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圆锥曲线学案

圆锥曲线学案

§2.1.1 曲线与方程(1)学习目标1.理解曲线的方程、方程的曲线;2.求曲线的方程.P34~ P36,找出疑惑之处)复习1:画出函数22y x=(12)x-≤≤的图象.复习2:画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线,并写出其方程.学习探究探究任务一:到两坐标轴距离相等的点的集合是什么?写出它的方程.问题:能否写成y x=,为什么?新知:曲线与方程的关系:一般地,在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程(,)0F x y=之间,如果具有以下两个关系:1.曲线C上的点的坐标,都是的解;2.以方程(,)0F x y=的解为坐标的点,都是的点,那么,方程(,)0F x y=叫做这条曲线C的方程;曲线C叫做这个方程(,)0F x y=的曲线.注意:1︒如果……,那么……;2︒“点”与“解”的两个关系,缺一不可;3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念,相对不同角度的两种说法;4︒曲线与方程的这种对应关系,是通过坐标平面建立的.试试:1.点(1,)P a在曲线2250x xy y+-=上,则a=___ .2.曲线220x xy by+-=上有点(1,2)Q,则b= .新知:根据已知条件,求出表示曲线的方程.典型例题例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k>的点的轨迹方程式是xy k=±.变式:到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y-=吗?例2设,A B两点的坐标分别是(1,1)--,(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.变式:已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A,(2,0)B-,(2,0)C.中线AO(O为原点)所在直线的方程是0x=吗?为什么?反思:BC边的中线的方程是0x=吗?小结:求曲线的方程的步骤:①建立适当的坐标系,用(,)M x y表示曲线上的任意一点的坐标;12②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =; ③用坐标表示条件P ,列出方程(,)0f x y =; ④将方程(,)0f x y =化为最简形式;⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.动手试试练1.下列方程的曲线分别是什么?(1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log a x y a =练2.离原点距离为2的点的轨迹是什么?它的方程是什么?为什么?当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1. 与曲线y x =相同的曲线方程是( ).A .2x y x= B.y =C.y = D .2log 2x y =2.直角坐标系中,已知两点(3,1)A ,(1,3)B -,若点C 满足OC =αOA +βOB,其中α,β∈R ,α+β=1, 则点C 的轨迹为 ( ) . A .射线 B .直线 C .圆 D .线段 3.(1,0)A ,(0,1)B ,线段AB 的方程是( ). A .10x y -+= B .10x y -+=(01)x ≤≤ C .10x y +-= D .10x y -+=(01)x ≤≤4.已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ,则a = ,b = .5.已知两定点(1,0)A -,(2,0)B ,动点p 满足12PA PB =,则点p 的轨迹方程是 .课后作业1. 点(1,2)A -,(2,3)B -,(3,10)C 是否在方程 2210x xy y -++=表示的曲线上?为什么?2 求和点(0,0)O ,(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程.§2.1.2 曲线与方程(2)学习目标1. 求曲线的方程;2. 通过曲线的方程,研究曲线的性质.P 36~ P 37,找出疑惑之处)复习1:已知曲线C 的方程为 22y x = ,曲线C 上有点(1,2)A ,A 的坐标是不是22y x = 的解?点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ .复习2:曲线(包括直线)与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、新课导学学习探究 引入:圆心C 的坐标为(6,0),半径为4r =,求此圆的方程.问题:此圆有一半埋在地下,求其在地表面的部分的方程.探究:若4AB=,如何建立坐标系求AB的垂直平分线的方程.典型例题例1有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到(0,3)A的距离的2倍,试求曲线的方程.变式:现有一曲线在x轴的下方,曲线上的每一点到x轴的距离减去这点到点(0,2)A,的距离的差是2,求曲线的方程.小结:点(,)P a b到x轴的距离是;点(,)P a b到y轴的距离是;点(1,)P b到直线10x y+-=的距离是.例2已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.动手试试练1.有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线10x y+-=的距离的2倍,试求曲线的方程.练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A-,(3,0)B两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程.三、总结提升34学习小结1. 求曲线的方程;2. 通过曲线的方程,研究曲线的性质.知识拓展圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线. 01e <<:椭圆; 1e =: 抛物线; 1e >: 双曲线.当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1.方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -,(0,4)B ,(4,0)C ,57(,)34D -中的( ).A .0个B .1个C .2个D .3个 2.已知(1,0)A ,(1,0)B -,动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是( ). A .0(11)y x =-≤≤ B .0(1)y x =≥ C .0(1)y x =≤- D .0(1)y x =≥3.曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是( ).A .0个B .2个C .4个D .3个4.