水厂选址数学建模

水厂供水

摘要：选址是生活中经常遇到的问题，如向居民输送自来水等都是实际需要考虑

的问题，在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接着将居民区简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。本文正是研究了一个向六个居民区输水的A、B水厂的选址问题，对于问题一，本论文采用线性最优化的思想，对成本在约束函数的条件下，求解其最小值，求解过程使用lingo 软件。对于问题二，本论文把其定义为双选址问题，首先对六个居民点，分成两个区域，然后分别求解。为了简单易求，我们首先选择重心法，对其求解，但通过对其结果的分析，我们发现，重心法存在着缺点。所以本论文对模型进行重建，列出了一个二元方程，然后对其最小值进行求解。

关键词：最优化，选址，线性最优化，重心法，二元函数

一、问题重述（优化选址问题）

某城市拟建A、B两个水厂。水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨，A、B两个水厂日进水量总和不超过80万吨。A、B两个水厂共同担负供应六个居民区（由表一给出坐标）用水任务，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。

表1：各居民区的位置和拥有的家庭户数

表一

问题一：若已知A、B两个水厂的位置分别为A=A(1，4)和B=B(4，2)，试确定供水方案使总成本最低；

问题二：若A、B两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供水方案使总成本最低；

二、模型假设

1.假设水厂与居民点的距离为直线距离，即忽略掉输水管道的路线问题。

2.假设水厂与居民点之间的供水费用仅与供水长度有关，和输水量无关。

3.假设水厂的建设资金是确定的，不会因规模的大小而改变。成本仅为供水成本。

4.假设水厂和居民区都是理性化的质点。

5.假设居民的用水量就为人均用水量乘上人口数。而且，长期不变。

三、符号表示

四、问题分析

通过简单的分析可以的知，总的用水量为74吨，而A、B两厂的总进水量为80吨，所以

B两厂的规模只能为（30，50）、（40，40）、（50，30）三种方式。

对于问题一，是典型的线性最优化问题，我们分三种方式对其求解。而对于问题二，我们则是采用将完全不同的模型：首先，利用聚类算法思想，把六个居民点化分成为两个区域，然后利用重心选址法初步判断和偏微分法求解地方法，分别对A、B两个水厂的位置进行确定。

五、模型的建立与求解

问题一：

一、模型的建立（线性最优化）

将从A、B（i=1，2）两个水厂，向居民区1、2、3、4、5、6（j=1，2，3，4，5，

6）送水量分别定义为j i X 。即水厂i ，向用户区j 的供水量为ij Y 。由乘法原则可得，这里有十二个决策变量分别为11X 、12X 、13X 、14X 、15X 、16X 、21X 、22X 、23X 、24X 、

25X 、26X 。

表二

由问题所给出的居民点、水厂的坐标，以及对模型的假设，可以计算出各水厂与各居民点的供水距离。

由上面的问题分析，以及模型的假设，可知，要求总的成本（Z ）最低，于是有： Min =1.05*（11X +

12X +13X +214X +4.4215X +4.4716X +321X +3.1622X +323X +324X +225X +2.0526X ）

1、对于第一种情况（水厂的规模为30，50），其约束条件为：

①居民需求量约束： x11+x21=10； x12+x22=11； x13+x23=8； x14+x24=15；

x15+x25=8；

x16+x26=22；

②水厂供水量约束：

x11+x12+x13+x14+x15+x16<=30；

x21+x22+x23+x24+x25+x26<=50；

2、对于第二种情况（水厂的规模为40，40），其约束条件为：

①居民需求量约束：

x11+x21=10；

x12+x22=11；

x13+x23=8；

x14+x24=15；

x15+x25=8；

x16+x26=22；

②水厂供水量约束：

x11+x12+x13+x14+x15+x16<=30；

x21+x22+x23+x24+x25+x26<=50；

3、对于第三种情况（水厂的规模为50，30），其约束条件为：

①居民需求量约束：

x11+x21=10；

x12+x22=11；

x13+x23=8；

x14+x24=15；

x15+x25=8；

x16+x26=22；

②水厂供水量约束：

x11+x12+x13+x14+x15+x16<=30；

x21+x22+x23+x24+x25+x26<=50；

二、模型的求解（lingo）

把所有的约束条件作出线性规划的模型，对Z取最优化解，输入lingo求解，求出结果如下：

第一种：

Global optimal solution found.

Objective value: 134.6898

Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost

X11 10.00000 0.000000

X12 11.00000 0.000000

X13 8.000000 0.000000

X14 0.000000 0.000000

X15 0.000000 1.420000

X16 0.000000 2.412000

X21 0.000000 2.000000

X22 0.000000 2.160000

X23 0.000000 2.000000

X24 15.00000 0.000000

X25 8.000000 0.000000

X26 22.00000 0.000000

第二种：

Global optimal solution found.

Objective value: 134.6898

Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost

X11 10.00000 0.000000

X12 11.00000 0.000000

X13 8.000000 0.000000

X14 5.000000 0.000000

X15 0.000000 1.420000

X16 0.000000 2.412000

X21 0.000000 2.000000

X22 0.000000 2.160000

X23 0.000000 2.000000

X24 10.00000 0.000000

X25 8.000000 0.000000

X26 22.00000 0.000000