第六章 回归模型的函数形式
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双对数模型(对数-对数模型) 半对数模型/增长率模型 线性趋势模型 线性-对数模型 倒数模型 多项式回归模型
1-2
前
言
传统回归模型 刻画解释变量的绝对增加量 与应变量的绝对增加 量 间的关系 扩展函数形式模型 刻画解释变量的相对增加量 与应变量的相对 增加量 间的关系 度量指标 斜率— 绝对变化量 弹性系数— 相对变化量 实例 价格每变化1个%点，对商品需求的增加量？ 价格每增加1个货币单位，对商品需求的增加量多少个% 1-3 点？
1-45
第八节
问题：
尺度与度量
变量数值的单位和尺度大小对回归结果会有什么影响？
ˆ ˆ X u ˆi Yi 1 2 i
现对X和Y进行重新度量
Yi * w1Yi X i* w2 X i
新模型
* ˆ* ˆ *X * u ˆ Yi* 1 2 i i
斜率为正，称Y 有向上趋势；反之 ，有下降趋势。
增长率模型与线性趋势模型的比较
1-25
wk.baidu.com
第三节 线性趋势模型
1-26
第四节
线性-对数模型
线性-对数模型 Yt 1 2 ln X t ut
模型为线性，解释变量X 为对数形式 解释变量Xt 每变动1%，应变量Yt 的绝对变化量
d (ln X ) 1 dX ，变换形式有 d (ln X ) dX X X
微积分算子d 表示无穷小，d (ln X ) ln X
dX X d (ln X ) 可写成 ln X X X 时间序列中， ln X ln X X t X t 1 t t 1 X t 1
例六：表 9-7（精要）
美国共同基金的管理费用与基金净资产的关系：
1-36
图 9-6 （精要）
管理费与资产规模
1-37
例六：表 9-7（精要）
共同基金管理费用与基金净资产的倒数模型回归结果：
1-38
第六节
多项式回归模型
多项式回归模型
Yi 1 2 X i 3 X i2 k X ik 1 ut 参数为线性，而变量却为非线性，幂次方 解释变量为函数相关，但非“线性相关”
第六章
回归模型的函数形式
chapter six
Functional Forms of Regression Models
Yu Zhen
The Economic School of Jilin University
前
言
经济变量间的非线性–（复合利率，增长率，弹性系数） 主要内容 经济变量的非线性现象（参数为线性，但变量为非线性） 非线性回归模型的线性化解 各种特殊的回归模型模型
1-6
第一节 如何度量弹性：双对数模型
不变弹性模型：与X取值无关
1-7
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子：
Weekly lotto expenditure (Y) in relation to weekly personal disposable income (X) ($)，表9-1
1-28
第四节
线性-对数模型
1-29
第五节
倒数模型
倒数模型(reciprocal model)
1 Yi 1 2 ( X ) ut i
变量非线性 解释变量Xi 无穷增大，应变量Yi的值渐进于 2 应变量存在极值，即增长是有限度的 渐近解/最优解（稳定性）
Yt 0.4( X t 2.5)
Yt 失业率的变动率 X t 实际产出的增长率，使用实际GDP增长率代理 2.5 = 美国长期产出增长率
1-44
第七节
过原点回归
例九：投资组合理论的市场模型图(CAPM)
ri rf
ri rf i (rm rf )
0
系统风险i
1-42
注意
1、当方程中截距项不出现时，估计的残差之和不 一定等于零； ˆi 0不一定成立 u 2、当方程中截距项不出现时，判定系数有时可能 出现负值。 慎用零截距模型，除非有非常强的理论预期！
1-43
第七节
过原点回归
例八：奥肯定律 奥肯(Okun)根据美国1947-1960年的数据得到如下 结果：
1-39
例七：表 9-9（精要）
Cigarette smoking and deaths from various types of cancer.
1-40
例七：表 9-9（精要）
吸烟与肺癌死亡人数的关系，多项式回归
1-41
第七节
过原点回归
过原点回归模型
Yi 2 X i ui
模型截距项为零 解释变量之间为函数相关，但非“线性相关”
复利计算公式
Yt Y0 (1 r )t ln Yt ln Y0 t ln(1 r ) ln Yt 1 2t ln Yt 1 2t ut
只有解释 变量为对 数形式， 得名半对 数模型！
1-20
例三：表 9-4（精要）
Population of United States (millions of people), 1970-1999.
1-30
图 9-4（精要）
倒数模型: Yi = β1 + β2(1/Xi)
1-31
例五：表 9-6（精要）
Year-to-year percentage change in the index of hourly earnings (Y) and the unemployment rate (%) (X), United States, 1958-1969.