若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ∙=,则点P 的轨迹方程是 .5.由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 .课后作业1.以O 为圆心,2为半径,上半圆弧的方程是什么?在第二象限的圆弧的方程是什么? 2.已知点C 的坐标是(2,2),过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ,过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B .设点M 是线段AB 的中点,求点M 的轨迹方程.§2.2.1椭圆及其标准方程(1)学习目标1.从具体情境中抽象出椭圆的模型;2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程.P 38~ P 40,文P 32~ P 34找出疑惑之处) 复习1:过两点(0,1),(2,0)的直线方程 .复习2:方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 .二、新课导学学习探究取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个 .如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?思考:移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?经过观察后思考:在移动笔尖的过程中,细绳的 保持不变,即笔尖 等于常数.新知1: 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .反思:若将常数记为2a ,为什么122a F F >?当122a F F =时,其轨迹为 ; 当122a F F <时,其轨迹为 .试试:5已知1(4,0)F -,2(4,0)F ,到1F ,2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 .小结:应用椭圆的定义注意两点:①分清动点和定点;②看是否满足常数122a F F >. 新知2:焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上,两个焦点坐标 ,则椭圆的标准方程是 .典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴4,1a b ==,焦点在x 轴上;⑵4,a c =y 轴上;⑶10,a b c +==.变式:方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数m 的范围 .例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,(2,0),并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,求它的标准方程 .变式:椭圆过点 ()2,0-,(2,0),(0,3),求它的标准方程.小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 .动手试试练 1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则ABC ∆的周长是( ).A. B .6 C. D .12练2 .方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆,求实数m 的范围.当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1.平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ,则点M 的轨迹为( ). A .椭圆 B .圆C .无轨迹D .椭圆或线段或无轨迹 2.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ). A .(0,)+∞ B .(0,2) C .(1,)+∞ D .(0,1)3.如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6,那么点P 到另一个焦点2F 的距离是( ). A .4 B .14 C .12 D .84.椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15,则椭圆的标准方程6是 .5.如果点(,)M x y在运动过程中,总满足关系式10,点M 的轨迹是 ,它的方程是 .课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴焦点在x 轴上,焦距等于4,并且经过点(3,P -;⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-,5a =; ⑶10,4a c a c +=-=.2. 椭圆2214x y n+=的焦距为2,求n 的值.§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)学习目标1.掌握点的轨迹的求法;2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.P 41~ P 42,文P 34~ P 36找出疑惑之处)复习1:椭圆上221259x y+=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3,则P 到椭圆右焦点2F 的距离 是 .复习2:在椭圆的标准方程中,6a=,b 则椭圆的标准方程是 .二、新课导学学习探究问题:圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题:圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ;反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在 圆 上.典型例题例1在圆224x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是什么?变式: 若点M 在DP 的延长线上,且32DM DP =,则点M 的轨迹又是什么?小结:椭圆与圆的关系:圆上每一点的横(纵)坐标不变,而纵(横)坐标伸长或缩短就可得到椭圆.例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-,.直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是49-,求点M 的轨迹方程 .变式:点,A B的坐标是()()1,0,1,0-,直线,AM BM 相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点M的轨迹是什么?动手试试练1.求到定点()2,0A与到定直线8x=的距离之比的动点的轨迹方程.练2.一动圆与圆22650x y x+++=外切,同时与圆226910x y x+--=内切,求动圆圆心的轨迹方程式,并说明它是什么曲线.