研究生高等代数复习题完整版
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14.设 的线性变换?在标准基下的矩阵为 ，
（1）求?的特征值和特征向量，
（2）求 的一组标准正交基，使?在此基下的矩阵为对角矩阵.
15.设 是四维线性空间 的一组基，线性变换?在这组基下的矩阵为 （1）求线性变换?的秩，（2）求线性变换?核与值域.
16.求正交变换使二次型 化为标准形，并判定该二次型是否正定.
（1）证明： 是 的一个子空间；（2）证明： .
9.试求矩阵 的特征多项式、最小多项式.
10.在线性空间 中定义变换 ：
（1）证明： 是 的线性变换.（2）求值域 及核 的基和维数.
11.证明二次型 是半正定的.
12.求 的值，使 是正定二次型.（12分）
13.设 （1）求A的不变因子.（2）求A的若当标准形.
29.设 为数域 上的 维线性空间，且
(1）证明： 是 的一组基；
(2)若 在基 下的坐标为 ，
求 在基 下的坐标. （14分）
30.在三维空间 中，已知线性变换 在基 下的矩阵是 ，求 在基 下的矩阵.
31.在线性空间 中，定义 ， ，其中 。
（1）证明： 是 的内积，因而 按此内积构成一个欧氏空间，
（2）求 的一组标准正交基，（3）求矩阵 ，使得 .
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，wenku.baidu.com任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
39.已知实二次型 （1）假设 是负定二次型，求 的值；（2）当 时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵.
40.设 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为 （1）令 ，证明 是个单位向量；（2）若 与 正交，求 .
41.已知 , 是 的两个子空间，求 的一个基和维数.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
，求 的核和值域.
59.已知向量 ,
，（1）求线性子空间 的维数与一个基；
（2）求 的值，使得 W ，并求 在（1）所选基下的坐标.
在 中求与 同时正交的单位向量（内积按通常的定义）.
54.已知 的两个子空间 ， ，
证明： ．
55.求下面矩阵 的列空间在 中的正交补的一个标准正交基.（15分）
56.设 为 阶方阵， ，
证明： 为幂等矩阵当且仅当 .
57.设 是数域P上线性空间V的线性变换， , 是 的特征值，且 ，
, 分别是对应于 , 的特征子空间，试证： 是直和.
21.二次型 ，1）写出二次型 的矩阵A；
2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将 化为标准形.
22.求方阵 的不变因子、初等因子和若当标准形.
23.设V是n维欧氏空间，n 3, 给定非零向量 ，令 证明：（1） 是正交变换；（2）如果 是正交基，则存在不全为零实数 使得 是V上的恒等变换.
47.在线性空间P2×2中，
(1)求 的维数与一组基； (2)求 的维数与一组基.
47’.设 为 维线性空间 的一个线性变换，且 (恒等变换)，
证明:(1) 的特征值只能是1或 -1；(2) .
48.已知二次型 通过正交变换化为标准形 ，求 的值及所作的正交变换．
49. 中，线性变换 关于基 ， ， 的矩阵为 （1）求 关于标准基 的矩阵；
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
24. 是 和 的解空间,
则 .
25.设 和 是线性空间 中依据如下方式定义的两个线性变换：
， ，求 .
26.设欧氏空间中有 ， ． ，
，证明：如果 ，那么 ．
27.求实二次型 的规范形及符号差.（15分）
28.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1， ， ， ，求A 的所有的初等因子及A的若当标准形.
4.已知二次型 通过某个正交变换可化为标准形 ，（1）写出二次型对应的矩阵A及A的特征多项式，并确定 的值； （2）求出作用的正交变换.
6.设 为 阶方阵， ， 证明 为幂等矩阵，则 .
7.若设W= ,
证明：W是 的子空间，并求出W的一组基及维数.
8.设 是一个n维欧氏空间， 为 中的正交向量组，令
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
（2）设 , ,求 关于基 的坐标.
50.设 是 的线性变换,
（1）求值域 的一个基和维数；（2）求核 的一个基和维数．
51.（1）实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类；
（2）某四元二次型有标准形 ，求其规范形.
52.设 （1）求A的最小多项式；（2）求A的初等因子；（3）求A的若当标准形.
53.设 ，
42.V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
证明：W1、W2皆为V的子空间，且 .
43.由三个函数1, 生成的实线性空间记为 ,
求线性变换T: , 的迹，行列式和特征多项式.
44.求 -矩阵 的初等因子和不变因子.
