第5章 恒定电流

第5章 恒定电流

一、目的与要求

1．理解电流密度的概念，熟悉电流密度与电流强度的关系。 2．理解建立恒定电场和恒定电流的条件。

3．熟悉欧姆定律的微分形式，能计算一些简单形状的电阻。

4．理解电动势的概念，掌握一段含源电路的欧姆定律，全电路欧姆定律及其应用。 5．掌握电流的功和功率的计算，熟悉焦耳定律的应用。

6．熟悉基尔霍夫定律及其在电路中的应用。

二、内容提要

1．电流密度：

电流密度是一个矢量，其大小为单位时间内通过垂直于电流的单位截面的电量，其方

向为正电荷流动的方向，即

v nq s

I

==

n j d d 电流强度：

单位时间内通过导体任一横截面的电量，即

⎰⋅=s

I s j d

2．恒定电流

导体内各处的电流密度不随时间变化的电流，恒定电流的条件

0d =⋅⎰s

s J

恒定电场：

分布不随时间变化的电荷产生的电场

0d =⋅⎰L

l E

3．电阻

均匀截面的长直导体，电阻为

s

l R ρ

=

一般情况下导体电阻为

⎰=L

s

l R d ρ

4．电动势

电动势是非静电力把单位正电荷从负极通过电源内部搬到正极所作的功，即 q

A 非=

ε

⎰⎰+-⋅=⋅=)

()

(d d l E l E k k ε

电动势方向规定为从电源负极指向电源内正极。 5．欧姆定律

（1）一段不含源电路的欧姆定律 IR u =

（2）一段含源电路的欧姆定律

∑∑+

-+-+=-i

i i i

i b a R I U U ε

（3）全电路欧姆定律

∑∑∑

+=

+

-i

i

i i i i

r

R I ε

符号法则：

① 先标定绕行方向，电动势ε的方向与标定方向相同时取“－”，反之取“＋”。 ② 电流方向与标定方向相同时取“＋”，反之取“－”。 （4） 欧姆定律的微分形式

E j σ=

6．焦耳定律

Rt I Q 2=

焦耳定律微分形式

22

E j P σσ

==

P 称为热功率密度。 7．基尔霍夫定律

第一定律（节点电流方程）

0=∑

+

-

i

i I

第二定律（回路电压方程）

0=+∑∑

+-+-

i

i i i

i R I ε

符号法则：

① 对于节点方程，流出节点的电流为正，流入节点的电流为负。

② 对于回路方程，与欧姆定律中规定的符号法则相同。

三、例题

5－1 在直径为2mm 的圆形铜线中，有20安的直流电流过，已知铜的电阻率

m 1072.18⋅Ω⨯=-ρ，自由电子数密度328m 1047.8-⨯=n ，试求：

（1）铜线中的电场强度； （2）自由电子的漂移速度。

分析 先求导体中的电流密度J ，再由欧姆定律的微分形式求电场强度E ，由电流密度的定义求电子漂移速度v 。

解 （1）载有直流电的导线中，各点的电流密度大小方向都相同，因此电流密度的大小为

2

πr I S I J ==

根据欧姆定律，有

ρ

σE

E J =

=

所以，铜线中的电场强度为 s I E ρ

=2

πr I ρ= 2

38)101(π201072.1--⨯⨯⨯=

1m V 11

.0-⋅=

（2）根据电流密度的定义

v nq J = 自由电子漂移速度的大小为 e n J =

v

s n I e =

2

31928)101(14.3106.11047.820

--⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

12s m 107.4--⋅⨯=

说明 由此题可知，导线中自由电子的漂移速度非常小，但电路中电流却能瞬时接通。

这是由于在开关闭合前，开关两端有电压，存在有静电场，在闭合开关时会引起电磁扰动，产生电磁波，电磁波传到哪就把电磁场带到哪，使导体中各处的自由电子几乎同时受到了电场力的作用，因为电磁波的速度（m/s 1038

⨯=c ）甚大于电子的漂移速度。

5－2 一根输电线被飓风吹断，一端触及地面，从而使200A 的电流由触地点流入地内。设地面水平，土壤为均匀物质，电阻率为m 10⋅Ω，一人走近输电线触地端，距该端1m ，设此人步长0.3m ，试求此人两脚间的电压。

分析 输电线接地端在地内产生的电流密度场与一半球形电极的电流密度场近似相

同，可由此求出地内的电流密度分布，再由欧姆定律求出电场强度分布，由电场强度即可求出两脚间的电压。 解 如图所示，距输电线触地端O 点距离x 处的电流密度为

2

π2x I

s I J ==

其电场强度为

2

π2x I

J E ρρ=

=

则两脚间的电压为 ⎰⋅=21

d x x u x E ⎰=2

1

d π22x x

x x I

ρ)1

1

(

π22

1

x x I -

=

ρ

)3

.11

1(14.3220010-⨯⨯⨯=

V 6.73=

说明 由计算结果知，当人走近电线，1x 减小时，会在两脚间形成较大的电压，所以为了安全，如遇输电线触地，切不可靠近。

5－3 天气睛朗时，地球大气中沿径向有正的体电荷密度)(r e ρ分布，地球表面则有负

的均匀面电荷密度e σ，这样在大气中便有径向电场)(r E ，从而形成径向电流。已知大气的电导率2

0)()(R r a r -+=σσ, 式中)m /(1103140⋅Ω⨯=-σ,)m /(1105.03

20

⋅Ω⨯=-a ,

m 1066⨯=R （地球半径），r 从地球中心算起。已知地球表面的电场强度为

V/m 100)(-=R E （负号表示电场强度方向指向地球中心）

。设地球为导体，且大气中的体电荷密度)(r e ρ及地球表面面电荷密度e σ均不随时间变化，试求：

（1）地球表面的总电流强度I ；