三、总结提升学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有点相关等式;②相关点法:寻求点M的坐标,x y与中间00,x y的关系,然后消去00,x y,得到点M的轨迹方程.知识拓展椭圆的第二定义:到定点F与到定直线l的距离的比是常数e(01)e<<的点的轨迹.定点F是椭圆的焦点;定直线l是椭圆的准线;常数e是椭圆的离心率.当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分:1.若关于,x y的方程22sin cos1x yαα-=所表示的曲线是椭圆,则α在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若ABC∆的个顶点坐标(4,0)A-、(4,0)B,ABC∆的周长为18,则顶点C的轨迹方程为().A.221259x y+=B.221259y x+=(0)y≠C.221169x y+=(0)y≠D.221259x y+=(0)y≠3.设定点1(0,2)F-,2(0,2)F,动点P满足条件124(0)PF PF m mm+=+>,则点P的轨迹是().A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段4.与y轴相切且和半圆224(02)x y x+=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是.5. 设12,F F为定点,|12F F|=6,动点M满足12||||6MF MF+=,则动点M的轨迹是.课后作业1.已知三角形ABC的一边长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程.72.点M与定点(0,2)F的距离和它到定直线8y=的距离的比是1:2,求点的轨迹方程式,并说明轨迹是什么图形.§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形;2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质,画图.P43~ P46,文P37~ P40找出疑惑之处)复习1:椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2,那么它到右焦点的距离是.复习2:方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是.二、新课导学学习探究问题1:椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>,它有哪些几何性质呢?图形:范围:x:y:对称性:椭圆关于轴、轴和都对称;顶点:(),(),(),();长轴,其长为;短轴,其长为;离心率:刻画椭圆程度.椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率,记cea=,且01e<<.试试:椭圆221169y x+=的几何性质呢?图形:范围:x:y:对称性:椭圆关于轴、轴和都对称;顶点:(),(),(),();长轴,其长为;短轴,其长为;离心率:cea== .反思:ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?典型例题例1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.变式:若椭圆是22981x y+=呢?89小结:①先化为标准方程,找出,a b ,求出c ; ②注意焦点所在坐标轴.例 2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45,求点M 的轨迹.小结:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆 .动手试试练1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴焦点在x 轴上,6a =,13e =;⑵焦点在y 轴上,3c =,35e =;⑶经过点(3,0)P -,(0,2)Q -;⑷长轴长等到于20,离心率等于35..※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1.若椭圆2215x y m+=的离心率e =则m 的值是( ).A .3B .3或253CD2.若椭圆经过原点,且焦点分别为1(1,0)F ,2(3,0)F ,则其离心率为( ).A .34B .23C .12D .143.短轴长为,离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ,过1F 作直线交椭圆于,A B 两点,则2ABF ∆的周长为( ).A .3B .6C .12D .244.已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点,且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,则点P 的坐标是 .5.某椭圆中心在原点,焦点在x 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 .课后作业1.比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?⑴22936x y +=与2211612x y += ;⑵22936x y +=与221610x y += .2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴经过点(P -,Q ;⑵长轴长是短轴长的3倍,且经过点(3,0)P ; ⑶焦距是8,离心率等于0.8.§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质;2.椭圆与直线的关系.P 46~ P 48,文P 40~ P 41找出疑惑之处)10复习1: 椭圆2211612x y +=的焦点坐标是( )( ) ;长轴长 、短轴长 ;离心率 .复习2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判定?二、新课导学 学习探究问题1:想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢?问题2:椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确定?反思:点与椭圆的位置如何判定?典型例题例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上,片门位于另一个焦点2F 上,由椭圆一个焦点1F 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ,已知12BC F F ⊥,1 2.8F B cm =,12 4.5F F cm =,试建立适当的坐标系,求截口BAC 所在椭圆的方程.变式:若图形的开口向上,则方程是什么?小结:①先化为标准方程,找出,a b ,求出c ; ②注意焦点所在坐标轴.(理)例2 已知椭圆221259x y +=,直线l :45400x y -+=。

