浅谈幻方以及其解法
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方是一种中国传统游戏，最早出现于中国古代的洛书-九宫图。
在中国古代，幻方也被称作河图、洛书又叫纵横图。
九宫洛书既蕴含奇门遁甲的布阵之道，也被看作科学的结晶与吉祥的象征。
洛书（幻方）被公认为是组合数学的鼻祖。
同时，洛书以其高度抽象的内涵，对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等都产生了重要影响。
幻方的规则是将给定数字放入正方形的格子中，使每行、每列和对角线的数字之和相等。
幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
幻方的解题方法包括暴力搜索法和加1法。
暴力搜索法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻
方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
以上内容仅供参考，建议查阅关于幻方的书籍或咨询数学领域专业人士获取更多信息。
幻方的解法与技巧
幻方的解法与技巧幻方是一种有趣又神秘的数学谜题，它能够以独特的方式排列数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
本文将介绍一些常见的幻方解法和技巧，帮助读者更好地理解和解决幻方问题。
一、幻方的基本概念幻方是由一组数字排列而成的正方形矩阵，其中每个数字只出现一次。
幻方的阶数指的是矩阵的边长，例如3阶幻方表示由3x3的数字矩阵组成。
幻方中的每一行、每一列和对角线上的数字之和称为幻方的常数，通常用S表示。
二、奇数阶幻方的解法奇数阶幻方的解法相对较简单，常用的方法有“Siamese method”和“LUX method”。
1. “Siamese method”（暹罗法）这种方法是由17世纪的暹罗王室数学家发明的，它的基本思想是从幻方的中间行、第一列开始，按照特定规则依次填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的中间行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. “LUX method”（LUX法）这种方法是由中国数学家陆玉鹤发明的，它的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、中间列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
三、偶数阶幻方的解法偶数阶幻方的解法相对复杂，常用的方法有“偶数阶幻方解法1”和“偶数阶幻方解法2”。
1. 偶数阶幻方解法1这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满四个子矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. 偶数阶幻方解法2这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
幻方解法
幻方解法
幻方，就是对于一个n×n的方阵，将1—n²这n²个数填入其中，使每行每列以及对角线上的数字之和都相等的方阵。
幻方分为奇数阶幻方(n=2k+1)、单偶数幻方
(n=4k+2)、双偶数幻方(n=4k)三种，每种幻方解法不同，但都有其固定的解。
下面我来具体介绍下幻方的解法：
1.奇数阶幻方
①将1填入第一行中间位置
②向右上方向依次填入
③如果上方出格了，则将其填入最后一行与其同列的位置
④如果右方出格了，则将其填入第一列与其同行的位置
⑤如果右上都出格，则将其填入第一列最后一格
⑥如果将要填入的方格已有数字，则填入上一个数字的下方
这里已三阶幻方为例：
2.双偶数阶幻方(n=4k)：
①先将1，2，3……n²依次填入方阵中
②拟出方阵对角线
③对角线上数字不动，将其余所有数字移至与其中心对称的位置
这里以四阶幻方为例
↓
↓ 3.单偶数阶幻方(n=4k+2)：
①先将1，2，3……n平方依次填入方阵中
②拟出对角线，将对角线上所有数字移至与其中心对称的位置。
③从方阵左半部分的每一列数字中抽出一对上下对称的数字互换位置(每一列抽出一对)
④从方阵上半部分的每一行数字中抽出一对左对称的数字互换位置(每一行抽出一对)
注：已经移动过或换过位置的数字不能再移动或换位
这里以六阶幻方为例：
↓
↓②↓
↓
↓③↓
↓
↓④↓。
幻方题目解题思路
幻方题目解题思路幻方这玩意儿挺有趣的呢！咱来唠唠解题思路哈。
一、啥是幻方首先得知道幻方是个正方形的格子阵，就像九宫格那种（当然也有其他规格的，像四阶幻方啥的）。
每一行、每一列还有对角线上的数字加起来都得等于同一个数，这个数就叫幻和。
二、三阶幻方（九宫格）的基本思路1. 确定幻和- 对于三阶幻方（3×3的格子），因为1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，这9个数要平均分配到三行（或者三列），所以幻和就是45÷3 = 15。
2. 找中心数- 在三阶幻方里，中心数特别重要。
因为它会在四条线上（一行、一列和两条对角线）参与求和。
- 假设中心数是x，那么它在四条线上相加的总和就是4x。
其他八个数两两组合成四组，每组和都等于幻和 - x。
- 经过计算就会发现中心数是5（你可以自己试着推导一下哦，挺好玩的）。
3. 填角上的数- 角上的数也很关键。
一般先从和5能凑成15的数开始考虑，像1、9，2、8，3、7，4、6这几组。
- 先试着把1放在左上角（只是个例子，放哪儿都行开始），那它对角就得是9，这样才能保证对角线的和是15。
然后再根据每行每列的和是15慢慢填其他的数。
1. 连续自然数幻方- 对于四阶幻方，1到16这16个数的和是136。
因为要四行（或四列），所以幻和是136÷4 = 34。
- 有一种方法叫“对称交换法”。
先把1到16按顺序填到四阶方阵里，就像从左上角开始横着填。
- 然后把对角线上的数保留，其他的数关于中心对称交换位置。
这样就得到了四阶幻方。
- 更高阶的幻方也有一些类似的方法，不过会更复杂一些。
2. 不是连续自然数的幻方- 如果不是1、2、3……这样连续的数，那首先得算出这些数的总和，然后确定幻和（总和除以阶数）。
- 然后可以先找一个和这些数相近的连续自然数幻方，再通过调整数字的大小来得到想要的幻方。
总之呢，幻方就像一个数字谜题，要根据幻和、数字的规律还有一些特殊位置（像中心数、角上数）的特点来慢慢拼凑出答案，多试几次就会找到感觉啦！。
幻方解题技巧
六阶幻方
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
构 成
三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
三阶幻方构成方法之二
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4 7
8 9
2
5
6
3
9
3
1
7
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
1
6
11 24 7
2 20 3 4 5 10
16 4
21 22
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
如；八阶幻方
十阶幻方 十二阶幻方
神 奇
四阶幻方
幻和
是34
16+13+1+4
5+2+12+15 3+8+9+14
16+2+11+5 9+7+4+14 3+13+8+10 6+12+1+15
左右对开并交换， 也是一个四阶幻方
上下对开并交换 仍是一个四阶幻方
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
距 离 幻 方 中 心 41 的 任 何 中 心 对 称 位 置 上 两 数 和 都 为 82
九阶幻方
将 幻 方 按 图 中 粗 线 分 成 九 块 ， 即 为 九 个 三 阶 幻 方
若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，又构成一个新的三阶幻方
分类 构成 神奇
分 类
按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
幻方的规律和求法
幻方的规律和求法幻方的规律和求法：幻方可是个神奇的存在呀！简单来说，就是在一个正方形格子里，填上一些数字，让每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
我们可以把幻方想象成一个数字的大舞台，每个数字都像是一位演员，它们要在这个舞台上找到自己的位置，共同演绎出神奇的规律。
那些格子就像是演员们的站位，必须恰到好处，才能呈现出完美的表演。
比如说三阶幻方，就像是一个小型的数字音乐会，九个数字要在九个位置上完美配合，奏响和谐的数字乐章。
那幻方是怎么做到让每行、每列和对角线的数字和都相等的呢？这就像是一场精心编排的舞蹈，每个数字都要准确无误地迈出自己的舞步。
以三阶幻方为例，中间的数字就像是领舞的主角，它的位置至关重要。
