第六章 回归模型的函数形式
5.回归模型的函数形式(fixed)
五、过原点回归
如果有很强的先验理论认为β 1 = 0，那么： 回归函数形式则为：Y = β 2 X 2 + β 3 X 3 + ...... + β k X k + u
回 系 的 LS估 量 ： 归 数 O 计 为 ˆ ˆ) =σ 2( X′ )−1 β = ( X′ )−1 X′Y X var −cov(β X X为 ×(k −1 阶 n ) R SS 2 ˆ σ = n-(k -1) β、ˆ为k −1)×1 β ( 阶
Y = Ce ⇒ C = Y0 )
2
∴Y = Y0e β 2 t
瞬 增 公 ： t =Y e 时 长 式 Y 0
β2t
t
复 增 公 ： t =Y (1+r) 合 长 式 Y 0 若t以年为单位，则r表示Y的年增长率。 而β 2表示的则是任何时点的增长率，称为瞬时增长率。
(
)
dX j Xj
≈
∆Y
Y
∆X j
Xj
( j = 2,3,......, k )
β j称 偏 性 数 度 了 其 解 变 为 弹 系 ， 量 在 它 释 量
不 的 件 ， 对 j的 性 变 条 下 Y X 弹 。
5
练 习
1、用描散点图的方法直观比较劳务支出 (Y1)、耐用品支出(Y2)和非耐用品支出 (Y3)分别对个人消费总支出（X）的弹性。 2、用回归的方法定量测度上述弹性系数。
ln Y2 = β1 + β 2 ln X + ui
ˆ β 2 = 1.9056
4
弹性估计约为1.91，表明：如果个人消费总支出增 加1%，那么耐用品支出平均来说将提高1.91%。
多元对数线性回归模型
回归模型的其他函数形式
四、回归模型的其他函数形式（一）对数线性模型iu i i eX Y 2 1 b b = 对数线性模型的优点在于：斜率系数 2 b 度量了 Y 对 X 的弹性，也就是当解释变量X 变 化 1%时，Y 变化的百分比。
由于在线性回归模型中， 2 b 是一个常数，因此，对数线性模型假定 Y 与 X 之间的弹 性系数 2 b 在整个研究范围内保持不变，所以称为不变弹性模型。
（二）半对数模型１．线性到对数模型tt u t LnY + + = 2 1 b b 式中，Y t ＝要研究的经济现象，t ＝时间变量。
t 时间变量的使用，主要是研究被解释变量在时间上的变动规律。
式中，被解释变量为对数形式，解释变量为线性形式，称为线性到对数的半对数模型。
通用形式为tt t u X LnY + + = 2 1 b b 式中，斜率系数 2 b 的含义为：解释变量X 绝对量改变一个单位时，被解释变量 Y 的相对改 变量。
即XYY X Y D D ==/ 2 的绝对改变量 的相对改变量 b ２．对数到线性模型tt t u LnX Y + + = 2 1 b b 我们称上式为对数到线性模型。
模型中斜率系数 2 b 的含义为解释变量X 相对量改变 1 个单 位时，被解释变量 Y 的绝对变化量。
XX Δ YΔ X Y / 2 ==的相对变化量 的绝对变化量 bXX Y / 2 D × = D b （5.66）当 X X / D ＝0.01＝1%时， 2 01 . 0 b = D Y ，即当解释变量 X 增加 1%时，被解释变量 Y 增加 的绝对量为 0.01 2 b 。
（三）倒数模型当解释变量以倒数形式出现时的模型称为倒数模型或双曲线模型。
t tt u X Y + + = 121 b b 式中，Y 对 X 是非线性，但对参数 1 b ，2 b 而言是线性，Y 对 X1也是线性的。
此模型的特点 为当 X 值趋向于无穷大时， 2b X1趋向于 0，Y 趋向于 1 b 。
05_回归方程的函数形式
b1 ln Y0 ， b 2 ln(1 r ) ， 并 加 上 随 机 误 差 项 ，
则复利公式变成了对数到线性的半对数模型：
ln(Yt ) b1 b 2 t u t
所以复利增长率 1。 Example 9.4 The growth of the U.S. Population,1970 to 1999 pp258-259
Y / Y Y / Y X b2 （ 是 一 个 b2 （ 是 个 常 数 ） X / X Y X / X
变量）
注：当用 X 和 Y 的样本均值 代 入 时（ b2
X ） ，即 为 样 本 期 Y