第一节 如何度量弹性：双对数模型
考虑如下函数形式 2 Y AX i （6-1） i
其中，Y是博彩支出，X为个人可支配收入。
变量X非线性 dY A 2 X ( 2 1) dX
恒等式变换
令 1 ln A 有
ln Yi＝ln A＋2 ln X i ln Yi＝1＋2 ln X i
1-32
例五：表 9-6（精要）
美国1958-1969菲利普斯曲线（倒数模型）：
1-33
例五：表 9-6（精要）
美国1958-1969菲利普斯曲线（线性模型）：
1-34
图 9-5 （精要）
1-35
The Phillips curve for the United States, 1958-1969; (a) Reciprocal model; (b) linear model.
1-51
1-17
第一节 如何度量弹性：双对数模型
OECD国家能源需求例子的双对数回归结果：
围绕这个 系数能讨 论什么？
1-18
第二节 如何测定增长率：半对数模型
经济变量增长率：监控经济运行状况
考察对象： 伴随解释变量（时间）的增加，应变 量的增长率
1-19
第二节 如何测定增长率：半对数模型
dY 1 2 ( ) dX X dY dY Y 2 X dX dX / X X / X
1-27
例四：表 9-5（精要）
Quarterly total personal expenditure and categories (billions of dollars) 1993-1−1998-3.
1-47
2 x i
x
*2 i
ˆ* 2 var( 1
X ) n x
*2 i *2 i
*2
2
ˆ *) var( 2
*2 ˆ u i
2 ˆ u i
*2 x i
*2
n2
ˆ *2
n2
第八节
尺度与度量
w1 ˆ * ˆ 2 2 w2 ˆ* w ˆ
散点图，但多元回归不合适 R2不可以直接比较，也不是好的标准！！ 永远第一位的准则：
分析侧重点
1-13
第二节 多元对数线性模型
三变量对数线性模型
ln Yi＝1＋2 ln X 2i＋3 ln X 3i ui
偏弹性系数
一个典型适用点：柯布-道格拉斯生产函数 Y AL K 1 规模报酬递减 1 规模报酬递增 1 规模报酬不变
（随机形式）
令 Yi* ln Yi ，X i* ln X i 有
1-4
* * Y ＝ ＋ X i 1 2 i ui
体现了双 对数。也 称为对数 线性(loglinear)模 型。
第一节 如何度量弹性：双对数模型
双对数模型性质 斜率 2 度量了Y 对X的弹性，即X一个（微小）变化引
r
称为复合增长率(compound growth rate)
ˆ ln(1 r ) 2 ˆ ) 1 r anti log( 2
例子中美国人口复合增长率 为0.9848%
1-24
第三节 线性趋势模型
线性趋势模型 Yt 1 2t ut
Y 对时间t 回归，t 按时间顺序度量 t 称为趋势变量(trend variable)
1-8
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子双对数回归结果：
1-9
双对数模型拟合直线
LnY
LnX
1-10
博彩支出的Log-linear 模型
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子线性回归结果：
1-11
线性模型拟合直线
线性回归结果
1-12
第一节 如何度量弹性：双对数模型
如何设定模型的函数形式？
1-14
例一：表 9-2（精要）
Real GDP, employment, and real fixed capital, Mexico, 1955-1974.
1-15
第一节 如何度量弹性：双对数模型
生产函数例子的双对数回归结果：
1-16
例二：表 9-3（精要）
Energy demand in OECD countries, 1960-1982.
1 1 1
估计量比较
ˆ *2 w12 ˆ2 ˆ * ) w2 var( ˆ) var( 1 1 1 w1 * ˆ ˆ) var( 2 ) var( 2 w 2 r 2 r *2
2
结论：尺度变换不影响OLS估计量的性质
1-48
例十：表 9-10（精要）
Gross private domestic investment and gross domestic product, United States, 1988-1997.
1-49
例十：表 9-10（精要）
1-50
函数形式总结：表 9-11（精要）
Summary of functional forms.
起Y变化的百分比 实践中应用广泛。
弹性 Y 变动的百分比 Y/Y 100 E X变动的百分比 X/X 100 Y X X 斜率 ( ) X Y Y
1-5
在微积分中：
d (Y ) Y
第一节 如何度量弹性：双对数模型
对数和百分比
实践中，lnX的一个微小变化近似等于X的相对或百分比 变化。 理由如下：
1-46
第八节
尺度与度量
比较两个回归结果
ˆ Y ˆ X ˆ* Y* ˆ *X * 1 2 1 2 ˆ 2
xi yi x
2 i 1
ˆ* 2
2 i 2 i
* * x y i i
X ˆ var( ) n x ˆ ) var( 2 ˆ2
1-21
第二节 如何测定增长率：半对数模型
美国人口增长率的半对数回归结果：
1-22
例三：图 9-3（精要）
1-23
Semilog model.