其他数字则像是伴舞，围绕着中间数字旋转跳跃。
它们之间有着一种微妙的平衡和协调，就像一个默契十足的舞蹈团队。
我们来看看具体的规律。
首先，幻方中每行、每列和对角线上的数字之和是一个固定值，这个值是所有数字总和的三分之一。
比如三阶幻方，1 到9 这九个数字的总和是 45，那么每行、每列和对角线的和就是 15。
这就好像是一场比赛，每个队伍的目标总分是确定的，数字们要努力去达到这个目标。
其次，中间位置的数字有着特殊的地位，它往往是一个关键的平衡点。
而且，相对的两个数字之和通常等于另外两个相对数字之和，就像两队选手在进行拔河比赛，力量要保持平衡。
为了让大家更好地理解，我们来看一个具体的三阶幻方例子：4 9 23 5 78 1 6在这里，每行、每列和对角线的和都是 15。
4 和 6、9 和 1、2 和 8 等相对数字之和都是 10，是不是很神奇呢？幻方在生活中也有不少应用呢！比如在建筑设计中，一些古老的建筑可能会运用幻方的原理来布局，以求达到某种平衡和和谐。
在数学研究中，幻方更是一个重要的领域，数学家们不断探索着更复杂、更奇妙的幻方。
总之，幻方就像是一个隐藏在数字世界里的神秘宝藏，等待着我们去探索和发现。
它的规律既神奇又有趣，让我们感受到了数字的魅力和魔力。
六角幻方的规律和方法
六角幻方的规律和方法六角幻方的规律和方法1、引言六角幻方是一种数学游戏，在六个连续的正整数上排列出一个三角形，使得每条边上的和都相等。
它是一种有趣而具有挑战性的数学谜题，吸引了很多人的研究和探索。
本文将深入探讨六角幻方的规律和方法，帮助读者更全面地了解这一概念。
2、概述六角幻方的基本规律六角幻方的基本规律是每条边上的和都相等。
在一个完整的六角幻方中，沿着任意一条边上的数字总和都相等，也等于幻方总和的六分之一。
这是六角幻方最基本的特性，也是我们探索和解决六角幻方的关键。
3、构建六角幻方的方法构建六角幻方有多种方法，下面将介绍两种最常见和简单的方法。
3.1 按行构建六角幻方按行构建六角幻方是一种简单而直观的方法。
首先选择一个数字作为幻方的中心数，然后围绕中心数按照规律依次填写数字，直到六个数都被使用完为止。
具体步骤如下：1) 将中心数放在幻方的中心位置；2) 从中心数开始，沿着幻方的每一条边按顺序填写数字；3) 当填写到边的末尾时，将光标移至下一条边的起始位置继续填写，直到幻方填满。
3.2 基于旋转的构建方法基于旋转的构建方法是一种更加巧妙和高效的方法。
通过不断地旋转和移动数字，将六个数字按照规律填写到幻方中。
具体步骤如下：1) 将一个六角幻方的中心数放在幻方的中心位置；2) 围绕中心数旋转和移动，按照规律填写数字；3) 当最后一个数字填写完后，将幻方旋转90度，再次按照规律填写数字，直到幻方填满。
4、个人观点和理解六角幻方是一种具有很高美学价值和挑战性的数学游戏。
在构建六角幻方的过程中，我们需要灵活运用数学规律和逻辑思维，不断尝试和探索新的方法。
通过解决六角幻方的问题，我们可以培养自己的逻辑思维能力和问题解决能力，提高数学素养。
六角幻方还能培养我们的耐心和毅力，因为构建一个完整的六角幻方需要一定的时间和精力。
5、总结回顾通过本文的介绍，我们了解到六角幻方的基本规律和构建方法。
六角幻方的基本规律是每条边上的数字和相等，幻方的总和等于每条边的和的六分之一。
幻方的技巧和解题思路
幻方的技巧和解题思路
幻方是一个矩阵，其中每行、每列和对角线上的元素之和都相等。
解题和构建幻方的方法有很多，以下是一些常用的技巧和解题思路：
1.奇阶幻方的构建：
o3阶幻方：可以使用"Siamese（托马斯维尔纳·托马斯纳格尔）方法"来构建。
o5阶幻方：可以使用"Burr（亨利·伯尔）方法"来构建。
o对于其他奇数阶的幻方，可以使用"La Hire（菲利普·莱尔）方法"来构建。
2.偶阶幻方的构建：
o4阶幻方：可以使用"De la Loubère（安德烈·纳诺·德拉卢贝尔）方法"来构建。
o6阶幻方：可以使用"J. R. Hendricks（乔布·亨德里克斯）方法"来构建。
o对于其他偶数阶的幻方，可以使用"Siamese（托马斯维尔纳·托马斯纳格尔）方法"或其他类似的方法来构
建。
3.递推法：可以使用递推法构建幻方，即通过给定的幻方来
构建更大阶数的幻方。
这种方法可以应用于各种阶数的幻
方。
4.数学公式：还有一些数学公式可以用来生成特定阶数的幻
方。
例如，Ramanujan公式可以用来生成8阶幻方，而Strachey公式可以用来生成12阶幻方。
5.对称性和规则性：在构建幻方时，利用对称性和规则性可
以更容易地确定某些元素的值，从而简化构建过程。
这些是一些常用的技巧和解题思路，但构建幻方是一个复杂的数学问题，需要深入的数学知识和技巧。
初一数学幻方的历史与解法数学小报
初一数学幻方的历史与解法数学小报初一数学幻方的历史与解法幻方是指由n × n的方阵组成，其中每个格子都填入了不同的数字，使得每行、每列和对角线的数字之和都相等。
幻方具有神秘而吸引人的特性，不仅在数学中被广泛研究，还被认为拥有一定的神秘力量。
幻方的历史可以追溯到中国古代。
早在公元650年左右，中国古代数学家杨辉就研究过幻方的特性和构造方法，他发现了一些特殊的幻方，如"阶四幻方"和"边三幻方"。
这些幻方除了满足基本的行、列和对角线之和相等的条件外，还具有一些独特的特点。
欧洲的数学家们也对幻方产生了浓厚的兴趣。
在16世纪，德国数学家冯·冯西特尔和法国数学家达德尼分别提出了一种构造幻方的方法，被称为"杨辉三角法"和"达德尼方法"。
这些方法可以通过一定的规则来构造出各种不同阶数的幻方。
在近代，科学家们开始运用更先进的技术来研究幻方。
通过计算机的帮助，他们发现了许多新奇的幻方，如"庞加莱幻方"和"帕斯卡幻方"。
这些幻方不仅满足基本的条件，还具有更多的特殊性质，如旋转对称、变换对称等。
解决幻方的方法有很多种。
最常见的方法是通过数学推理和试错来找出合适的数字填入每个格子中。
另外，还可以利用一些特殊的技巧和规律来简化解题过程。
例如，对于奇数阶的幻方，可以利用杨辉三角法和达德尼方法来构造；对于偶数阶的幻方，可以利用调整法和变换方法来生成。
总的来说，幻方是一门充满魅力和挑战的数学课题。
它不仅展示了数学的美妙和深刻，还激发了人们对数学的兴趣和研究欲望。
无论是古代还是现代，数学家们都在不断探索和创造新的幻方，为这个神秘的数学世界增添了更多的色彩和魅力。
初中数学幻方的解法
1.暴力搜索法幻方解题的最初方法是暴力搜索法。
这种方法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
2.加1法加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
3.线性代数法线性代数法是基于矩阵和行列式的组合在内的线性代数来计算幻方。
它使用比"加1法"更加复杂的算法来解决幻方，但是在解决复杂的幻方问题方面非常有效。
线性代数法的基本思路是将幻方转化为一个矩阵，然后对该矩阵进行一系列操作，计算出其行列式，最终得到解决幻方的结果。
a.构造幻方矩阵首先，需要将幻方构造成一个矩阵。
对于一个n阶幻方，矩阵的大小也是n×n。
将幻方中的每个数字都与一个矩阵中的元素相对应，这些元素的值就是幻方中每个数字的值。
b.求出幻方矩阵的行列式然后，需要计算矩阵的行列式。
行列式是一种数学工具，用来计算一个矩阵的性质。
对于一个n阶矩阵，行列式可以用一个n×n的矩阵来表示。
该矩阵的元素是由原矩阵中对应位置的子矩阵的行列式组成的。
c.计算幻方矩阵的行列式的值通过计算幻方矩阵的行列式的值，可以得到该幻方的解题结果。
如果幻方矩阵的行列式的值等于0，则该幻方无解。
如果幻方矩阵的行列式的值为非零数，则可以使用行列式展开式来计算幻方的解题结果。
总体来说，线性代数法是一种非常有效的幻方解题方法。
它比暴力搜索法和加1法更加高效，并且可以解决大多数幻方问题。
但是，这种方法需要使用高级数学知识，需要较高的数学水平才能应用。
4.对称性法对称性法是基于幻方的对称性的一种解题方法。
幻方的探讨和初步应用