的平均产弹性。
Y 对 X 的 斜率 判定系 数 R2
b2 （ 常 数 ）
X 对 Y 变动的解释比例
两边取以 e 为底的对数得：
ln Yt ln a1 a 2 ln X t u t
设
Yt* ln Yt , X* t ln X t , b1 ln a 1 , b 2 a 2 则 模 型 变 为 ： Yt* b1 b 2 X* t u t（ 变 换 后 的 模 型 为 线 性 模 型 ，该 模
厦门大学经济学院 胡朝霞
1
当 当 的。
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 有 弹 性 的 ；
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 无 （ 缺 乏 ） 弹 性
思 考 ： 如 何 检 验 价 格 弹 性 的 特 征 ？ (用 t 检 验 ) 由于双对数模型的弹性是一个常数，所以双对数模 型又称为不变弹性模型。 2． 双 对 数 模 型 与 一 般 线 性 模 型 的 比 较 ：
r eb 1, 即 等 于 回 归 系 数 的 反 对 数 减
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种描述自变量和因变量之间关系的数学模型。
它可以用来预测因变量的值，基于给定的自变量值。
回归模型可以是线性的或非线性的，具体选择哪种形式取决于数据的特点和研究的目标。
以下是一些常见的回归模型的函数形式：1.线性回归模型：线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线性关系。
最简单的线性回归模型称为简单线性回归模型，可以使用一条直线来描述自变量和因变量之间的关系：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0表示Y截距，β1表示X的系数，ε表示误差项。
2.多元线性回归模型：多元线性回归模型用于描述多个自变量与因变量之间的线性关系。
它的函数形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示Xi的系数，ε表示误差项。
3.多项式回归模型：多项式回归模型用于描述自变量和因变量之间的非线性关系。
它可以通过引入自变量的幂次项来逼近非线性函数：Y=β0+β1X+β2X^2+...+βnX^n+ε4.对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量之间存在指数关系的情况。
它可以将自变量或因变量取对数，将非线性关系转化为线性关系：ln(Y) = β0 + β1X + ε5. Logistic回归模型：Logistic回归模型用于描述分类变量的概率。
它的函数形式是Sigmoid函数，将自变量的线性组合映射到0和1之间的概率值：P(Y=1，X)=1/(1+e^(-β0-β1X))以上是几种常见的回归模型的函数形式。
回归模型的选择取决于数据的特征和研究的目标，需要考虑线性或非线性关系、自变量的数量、相关性等因素。
根据实际情况，可以选择合适的模型进行建模和预测。
第6章逻辑斯蒂回归模型
–其中probit变换是将概率变换为标准正态分布的 z −值， 形式为：
Logistic回归模型
–双对数变换的形式为：
f ( p ) = ln(− ln(1 − p ))
• 以上变换中以logit变换应最为广泛。 • 假设响应变量Y是二分变量，令 p = P(Y = 1) ,影响Y 的因素有k个 x1 ,L xk ，则称：
β • 其中， 0 , β1 ,L , β k 是待估参数。根据上式可以得到 优势的值： p β + β x +L+ β x
1− p
=e
0
1 1
k k
• 可以看出，参数 βi是控制其它 x 时 xi 每增加一个 单位对优势产生的乘积效应。 • 概率p的值： e β + β x +L+ β x
p=
0 1 1 k k
含有名义数据的logit