第二节 如何测定增长率：半对数模型
瞬时增长率与复合增长率 ˆ 称为瞬时增长率(instantaneous growth rate) 2
1-2
前
言
传统回归模型 刻画解释变量的绝对增加量 与应变量的绝对增加 量 间的关系 扩展函数形式模型 刻画解释变量的相对增加量 与应变量的相对 增加量 间的关系 度量指标 斜率— 绝对变化量 弹性系数— 相对变化量 实例 价格每变化1个%点，对商品需求的增加量？ 价格每增加1个货币单位，对商品需求的增加量多少个% 1-3 点？
1-45
第八节
问题：
尺度与度量
变量数值的单位和尺度大小对回归结果会有什么影响？
ˆ ˆ X u ˆi Yi 1 2 i
现对X和Y进行重新度量
Yi * w1Yi X i* w2 X i
新模型
* ˆ* ˆ *X * u ˆ Yi* 1 2 i i
斜率为正，称Y 有向上趋势；反之 ，有下降趋势。
增长率模型与线性趋势模型的比较
1-25
wk.baidu.com
第三节 线性趋势模型
1-26
第四节
线性-对数模型
线性-对数模型 Yt 1 2 ln X t ut
模型为线性，解释变量X 为对数形式 解释变量Xt 每变动1%，应变量Yt 的绝对变化量
d (ln X ) 1 dX ，变换形式有 d (ln X ) dX X X
微积分算子d 表示无穷小，d (ln X ) ln X
dX X d (ln X ) 可写成 ln X X X 时间序列中， ln X ln X X t X t 1 t t 1 X t 1
例六：表 9-7（精要）
美国共同基金的管理费用与基金净资产的关系：
1-36
图 9-6 （精要）
管理费与资产规模
1-37
例六：表 9-7（精要）
共同基金管理费用与基金净资产的倒数模型回归结果：
1-38
第六节
多项式回归模型
多项式回归模型
Yi 1 2 X i 3 X i2 k X ik 1 ut 参数为线性，而变量却为非线性，幂次方 解释变量为函数相关，但非“线性相关”
第六章
回归模型的函数形式
chapter six
Functional Forms of Regression Models
Yu Zhen
The Economic School of Jilin University
前
言
经济变量间的非线性–（复合利率，增长率，弹性系数） 主要内容 经济变量的非线性现象（参数为线性，但变量为非线性） 非线性回归模型的线性化解 各种特殊的回归模型模型
1-6
第一节 如何度量弹性：双对数模型
不变弹性模型：与X取值无关
1-7
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子：
Weekly lotto expenditure (Y) in relation to weekly personal disposable income (X) ($)，表9-1
1-28
第四节
线性-对数模型
1-29
第五节
倒数模型
倒数模型(reciprocal model)
1 Yi 1 2 ( X ) ut i
变量非线性 解释变量Xi 无穷增大，应变量Yi的值渐进于 2 应变量存在极值，即增长是有限度的 渐近解/最优解（稳定性）
Yt 0.4( X t 2.5)
Yt 失业率的变动率 X t 实际产出的增长率，使用实际GDP增长率代理 2.5 = 美国长期产出增长率
1-44
第七节
过原点回归
例九：投资组合理论的市场模型图(CAPM)
ri rf
ri rf i (rm rf )
0
系统风险i
1-42
注意
1、当方程中截距项不出现时，估计的残差之和不 一定等于零； ˆi 0不一定成立 u 2、当方程中截距项不出现时，判定系数有时可能 出现负值。 慎用零截距模型，除非有非常强的理论预期！
1-43
第七节
过原点回归
例八：奥肯定律 奥肯(Okun)根据美国1947-1960年的数据得到如下 结果：
1-39
例七：表 9-9（精要）
Cigarette smoking and deaths from various types of cancer.
1-40
例七：表 9-9（精要）
吸烟与肺癌死亡人数的关系，多项式回归
1-41
第七节
过原点回归
过原点回归模型
Yi 2 X i ui
模型截距项为零 解释变量之间为函数相关，但非“线性相关”
复利计算公式
Yt Y0 (1 r )t ln Yt ln Y0 t ln(1 r ) ln Yt 1 2t ln Yt 1 2t ut
只有解释 变量为对 数形式， 得名半对 数模型！
1-20
例三：表 9-4（精要）
Population of United States (millions of people), 1970-1999.
1-30
图 9-4（精要）
倒数模型: Yi = β1 + β2(1/Xi)
1-31
例五：表 9-6（精要）
Year-to-year percentage change in the index of hourly earnings (Y) and the unemployment rate (%) (X), United States, 1958-1969.
