第2章 一维定常流动的基本方程(Part4.临界状态和气体动力学函数)
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气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
对于一个绝能等熵加速流动，
T
*
P
* * c T( ) *
出口截面马赫数等于 1 的喷管， 出口截面即为临界截面，它的 参数也是整个流管的临界参数 马赫数小于1的截面上的气流 状态参数、滞止参数和临界参 数的关系
2016/3/30
0.2 0 0.4 0.8 1.2 发动机系
气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
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( Ma ＜1 )
P T( c ) Pcr
cr
Tcr ( ccr )
s
滞止状态、临界状态和实际状态
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气体动力学（Aerodynamics）
速度系数：λ
V ccr
——无量纲的速度，气流速度与临界声速之比
思考：已经定义了Ma，为什么还要引入速度系数λ？
2 p A q z k 1 p A f
qm AV
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
p k 1 2 1 Ma p 2
Ma 1
pcr 2 p k 1
k k 1
p T k 1 2 1 M a p T 2
1 k 1
Ma 1
cr 2 k 1
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气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
k V2 k RT RT k 1 2 k 1
C C
*
M＜ 1
M= 1 M ＞1
V max c V c k 1 2 k 1 2
o
2
2
2
2
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Vcr = C cr
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
连续方程的几种形式
T k 1 2 1 k 1 T
p k 1 2 1 p k 1
k k 1
1.0 0.8 0.6 0.4
1 k 1
（λ ） π
τ （λ ） ε（λ ）
k 1 2 1 k 1
V c, Ma 1
pcr ,Tcr , cr , ccr ,Vcr
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气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
Vcr ccr 代入式
V max c V c k 1 2 k 1 2
2 2 2 2
2 2 ccr k 1 Vmax c2 得 2 k 1 2 k 1
1 0 1
速度系数随马赫数的变化
Ma
k 1 k 1
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
气体动力学函数及应用
气动函数
T k 1 2 1 k 1 T
p k 1 2 1 p k 1
k k 1
将总、静参数与λ或Ma的关系进
行组合构成气动函数
对于一定的气体，即k已知，每式
k 1 2 1 k 1
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1 k 1
只有三个未知数，即静参数、总
参数和λ。如果已知两个则第三个 就可用相应的公式求出。
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气体动力学（Aerodynamics）
气体动力学函数及应用
气动函数 对于空气 k=1.4
， ε（λ ） τ （λ ） （λ ） ， π
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Aq
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
由气动函数表
k 1.4
查得，当
0.9682
时
q 0.355
qm K p T 1.0059 105 0.0404 0.283 0.355 296 23.73 kg s
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k 1 qmV pA qm ccr ccr 2k
气体动力学（Aerodynamics）
k 1 ccr k 1 2 qm ccr 1 2k k 1 k 1 1 qm ccr 2k k 1 qm ccr z 2k
流的速度将达到最大值，即是极限速度，或称最大速度。
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气体动力学（Aerodynamics）
极限速度
k V k RT RT k 1 2 k 1
将T 0，V Vmax 代入，得到 Vmax
2
2 kRT k 1
对于绝能流动，极限速度Vmax个常数，用作参考速度 Vmax仅是一个理论上的极限值，因为任何气体在未达 到早已液化
qm AV C
qm K
p
T
A q C
qm K
p T
A y C
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
若利用马赫数计算速度，还需要知道当地音速（静温）
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气体动力学（Aerodynamics）
速度系数
原因2：当V=Vmax时，Ma趋近于
V ccr
，而λ趋近于有限值。
max
Vmax k 1 ccr k 1
在气体动力学里，速度系数λ比马赫数Ma应用范围要广
k 1 k 1 p 2kRT qmV pA qmccr Z K q A Z 2k 2k k 1 T
k 1 k 2 2k R k 1
1 k 1
k 1 k 1
2k R p A q z k 1
或
速度系数λ与马赫数Ma具有确定的对应关系
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气体动力学（Aerodynamics）
速度系数与马赫数的关系
Ma 0 Ma 1 Ma 1 Ma 1
V Vmax
0 1 1 1
Ma
max
k+1 k-1
气体动力学（Aerodynamics）
极限速度
极限速度:气流经过绝能过程所能达到的最大速度 Vmax
可根据完全气体绝能过程的能量方程式来确定
2
V * h h 2
T
V
k V k RT RT k 1 2 k 1 T绝能 T 0 K V V