• 前例中的协变量为定量数据，logistic回归模型的 协变量可以是定性名义数据。这就需要对名义数 据进行赋值。 • 通常某个名义数据有k个状态，则定义个变量 M 1 ,L , M k −1 代表前面的k-1状态，最后令k-1变量均 为0或-1来代表第k个状态。 • 如婚姻状况有四种状态：未婚、有配偶、丧偶和 离婚，则可以定义三个指示变量M1、M2、M3， 用(1,0,0)、 (0,1,0) 、(0,0,1) 、(0,0,0)或(-1,-1,-1) 来对以上四种状态赋值。
G 2 = −2 ∑ 观测值[ln(观测值/拟合值)]
• 卡方的df应等于观测的组数与模型参数的差，较小的统计量的 值和较大的P-值说明模型拟合不错。 • 当至多只有几个解释变量且这些解释变量为属性变量，并且所 有的单元频数不少于5时，以上统计量近似服从卡方分布。
回归方程的函数形式
P
P0
D2
A
dQ P Ed dP Q
D1
Q0
Q
对于对数线性回归模型， ln Y 3.9617 0.2272ln X
其回归系数-0.2272的经济意义是价格每上升1%， 平均而言，需求量会下降0.22%。
对于线性回归模型，
Y 49.667 2.1576 X
其回归系数-2.1576的经济意义是价格每增加1元 钱，平均而言，需求量会减少大约2个单位。
形如Yi B1 B2 X i B3 X i2 B4 X i3 ui的回归模型称为 多项式回归模型,
它只有一个解释变量,不过解释变量以 不同次幂的形式出现在回归模型中
由于参数B1 , B2 , B3 , B4是以一次方的形式出现在回归方程中 因而这是一个线性回归模型
问题？由于解释变量X的不同次幂同时出现在回归模型 中，是否会导致（多重）共线性呢？
Y
LNY
X
LNX
思考：是否可以根据判定系数决定模型形式 的选择？
注意：只有当两个模型的应变量相同时，才 可能根据判定系数的高低评价两个模型的拟合优 度。在线性回归模型中，应变量是绝对形式，在 对数线性回归模型中，应变量是对数形式。
判定系数并不是评价模型优劣的唯一标准， 像回归系数的符号是否与理论预期相一致，是 否在统计上显著等也是评价模型好坏的重要标 准。
X Y B2 ( ) X
5.6
倒数模型
1 形如Yi B1 B2 ( ) ui的模型称为倒数模型 Xi
它的特点是随着X取值的无限增大,应变量Y将趋向于 其渐进值B1
Y
B1 B2
0 0
B1
0
X
Y
B1
经济学回归模型的函数形式
ln Yt B1 B2t
将上式变化成为经济计量模型，得到：
ln Yt B1 B2t ut
形如上式的回归模型称为半对数模型或者增长模型、对数线性模型。
利用OLS方法估计美国一例的半对数模型，得到：
ln(uspop) 5.3593 se (0.0006) t (3321.13)
Yt B1 B2 ln X t ut
利用最小二乘法估计以上模型，回归结果如下：
Yˆt 17907.5 2431.69 ln X t se (228.61) (27.05)
t (78.33) (89.89)
p (0.00)
(0.00) r 2 0.997
在以上回归结果中，斜率系数表示，如果个人总消费支出 增加1个百分点，则平均服务支出将增加24.32(10亿）美元。 作出这一解释是因为，线性-对数模型中的斜率系数 可以表示为：
0.432317 0.050129 -3.383185 -3.302367 6.178255 0.032232
4.比较线性和双对数回归模型（一个经验问题）
对于数学成绩支出一例来说，线性支出模型和双对数模型哪个更合适？
1.作散点图，通过散点图来判断。（这种方式只适合双变量模型） 2.比较两个模型的 值。该方法要求应变量的形式必须是相同的。 3.即使两个模型中的应变量相同，两个 值可以直接比较，我们也 建议不要根据最高 r值2 这一标准选择模型。而应该首先考虑进入模型 中的解释变量之间的相关性、解释变量系r数2 的预期符号、统计显著性 以及类似弹性系数这r 2 样的度量工具。
４.线性－对数模型：解释变量是对数形式 考虑如下例子：个人总消费支出与服务支出的关系 （1993.1～1998.3,1992年美元价，10亿美元），数据见下表：
第六章回归模型的函数形式共53页
• 1 规模报酬递减 • 1 规模报酬递增 • 1 规模报酬不变
1-15
例一：表 9-2（精要）
Real GDP, employment, and real fixed capital, Mexico, 1955-1974.