第一节 如何度量弹性：双对数模型
考虑如下函数形式 2 Y AX i （6-1） i
其中，Y是博彩支出，X为个人可支配收入。
变量X非线性 dY A 2 X ( 2 1) dX
恒等式变换
令 1 ln A 有
ln Yi＝ln A＋2 ln X i ln Yi＝1＋2 ln X i
1-32
例五：表 9-6（精要）
美国1958-1969菲利普斯曲线（倒数模型）：
1-33
例五：表 9-6（精要）
美国1958-1969菲利普斯曲线（线性模型）：
1-34
图 9-5 （精要）
1-35
The Phillips curve for the United States, 1958-1969; (a) Reciprocal model; (b) linear model.
1-51
1-17
第一节 如何度量弹性：双对数模型
OECD国家能源需求例子的双对数回归结果：
围绕这个 系数能讨 论什么？
1-18
第二节 如何测定增长率：半对数模型
经济变量增长率：监控经济运行状况
考察对象： 伴随解释变量（时间）的增加，应变 量的增长率
1-19
第二节 如何测定增长率：半对数模型
dY 1 2 ( ) dX X dY dY Y 2 X dX dX / X X / X
1-27
例四：表 9-5（精要）
Quarterly total personal expenditure and categories (billions of dollars) 1993-1−1998-3.
1-47
2 x i
x
*2 i
ˆ* 2 var( 1
X ) n x
*2 i *2 i
*2
2
ˆ *) var( 2
*2 ˆ u i
2 ˆ u i
*2 x i
*2
n2
ˆ *2
n2
第八节
尺度与度量
w1 ˆ * ˆ 2 2 w2 ˆ* w ˆ
散点图，但多元回归不合适 R2不可以直接比较，也不是好的标准！！ 永远第一位的准则：
分析侧重点
1-13
第二节 多元对数线性模型
三变量对数线性模型
ln Yi＝1＋2 ln X 2i＋3 ln X 3i ui
偏弹性系数
一个典型适用点：柯布-道格拉斯生产函数 Y AL K 1 规模报酬递减 1 规模报酬递增 1 规模报酬不变
（随机形式）
令 Yi* ln Yi ，X i* ln X i 有
1-4
* * Y ＝ ＋ X i 1 2 i ui
体现了双 对数。也 称为对数 线性(loglinear)模 型。
第一节 如何度量弹性：双对数模型
双对数模型性质 斜率 2 度量了Y 对X的弹性，即X一个（微小）变化引
r
称为复合增长率(compound growth rate)
ˆ ln(1 r ) 2 ˆ ) 1 r anti log( 2
例子中美国人口复合增长率 为0.9848%
1-24
第三节 线性趋势模型
线性趋势模型 Yt 1 2t ut
Y 对时间t 回归，t 按时间顺序度量 t 称为趋势变量(trend variable)
1-8
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子双对数回归结果：
1-9
双对数模型拟合直线
LnY
LnX
1-10
博彩支出的Log-linear 模型
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子线性回归结果：
1-11
线性模型拟合直线
线性回归结果
1-12
第一节 如何度量弹性：双对数模型
如何设定模型的函数形式？
1-14
例一：表 9-2（精要）
Real GDP, employment, and real fixed capital, Mexico, 1955-1974.
1-15
第一节 如何度量弹性：双对数模型
生产函数例子的双对数回归结果：
1-16
例二：表 9-3（精要）
Energy demand in OECD countries, 1960-1982.
1 1 1
估计量比较
ˆ *2 w12 ˆ2 ˆ * ) w2 var( ˆ) var( 1 1 1 w1 * ˆ ˆ) var( 2 ) var( 2 w 2 r 2 r *2
2
结论：尺度变换不影响OLS估计量的性质
1-48
例十：表 9-10（精要）
Gross private domestic investment and gross domestic product, United States, 1988-1997.
1-49
例十：表 9-10（精要）
1-50
函数形式总结：表 9-11（精要）
Summary of functional forms.
起Y变化的百分比 实践中应用广泛。
弹性 Y 变动的百分比 Y/Y 100 E X变动的百分比 X/X 100 Y X X 斜率 ( ) X Y Y
1-5
在微积分中：
d (Y ) Y
第一节 如何度量弹性：双对数模型
对数和百分比
实践中，lnX的一个微小变化近似等于X的相对或百分比 变化。 理由如下：
1-46
第八节
尺度与度量
比较两个回归结果
ˆ Y ˆ X ˆ* Y* ˆ *X * 1 2 1 2 ˆ 2
xi yi x
2 i 1
ˆ* 2
2 i 2 i
* * x y i i
X ˆ var( ) n x ˆ ) var( 2 ˆ2
1-21
第二节 如何测定增长率：半对数模型
美国人口增长率的半对数回归结果：
1-22
例三：图 9-3（精要）
1-23
Semilog model.
第二节 如何测定增长率：半对数模型
瞬时增长率与复合增长率 ˆ 称为瞬时增长率(instantaneous growth rate) 2