max
2
在绝能流动中，气流的温度降低，气流速度必然增加；如 果气流的绝对温度降到零，则气流的热焓全部转化为动能，气
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
气体动力学函数及应用
流量函数 q y 一维定常流动流量公式：
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气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
几点说明
3. 气流马赫数不等于 1 的截面仍有临界参数，该截面气 流的静参数不等于临界参数；如果把该截面绝能等熵 地转变到马赫数等于1则可得到该截面的临界参数 4. 气流在某个截面上的声速和临界声速的区别：前者由 该截面的气流静温决定，而后者则由该截面的临界温 度确定，只有在临界截面上的声速才等于其临界声速
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气体动力学（Aerodynamics）
速度系数与马赫数的关系
V ccr
2 k 1 M 2 a 2 2 k 1M a
V Ma c
2 M 2 k 1 k 1
2 2 a
2 2 c V 2 T 2 k 1 2 2 2 cr 2 2 Ma 2 2 (1 Ma ) c c k 1 T k 1 2
1 k 1
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气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
几点说明
1. 在一维流动的每一个截面上，都有相应于该截面的临 界参数【类比记忆：气流中每个截面上都有相应的滞 止参数】 2. 如果一个截面上的马赫数恰好等于 1 ，则该截面上气 流的状态就是临界状态，该截面上的气流参数就是临 界参数，该截面叫做临界截面
Vmax
V
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气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
C C
*
M＜ 1
M= 1 M ＞1
M a 1该状态称其为临界状态
该状态的声速称为临界声速 相应的速度称为临界速度
45
o
Vcr = C cr
Vmax
临界状态
V
ccr Vcr
临界状态的压强、密度和温 度称之为临界压强、临界密 度和临界温度
其中
代入
z
1
Fi qmV2 p2 A2 qmV1 p1 A1
k 1 Fi qm ccr 2 z 2 ccr1 z 1 2k
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气体动力学（Aerodynamics）
V ccr
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V Ma c
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气体动力学（Aerodynamics）
V Ma c
c kRT
速度系数
V ccr
2k ccr RT k 1
原因1：在绝能流动中，临界声速是个常数，流场中某
截面上气流速度只与该截面上速度系数有关（成正比 ）， 这与马赫数相比要方便
临界声速、极限速度及滞止声速的关系：
k 1 2 2k ccr Vmax c RT k 1 k 1 k 1
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气体动力学（Aerodynamics）
T k 1 2 1 Ma T 2
Ma 1
k k 1
Tcr 2 k 1 T
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气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
对于一个绝能等熵加速流动，
T
*
P
* * c T( ) *
出口截面马赫数等于 1 的喷管， 出口截面即为临界截面，它的 参数也是整个流管的临界参数 马赫数小于1的截面上的气流 状态参数、滞止参数和临界参 数的关系
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0.2 0 0.4 0.8 1.2 发动机系
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( Ma ＜1 )
P T( c ) Pcr
cr
Tcr ( ccr )
s
滞止状态、临界状态和实际状态
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气体动力学（Aerodynamics）
速度系数：λ
V ccr
——无量纲的速度，气流速度与临界声速之比
思考：已经定义了Ma，为什么还要引入速度系数λ？
2 p A q z k 1 p A f
qm AV
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气体动力学（Aerodynamics）
p k 1 2 1 Ma p 2
Ma 1
pcr 2 p k 1
k k 1
p T k 1 2 1 M a p T 2
1 k 1
Ma 1
cr 2 k 1
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气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
k V2 k RT RT k 1 2 k 1
C C
*
M＜ 1
M= 1 M ＞1
V max c V c k 1 2 k 1 2
o
2
2
2
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Vcr = C cr
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连续方程的几种形式
T k 1 2 1 k 1 T
p k 1 2 1 p k 1
k k 1
1.0 0.8 0.6 0.4
1 k 1
（λ ） π
τ （λ ） ε（λ ）
k 1 2 1 k 1
V c, Ma 1
pcr ,Tcr , cr , ccr ,Vcr
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临界状态和临界参数
Vcr ccr 代入式
V max c V c k 1 2 k 1 2
2 2 2 2
2 2 ccr k 1 Vmax c2 得 2 k 1 2 k 1
1 0 1
速度系数随马赫数的变化
Ma
k 1 k 1
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气体动力学函数及应用