1-16
第一节 如何度量弹性：双对数模型
计量经济学基础与应用
1-1
第六章 回归模型的函数形式
chapter six
Functional Forms of Regression Models
Yu Zhen
The Economic School of Jilin University
前言
经济变量间的非线性–（复合利率，增长率，弹性系数） 主要内容
1-9
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子双对数回归结果：
1-10
双对数模型拟合直线
LnY
LnX
博彩支出的Log-linear 模型
1-11
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子线性回归结果：
1-12
线性模型拟合直线
线性回归结果
1-13
第一节 如何度量弹性：双对数模型
如何设定模型的函数形式？
1-52
谢谢！
经济变量增长率：监控经济运行状况
考察对象： 伴随解释变量（时间）的增加，应变 量的增长率 •
1-20
第二节 如何测定增长率：半对数模型
复利计算公式
Yt Y0 (1 r )t ln Yt ln Y0 t ln(1 r ) ln Yt 1 2t ln Yt 1 2t ut
生产函数例子的双对数回归结果：
计量经济学第06章 滞后变量回归模型-第1节27
1—强制在分布的近期(即)趋近于0；
2—强制在分布的远期(即)趋近于0；
3—强制在分布的两端(即和)趋近于0； 0—对参数分布不作任何限制；
在 LS命令中使用 PD项L，应注意以下 几点：
①在解释变量 X之后必须指定 和k 的
值，d为可选项，不指定时取默认值0；
Wt X t1 2 X t2 3 X t3 s X ts
第三步：对(6.14)式应用OLS求得 ˆ ，ˆ 0 ，ˆ 1 ， ˆ 2 ，…，ˆ
第四步：将 ˆ 0，ˆ 1，ˆ 2 ，…，ˆ 代入（6.13）式 求得 ˆ0 ，ˆ1 ，ˆ2 ，…，ˆs
上述方法也可以推广到多个解释变量的情形，
这里就不介绍了。
s0
称 为长期系数或总分布滞后系数。其数值表 解
释变量 X 变动一个单位，对被解释变量 Y 累 积
各期所产生的总的影响。
三、分布滞后模型的估计
分布滞后模型如果满足古典线性回归模型 的基本假定，原则上可以估计其参数，但实际 上存在以下困难：
1.滞后期长度难以确定。 因为没有先验准则或信息可以确定解释变 量的滞后期长度，从而不好确定所要估计的参 数。
种非常武断的方法。研究者不仅指定了滞后变量
的一般形式(递减、矩形、倒 V形)，而且还指定了
权数的实际数值( W)。当判定了不同的项之后，
研究者就用包含每个的函数依次作为单一解释变
量进行试验。
例如：设给定外生滞后变量模型为
Yt 0 0 X t 1 X t1 2 X t2 3 X t3 4 X t4
用 f(Z) 就能求得 项的近似值。Almon提出的估
计 f(Z) 方法非常复杂，这里介绍一个比较简单的
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种用于研究变量之间关系的统计模型。
它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并用于预测未来的观测值。
回归模型的函数形式通常包括线性回归和非线性回归两种。
一、线性回归模型线性回归模型是回归分析中最常见的一种模型，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
线性回归模型的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是回归系数，ε是误差项。
线性回归模型假设误差项ε服从正态分布，且均值为0，方差为常数σ^2、回归系数β表示自变量对因变量的影响程度，其值越大表示影响越大。
二、非线性回归模型当自变量和因变量之间的关系不是简单的线性关系时，我们可以使用非线性回归模型。
非线性回归模型的函数形式可以是各种形式的非线性函数，常见的形式包括指数函数、幂函数、对数函数等。
例如，指数函数形式的非线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1e^(β2X)+ε幂函数形式的非线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X^β2+ε对数函数形式的非线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1ln(X) + ε需要注意的是，非线性回归模型的参数估计一般不像线性回归模型那样可以用最小二乘法直接求解，通常需要使用迭代算法。
三、多元回归模型多元回归模型用于研究多个自变量对因变量的影响。
