年金终值和年金现值的计算

六、年金终值和年金现值的计算

（一）年金的含义

年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项。通常记作A 。具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。也可以理解为年金是指等额、定期的系列收支。在现实工作中年金应用很广泛。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。

老师手写板：

①

②年、月、半年、2年

1年 2年 3年

1年 1年 1年

（二）年金的种类

年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为四种：

普通年金（后付年金）：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。

预付年金（先付年金、即付年金）：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。

递延年金：从第二期或第二期以后开始每期期末收付的年金。 永续年金：无限期的普通年金。

注意：各种类型年金之间的关系

（1）普通年金和即付年金

区别：普通年金的款项收付发生在每期期末，即付年金的款项收付发生在每期期初。 联系：第一期均出现款项收付。

【例题1·单选题】2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限3年，每年12月31日支付租金10万元，共支付3年。该租金有年金的特点，属于（ ）。(2010年考试真题)

A ．普通年金

B ．即付年金

C ．递延年金

D ．永续年金

【答案】A

【解析】每年年末发生等额年金的是普通年金。

（2）递延年金和永续年金

二者都是在普通年金的基础上发展演变起来的，它们都是普通年金的特殊形式。它们与普通年金的共同点有：它们都是每期期末发生的。区别在于递延年金前面有一个递延期，也就是前面几期没有现金流，永续年金没有终点。

在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。

【提示】

1.这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。

A A A A A A A A A A 300万 200万 100万

2.这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。

【例题2·判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。（ ）

【答案】×

【解析】在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足“相等”的条件即可。注意：如果本题改为“每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金”则是正确的。即间隔期为一年，只是年金的一种情况。

（三）年金的计算

1.普通年金终值的计算

普通年金终值是指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。

设每年的支付金额为A ，利率为i ，期数为n ，则按复利计算的年金终值F 为：

F=A+A×(1+i)+…+A×(1+i)n-1， (1)

等式两边同乘以(1+i)：

F(1+i)=A(1+i)1+A(1+i)2+…+A(1+i)n

，（n 等均为次方） （2）

（2）与（1）式两边相减可得出公式：

F(1+i)-F=A(1+i)n -A,

普通年金终值的计算公式： i i A n 1)1(F -+•=

年金终值系数（F/A ，i ，n ），平时做题可查表得到，考试时，一般会直接给出该系数。 为了使您更好的理解年金系数与复利系数之间的关系，请注意各个系数之间的关系： 年金终值系数＝（复利终值系数－1）/i

年金现值系数＝（1－复利现值系数）/i

【例11-5】小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1 000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王九年捐款在2003年底相当于多少钱?

【答案】

F=A[(1+i)n -1]/i=1000×[(1+2%)9-1]/2%=9754.6（元）

F= 1000×（F/A ，2%，9）=1000×9.7546=9754.6(元)

【例11-6】A 矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权，从获得开采权的第l 年开始，每年末向A 公司交纳l0亿美元的开采费，直到l0年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A 公司40亿美元，在8年后开采结束，再付给60亿美元。如A 公司要求的年投资回报率达到15%，问应接受哪个公司的投标?

【答案】

要回答上述问题，主要是要比较甲乙两个公司给A 的开采权收入的大小。但由于两个公司支付开采权费用的时间不同，因此不能直接比较，而应比较这些支出在第10年终值的大小。

甲公司的方案对A公司来说是一笔年收款l0亿美元的l0年年金，其终值计算如下：F=10×（F/A，15%，10）=10×20.304=203.04（亿美元）

乙公司的方案对A公司来说是两笔收款，分别计算其终值：

第1笔收款（40亿美元）的终值=40×（1+15%）10

=40×4.0456=161.824（亿美元）

第2笔收款（60亿美元）的终值=60×（1+15%）2

=60×1.3225=79.35（亿美元）

终值合计l61.824+79.35=241.174（亿美元）

因此，甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。

复利现值系数表（P/F表）

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 8% 10% 12% 14% 15% 16% 18%

1 0.99 0.98 0.97 0.961 0.95

2 0.94

3 0.925 0.909 0.892 0.877 0.869 0.862 0.847

2 0.98 0.961 0.942 0.924 0.907 0.889 0.857 0.826 0.797 0.769 0.756 0.74

3 0.718

3 0.97 0.942 0.915 0.888 0.863 0.839 0.793 0.751 0.711 0.67

4 0.657 0.64 0.608

4 0.96 0.923 0.888 0.854 0.822 0.792 0.73

5 0.683 0.635 0.592 0.571 0.552 0.515

5 0.951 0.905 0.862 0.821 0.783 0.747 0.68 0.62 0.567 0.519 0.497 0.47

6 0.437

6 0.942 0.88

7 0.837 0.79 0.746 0.704 0.63 0.564 0.506 0.455 0.432 0.41 0.37

7 0.932 0.87 0.813 0.759 0.71 0.665 0.583 0.513 0.452 0.399 0.375 0.353 0.313

8 0.923 0.853 0.789 0.73 0.676 0.627 0.54 0.466 0.403 0.35 0.326 0.305 0.266

9 0.914 0.836 0.766 0.702 0.644 0.591 0.5 0.424 0.36 0.307 0.284 0.262 0.225

10 0.905 0.82 0.744 0.675 0.613 0.558 0.463 0.385 0.321 0.269 0.247 0.226 0.191

11 0.896 0.804 0.722 0.649 0.584 0.526 0.428 0.35 0.287 0.236 0.214 0.195 0.161

12 0.887 0.788 0.701 0.624 0.556 0.496 0.397 0.318 0.256 0.207 0.186 0.168 0.137

13 0.878 0.773 0.68 0.6 0.53 0.468 0.367 0.289 0.229 0.182 0.162 0.145 0.116

14 0.869 0.757 0.661 0.577 0.505 0.442 0.34 0.263 0.204 0.159 0.141 0.125 0.098

15 0.861 0.743 0.641 0.555 0.481 0.417 0.315 0.239 0.182 0.14 0.122 0.107 0.083

16 0.852 0.728 0.623 0.533 0.458 0.393 0.291 0.217 0.163 0.122 0.106 0.093 0.07

17 0.844 0.714 0.605 0.513 0.436 0.371 0.27 0.197 0.145 0.107 0.092 0.08 0.059

18 0.836 0.7 0.587 0.493 0.415 0.35 0.25 0.179 0.13 0.094 0.08 0.069 0.05

19 0.827 0.686 0.57 0.474 0.395 0.33 0.231 0.163 0.116 0.082 0.07 0.059 0.043

20 0.819 0.672 0.553 0.456 0.376 0.311 0.214 0.148 0.103 0.072 0.061 0.051 0.036