按年龄分组的种群增长模型

按年龄分组的种群增长模型

实验目的

1、利用常差分方程建立实际问题的数学；

2、学会用MATLAB软件计算出模型的相关问题。

实验内容

1、用常差分方程建立按年龄分组的种群增长模型；

2、用MATLAB软件求按年龄分组的种群模型的一些问题。

实验步骤

问题 野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率、死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑按年龄分组的种群增长。

将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率（在稳定环境下不妨假定它们与时段无关），建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。

模型及其求解 设种群按年龄等间隔地分成个年龄组，记，时段记作，且年龄组区间与时段长度相等（若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段）。以雌性个体为研究对象比较方便，以下种群数量均指其中的雌性。

记第年龄组在时段的数量为；第年龄组的繁殖率为，表示每个（雌性）个体在一个时段内繁殖的数量；第年龄组的死亡率为，表示一个时段内死亡数与总数的比。是存活率。

为建立的变化规律，我们注意到:第1年龄组在时候的数量为各年龄组在第时段繁殖的数量之和，即

(22.1)

而第年龄组在时段的数量是第年龄组在时段存活的数量，即

(22.2)

记在时段种群各年龄组的数量为

。 (22.3)

这样，有

(22.4)

将归一化后的向量记做,称种群按年龄的分布向量。给定在0时段，各年龄组的初始数量，就可以预测任意时段各年龄组的数量。

设一种群分成5个年龄组, 已知繁殖率存活率。各年龄组现有数量都是100只，下面我们用MATLAB计算。

% 按年龄分组的种群增长

clear all

b=[0,0.2,1.8,0.8,0.2];

s=diag([0.5,0.8,0.8,0.1]); % 对角阵，对角元素为0.5,0.8,0.8,0.1 L=[b;s,zeros(4,1)]; % 构造矩阵L

x(:,1)=100*ones(5,1); % 赋初值

K=45;

for k=1:K

x(:,k+1)=L*x(:,k); %迭代计算

end

round (x),

y=diag([1./sum(x)]); % 为向量x归一化做的计算

z=x*y, % z是向量x的归一化

k=0:K;

subplot(1,2,1), plot(k,x),grid % 在一个图形窗内画两张图

subplot(1,2,2), plot(k,z),grid

将归一化后的向量记做，称为种群按年龄分组的分布向量，即各年龄组在时段在数量上占总数的百分比。

y=diag(1./sum(x)); %sum(x) 对列求和

Z=x*y

subplot(1,2,2),plot(k,z),grid

subplot(1,2,2),plot(k,z),grid

得到的结果见表22-1、表22-2和图22.1、图22.2。

表22-1 的部分计算结果

123456 (404142434445)

100300220155265251……544 557572586 601616 1005015011077132……265 272279286 293301 10080401208862……207 212217223 229234 1008064329670……161 165170174 178183 1001086310……16 161717 1718

表22-2 的部分计算结果

123 (434445)

0.20000.57690.4564……0.45590.45590.4558

0.20000.09620.3112……0.22220.22230.2223

0.20000.15380.0830……0.17340.17340.1734

0.20000.15380.1328……0.13530.13530.1353

0.20000.01920.0166……0.01320.01320.0132

结果分析从上述图表可以看出，时间充分长以后种群按年龄分组的分布向量趋于稳定，这种状况与Leslie矩阵的如下性质有关（设矩阵第一行有两个顺序的大于零）：

矩阵有单特征根，对应特征向量为

（22.5）

对于的其他特征根有，且由（22.4）式确定的满足

，（22.6）

其中是与，，有关的常数（请读者在矩阵可对角化的条件下证明（22.6）式）。

图22.1 的图形图22.2从上到下依次为到的图形

由上述性质可以对时间充分长以后的，做出如下分析（以下记作）；

(1) 记归一化的特征向量为，则

（22.7）

与无关，即按年龄组的分布向量趋向稳定分布。

(2) 因为，所以

（22.8）

即各年龄组的数量按照同一比例增减，称固有增长率。

(3)由的特征方程

（22.9）

可知，当

（22.10）

时固有增长率，各年龄组的数量不变，且由（22.5）式知特征向量

，（22.11）

再注意到，（22.11）式给出

（22.12）即存活率等于同一时段相邻年龄组的数量之比。

（4）用本例的数据对上面的稳态分析作验证。

1）用MATLAB可得矩阵的全部特征根，其中最大的为，由（22.5）式容易计算特征向量，归一化得，与表2.6的计算结果相近，即（22.7）式。

2）在的计算结果中（表22.1），对于大的和的值在附近（的值较小，取整后计算误差较大），即（22.8）式。

3）因比1略大可以由表22-1或表22-2对于大的近似验证（22.12）