多元回归模型的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是多个自变量，β0,β1,β2,...,βn是对应的回归系数，ε是误差项。
多元回归模型可以通过估计回归系数，来衡量每个自变量对因变量的影响。
通过比较不同自变量的回归系数，我们可以判断它们之间的影响大小。
总结：回归模型是一种用于研究变量关系的统计模型。
线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用线性函数表示。
第六章相关与回归分析
80 可支配收
60
入
18 25 45 60 62 75 88 92 99 98
40
20
0
0
20
40
60
80
可支配收入
2019/8/7
10
如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量 的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
任务二 进行相关分析
2.1 相关关系的测定 2.2 相关系数 2.3 相关系数的特点
2.1 相关关系的测定 P189
1. 单相关系数的定义 X 、Y 的协方差
总体 相关系数：
CovX ，Y VarX VarY
样本
r
X
的标准n1差
x x Yy的 标y 准差
相关系数：
1
n
xx
2
1 n
y y
2
2019/8/7
13
2.2 相关系数 P222
120
100
80
60
300
400
500
600
700
800
2019/8/7
人均 收入
900
5
1.2 相关关系的种类 P188
分类标志
类别
相关程度 完全相关 不完全相关 不相关
相关方向 正相关 负相关
相关形式 线性相关 非线性相关
变量多少 单相关 复相关 偏相关
2019/8/7
6
1.3 相关分析和回归分析 P189 相关分析 — 用一个指标来表明现象间相
互依存关系的密切程度。
相关系数 r
r
较大 — 现象间依存关系强
线性回归模型及其函数形式
S
总体回归函数和样本回归函数
o 总体回归函数的另一种表述
o 误差（error）的来源 ❖其他解释变量的影响 ❖测量误差 ❖人类行为的随机性
总体回归函数和样本回归函数
o 总体回归函数图解
Wi E(W|Si)
A
ui
PRF C
Si
总体回归函数和样本回归函数
样本回归函数（sample regression function,SRF） o 样本：从上述总体中随机抽取了100人 o 问题：根据样本数据估计总体中工资W与受教育年限S的关系
variable
variable
回归分析中的常用术语
相关与回归（co目r的relation变&量r间eg的r关es系sion变）量的性质 指标
相关分析 分析变量之间 对称的
都是随机变量 相关系数
(correlation 的线性关联程 analysis) 度
回归分析 根据自变量的 不对称的
因变量是随机 回归系数
variable variable
Exogenous Predictor variable
Regressor
因变量
被解释变量 响应变量 内生变量
预测子
回归子
Dependent Explained Response Endogenous Predictand Regressand
variable
variable
o 请用最小二乘法估计出以D为因变量的样本回归方程 o 计算回归标准误和回归系数估计量的标准误
年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
P 0.77 0.74 0.72 0.73 0.76 0.75 1.08 1.81 1.39 1.20 1.17 D 2.57 2.50 2.35 2.30 2.25 2.20 2.11 1.94 1.97 2.06 2.02
回归模型的函数形式最新
p 0.000 0.05所以拒绝H0
8
t 1.6524 0.3397 LnL 0.8460 LnK LnY t t
R2=0.995
F=1719.23
P值=（0.000）
回归结果经济意义解释：
1、在资本投入保持不变的情况下，劳动投入每增加1%， 产出平均增长约0.34%。在劳动投入保持不变的情况下， 资本投入每增加1%，产出平均增长约0.85%。 (注:P106教材中有错误)
线性回归模型的弹性系数计算
• 平均弹性：
Y X X E B2 X Y Y
多元对数线性回归模型
• 偏弹性系数的含义： 在其他变量（如，X3）保持不变的条件下，X2 每变动1%，被解释变量Y变动的百分比为B2； 同理，可以解释其他的偏弹性系数的含义。
2、P107例5-4 人口增长率（半对数模型，或增长率模型） 已知1975-2007年美国人口数据，求该期间人口增长率。
Se= （0.6062） （0.1857） （0.09343）
t= （-2.73）
P值=（0.014）
ห้องสมุดไป่ตู้
（1.83）
（0.085）
（9.06）