圆锥曲线导学案

圆锥曲线导学案

难点
2、 用一个平面去截圆锥面,可以得到几种不同形状的截线?
V
数学符号表示:
【知识探究】
探究一:
Q O2
F2
(1)如图,在圆锥截面的两侧分别放置一球,使它们都与截面
相切(切点分别为 F1,F2),又分别与圆锥面的侧面相切(两球
与侧面的公共点分别构成圆 O1 和圆 O2).过 M 点作圆锥面的
一条母线分别交圆 O1,圆 O2 与 P,Q 两点。


圆锥曲线
【自学导引】
1、 面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型

目标 的过程,

2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义,并能用数学符号或自然语言的描述。
学习内容及过程
教学设计 学习札记
探究三: 抛物线定义:
掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义,
学习内容及过程
找出图中的相等线段:

M O1 P
MF1 + MF2 =
.
(2)已知两定点 F1,F2,你能作一个以 F1,F2 焦点,定长为 2a 的椭圆吗?
【知识应用】
例题:Δ ABC 中,B(-3,0),C(3,0),且 AB,BC,AC 成等差数列. (1)求证:点 A 在一个椭圆上运动; (2)写出这个椭圆的焦点坐标
数学符号表示:
【课堂练习】
1. 已知定点 F 和定直线 l,F 不在直线 l 上,动圆 M 过 F 且与直线 l 相切, 求证:圆心 M 的轨迹是一条抛物线。
2a
能用数学符号 描述三种圆锥 曲线定义。
教学设计 学习札记
椭圆定义:
数学符号表示: 探究二:
双曲线定义:
F1
F2

圆锥曲线教案

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圆锥曲线教案圆锥曲线教案一、教学目标:1. 理解什么是圆锥曲线,学会在笛卡尔坐标系中表示圆锥曲线。

2. 学会求解圆锥曲线的焦点、直径、离心率等相关性质。

3. 掌握对圆锥曲线进行方程变换、平移、旋转等操作的方法。

二、教学准备:1. 教师准备黑板、彩色粉笔等教学用具。

2. 学生准备笔记本、书籍等学习用具。

三、教学过程:1. 导入新知识:通过展示一张圆锥曲线的图片,询问学生对这个图形有什么了解,引导学生思考圆锥曲线的定义和性质。

2. 理论讲解:(1) 定义圆锥曲线:对圆锥在一个经过顶点的剖面研究所得到的曲线称为圆锥曲线。

(2) 表示方法:在笛卡尔坐标系中,圆锥曲线可由方程表示,例如椭圆的方程为:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

(3) 常见圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。

3. 实例演示:以椭圆为例,给出一个椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,引导学生求解椭圆的焦点、直径、离心率等相关性质。

4. 计算练习:给出多个圆锥曲线的方程,让学生进行计算练习,提高其运算能力。

5. 方程变换:介绍如何对圆锥曲线进行方程变换,包括水平方向和垂直方向的方程变换。

6. 平移与旋转:讲解如何对圆锥曲线进行平移和旋转,以及平移和旋转对方程的影响。

7. 总结归纳:对学过的内容进行总结归纳,梳理知识框架。

8. 解答疑问:解答学生对圆锥曲线相关问题的疑惑。

9. 课堂练习:布置一些课堂练习题,让学生巩固所学知识。

四、教学延伸:1. 引导学生进行实际应用:让学生寻找生活中的圆锥曲线,并分析其性质和特点。

2. 继续深入学习:对于学有余力的学生,可以探究更高级的圆锥曲线知识,如圆锥曲线的参数方程、极坐标方程等。

五、教学评价:1. 课堂练习的成绩。

2. 学生对于圆锥曲线相关问题的提问及解答情况。

3. 学生对于课堂知识的掌握和应用情况。

六、课后作业:1. 完成课堂练习题。

圆锥曲线最佳教案

圆锥曲线最佳教案

课题名称解圆锥曲线问题常用方法教学目标1、理解并掌握圆锥曲线的相关定义和性质2、能熟练的解决圆锥曲线问题教学重点难点重点:圆锥曲线的相关性质难点:选择最合适的方法去解决圆锥曲线问题课前检查作业完成情况:优□良□中□差□建议__________________________________________教学过程解圆锥曲线问题常用以下方法:1、定义法(1)椭圆定义:r1+r2=2a.(2)双曲线定义:arr221=-,当r1>r2时,注意r2的最小值为c-a.(3)抛物线定义,很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:(1))0(12222>>=+babyax与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有0220=+kbyax.教学过程则有0220=-kbyax.(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题,在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。