第一章 介绍幻方的基本知识1.1 幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”.这个相等的数称幻方常数或定数.幻方的每条边有几格,就叫做几阶幻方.n 阶幻方常数,记作n H .不难算出2)1(2+=n n H n .例如将图1填成图2后,就成为一个4阶幻方.它的每一行,每一列以及每条对角线上个各数的和都等于常数342)14(424=+⨯=H .图1 图21.2幻方的历史幻方的历史很悠久.幻方又称纵横图,九宫图,最早记录于我国古代的洛书.在古代,人们没有认识到幻方是利用整数的某些特性构成的,而把它看成神秘的东西.关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说.相传在远古时期,伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上天,于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一图,作为礼物献给他,这就是“河图”,也是最早的幻方.伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦,后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”.“洛书”所画的图中共有黑,白圆圈45个.把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到九个.这九个数就可以组成一个纵横图,人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方,除此之外,还有4阶,5阶...后来,人们经过研究,得出计算任意阶数幻方的各行,各列,各条对角线上所有数的和的公式为2)1(2+=n n S , 其中n 为幻方的阶数,所求的数为S .幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方.我国也是最早发现幻方的国家之一.公元13世纪的数学家辉已经编制出3－10阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中.在欧洲直到574年,德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方.而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),而且比中国的辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔.幻方又叫魔方,日本人称为方阵,我国称为纵横图或方宫图等.几千年来,人们没有中断过对幻方的研究.整数的这种变幻迷离的玄妙性质,自古以来吸引着无数的数学爱好者.人们不仅造出了各种幻方,还找出了其中的某些规律.到了本世纪60年代,有人应用数论的方法,证明了任何n 阶)2(>n 幻方的可构造性.随着科学的发展以及电子计算机的问世,幻方这个颇似数学游戏的古典题目日也受到重视.现在已经有人编出任意高次的偶阶幻方的计算程序,并编入“CACM 程序汇编”.目前,幻方正在组合数学,图论,博奕论以及程序设计.人工智能等等方面得到应用.1.3幻方的性质一．幻方的变换性质我们在学关于幻方的知识时,对幻方数间的关系．．．．．．．等问题表．．．．．．．．,．幻方的构造之谜现出了极大的兴趣.并提出：三阶幻方除了“每一行,每一列,每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15”这一性质外,还有其它的性质吗？将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入下图方阵(幻方)中的9个空格中,使得横,竖,斜对角的3个数之和为0.(1) (2) (3)(4) (5)这种幻方是3×3幻方,通常是填1～9这9个数,使得各行,各列,斜对角的三个数之和为15.填法是:先从左到右,从上到下,将1～9这9个数依次填入幻方中（如（2））；然后中心的5不动，周围的8个数顺时针转一格（如（3））；再将（3）中的对角的数互换一下（如（4））,即为填1～9的答案.将（4）中每个数减去5（或加-5）,得（5）,即填-4～4的答案.其他填法与之类似.仔细体会上述填法从（4）到（5）这一步,我们发现它事实上提出了幻方的一种变换方式：变换1将一个幻方中的各数同时加上（或减去）一个相同的数，得到的仍就是幻方.如,上面的图（4）中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都15,是个3阶幻方，那么由变换1知道把图（4）中的每行数字加上2或减去2可分别得到图（6）,图（7）.图（6）中每行，每列及每条对角线的几个数分别加起来所得的和是21，所以它是一个3阶幻方.同理，图（7）也是一个3阶幻方.（6） （7）变换2 将一个幻方中的各数按一定顺序（从大到小或从小到大）与一个等差数列中的各数对应相加（或减），得到的还是幻方.如（8）,（9）就是在（4）的基础上按变换2得到的.(8) (9)二．幻方的对称与方幂和性质认真观察（5）,我们容易发现：关于中心数0对称的两个数互为相反数.根据填幻方的要求（各行,各列,斜对角的三个数之和相等）和方幂的性质（互为相反数的两个数的偶次幂相等,而奇次幂互为相反数）,我们得到（5）的两条奇妙性质：（i ） 关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之和互为相反数,且各数的奇次幂之和亦互为相反数.（ii ） 关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之和相等,且各数的偶次幂之和亦相等.面对如此奇妙的性质,我们不尽浮想连翩：（4）,（6）～（9）同样都是幻方,它们也有这样的性质吗？不难否定性质（i ）.现在我们以（4）为例来考察一下性质（ii ）.先取第一,三行：15816=++ 15492=++101816222=++ 101492222=++729816333=++ 901492333=++………………….所以 492816++=++222222492816++=++ 再取第1,3列15276=++ 15438=++89276222=++ 89438222=++567276333=++ 603438333=++....................所以 438276++=++222222438276++=++由此我们猜测：3×3幻方中,关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之平方和相等. 此猜想正确吗？不妨尝试着证明一下：图 10证明： 设（10）是一个3×3幻方,则g c h b i a +=+=+,g h i c b a ++=++ 设k g c h b i a =+=+=+,则g k c h k b i k a -=-=-=,,,所以 )(3g h i k c b a ++-=++k g h i 23=++ 所以 222222)()()(g k h k i k c b a -+-+-=++=)()(232222g h i g h i k k +++++-=)(23232222g h i k k k +++⨯- =222g h i ++所以 222222g h i c b a ++=++同理可证 222222i f c g d a ++=++.从而,上述猜想是正确的.第二章 低阶幻方2.1 三阶幻方三阶幻方是最简单的幻方由1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个数字组成的一个三行三列的矩阵,其对角线,横行,纵向的数字的和都15.我们可以这样想：1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10.这每对数的和再加上5都等于 15,可确定中心格应填5,这四组数应分别填在横,竖和对角线的位置上.先填四个角,若填两对奇数,那么因三个奇数的和才可能得奇数,四边上的格里已不可再填奇数.若四个角分别填一对偶数,一对奇数,也行不通.因此,判定四个角上必须填两对偶数.对角线上的数填好后,其余格里再填奇数就很容易了, 图2-1三阶幻方的解法第一种：辉法对洛书的构造方法“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”,观下图2-2自明：九子斜排（a ） 上下对易,左右相更（b ）四维挺出（c）四方收拢（d）图2-2 洛书幻方的生成第二种：九宫图也是3阶幻方的别称,三阶幻方就是著名的洛书,他的排列是“戴九履一,右三左七,二四为肩,六八为足,五居中央（9在上中,1在下中.3在右中,7在左中,2在左上,4在右上,6在左下,8在右下）”戴九履一（1）右三右七（2）二四为肩（3）六八为足（4）五居中央（5）第三种：罗伯法：最小的数据上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下写,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一个样2)1(2+=n n S ,其中n 为幻方的阶数,所求的数为S . 2.2 四阶幻方辉称4阶幻方为“花十六图”或“四四图”,有阴阳两式.在四阶幻方中,一个颇为著名的幻方是印度太苏神庙石碑上的幻方,如图2-3,它刻于十一世纪.这个幻方中,不但每行每列每条对角线上的数字和为34,而且有20组某四行四列交叉点上的四个数字,它们的和也都为34,例如9+2+15+8=34.更为奇妙的是把这个幻方边上的行或列移到另一边上去,所得到的正方形排列仍是一个幻方图2-3 辉4阶幻方四阶幻方的解法：辉4阶幻方的生成方法是最简单的,如；1) 4阶阴图是把这16~1个数字按顺序从上到下,自右至左填入4乘4的方阵. 2) 外四个角对角上互补的数相易,（方阵分为两个正方形,外大小,然后把大正方形的四个对角上的数字对换,小正方形四个对角上的数字对换）即 （1 ,16）（4 ,13）互换 （6 ,11）（7 ,10）互换图2-4其阳图则是将阴图逆时针转90°,然后1,2列互换,3,4列互换而成.(a)阳图 (b)阴图图2-5 辉的4阶幻另：对于k n 4=阶幻方,我们先把数字按顺序填写.写好后,按44⨯把它划分成K K ⨯个方阵.因为n 是4的倍数,一定能用44⨯的小方阵分割.