气动函数
T k 1 2 1 k 1 T
p k 1 2 1 p k 1
k k 1
将总、静参数与λ或Ma的关系进
行组合构成气动函数
对于一定的气体，即k已知，每式
k 1 2 1 k 1
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1 k 1
只有三个未知数，即静参数、总
参数和λ。如果已知两个则第三个 就可用相应的公式求出。
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气体动力学函数及应用
气动函数 对于空气 k=1.4
， ε（λ ） τ （λ ） （λ ） ， π
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气体动力学（Aerodynamics）
由气动函数表
k 1.4
查得，当
0.9682
时
q 0.355
qm K p T 1.0059 105 0.0404 0.283 0.355 296 23.73 kg s
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k 1 qmV pA qm ccr ccr 2k
气体动力学（Aerodynamics）
k 1 ccr k 1 2 qm ccr 1 2k k 1 k 1 1 qm ccr 2k k 1 qm ccr z 2k
流的速度将达到最大值，即是极限速度，或称最大速度。
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极限速度
k V k RT RT k 1 2 k 1
将T 0，V Vmax 代入，得到 Vmax
2
2 kRT k 1
对于绝能流动，极限速度Vmax个常数，用作参考速度 Vmax仅是一个理论上的极限值，因为任何气体在未达 到早已液化
qm AV C
qm K
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A q C
qm K
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A y C
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若利用马赫数计算速度，还需要知道当地音速（静温）
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气体动力学（Aerodynamics）
速度系数
原因2：当V=Vmax时，Ma趋近于
V ccr
，而λ趋近于有限值。
max
Vmax k 1 ccr k 1
在气体动力学里，速度系数λ比马赫数Ma应用范围要广
k 1 k 1 p 2kRT qmV pA qmccr Z K q A Z 2k 2k k 1 T
k 1 k 2 2k R k 1
1 k 1
k 1 k 1
2k R p A q z k 1
或
速度系数λ与马赫数Ma具有确定的对应关系
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气体动力学（Aerodynamics）
速度系数与马赫数的关系
Ma 0 Ma 1 Ma 1 Ma 1
V Vmax
0 1 1 1
Ma
max
k+1 k-1
气体动力学（Aerodynamics）
极限速度
极限速度:气流经过绝能过程所能达到的最大速度 Vmax
可根据完全气体绝能过程的能量方程式来确定
2
V * h h 2
T
V
k V k RT RT k 1 2 k 1 T绝能 T 0 K V V
max
2
在绝能流动中，气流的温度降低，气流速度必然增加；如 果气流的绝对温度降到零，则气流的热焓全部转化为动能，气
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气体动力学函数及应用
流量函数 q y 一维定常流动流量公式：
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临界状态和临界参数
几点说明
3. 气流马赫数不等于 1 的截面仍有临界参数，该截面气 流的静参数不等于临界参数；如果把该截面绝能等熵 地转变到马赫数等于1则可得到该截面的临界参数 4. 气流在某个截面上的声速和临界声速的区别：前者由 该截面的气流静温决定，而后者则由该截面的临界温 度确定，只有在临界截面上的声速才等于其临界声速
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速度系数与马赫数的关系
V ccr
2 k 1 M 2 a 2 2 k 1M a
V Ma c
2 M 2 k 1 k 1
2 2 a
2 2 c V 2 T 2 k 1 2 2 2 cr 2 2 Ma 2 2 (1 Ma ) c c k 1 T k 1 2
1 k 1
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临界状态和临界参数
几点说明
1. 在一维流动的每一个截面上，都有相应于该截面的临 界参数【类比记忆：气流中每个截面上都有相应的滞 止参数】 2. 如果一个截面上的马赫数恰好等于 1 ，则该截面上气 流的状态就是临界状态，该截面上的气流参数就是临 界参数，该截面叫做临界截面
Vmax
V
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临界状态和临界参数
C C
*
M＜ 1
M= 1 M ＞1
M a 1该状态称其为临界状态
该状态的声速称为临界声速 相应的速度称为临界速度
45
o
Vcr = C cr
Vmax
临界状态
V
ccr Vcr
临界状态的压强、密度和温 度称之为临界压强、临界密 度和临界温度
其中
代入
z
1
Fi qmV2 p2 A2 qmV1 p1 A1
k 1 Fi qm ccr 2 z 2 ccr1 z 1 2k
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V ccr
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V Ma c
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V Ma c
c kRT
速度系数
V ccr
2k ccr RT k 1
原因1：在绝能流动中，临界声速是个常数，流场中某
截面上气流速度只与该截面上速度系数有关（成正比 ）， 这与马赫数相比要方便
临界声速、极限速度及滞止声速的关系：
k 1 2 2k ccr Vmax c RT k 1 k 1 k 1
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T k 1 2 1 Ma T 2
Ma 1
k k 1
Tcr 2 k 1 T