（0.000）
R2=0.995 F=1719.23 P值=（0.000） 经济意义检验 变量的显著性检验(右边检验)：
H0 : 0; H1 : 0 t5% 20 3 1.74 1.83所以拒绝H0 H0 : 0; H1 : 0 t5% 20 3 1.74 9.06所以拒绝H0
瞬时增长率与复合增长率
• 由表达式:b2=B2估计值=ln(1+r) • 可得到:(1+r)=antilog(b2) • 复合增长率: r=antilog(b2)-1=antilog(0.0107)-1=e0.0107-1 =2.7180.0107-1=1.010757-1=0.010757 即在样本区间内,美国人口年复合增长率为1.0757% 注意: 模型中斜率系数是为美国人口的瞬时增长率1.07%,即 某个时点上的增长率。而公式计算的r=1.0757%，是一 段时间内的增长率,两者表达的含义是不同的。 实际中,通常给出的是瞬时增长率,特此加以说明。
回归模型的函数形式.pptx
B1>0 B2<0
实际应用：恩格尔消费曲线 X：消费者总收入 Y :对某一商品的消费支出
-B2/B1
特征 (1)收入有一个临界值，在此临界值下，不能购买某商品。 (2)消费有一个满足水平，在此水平之上，无论消费者的收入有 多高，也不会再有任何消费。
倒数模型的图形（图形3）
Yi B1 B2 ( 1 ) ui Xi
回归模型的函数形式
1、斜率
Y / X
X每变动1单位，引起Y变动的绝对额
2、弹性
Y / Y X / X
Y / Y X
X每变动1%，引起Y变动的百分数
3、增长率
X每变动1单位，引起Y变动的百分数
2
1 .双对数模型(不变弹性模型) 2. 半对数模型
对数－线性模型——度量增长率（增长模型） 线性－对数模型——解释变量为对数形式
双对数模型的假设检验与线性模型没有任何不同。
4.选择线性模型还是双对数模型？（一个经验问题）
1.作散点图，通过散点图来判断。
2.比较两个模型的 R2 值。
3.考虑进入模型中的解释变量之间的相关性、解释变量系数
的预期符号、统计显著性以及类似弹性系数这样的度量工具。
线性模型与双对数回归模型的比较 （1）根据弹性定义公式，我们可以得出这样的结论： 对于线性模型，弹性系数是一个变量；对于对数模型， 其弹性系数为一常量。
Y X E X Y （2）对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:
可见线性模型给出的是点弹性，但在实践中，线性模型的
弹性系数通常是通过X与Y的样本均值得到
平均价格弹性：
Y X E X Y
5.多元对数线性回归模型
三变量对数线性模型：
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种用于预测连续变量的统计模型。
它通过建立自变量与因变量之间的关系来进行预测。
回归模型的函数形式通常有以下几种：线性回归、多项式回归、对数回归等。
线性回归是最基本的回归模型之一、它假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以表示为自变量的线性组合。
线性回归的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xp是自变量，β0、β1、β2、..、βp是待估计的回归系数，ε是随机误差项。
多项式回归是线性回归的一种推广形式。
它将自变量的高次幂引入回归模型中，以适应自变量与因变量之间的非线性关系。
多项式回归的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X1^2+...+βpX1^p+ε其中，Y是因变量，X1是自变量，β0、β1、β2、..、βp是待估计的回归系数，ε是随机误差项。
对数回归是一种广义线性回归模型，适用于因变量为非负数且呈现指数增长或指数衰减的情况。
ln(Y) = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xp是自变量，β0、β1、β2、..、βp是待估计的回归系数，ε是随机误差项。
此外，还有其他形式的回归模型，如非线性回归、广义可加模型等。
非线性回归假设自变量与因变量之间存在非线性关系，其函数形式通常较为复杂，可以采用曲线拟合等方法进行求解。
广义可加模型是一种将线性回归和广义线性回归相结合的模型，可以适应不同类型的因变量分布。
以上是回归模型的几种常见函数形式，它们在实际应用中根据数据的特征和问题的需求选择合适的形式进行建模和预测。
第六章回归分析
回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验
1. 提出假设
– H0： i = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) – H1： i 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)