然后把每个小方阵的对角线,像制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方.2.3 五阶幻方世界上最早出现的同心幻方是辉的“五五图”,其中心数是13,中间是一个幻和为39的3阶幻方,整体上又是幻和为65 的5阶幻方.五阶幻方就是把1－25个数字排列成下面的形式,使每一行,每一列,每条对角线上的五个数字和都相等.五阶幻方的解法：1）辉法：九子斜排,上下对易,左右变更,四维突出.1.将5×5的正方形改画成如图2-6形状.2.如图2-7,将1～25这二十五个数字按斜排填入图中.3.如图2-8,将五阶幻方图外的12个数与图中空格上,下换位,左,右换位,填入到5×5奇数阶幻方图中.4.如图2-9擦去五阶幻方图外部分线条和数据即可图2-6图2-7图2-8图2-92）罗伯法：最小的数据上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下写,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一个样.图2-10（在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,所以1的右上方应该是第五行的第四个,接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5,在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;在10的下方填11,然后按上面的方法填,每次填五个数,直到完成.无论从上到下还是从左到右都是五排,所以每排的五个数之和为(1+2+3+4+…+25)÷5=65,因此,你可以验算一下是否每个和都是65.此法适合于一切奇阶幻方.）2.4 六阶幻方6阶幻方是161个数字排列成下面的形式,使每一行,每一列,每条对角线~上的六个数字和均为111的幻方.六阶幻方的制作步骤：1.如图2-11,将1～36这36个数中间的16个数11～26排成一个四阶幻方.2.将剩余的20个数分成两组,使相对应的两个数的和均为37.小数组： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10| | | | | | | | | | | 大数组： 36,35,34,33,32,31,30,29,28,27.3.如图2-12,将1,2,35,36分别填入四个角.4.如图2-13,将3,4,5,9,28,32,33,34填入第一行和第六行.使第一行和第六行的六个数的和均为111.5.如图2-14,将剩余的八个数填入第一列和第六列中,使每一列和每一行六个数的和均为111,这样就制作成了一个六阶幻方.图 2-11 图2-12图2-13 图2-14第三章 研究某些特殊幻方的构造我们再研究几种具有特殊性质的幻方,即对称幻方,本章主要介绍圆筒幻方和超级幻方.3.1 对称幻方一个n 阶幻方如果其对称于中心的两数的和都等于12 n ,则称为对称幻方.例如图3-1的5阶幻方就是对称幻方.易知对称幻方中关于中心对称的n 个数的和都等于幻方常数.例如图3-1中下列各组数：图3-124,1,13,15,2；5,7,13,19,21；24,7,13,19,2；17,6,13,20,9；17,1,13,25,9；24,8,13,18,2； 17,15,13,11,9； 5,14,13,12,21；15,5,13,21,11； 1,13,25,4,22；8,16,13,10,18；7,6,13,20,19……其和都等于65.是否任何阶数都能做出对称幻方？如何做出对称幻方呢？下面来分析这两个问题.对于奇阶情形,依下法可以做出对称幻方，在奇阶方阵第1行中间列上填数1（参照图3-2的5阶情形）,然后按照圆筒法则向右上方按自然数顺序填数,至数n恰与数1相遇.再在数n的下一行同列填数1n,然后按照上述方法进行填空（参照图3-2）,直至填完2n个数（参见图3-1）,得到对称幻方.图3-2对于双偶阶的情形,由环形作法可知,凡用环形法作出的双偶阶幻方都是对称幻方.以四阶幻方为例,先自左至右,再自右至左顺序填写,过半后先自右至左,再自左至右顺序填写各数，则各列已互换了两对数.再将中间两列依行对称交换,也即上下的顺序颠倒过来,则各行,列均已交换了两对数,而且由于调换的行,列对称,故两对角线上的数仍换到原线上，于是得到的四阶幻方（图3-3）.我们把它旋转90°得到图3-4.图3-3 图3-4图3-4是用环形法做出的4阶对称幻方.用调动对角线上的数到对称位置上去的方法也可做出对称幻方.可以证明对于单偶阶（2k阶,k为奇数）情形不能做出对称你换幻方.以6阶幻方为例.根据对称幻方的定义,若有6阶对称幻方,则应形如图3-5.于是有：图 3-5DCA+FBE+111+=++LMKG+NH=++111++STRP+VQ111++=++=++A++GPFNV+=+B++MHTEQ+++C+=DKSLR将后5式相加减去第1式得到ERFKP+DGHQ+(2=111)--++-+因为上式左边恒为偶数,右边为奇数,故不可能成立,因此6阶对称幻方不存在.同理可证明不存在单偶阶对称幻方.3.2 圆筒幻方一个n阶幻方,如果不但各行各列,而且对角线组的每条线上各数的和都等于幻方常数,则称为圆筒幻方.下面讨论圆筒幻方的作法:1.超马步法作圆筒幻方先给出作5阶圆筒幻方的马步作法.图3-6是5阶自然方阵,第一列的数为1,6,11,16,21.如图3-7所示,在第一行第一列填1.然后依圆筒法则并按中国象棋的马步（向左11格向下2格）填写6,11,16,21 诸数.然后由所填各行首数起按右1下2的马步填写其他数（如图3-8所示）,则得到5阶圆筒幻方如图3-9.它的每行,每列以及左右两组10条对角线上每条各数的和都是65.把幻方左右连成圆筒.图3-6 图3-7图3-8 图3-9状沿任一列线切开,或把幻方上下连成圆筒状沿任一行线切开,再把它铺开,其圆筒幻方的性质不变.现在我们用数学方法来描述走马步的方法.我们把向下移一格的动作叫做x,向上移一格的动作叫做-x,向右移一格的动作叫做y,向左移一格的动作叫做-y.用p表示向下二格向左一格的马步,用Q表示向下二格向右一格的马步,则=2 (1)P-xy=2 (2)Q+yx于是有Q4 (3)=Px+4-2= (4)y2PQD,把向右下方斜走一格叫D,向左下方斜走一格叫1= (5)D+yx= (6)D-xyP Q D -=34 (7)Q P D -=341 (8)对于5阶情形,由圆筒法则,如果两数之差为5的倍数,则这两数可看作是同等的.例如4与-1 ,3与-2,可以互用.于是,式（1）至式（8） 可以写成:y x P -=2 y x Q +=2Q P x 44+= Q P y 32+=y x D += Y X D -=1Q P D 2+= Q P D +=21图3-10注意上面的走马步法则（参见图3-10）中,作P 移动时五进制数的个位数数字不变,五位数数字增加1,而作Q 移动时五位数数字不变,个位数数字增加 1.因此,由上面的公式知向下一格（即作x 移动）则应由原数加五进制数44；向右一格（即作y 移动则应加23；向右下方斜走一格（即作D 移动）则应加12；向左下方斜走一格（即作1D 移动）则应加21；若该位数加后得到大于4的数,则减去5使回到0 ,1 ,2 ,3,4的某一数.这样,由某一个数出发,可以求出方阵所有的数,使方阵具备圆筒幻方的性质.将五进制数化十进制数,再将每个数加1,则得到习惯上的十进制圆筒幻方.根据上述的分析,我们来讨论较易般的圆筒幻方的马步作法.把n 阶方阵中下移a 格右移b 格记为p ,下移c 格右移d 格记为Q ,并称之为超马步.x ,y ,D ,1D 的意义如上.容易推出下列公式：by ax P +=dy cx Q +=bQ dP x bc ad -=-)(aQ cP y bc ad +-=-)(Q b a P c d D bc ad )()()(-+-=-Q b a P c d D bc ad )()()(1+-+=-按前面公式,作P 移动时n 进制数的个位数数字不变,n 位数数字加1；作Q 移动时个位数数字加1,n 位数数字不变.数学上可以证明,当bc ad -, d b ,与n 没有公因子时,可以解得nQ mP x +=其中m , n 为整数,使下移1格能够办到,并且每一列上的数不论是个位还是n 都能取遍0,1,2,3,n -1诸数.为使右移,斜移也能办到并得到同样性质,还须a ,d ,b a -,d c -,b a +,d c +诸数与n 无公因子.因此,用超马步法作n 阶圆筒幻方的条件是下列诸数与n 无公因子a ，b ，c ，d ，b a -，b a +，d c -，d c +，bc ad -.以7阶圆筒幻方为例.取马步为y x P 4+=， y x Q 32+=则a =1，b =4 , c =2 , d =3 , b a -=-3 ,d c -=-1 ,b a +=5 ,d c +=5 , bc ad -=-5,满足上面所述的条件,故可做出圆筒幻方如图3-11.图3-11当上述用超马步法作圆筒幻方的条件不满足的时候,虽不能做出圆筒幻方,但用适当的超马步可以做出别的奇阶幻方.下面举个例子,图3-12是用像步法做成的5阶对称幻方（自然方阵每行首数置数法是后一行的首数置于前一行的尾数下方）.图3-12对于偶阶的情形,上述超马步法作圆筒幻方的条件不满足.那么,究竟有你有偶阶圆筒幻方呢？回答是肯定的.例如图3-13就是一个4阶圆筒幻方.