分母=0 程无解。
从而使分时方程产生了增根
解得：
且
方法总结：1.化整式方程求根，且不能是增根. 2.根据题意列不等式组.
例2：k为何值时，关于x的方程
1 3 k2
解为正，求k的取 值范围？
x2 2x
1.若方程 -X--a-+-1-= 1的解是负数,求a 的取值范围.
2. a为何值时,关于x的方程 -a----1-- = 2 的解为非负数 x-1
1.解分式方程的思路是：
分式
转化
整式
方程
去分母
方程
2.解分式方程的一般步骤
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
“一化 二 解 (2)解这个整式方程. 三验 四结”
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最 简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
(4)写出原方程的根.
当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6.
∴ a=-4或a=6时.原方程产生增根. 方法：1.化为整式方程。
2 有增根使最简公分母为零时，求增根
3.把增根 代入整式方程求出字母的值。
随堂练习
• 1、分式方程
1 m • x 2 x 1
• 有增根，则增根为（ C ）
•
A、2
B、-1
•
C、2或-1 D、无法确定
∴ x=2或x=-2是 整式方程的根. 当x=2时 2（a-1） =-10， 则a= -4
当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6.
∴ a=-4或a=6时.原方程产生增根.原分式方程无解。
综上所述：当 a= 1或-4或6时原分式方程无解.
方法总结：1.化为整式方程. 2.把整式方程分两种情况讨 论，整式方程无解和整式方程的解为增根.而无解
则a ______
4：关于x的方程 x 1 x 2 2x a x 2 x 1 (x 2)( x 1)
的解是非负数数，求a的取值范
随堂练习
• 4、若关于x的分式方程
mx 1 5 m 3
2x 1
无解，则m= 6，10 。
例4：关于x的方程
x 21xxa 2 1 2x a x 2x 1x 1 (x 2)( x 1)
解方程： (1) x 1 3 x 2
x2 2x
X=1
(2)
x x
2 2
16 x2
4
1
X=-2 不 是是 分分 式式 方方 程程 的的增解根
.
∴原分式方程的无解
学习目标:
1.掌握分式方程的增根与无解这两个概念； 2.掌握增根与无解有关题型的解题方法；
例1 解方程：
2 4x 3 x 2 x2 4 x 2
①
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）得
2（x+2）-4x=3（x-2）②
解之得 x=2． 检验：当x=2时（x+2）（x-2） =0 ∴ x=２是原方程的增根． ∴原方程无解．
方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．去分母后 方程②中未知数x的取值范围扩大为全体数． ∴当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根． 本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，
例2
解关于x的方程
2 x2
ax x2 4
3 x2
产生增根,求
a
解：变形为： 2
ax
3
x 2 (x 2)(x 2) x 2
两边乘 （x+2）（ x-2）化简得
∵有增根 ∴ （x+2）（ x-2）=0 ∴ x=2或x=-2
∴ x=2或x=-2是
的根.
当x=2时 2（a-1） =-10， 则a= -4.
随堂练习
• 1、若分式方程
mx 1 1 x 1
• 有无解，求m的值
随堂练习
• 2、关于x的分式方程 2 3 kx x4 4x
有无解，求k的值
随堂练习
• 3、若分式方程 2m m x 0 无 x 1
解，则m的取值是（ A ）
•
A、-1或
1 2
B、
1 2
•
C、-1
D、
1 2
或0
随堂练习
反思小结
1.有关分式方程增根求字母系数的问题： 2.有关分式方程无解求字母系数的问题： 3.数学思想：
当 堂 检 测 作业；
1.如果分式方程 根可能是_____.
1 x5
10 有增根，那么增
x2 25
2.当m为何值时,方程 根.
x
2
2
mx x2 4
x
3
2
会产生增
3. 关于x的方程x a 3 1无解 x 1 x
则常数m的值等于( A )
m x-1
产生增根,
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
（4）ຫໍສະໝຸດ Baidum为何值时，方程x
x
3
2
m x3
无解？
例4 若分式方程 2x a 1的解是正数，求 a
x2
的取值范围.
解：两边乘（x-2）得: 2x+a=-(x-2)
解得
且x-2 ≠0 ∴ x≠2
由题意得不等式组：
随堂练习
• 2、若分式方程
mx 1 1 x 1
• 有增根，求m的值
随堂练习
• 3、关于x的分式方程 2 3 kx x4 4x
有增根，求k的值 因增根产生无解。那么无解是否都是由增根 造成的？ 无解和增根一样吗？
例2
x 1
解方程：
3
x
2
x2 2x
解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8．
的解是正数，求a的取值范围。
谢谢指导！
再见
2012、3、10
• 4、分式方程 x 2 ● x 1 1- x
• 中的一个分 子被污染成了●，已知 这个方程无解，那么被污染的分子 ●应该是 。
（1）方程
X-4 x-5
=
1 X-5
有增根，则增根是_X_=_5
（2）
1-X x-2
=
1 2-X
-2
有增根，则增根是_X_=_2
（3） 解关于x的方程
x-3 x-1
=
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
分式方程化为整式方程，整式方程本身就无解 当然原分式方程肯定就无解了．
∴分式方程无解不一定是因为产生增根．
分式方程无解:
则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边 的值等．它包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但 这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增 根，从而原方程无解．
例3 解关于x的方程
（例2变式)
x
2
2
ax x2 4
x
3
无解，求
2
a。
解：变形为： 2 ax 3
x 2 (x 2)(x 2) x 2
两边乘 （x+2）（ x-2）化简得
原分式方程无解分两种情况：
整式方程无解 当a-1=0时 解得a=1原分式方程无解。
整式方程的解为分式方程的增根时（x+2）（ x-2）=0 ∴ x=2或x=-2
所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．
分式方程有增根:
指的是解分式方程时，在把分式方程转化为
整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了
一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数
的取值范围产生的未知数的值；从而使分式
方程无解。
（1）整式方程有解
从而使 分式方
（2）整式方程的解使最简公分母=0 程无解。
从而使分时方程产生了增根
解得：
且
方法总结：1.化整式方程求根，且不能是增根. 2.根据题意列不等式组.
例2：k为何值时，关于x的方程
1 3 k2
解为正，求k的取 值范围？
x2 2x
1.若方程 -X--a-+-1-= 1的解是负数,求a 的取值范围.
2. a为何值时,关于x的方程 -a----1-- = 2 的解为非负数 x-1