2. 计算检验的统计量 t
3. 确定显著性水平，并进行决策
▪ tt2，拒绝H0； t<t2，接受H0
异方差性
多元回归 中的问题
• 方差不齐性：随机误差项的方差不齐性 • 异方差性带来的问题： • 参数估计值不是有效的
– 参数的显著性检验失效 – 回归方程的应用效果极不理想 • 诊断：残差图分析法 • 处理方法：加权最小二乘法
误差等分散性假设： 特定X水平的误差，除了应呈随机
化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性。
一元线性回归模型的假定
Yˆ1
f ( y) uY (x1)
E( ) 0
2 2 2
y ( x1)
y ( x2 )
y ( xi )
y
x0 x x1 x x2 x x3
Yˆ a bX
x
一元线性回归分析
共线性分析表
共线性问题
残差值统计量，包括预测值、残差值、 标准化预测值、标准化残差。观察是
否在三个标准差以内
满足残 差为正 态分布 的假设
Y值为预测值 的累积比率， X轴为观测值 的累积比率， 散点图最好呈 直线分布而满 残差为正态分
布的假设
Y轴为标准化残差，用于观测残差是否随因变量而变化， 如果随之发生变化，表明方差不齐性
2. 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和 (SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是 否显著 – 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 – 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系
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Yt 0.4( X t 2.5)
Yt 失业率的变动率 X t 实际产出的增长率，使用实际GDP增长率代理 2.5 = 美国长期产出增长率
1-44
第七节
过原点回归
例九：投资组合理论的市场模型图(CAPM)
ri rf
ri rf i (rm rf )
0
系统风险i
1-42
注意
1、当方程中截距项不出现时，估计的残差之和不 一定等于零； ˆi 0不一定成立 u 2、当方程中截距项不出现时，判定系数有时可能 出现负值。 慎用零截距模型，除非有非常强的理论预期！ 例八：奥肯定律 奥肯(Okun)根据美国1947-1960年的数据得到如下 结果：
起Y变化的百分比 实践中应用广泛。
弹性 Y 变动的百分比 Y/Y 100 E X变动的百分比 X/X 100 Y X X 斜率 ( ) X Y Y
1-5
在微积分中：
d (Y ) Y
第一节 如何度量弹性：双对数模型
对数和百分比
实践中，lnX的一个微小变化近似等于X的相对或百分比 变化。 理由如下：
1-14
例一：表 9-2（精要）
Real GDP, employment, and real fixed capital, Mexico, 1955-1974.
1-15
第一节 如何度量弹性：双对数模型
生产函数例子的双对数回归结果：
1-16
例二：表 9-3（精要）
Energy demand in OECD countries, 1960-1982.
1-51
1-46
第八节
尺度与度量
比较两个回归结果
ˆ Y ˆ X ˆ* Y* ˆ *X * 1 2 1 2 ˆ 2
xi yi x
2 i 1
ˆ* 2
2 i 2 i
* * x y i i
X ˆ var( ) n x ˆ ) var( 2 ˆ2
d (ln X ) 1 dX ，变换形式有 d (ln X ) dX X X
微积分算子d 表示无穷小，d (ln X ) ln X
dX X d (ln X ) 可写成 ln X X X 时间序列中， ln X ln X X t X t 1 t t 1 X t 1
双对数模型(对数-对数模型) 半对数模型/增长率模型 线性趋势模型 线性-对数模型 倒数模型 多项式回归模型
1-2
前
言
传统回归模型 刻画解释变量的绝对增加量 与应变量的绝对增加 量 间的关系 扩展函数形式模型 刻画解释变量的相对增加量 与应变量的相对 增加量 间的关系 度量指标 斜率— 绝对变化量 弹性系数— 相对变化量 实例 价格每变化1个%点，对商品需求的增加量？ 价格每增加1个货币单位，对商品需求的增加量多少个% 1-3 点？
dY 1 2 ( ) dX X dY dY Y 2 X dX dX / X X / X
1-27
例四：表 9-5（精要）
Quarterly total personal expenditure and categories (billions of dollars) 1993-1−1998-3.