可见上面所述的条件是图3-13充分而不必要的.当不满足条件时,可用作拉丁方法作圆筒幻方.2．拉丁方法作圆筒幻方用超马步法作圆筒幻方,必须n与a,b,c,d,ba-,ba+ dad-无公因子时才能做出.因此偶阶,k3阶等圆筒幻方不能用超c+,bcc-,d马步法做出.现在以4阶为例,用拉丁方法加以研究.1）先做出左上角为1的拉丁方如图3-14（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）图 3-142）把图3-14中8格拉丁方两两组合成含两个数字的拉丁方,去掉其中相同数字重复出现的,余下16种,图3-15种给出8种,若把图中二位数的数字位置对调,如把“34”调成“43”,则可得到另外8种（图3-15中各图下面所注数字表明由图3-14中那两图所结合）.（1）1—4 （2）1—8（3）2—3 （4）2—9（5）3—7 （6）4—5（7）5—8 （8）6—7图3-153）作4阶自然方阵如图3-16图3-164）把图3-15换算成圆筒幻方.换算的方法是将图3-15中的两位数j i ,换图3-16中第i 行第j 列的数.这样,图3-15的8个图加上其调换二位数所得的8个图可以换算成16个圆筒幻方.考虑到(6)换位后是(1)的反射,(7)旋转后是(1)的反射,(8)是(3)的旋转反射,共剩10个4阶圆筒幻方如图3-17.其中标有a 的表示由原拉丁方换算得到,标有b 的表示两位数换位后再换算得到的.图3-17中（1）a (1)b(2)a (2)b(3)a (3)b(4)a (4)b(5)a (5)b图 3-17(4)a 与(4)b,(5)a 与(5)b 可经反射变换互化,应各算一种,所以共得4阶圆筒幻方8种.由于任一数都可以放在左上角,故实际上共有128168=⨯种圆筒幻方.3.3 超级幻方一个幻方如果既是圆筒幻方,又是对称幻方,则叫做超级幻方.图3-18,图3-19都是超级幻方.作法：是置1于第一行中间,然后向下用走目字法顺序填数,每填完自然方阵的一行（即n 个数）后,下一行的首数写在上一行的最末一数下面,再继续走目字法,反复直至完成.图3-18图 3-19容易证明不可能作成4阶超级幻方.事实上,没有满足超级幻方性质的方阵,则由对称幻方性质知其必形为图3-20.由幻方性质有：图3-2034=+++D C B A34=+++H G F ED HE A +=++CB+=FG再据圆筒幻方性有=B++GED+C+=HAF解上述方程组(1)——(6)得A===,.显然这不符合幻方的要求.,=,EFGHDBC第四章幻方的应用幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方.公元13世纪的数学家辉已经编制出3～10阶幻方.在欧洲,直到公元574年,德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方.本章中我们将着重研究幻方在现实中的应用.一.幻方应用于哲理思想的研究在数学中,幻方蕴涵的哲理思想是最为丰富的.《易经》是一本哲学书,它几乎影响了国外的各种哲学思想.而易学家们通过多方面研究发现,易学来源于河图洛书,而洛书就是三阶幻方.幻方的布局规律,构造原理蕴涵着一种概括天地万物的生存结构,是说明宇宙产生和发展的数学模型.拙文《四阶完美幻方的易理思想》,《五阶幻方与易数系统》,是对高阶幻方蕴含的哲理思想的进一步探讨.二.幻方应用于美术设计幻方可大量应用于美术设计,西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富,它采用幻方组成许多美丽的图案,他把图案中的那些方阵的线条称为“魔线”,并应用于轻工业品,封面包装设计中,德国著名版画家A.度勒的作品《忧郁症》中,因有一个能指明制作年代的幻方而闻名于世,艺术美与理性美的和谐组合,往往成为流芳千古的佳作.关于“魔线”图,日本幻方专家阿部乐方也做过许多工作,我国一位教师姬广忠,曾研究出各种魔线图,奉献给了中央工艺美术学院.幻方中数学布局十分对称均衡,又有丰富的变化,因而将其数字按序联起来,可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”,经彩色处理可获得十分漂亮的美术图案,这种图案在表现出多样的对称美的同时,又有幻方原理的理性规律,因此耐人寻味,堪称天斧之工.三.幻方的美学价值数学是美的,幻方更美.幻方是数学按着一种规律布局成的一种体系,每个幻方不仅是一个智力成就,而且还是一个艺术佳品,都以整齐划一,均衡对称,和谐统一的特性,迸发出耀人的数学美的光辉,具有很高的美学价值.在数学美学当中,把幻方中的美学价值推为至上,由于数学中的各个容均同数字有密切联系,因而幻方这种美的结构均可渗透在各种数学知识当中,显示出多样的妙趣来,使我们在幻方的欣赏中了解数学知识的许多奥妙.四.幻方的智力开发功能幻方由于比较简单,容易入门,很快能引起青少年的探讨兴趣. 可以说幻方在智力开发方面已产生十分重要的作用.挖掘中国数学史,我们便会看到,趣味数学,计算工具,棋类游戏都与幻方有着在的联系.在算法的历史上,先有九宫算,后有太乙算,算盘,电子计算机,在游戏的发展史上,最先有重排九宫,后有象棋,围棋,华容道游戏等.围棋盘是一个19阶方阵,象棋盘是一个八阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵),它们的走法原理均同幻方的布局原理相关.电脑上的“挖地雷”游戏,同九宫图密切相关.在近年来,我国幻方研究者应用幻方原理发明了许多智力开发游戏.志雄设计出一种“集图双面幻方器”获铜牌奖,王忠汉设计出一种有趣的“幻方棋”,江亚晶设计了“幻方系列数字游戏机”,还有人设计成功“九宫妙算棋”,具有九大功能,20多种游戏方式,是小学生数学运算训练的极好园地.五.幻方在数学教学中的影响幻方在数学教学中,具有提高学生学习兴趣,美化教材,启迪思维的功能.幻方中数字的丰富变化,把数学教材中的各个容联系起来,如方程幻方, 根式幻方,分数幻方,黑洞数幻方,积幻方,差幻方,平方幻方等,它们都可用在数学教学当中,使数学容产生魅力.六.幻方对科学的启迪河图可看成是二阶幻方模型,洛书是三阶幻方,由于它们流传甚广,从古到今给人们许多科学的启迪.例如,爱因斯坦的《相对论》,运用了11个公式推算时空相对增减元数,而河洛数对他很有启发.美籍华裔学者焦蔚芳,曾写有洛书矩阵,洛书几何,洛书空间方面的书,对数学的发展起了促进的作用.傅熙如运用洛书研究哥德巴赫猜想.我们知道电脑的产生基于自动控制理论,而美国自动控制论的发明人是通过研究中国的“三三迷宫图”(三阶幻方的联线图)突发奇想,做出一系列控制理论的.从这里的资料可看出,现在风靡世界的电脑,挖根寻源竟然跑到了幻方领域里去了.幻方因具有一种自然的属性,虽是数字关系,但往往抽象概括性特强,当人们反复深思以后,就有可能对某个科学理论激发出灵感来,从而推动其发展.在中国的传统文化中,我们能够看到洛书运用于军事,中医,天文,气象,气功等领域的大量资料,说明幻方与各种学科的密切关系是不可忽视的.七.幻方应用于科学技术之中幻方已应用于“建路”,“爵当曲线”,“七座桥”等的位置解析学及组合解析学中.幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯定理,格里定理,斯笃克定理,还引出了普生,布鲁汀两氏的电子方程式.幻方还引出了桑南的自动控制论,从而促成了电子计算机的诞生,电脑有三个来源,即二进制(八卦),算盘和幻方.电子科学已把幻方的排列路线看成是一理想的电子回路网图形,我们从黎凯旋的《易数浅谈》中可以看到,从日本学习飞机知识的驾驶员,第一堂课上的就是幻方知识课,因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关.电机专家吴隆生创造了64阶方阵仪可用于计算机,测量仪,通讯交换仪以及水电,火力,航空等的管制系统,已获得专利.海上漂浮建筑,首先要解决的问题,就是要将建筑面分割。
二年级幻方的解法
二年级幻方的解法幻方是数学中的一种传统游戏，也是一种数学谜题。
它不仅有趣，而且可以训练我们的逻辑思维能力。
本文将阐述如何解决二年级的幻方。
步骤一：了解二阶幻方二年级的幻方是一个二阶幻方。
所谓二阶幻方，就是它有三行三列的方格，其中每个方格都填有一个数字，使得每行、每列、以及对角线上的三个数字之和相等。
二阶幻方中的数字范围为1-9。
步骤二：选择初始数字在二年级的幻方中，最中央的数字应该是5。
这是因为5是1-9数字范围中的中位数，如果我们的幻方是正确的，那么它应该被固定在中间位置。
步骤三：确定剩余的数字接下来，我们需要确定剩余的数字。
我们可以列出幻方的第一行，然后尝试填入数字，让它们的和等于幻方的每行总和。
同样的方法也适用于列和对角线上的数字。
比如，如果我们将幻方的每行总和设为S，则第一行应该是5+X+Y=S。
因为我们已经知道中间数字为5，所以我们可以使用这个方程计算出剩余的数字。
步骤四：填充幻方当我们确定了每个数字的位置和值之后，我们就可以开始填充幻方了。
我们从左上角开始，一行一行地填写数字。
为了确保我们填写的数字能够满足幻方的要求，我们需要检查每一行、每一列和对角线的和是否相等。
在填充过程中，如果我们遇到一个行、列或对角线的总和不等于S的情况，我们需要检查这一行、列或对角线上的数字，确定哪个数字是错误的，并将其更正。