圆锥曲线教案

圆锥曲线教案

及圆锥曲线有关的几种典型题一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握及圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、及圆锥曲线有关的最值(极值)问题、及圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线及圆锥曲线相交问题等.(二)能力训练点通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教学,培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力.(三)学科渗透点通过及圆锥曲线有关的几种典型题的教学,使学生掌握一些相关学科中的类似问题的处理方法.二、教材分析1.重点:圆锥曲线的弦长求法、及圆锥曲线有关的最值(极值)问题、及圆锥曲线有关的证明问题.(解决办法:先介绍基础知识,再讲解应用.)2.难点:双圆锥曲线的相交问题.(解决办法:要提醒学生注意,除了要用一元二次方程的判别式,还要结合图形分析.)3.疑点:及圆锥曲线有关的证明问题.(解决办法:因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法,所以比较灵活,只能通过一些例题予以示范.)三、活动设计演板、讲解、练习、分析、提问.四、教学过程(一)引入及圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、及圆锥曲线有关的最值(极值)问题、及圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线及圆锥曲线有关的证明问题等,在圆锥曲线的综合应用中经常见到,为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解,今天来讲一下“及圆锥曲线有关的几种典型题”.(二)及圆锥曲线有关的几种典型题1.圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C∶f(x,y)=0及直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.A、B两点,旦|AB|=8,求倾斜角α.分析一:由弦长公式易解.由学生演板完成.解答为:∵抛物线方程为x2=-4y,∴焦点为(0,-1).设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0),即y=kx-1.将此式代入x2=-4y中得:x2+4kx-4=0.∴x1+x2=-4,x1+x2=-4k.∴ k=±1.∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p.由上述解法易求得结果,由学生课外完成.2.及圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围.例2 已知x2+4(y-1)2=4,求:(1)x2+y2的最大值及最小值;(2)x+y的最大值及最小值.解(1):将x2+4(y-1)2=4代入得:x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y由点(x,y)满足x2+4(y-1)2=4知:4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1.∴0≤y≤2.当y=0时,(x2+y2)min=0.解(2):分析:显然采用(1)中方法行不通.如果令u=x+y,则将此代入x2+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程,借助于判别式可求得最值.令x+y=u,则有x=u-y.代入x2+4(y-1)2=4得:5y2-(2u+8)y+u2=0.又∵0≤y≤2,(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0.3.及圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法.例3 在抛物线x2=4y上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)且满足|AB|=y1+y2+2,求证:(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线;证明:(1)∵抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.∴ A、B到准线的距离分别d1=y1+1,d2=y2+1(如图2-46所示).由抛物线的定义:|AF|=d1=y1+1,|BF|=d2=y2+1.∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|.即A、B、F三点共线.(2)如图2-46,设∠AFK=θ.∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2,又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ.小结:及圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.4.圆锥曲线及圆锥曲线的相交问题直线及圆锥曲线相交问题,一般可用两个方程联立后,用△≥0来处理.但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的.解决这类问题:方法1,由“△≥0”及直观图形相结合;方法2,由“△≥0”及根及系数关系相结合;方法3,转换参数法(以后再讲).实数a的取值范围.可得:y2=2(1-a)y+a2-4=0.∵△=4(1-a)2-4(a2-4)≥0,如图2-47,可知:(三)巩固练习(用一小黑板事先写出.)2.已知圆(x-1)2+y2=1及抛物线y2=2px有三个公共点,求P的取值范围.顶点.请三个学生演板,其他同学作课堂练习,教师巡视.解答为:1.设P的坐标为(x,y),则2.由两曲线方程消去y得:x2-(2-2P)x=0.解得:x1=0,x2=2-2P.∵0<x<2,∴0<2-2P<2,即0<P<1.故P的取值范围为(0,1).四个交点为A(4,1),B(4,-1),C(-4,-1),D(-4,1).所以A、B、C、D是矩形的四个顶点.五、布置作业1.一条定抛物线C1∶y2=1-x及动圆C2∶(x-a)2+y2=1没有公共点,求a的范围.2.求抛线y=x2上到直线y=2x-4的距离为最小的点P的坐标.3.证明:从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.作业答案:1.当x≤1时,由C1、C2的方程中消去y,得x2-(2a+1)x+a2=0,离为d,则似证明.六、板书设计。