散点图，但多元回归不合适 R2不可以直接比较，也不是好的标准！！ 永远第一位的准则：
分析侧重点
1-13
第二节 多元对数线性模型
三变量对数线性模型
ln Yi＝1＋2 ln X 2i＋3 ln X 3i ui
偏弹性系数
一个典型适用点：柯布-道格拉斯生产函数 Y AL K 1 规模报酬递减 1 规模报酬递增 1 规模报酬不变
1 1 1
估计量比较
ˆ *2 w12 ˆ2 ˆ * ) w2 var( ˆ) var( 1 1 1 w1 * ˆ ˆ) var( 2 ) var( 2 w 2 r 2 r *2
2
结论：尺度变换不影响OLS估计量的性质
1-48
例十：表 9-10（精要）
1-28
第四节
线性-对数模型
1-29
第五节
倒数模型
倒数模型(reciprocal model)
1 Yi 1 2 ( X ) ut i
变量非线性 解释变量Xi 无穷增大，应变量Yi的值渐进于 2 应变量存在极值，即增长是有限度的 渐近解/最优解（稳定性）
第六章
回归模型的函数形式
chapter six
Functional Forms of Regression Models
Yu Zhen
The Economic School of Jilin University
前
言
经济变量间的非线性–（复合利率，增长率，弹性系数） 主要内容 经济变量的非线性现象（参数为线性，但变量为非线性） 非线性回归模型的线性化解 各种特殊的回归模型模型
1-45
第八节
问题：
尺度与度量
变量数值的单位和尺度大小对回归结果会有什么影响？
ˆ ˆ X u ˆi Yi 1 2 i
现对X和Y进行重新度量
Yi * w1Yi X i* w2 X i
新模型
* ˆ* ˆ *X * u ˆ Yi* 1 2 i i
1-17
第一节 如何度量弹性：双对数模型
OECD国家能源需求例子的双对数回归结果：
围绕这个 系数能讨 论什么？
1-18
第二节 如何测定增长率：半对数模型
经济变量增长率：监控经济运行状况
考察对象： 伴随解释变量（时间）的增加，应变 量的增长率
1-19
第二节 如何测定增长率：半对数模型
第一节 如何度量弹性：双对数模型
考虑如下函数形式 2 Y AX i （6-1） i
其中，Y是博彩支出，X为个人可支配收入。
变量X非线性 dY A 2 X ( 2 1) dX
恒等式变换
令 1 ln A 有
ln Yi＝ln A＋2 ln X i ln Yi＝1＋2 ln X i
1-8
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子双对数回归结果：
1-9
双对数模型拟合直线
LnY
LnX
1-10
博彩支出的Log-linear 模型
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子线性回归结果：
1-11
线性模型拟合直线
线性回归结果
1-12
第一节 如何度量弹性：双对数模型
如何设定模型的函数形式？
复利计算公式
Yt Y0 (1 r )t ln Yt ln Y0 t ln(1 r ) ln Yt 1 2t ln Yt 1 2t ut
只有解释 变量为对 数形式， 得名半对 数模型！
1-20
例三：表 9-4（精要）
Population of United States (millions of people), 1970-1999.
1-47
2 x i
x
*2 i
ˆ* 2 var( 1
X ) n x
*2 i *2 i
*2
2
ˆ *) var( 2
*2 ˆ u i
2 ˆ u i
*2 x i
*2
n2
ˆ *2
n2
第八节
尺度与度量
w1 ˆ * ˆ 2 2 w2 ˆ* w ˆ
1-39
例七：表 9-9（精要）
Cigarette smoking and deaths from various types of cancer.
1-40
例七：表 9-9（精要）
吸烟与肺癌死亡人数的关系，多项式回归
1-41
第七节
过原点回归
过原点回归模型
Yi 2 X i ui
模型截距项为零 解释变量之间为函数相关，但非“线性相关”
斜率为正，称Y 有向上趋势；反之 ，有下降趋势。
增长率模型与线性趋势模型的比较
1-25
第三节 线性趋势模型
1-26
第四节
线性-对数模型
线性-对数模型 Yt 1 2 ln X t ut
模型为线性，解释变量X 为对数形式 解释变量Xt 每变动1%，应变量Yt 的绝对变化量
Gross private domestic investment and gross domestic product, United States, 1988-1997.
1-49
例十：表 9-10（精要）
1-50
函数形式总结：表 9-11（精要）
Summary of functional forms.
r
称为复合增长率(compound growth rate)
ˆ ln(1 r ) 2 ˆ ) 1 r anti log( 2
例子中美国人口复合增长率 为0.9848%
1-24
第三节 线性趋势模型
线性趋势模型 Yt 1 2t ut
Y 对时间t 回归，t 按时间顺序度量 t 称为趋势变量(trend variable)
1-6
第一节 如何度量弹性：双对数模型
不变弹性模型：与X取值无关
1-7
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子：
Weekly lotto expenditure (Y) in relation to weekly personal disposable income (X) ($)，表9-1