浅谈幻方以及其解法

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学年论文

（2016届本科）

题目：浅谈幻方以及其解法

学院：数学与统计学院

专业：数学与应用数学

作者姓名：甘天明

指导教师：任天胜职称: 副教授

完成日期： 2014 年 12 月 18 日

浅谈幻方以及其解法

甘天明指导教师：任天胜

(河西学院数学与应用数学专业2016届2班05号甘肃张掖734000)

摘要多少世纪以来，人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣，从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。

幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。

本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。

关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方.

1 引言

我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。

此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。

在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。

2预备知识

的方阵中，放入从1开始的2n个定义2.1 幻方，也叫纵横图，就是在n n

自然数，在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好相等。

定义2.2 幻方的各行、各列和两条对角线上的数字之和相等的和数即为幻和，也叫幻方常数。

定义2.3 奇阶幻方：当幻方中的n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。

定义2.4偶阶幻方：当幻方中的n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。

3 幻方的历史和发展

关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

大约在8世纪，中国的幻方记述传入阿拉伯地区。该地区的人们对幻方产生了极大兴趣，并做出重要贡献。塔比伊本·库拉较早研究了幻方。约990年，一批阿拉伯学者编的本百科全书中可找到3，4，5，6阶幻方，并说明7，8，9阶幻方的存在。幻方1315年前后传人西方后，最初被赋予一种神秘性或作为护身符，成为神秘哲学的一部分，或是在一些场合中作为有趣的数学游戏。但当时并未引起人们的深思和研究。

在中国，宋朝杨辉的《续古摘奇算法》辑录了更高阶的幻方(至10阶)，他最早从数学角度研究了洛书的构造法以及其他6种变形幻方。它们同样具有某些组合性质。杨辉还构造出9个洛书构成的大幻方，如果洛书中的第i列第j行数H。杨辉之后易东、程大位、王文素，清朝方中逦、张潮、保其寿对幻方及记为

ij

变形幻方有深入的研究。形式也趋于多样化。除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方，而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔。直到中世纪后．欧洲的一些数学著作中才开始出现讨论幻方及其改造的内容，如卡尔丹诺给出了分别以日、月和五星为名的幻方及构造法。7世纪，日本对幻方也产生很浓的兴趣，主要是关孝和对幻方和幻圆理论的研究。

现在的幻方种类很多，如一般幻方，对称幻方，同心幻方，完美幻方。平面幻方(二维)，幻立方(三维)，多维幻方。平方幻方，立方幻方，高次幻方，高次多维幻方。魔鬼幻方，马步幻方，多重幻方，六角幻方，双料幻方，幻环，幻圆等等。特殊的幻方有反幻方，完美反幻方。

4 幻方问题与研究

幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。在以前，人们只能靠手算得到一些较低阶的幻方。河图、洛书不过是两个简单的四阶幻方，古人也将其视为上天赐予的神物。然而幻方的许多性质，从低阶幻方中总是很难发现。

Kraitchik在1942年分别给出奇数阶与偶数阶幻方的确定构造方法，但却不能构造任意随机幻方，更不能构造有附加条件或二次以上的幻方。在幻方研究中常常需要构造具有附加条件的特殊幻方，如泛幻方(panmagic square)、嵌套幻方(父子幻方)、庆典幻方等，每一个成功的特殊幻方的直接构造都是一次人类

心智与毅力的艰苦磨砺，有时虽耗费一生光阴也一无所得。新的研究理论提出半幻方通过行置换与列置换可实现对角线数字幻和满足的分步构造猜想的基础上，提出基于演化策略的分步自适应幻方演化算法。变异操作包括元素对置换、整行置换、整列置换；启发式局部调整操作包括行列局部调整与对角局部调整等。计算表明，分步构造猜想至少在所完成的幻方构造计算实例上是成立的，幻方分步演化算法具有较高的计算效率。

虽然幻方分步构造猜想有待证明，但数值实验结果表明，建立在该猜想条件下的随机幻方演化算法表现出极限成功率，即每次幻方演化过程都能得到不同的随机幻方，而且演化算法具有较高的构造效率。幻方演化算法属于随机构造法，不同于传统的确定式幻方构造方法。因此，幻方演化算法是幻方构造方法中重要的随机自适应构造新方法。

幻方演化算法的高演化效率源于幻方的分步构造猜想与自适应的元素置换算子。幻方分步构造猜想将一个幻方的构造过程分解为两步，即半幻方演化构造与对角幻和演化构造。这种分步构造法将行列幻和的构造过程与对角幻和的构造过程“解耦”，使之互不影响。自适应的元素置换算子可将变异对象定位于未满足幻和的行列元素，并在半幻方构造过程中自适应调整变异概率，使平均变异元素个数保持一定。

幻方演化算法的极限成功率源于行列与对角局部调整操作。在半幻方演化的后期，对于难以通过随机元素置换算子实现幻和构造的局部元素置换对，行列局部调整操作在启发式知识下，搜索这些满足条件的元素对实现置换。在对角幻和的演化后期，对角局部调整操作具有同样效果。

5 幻方的应用

5.1 幻方在数学和智力开发中的应用

幻方由于其独特的性质在很多时候可以巧妙的解决一些数学智力问题。如用“三阶幻方”巧填“爱因斯坦填数题”，用“三阶幻方”解决“取牌游戏问题”，用“四阶幻方”巧填“玛 摩西约利斯米难题”。

同时由于幻方简单，我们较易入门，所以很容易引起青少年的兴趣。我国从古代到现代都将幻方原理应用于各种智力产品的开发。如古代的九宫格，以及现在的华容道和推箱子等各种游戏。

5.2 幻方在科学技术中的应用

幻方应用于位置解析学及组合解析学中，幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯定理，格里定理等，甚至还引出了普生，布鲁丁两氏的电子方程式。幻方还引出了桑南的自动控制论，从而促成了电子计算机的诞生。我国也正在研究应用幻方研究中医理论，是从幻方原理HO你故意理论，从幻方的数字结构来研究人体病因的数字特征，以及中药的配置。更多的科学应用方面也正在逐渐在幻方中寻找灵感用于技术创新。

5.3 幻方在艺术中的应用

幻方可大量应用美术设计。西方的建筑学家发现幻方的对称性相当丰富，建筑家用幻方组建了许多美丽的图案，他把图案中那些方阵内的线条称为魔线，并应用于轻工业品，和包装设计中。在更多人的钻研下，更多的魔线图被设计出，