45.设 为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换?如下：
证明：??为第二类的正交变换
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.
（1）求?的特征值和特征向量，
（2）求 的一组标准正交基，使?在此基下的矩阵为对角矩阵.
15.设 是四维线性空间 的一组基，线性变换?在这组基下的矩阵为 （1）求线性变换?的秩，（2）求线性变换?核与值域.
16.求正交变换使二次型 化为标准形，并判定该二次型是否正定.
（1）证明： 是 的一个子空间；（2）证明： .
9.试求矩阵 的特征多项式、最小多项式.
10.在线性空间 中定义变换 ：
（1）证明： 是 的线性变换.（2）求值域 及核 的基和维数.
11.证明二次型 是半正定的.
12.求 的值，使 是正定二次型.（12分）
13.设 （1）求A的不变因子.（2）求A的若当标准形.
29.设 为数域 上的 维线性空间，且
(1）证明： 是 的一组基；
(2)若 在基 下的坐标为 ，
求 在基 下的坐标. （14分）
30.在三维空间 中，已知线性变换 在基 下的矩阵是 ，求 在基 下的矩阵.
31.在线性空间 中，定义 ， ，其中 。
（1）证明： 是 的内积，因而 按此内积构成一个欧氏空间，
（2）求 的一组标准正交基，（3）求矩阵 ，使得 .
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，wenku.baidu.com任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
39.已知实二次型 （1）假设 是负定二次型，求 的值；（2）当 时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵.
40.设 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为 （1）令 ，证明 是个单位向量；（2）若 与 正交，求 .
41.已知 , 是 的两个子空间，求 的一个基和维数.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
，求 的核和值域.
59.已知向量 ,
，（1）求线性子空间 的维数与一个基；
（2）求 的值，使得 W ，并求 在（1）所选基下的坐标.
在 中求与 同时正交的单位向量（内积按通常的定义）.
54.已知 的两个子空间 ， ，
证明： ．
55.求下面矩阵 的列空间在 中的正交补的一个标准正交基.（15分）
56.设 为 阶方阵， ，
证明： 为幂等矩阵当且仅当 .
57.设 是数域P上线性空间V的线性变换， , 是 的特征值，且 ，
, 分别是对应于 , 的特征子空间，试证： 是直和.
21.二次型 ，1）写出二次型 的矩阵A；
2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将 化为标准形.
22.求方阵 的不变因子、初等因子和若当标准形.
23.设V是n维欧氏空间，n 3, 给定非零向量 ，令 证明：（1） 是正交变换；（2）如果 是正交基，则存在不全为零实数 使得 是V上的恒等变换.
47.在线性空间P2×2中，
(1)求 的维数与一组基； (2)求 的维数与一组基.
47’.设 为 维线性空间 的一个线性变换，且 (恒等变换)，
证明:(1) 的特征值只能是1或 -1；(2) .
48.已知二次型 通过正交变换化为标准形 ，求 的值及所作的正交变换．
49. 中，线性变换 关于基 ， ， 的矩阵为 （1）求 关于标准基 的矩阵；
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
24. 是 和 的解空间,
则 .
25.设 和 是线性空间 中依据如下方式定义的两个线性变换：
， ，求 .
26.设欧氏空间中有 ， ． ，
，证明：如果 ，那么 ．
27.求实二次型 的规范形及符号差.（15分）
28.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1， ， ， ，求A 的所有的初等因子及A的若当标准形.
4.已知二次型 通过某个正交变换可化为标准形 ，（1）写出二次型对应的矩阵A及A的特征多项式，并确定 的值； （2）求出作用的正交变换.
6.设 为 阶方阵， ， 证明 为幂等矩阵，则 .
7.若设W= ,
证明：W是 的子空间，并求出W的一组基及维数.
8.设 是一个n维欧氏空间， 为 中的正交向量组，令
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
（2）设 , ,求 关于基 的坐标.
50.设 是 的线性变换,
（1）求值域 的一个基和维数；（2）求核 的一个基和维数．
51.（1）实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类；
（2）某四元二次型有标准形 ，求其规范形.
52.设 （1）求A的最小多项式；（2）求A的初等因子；（3）求A的若当标准形.
53.设 ，
42.V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
证明：W1、W2皆为V的子空间，且 .
43.由三个函数1, 生成的实线性空间记为 ,
求线性变换T: , 的迹，行列式和特征多项式.
44.求 -矩阵 的初等因子和不变因子.
45.设 为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换?如下：
证明：??为第二类的正交变换
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.