步骤五：检查答案在填充完幻方后，我们需要检查每行、每列和对角线的和是否相等。
如果它们相等，那么你已经成功解决了二阶幻方。
总结以上就是解决二年级幻方的步骤。
解决幻方需要我们的逻辑思维能力，同时也需要耐心和细心。
希望本文能够帮助大家更好地理解幻方，并且解决幻方的过程也能带给大家欢乐和乐趣。
浅谈幻方以及其解法
学号 **********学年论文（2016届本科）题目：浅谈幻方以及其解法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：甘天明指导教师：任天胜职称: 副教授完成日期： 2014 年 12 月 18 日浅谈幻方以及其解法甘天明指导教师：任天胜(河西学院数学与应用数学专业2016届2班05号甘肃张掖734000)摘要多少世纪以来，人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣，从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。
在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。
有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。
幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。
幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。
本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。
关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方.1 引言我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。
由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。
幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。
此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。
在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。
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幻⽅法则幻⽅公式/幻⽅法则编辑幻⽅法则图册我们通常所说的幻⽅是平⾯和幻⽅。
n阶幻⽅就是在n×n的⽅格中填上n^2【n的平⽅】个数，⾏、列和对⾓线的和值相等为完美幻⽅，⾏、列和值相等为不完美幻⽅。
这⼀和值叫幻和值。
⼀个n阶幻⽅幻和值公式为：Nn=1/2xn(n2+1)【注：n2是n的平⽅】[1]幻⽅类型/幻⽅法则编辑幻⽅分为奇阶幻⽅和偶阶幻⽅，构成⽅法也不同。
奇阶幻⽅⼀、Merzirac法⽣成奇阶幻⽅在第⼀⾏居中的⽅格内放1，依次向右上⽅填⼊2、3、4…，如果右上⽅已有数字，则向下移⼀格继续填写。
如下图⽤Merziral法⽣成的5阶幻⽅：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9Merzirac法，有⼈也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即⾛X+Y斜步（数字按右上⽅顺序填⼊），-Y 跳步（如果右上⽅已有数字或出了对⾓线，则向下移⼀格继续填写）。
其实斜步法可以向4个⽅向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个⽅向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。
【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反⽅向即可。
如右上⽅向斜步，跳步就为向左（或向下）⼀步；左下⽅向斜步，跳步就为向右（或向上）⼀步；等等等等】⼆、loubere法⽣成奇阶幻⽅在居中的⽅格向上⼀格内放1，依次向右上⽅填⼊2、3、4…，如果右上⽅已有数字，则向上移两格继续填写。
如下图⽤Louberel法⽣成的5阶幻⽅：23 6 19 2 1510 18 1 14 2217 5 13 21 94 12 25 8 1611 24 7 20 3上述loubere法可以记作X+Y斜步（数字按右上⽅顺序填⼊），2Y跳步（如果右上⽅已有数字或出了对⾓线，则向上移⼆格继续填写）。
对于X+Y斜步相应的跳步可以为2X，2Y。
【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相同⽅向即可。
五阶幻方解题技巧
五阶幻方解题技巧
五阶幻方是一个由5*5的矩阵组成的魔方，要求每行、每列
和对角线的和都相等。
解题时，可以按照以下技巧来进行：
1.确定中心数：五阶幻方中心格的值可以直接确定，即为1
到25的中间值，也就是13。
2.确定角落数：角落格的值可以设定为1、21、25、5和9。
这是因为这些数位于幻方的四个角落，且与中心数的距离最远。
3.填充边缘数：根据角落数和中心数，可以确定所有边缘格
的值。
将中心数与角落数进行组合，并保持跳跃的顺序（即按
照角落数的顺序相邻数字之间的差值为4）填充边缘格。
4.填充剩余格：将剩余的空格分为四个边缘格和中心格，分
别进行填充。
在填充过程中，可以考虑以下几点：
按照奇数和偶数的位置进行填充：将奇数和偶数位置的格分
别填充为奇数和偶数，可以确保每行、每列和对角线的和相等。
按照奇数和偶数的值进行填充：将奇数和偶数的值分别填充
到奇数和偶数的位置，也可以确保每行、每列和对角线的和相等。
5.检验解法：在填充完所有格子后，对每行、每列和对角线
的和进行检验。
确保它们的值都相等，即为有效的五阶幻方解。
这些技巧可以帮助我们在解题过程中更加有序地进行填充，提高解题效率。
但是需要注意的是，以上只是一种常用的解题方法，还可以有其他的技巧和策略来解决五阶幻方。
求解幻方的技巧
求解幻方的技巧幻方是一个由数字组成的矩阵，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
在解决幻方问题时，可以使用许多技巧和策略。
本文将介绍一些常用的解幻方问题的技巧。
1. 奇序幻方和偶序幻方的区别：奇序幻方是指矩阵的边长为奇数，而偶序幻方是指矩阵的边长为偶数。
这两种幻方的解法有所不同。
2. 奇序幻方的解题思路：- 首先，将数字 1 放置在第一行的中间位置。
- 然后，依次从数字 2 开始，按照以下规则放置：- 如果下一个数字所要放置的位置超出矩阵的边界，则将该数字放置在矩阵的对角位置。
- 如果下一个数字所要放置的位置已经有数字存在，则将该数字放置在上一个数字的下方。
- 以此类推，直到将所有数字放置完毕。
3. 偶序幻方的解题思路：- 首先，将数字 1 放置在第一行的中间位置。
- 然后，依次从数字 2 开始，按照以下规则放置：- 将该数字放置在上一个数字的右上方。
- 如果右上方的位置超出矩阵的边界，则将该数字放置在下一个位置的左下方。
- 以此类推，直到将所有数字放置完毕。
4. 总结幻方的规律：- 任何一个幻方矩阵都有一个中心对称的特点，即将矩阵按中心水平线对折，得到的新矩阵和原矩阵是相同的。
- 幻方矩阵中，对称位置的数字之和相等。
例如，在3 阶幻方矩阵中，1 和 9、2 和 8、3 和 7 的和都是 10。
- 幻方矩阵中，行数和列数之和的一半是矩阵中每行或每列的数字之和。
5. 借助已知的幻方解题：- 对于任何奇序幻方矩阵，可以通过一个已知的奇序幻方解题，例如3 阶幻方矩阵，来推导出更大阶幻方矩阵的解法。
- 对于偶序幻方矩阵，可以通过两个已知的奇序幻方矩阵的组合来解题，例如，通过组合两个3 阶幻方矩阵来解决 6 阶幻方问题。
6. 幻方的旋转和反转：- 幻方矩阵可以通过旋转和反转来获得新的解法。
例如，可以将一个 3 阶幻方矩阵逆时针旋转 90 度得到一个新的解法。
7. 求解幻方问题的算法：- 幻方问题是一个数学问题，可以通过编程来求解。
二年级幻方的规律和方法
二年级幻方的规律和方法
幻方是一种古老的数学游戏，它可以通过将自然数排列成正方形来使同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和相等。
对于二阶幻方，也就是二年级幻方，一共有 15 个数字，它们分别是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15。
制作二年级幻方的方法可以分为以下几步:
1. 将 15 个数字按从小到大的顺序排列。
2. 将 15 个数字拆分成几组，每组数字相等。
3. 将每组数字按照顺序排列成正方形，使同一行、同一列和同一对角线上的数字和相等。
下面是一个示例:
假设我们将 15 个数字拆分成三组，每组数字为 n,n+1 和 n+2。
那么这三组数字的排列顺序应该是:
第一组:n, n+1, n+2
第二组:n+1, n+2, n+3
第三组:n+2, n+3, n+4
