第一章 1.3 第一课时 诱导公式(一

三角函数的诱导公式

第一课时诱导公式(一)

1．诱导公式二

(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．

如图所示．

(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，

cos(π＋α)＝－cos_α，

tan(π＋α)＝tan_α.

2．诱导公式三

(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．

如图所示．

(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.

cos(－α)＝cos_α.

tan(－α)＝－tan_α.

3．诱导公式四

(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．

如图所示．

(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.

cos(π－α)＝－cos_α.

tan(π－α)＝－tan_α.

4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角．( )

(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( ) (3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π

2不成立．( )

答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知cos(π＋θ)＝3

6

，则cos θ＝( ) A ．3

6 B ．－36 C ．

336

D ．－

336

答案：B

3．若sin(π＋α)＝1

3，则sin α等于( )

A ．13

B ．－13

C ．3

D ．－3

答案：B

4．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________. 答案：－4

给角求值问题

[典例] 求下列三角函数值：

(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π

6

.

[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－

32

. (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32

.

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

[活学活用] 求下列各式的值：

(1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°； (2)sin

4π3·cos 19π6·tan 21π4

. 解：(1)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°

＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°) ＝cos 60°sin 30°＋tan 135° ＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－3

4.

(2)原式＝sin 4π3

·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6·tan ⎝⎛⎭⎫4π＋5π4 ＝sin

4π3·cos 7π6·tan 5π

4

＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·tan π4 ＝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3-2×⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

3-2×1＝3

4.

化简求值问题

[典例] 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)

；

(2)sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°)

. [解] (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)

＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.

(2)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α

－cos α

＝－1.

利用诱导公式一～四化简应注意的问题

(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；

(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．

[活学活用] 化简下列各式：

(1)cos (α＋π)sin 2(α＋3π)

tan (α＋π)cos 3(－α－π)

； (2)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z)． 解：(1)原式＝－cos α·sin 2α

－tan α·cos 3α＝tan 2 α

tan α＝tan α .

(2)当k ＝2n (n ∈Z)时，

原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]

sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)

＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；

当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，

原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]

＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α) ＝－1. 综上，原式＝－1.