2020年高考数学一轮复习专题10.6椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线练习(含解析)

第六讲 椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线

求离心率的三种方法

（1）直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．

（2）构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．

（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

注意：在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用不同曲线的离心率范围进行根的取舍，否则将产生增根．

考向一 椭圆的离心率

【例1】（1）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2

＝30°，则C 的离心率为 。

（2）若将（1）中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率． （3）若将（1）中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．

【答案】（1）

33 （2）6－22 （3）⎝ ⎛⎭

⎪⎫22，1 【解析】解法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，

故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝3

3

．

解法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2

a ．

又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a

，变形可得3(a 2－c 2

)＝2ac ，

等式两边同除以a 2

，得3(1－e 2

)＝2e ，解得e ＝

3

3

或e ＝－3(舍去)． （2）在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°，∠PF 2F 1＝75°，∴∠F 1PF 2＝60°，

设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，

则在△PF 1F 2中，有m sin 75°＝n sin 45°＝2c

sin 60°

，

∴

m ＋n

sin 75°＋sin 45°＝2c sin 60°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22

．

（3）由题意，知c >b ，∴c 2

>b 2

．又b 2

＝a 2

－c 2

，∴c 2

>a 2

－c 2

，

即2c 2

>a 2

．∴e 2

＝c 2a 2>12，∴e >22．故C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭

⎪⎫22，1．

【举一反三】

1. 设F 1，F 2是椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF △ 是底角

为30︒的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为___________； 【答案】

3

4

【解析】如图，设直线32

a

x =

交x 轴于D 点，因为21F PF △是底角为30︒的等腰三角形，则有122F F F P =，因为1230PF F ∠=︒，所以260PF D ∠=︒，230DPF ∠=︒，所以221211

22

DF F P F F ==，

即31222a c c c -=⨯=，即322a c =，即34c a =，所以椭圆E 的离心率34

c e a ==

2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的四个顶点，F 为其右焦

点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为___________．

【答案】5

【解析】设F (c ，0)，则222c a b =- 由题意，易得直线A 1B 2，B 1F 的方程分别为

1x y a b +=-，1x y

c b

+=- 将上述两个方程联立，求解可得点T 的坐标为T 2()

(

,)ac b a c a c a c

+--，则M ()(,)2()ac b a c a c a c +-- 又点M 在椭圆上，所以22

22

()1()4()

c a c a c a c ++=--，整理得221030c ac a +-= 两边同时除以2a ，可得21030e e +-=

，解得5e =

或5e =-(舍去)

3.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，

且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 。 【答案】1

3

【解析】设M (－c ，m )，则E ⎝

⎛⎭⎪⎫0，

am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，

所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，所以a ＝3c ，所以e ＝1

3

.

4.已知椭圆的方程为2x 2

＋3y 2

＝m ，(m >0)，则此椭圆的离心率为 。 【答案】

33

【解析】由题意，得椭圆的标准方程为x 2m 2

＋y 2m 3

＝1，∴a 2＝m 2，b 2＝m 3，∴c 2＝a 2－b 2

＝m 6

，

∴e 2

＝c 2a 2＝13，即e ＝3

3

.．