按照这种方法，我们可以将 15 个数字排列成如下的二阶幻方: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
在制作二年级幻方的过程中，我们可以使用一些口诀来帮助我们
不迷路，比如“二四为肩，六八为足，载九履一，左三右七，五居中央”就是一个常用的口诀。
幻方字母的解法与技巧
幻方字母的解法与技巧
幻方是一个古老的数学谜题，它由一个n x n的方阵组成，其中包含从1到n^2的连续整数，使得每一行、每一列和对角线的和都相等。
幻方可以使用数字或字母来解决，其中字母幻方是将字母排列在方阵中，使得每一行、每一列和对角线的字母和都相等。
解决字母幻方的关键在于找到合适的字母排列，以满足幻方的条件。
以下是一些解决字母幻方的技巧和方法：
1. 字母选择，首先需要选择用于填充幻方的字母。
通常选择连续的字母序列，例如从A到Z。
另一种方法是选择特定的单词或短语中的字母，以增加幻方的趣味性。
2. 字母排列，确定好要使用的字母后，需要将它们排列在方阵中。
这可以通过尝试不同的排列方式来完成，以确保每行、每列和对角线的字母和相等。
3. 数学原理，了解幻方的数学原理是解决字母幻方的关键。
例如，对于3阶幻方，可以使用数学公式来确定每个位置上的字母，以确保它们的和相等。
4. 对称性，利用幻方的对称性是解决字母幻方的有效方法。
通
过观察和利用方阵的对称性质，可以减少尝试不同排列的次数。
5. 创造性思维，解决字母幻方需要一定的创造性思维。
尝试不
同的方法和思路，可能会带来意想不到的排列方式，从而解决幻方。
总的来说，解决字母幻方需要耐心、数学知识和创造性思维。
通过尝试不同的方法和技巧，可以找到满足幻方条件的合适的字母
排列方式。
希望这些技巧对你有所帮助。
幻方解法归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中任意一横行、一纵行及的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”.我国古代称为“”、“”,又叫“”.1、奇数阶幻方——罗伯特法也有人称之为楼梯法如图一：以五阶幻方为例奇数阶幻方n 为奇数 n=3,5,7,9,11…… n=2×k+1,k=1,2,3,4,5……奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法.填写方法是这样： 把1或最小的数放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n -1个数： 1每一个数放在前一个数的右上一格；2如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列； 3如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行；4如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同4. 这种写法总是先向“右上”的方向,象是在爬楼梯.口诀：1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法如图二：以六阶幻方为例① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D 如图二图二注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变,因为12＋m 为奇数,所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方 ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方,同理,在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312aa ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方2na ＝如图三图三因为12＋m 为奇数,所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方,必然可以用连续摆数法构造幻方 ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格,在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格,把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调如图四：图四不管是几阶幻方,在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时,1＝m ,所以本例中只取了一个数④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格,把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调.如图五图五3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法如图三：以八阶幻方为例 ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方如图六图六② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色以便于区分,然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格如图七图七正确理解“每行每列中任取一半的方格”.本例中因为4＝m ,所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格③ 从左上角的方格开始,按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方,遇到有底色的方格跳过,计数,这样填满了没有底色的方格如图八图八从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方,当遇到有底色的方格时空出不填即可④ 从右下角的方格开始,按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入n 阶幻方,这样填满了有底色的方格如图九图九即为所求幻方.图九或者对于n=4k 阶幻方,我们先把数字按顺序填写.写好后,按44把它划分成kk 个方阵.因为n 是4的倍数,一定能用44的小方阵分割.然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方.图中红色数字可用中心对称得到。
幻方题的解法
幻方题的解法
幻方的解法通常有两种，分别是暴力求解和数学方法。
暴力求解的方法是通过遍历所有可能的数字组合，然后检查每个组合是否符合幻方的条件。
幻方的条件是每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都相等。
因为幻方的阶数（即方阵的边长）为n，所以可以遍历从1到n^2的所有数字来生成幻方。
然后检查每个可能的数字组合是否满足条件，如果满足条件则为幻方。
数学方法的解法是基于幻方的一些特性和规律进行推导。
有一些已知的幻方规则可以用来构建幻方，比如：
1. 基本幻方规则：对于任意一个奇数阶幻方，可以将数字1放在第一行中间一列的位置，然后从2开始按照如下规则依次填充数字：
- 如果下一个数字要填入的位置超出幻方的上边界，则将其放在上一列的最下方；
- 如果下一个数字要填入的位置超出幻方的右边界，则将其放在上一行的最左边；
- 如果下一个数字要填入的位置已经被占据，则将其放在上一行的下一列。
根据这个规则，可以依次填充所有的数字，直到生成一个完整的幻方。
2. 巫师幻方规则：巫师幻方是一种特殊的幻方，它的每个数字都是连续的素数。
根据巫师幻方的规则，可以通过一些简单的数学运算来计算出幻方中的每个位置应该填充的数字。
具体的计算方法可以参考数学书籍或相关的教学资料。
以上是幻方题的两种解法，具体的解题方法可以根据题目的要求和条件选择合适的方法。
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在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。
有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。
幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。
幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。
本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。
关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方.1 引言我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。
由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。
幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。
此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。
在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。
2预备知识的方阵中，放入从1开始的2n个定义2.1 幻方，也叫纵横图，就是在n n自然数，在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好相等。
定义2.2 幻方的各行、各列和两条对角线上的数字之和相等的和数即为幻和，也叫幻方常数。
定义2.3 奇阶幻方：当幻方中的n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
定义2.4偶阶幻方：当幻方中的n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。
3 幻方的历史和发展关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
大约在8世纪，中国的幻方记述传入阿拉伯地区。
该地区的人们对幻方产生了极大兴趣，并做出重要贡献。
塔比伊本·库拉较早研究了幻方。
约990年，一批阿拉伯学者编的本百科全书中可找到3，4，5，6阶幻方，并说明7，8，9阶幻方的存在。
幻方1315年前后传人西方后，最初被赋予一种神秘性或作为护身符，成为神秘哲学的一部分，或是在一些场合中作为有趣的数学游戏。
但当时并未引起人们的深思和研究。
在中国，宋朝杨辉的《续古摘奇算法》辑录了更高阶的幻方(至10阶)，他最早从数学角度研究了洛书的构造法以及其他6种变形幻方。
它们同样具有某些组合性质。
杨辉还构造出9个洛书构成的大幻方，如果洛书中的第i列第j行数H。
杨辉之后易东、程大位、王文素，清朝方中逦、张潮、保其寿对幻方及记为ij变形幻方有深入的研究。
形式也趋于多样化。
除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方，而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔。
直到中世纪后．欧洲的一些数学著作中才开始出现讨论幻方及其改造的内容，如卡尔丹诺给出了分别以日、月和五星为名的幻方及构造法。
7世纪，日本对幻方也产生很浓的兴趣，主要是关孝和对幻方和幻圆理论的研究。
现在的幻方种类很多，如一般幻方，对称幻方，同心幻方，完美幻方。
平面幻方(二维)，幻立方(三维)，多维幻方。
平方幻方，立方幻方，高次幻方，高次多维幻方。
魔鬼幻方，马步幻方，多重幻方，六角幻方，双料幻方，幻环，幻圆等等。
特殊的幻方有反幻方，完美反幻方。
4 幻方问题与研究幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。
幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。
在以前，人们只能靠手算得到一些较低阶的幻方。
河图、洛书不过是两个简单的四阶幻方，古人也将其视为上天赐予的神物。
然而幻方的许多性质，从低阶幻方中总是很难发现。
Kraitchik在1942年分别给出奇数阶与偶数阶幻方的确定构造方法，但却不能构造任意随机幻方，更不能构造有附加条件或二次以上的幻方。
在幻方研究中常常需要构造具有附加条件的特殊幻方，如泛幻方(panmagic square)、嵌套幻方(父子幻方)、庆典幻方等，每一个成功的特殊幻方的直接构造都是一次人类心智与毅力的艰苦磨砺，有时虽耗费一生光阴也一无所得。
新的研究理论提出半幻方通过行置换与列置换可实现对角线数字幻和满足的分步构造猜想的基础上，提出基于演化策略的分步自适应幻方演化算法。
变异操作包括元素对置换、整行置换、整列置换；启发式局部调整操作包括行列局部调整与对角局部调整等。
计算表明，分步构造猜想至少在所完成的幻方构造计算实例上是成立的，幻方分步演化算法具有较高的计算效率。
虽然幻方分步构造猜想有待证明，但数值实验结果表明，建立在该猜想条件下的随机幻方演化算法表现出极限成功率，即每次幻方演化过程都能得到不同的随机幻方，而且演化算法具有较高的构造效率。
幻方演化算法属于随机构造法，不同于传统的确定式幻方构造方法。
因此，幻方演化算法是幻方构造方法中重要的随机自适应构造新方法。
幻方演化算法的高演化效率源于幻方的分步构造猜想与自适应的元素置换算子。
幻方分步构造猜想将一个幻方的构造过程分解为两步，即半幻方演化构造与对角幻和演化构造。
这种分步构造法将行列幻和的构造过程与对角幻和的构造过程“解耦”，使之互不影响。
自适应的元素置换算子可将变异对象定位于未满足幻和的行列元素，并在半幻方构造过程中自适应调整变异概率，使平均变异元素个数保持一定。
幻方演化算法的极限成功率源于行列与对角局部调整操作。
在半幻方演化的后期，对于难以通过随机元素置换算子实现幻和构造的局部元素置换对，行列局部调整操作在启发式知识下，搜索这些满足条件的元素对实现置换。
在对角幻和的演化后期，对角局部调整操作具有同样效果。
5 幻方的应用5.1 幻方在数学和智力开发中的应用幻方由于其独特的性质在很多时候可以巧妙的解决一些数学智力问题。
如用“三阶幻方”巧填“爱因斯坦填数题”，用“三阶幻方”解决“取牌游戏问题”，用“四阶幻方”巧填“玛 摩西约利斯米难题”。
同时由于幻方简单，我们较易入门，所以很容易引起青少年的兴趣。
我国从古代到现代都将幻方原理应用于各种智力产品的开发。
如古代的九宫格，以及现在的华容道和推箱子等各种游戏。
5.2 幻方在科学技术中的应用幻方应用于位置解析学及组合解析学中，幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯定理，格里定理等，甚至还引出了普生，布鲁丁两氏的电子方程式。
幻方还引出了桑南的自动控制论，从而促成了电子计算机的诞生。
我国也正在研究应用幻方研究中医理论，是从幻方原理HO你故意理论，从幻方的数字结构来研究人体病因的数字特征，以及中药的配置。
更多的科学应用方面也正在逐渐在幻方中寻找灵感用于技术创新。
5.3 幻方在艺术中的应用幻方可大量应用美术设计。
西方的建筑学家发现幻方的对称性相当丰富，建筑家用幻方组建了许多美丽的图案，他把图案中那些方阵内的线条称为魔线，并应用于轻工业品，和包装设计中。
在更多人的钻研下，更多的魔线图被设计出，每种图都是十分漂亮，这些图案表现出多样对称美的同时，又有幻方原理的理性规律，堪称鬼斧神工。
6 幻方的解法6.1 对差法6.1.1 用“对差”解幻方的基本方法在一个“对”中，大小两数之差称为“对差”，小数减大数为负差，大数减小数为正差。
它们的绝对值相同，只是正负符号相反。
因此，在幻方图中，它们的分布排列情况，清晰可见。
而且对差绝对值的个数只有相应幻方数列数字个数的一半。
对于分析它们的合理组合，可以事半功倍，少走弯路。
几种排列形式间也有了方便简捷的转换方法。
对差法解幻方，就是将各对差按要求排列，使各横、直、斜行上的对差代数和为零。
正三幻方的对差图如图一。
奇数格幻方的中心数“Z ”只有一个数（其余对均有大小两个数），0Z Z -=，所以在对差法中，Z 可用“0”表示。
图一的正三幻方对差图是怎样做成的呢？正三幻方的对差数列有2±、4±、6±、8±。
在这四对中，三数能组成0的有：（1）2460--+=； （2）2680--+=；2460++-= 2680++-=其中的一组可组成上下边，另一组可组成左右边。
两组中都有2±和6±，所以它们必须列于四角位置。
四角一经确定，两角之间的数就迎刃而解了。
6.1.2 幻方数列和对差数列6.1.2.1 公差相同的幻方数列，其对差数列也相同奇数格幻方数列，公差为1的，如1、2、3、4、5、6、7、8、9……等；2、3、4、5、6、7、8、9、10……等；10、11、12、13、14、15、16、17、18……等。
它们的首项、中间各项、末项均不相同，而它们的对差却相同。
都是：正负2、4、6、8、10、12、14、16……等。
所有公差为1的偶数格幻方数列，其对差数列都是正负1、3、5、7、9、11、13、15……等。
6.1.2.2 公差为N 的幻方数列，其对差数列各数是公差为1的幻方数列对差各数的N 倍如1、3、5、7、9、11、13、15……等和2、4、6、8、10、12、14、16……等幻方数列，它们的公差都是2，其对差都是：正负4、8、12、16……等。
再如1、4、7、10、13、16、19、22、25……等和2、5、8、11、14、17、20、23、26……等，它们的公差是3，对差都是：正负6、12、18、24……等。
因此，我们把公差为1的自然数列幻方的对差数列作为基本对差数列。
其它系列的对差均可由此推算出来。
6.1.3 对差的还原我们知道在一个既定的幻方数列中，每对的值（大小数之和）i 是相同的。
知道了两数之和、两数之差，就可用心算算出这两个数来。
即：（i+对差）÷2=大数（正对差）；（i -对差）÷2 =小数（负对差）求出其中任一数，i 减去它，就得另一数。