高考数学 圆锥曲线的综合问题(学案)绝密资料

高考数学 圆锥曲线的综合问题(学案)绝密资料

圆锥曲线的综合问题★知识梳理★1.直线与圆锥曲线C 的位置关系:将直线l 的方程代入曲线C 的方程,消去y 或者消去x ,得到一个关于x (或y )的方程ax 2+bx +c =0.(1)交点个数:①当 a =0或a≠0,⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点;②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。

(2) 弦长公式: 2.对称问题:曲线上存在两点关于已知直线对称的条件:①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直(得出斜率)②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点(⊿>0)③曲线上两点的中点在对称直线上。

3.求动点轨迹方程:①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法;②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法;③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法。

★重难点突破★重点:掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式;掌握弦中点轨迹的求法; 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤,能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点:轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点:综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体会数学思想方法(以方程思想、转化思想、数形结合思想为主)在解题中运用问题1:已知点1F 为椭圆15922=+y x 的左焦点,点)1,1(A ,动点P 在椭圆上,则||||1PF PA +的最小值为 . 点拨:设2F 为椭圆的右焦点,利用定义将||1PF 转化为||2PF ,结合图形,||||6||||21PF PA PF PA -+=+,当2F A P 、、共线时最小,最小值为2-6★热点考点题型探析★考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1:交点个数问题[例1 ] 设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A .[-21,21] B .[-2,2] C .[-1,1] D .[-4,4]【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线28yx =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (-2 , 0),于是,可设过点Q (-2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+,4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=联立222228,(48)40.(2),y x k x k x k y k x ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩ 其判别式为2242(48)1664640k k k ∆=--=-+≥,可解得 11k -≤≤,应选C.【名师指引】(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法:一是判别式法;二是几何法(2)直线与圆锥曲线有唯一交点,不等价于直线与圆锥曲线相切,还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)(3)联立方程组、消元后得到一元二次方程,不但要对∆进行讨论,还要对二次项系数是否为0进行讨论【新题导练】1. (09摸底)已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C ;设)1,2(M ,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点. (1)求曲线C 的方程;(2)求m 的取值范围.[解析](1)设圆上的动点为)','('y x P 压缩后对应的点为),(y x P ,则⎩⎨⎧==yy xx 2'',代入圆的方程得曲线C 的方程:12822=+y x (2)∵直线l 平行于OM ,且在y 轴上的截距为m,又21=OMK , ∴直线l 的方程为m x y +=21. 由221,2 1.82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 得 222240x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,∴22(2)4(24)0,m m ∆=--> 解得220m m -<<≠且.∴m 的取值范围是2002m m -<<<<或. 题型2:与弦中点有关的问题[例2](08韶关调研)已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-,(1,0).直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为-2. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程; (Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点,求直线l 的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组,利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设(,)M x y , 因为2AM BMk k ⋅=-,:()22221x y x +=≠±(Ⅱ) 设1122(,),(,)C x y D x y 当直线l ⊥x 轴时,l 的方程为12x =,则11(),(,2222C D ,它的中点不是N ,不合题意 设直线l 的方程为11()2y k x -=-将1122(,),(,)C x y D x y 代入()22221x y x +=≠±得 221122x y +=…………(1) 222222x y += (2)(1)-(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯直线l 的方程为111()22y x -=--即所求直线l 的方程为230x y +-= 解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11(,(,2222C D , 其中点不是N ,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-, 将其代入()22221x y x +=≠±化简得222(2)2(1)(1)2022k k k x k x ++-+--=由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222kk x x k -+=-+12=,解得12k =-,将12k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-=【名师指引】通过将C 、D 的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程,称为代点相减.这里,代点相减后,适当变形,出现弦PQ 的斜率和中点坐标,是实现设而不求(即点差法)的关键.两种解法都要用到“设而不求”,它对简化运算的作用明显,用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】2.椭圆141622=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分,求此弦所在直线的方程。

圆锥曲线 1 导学案

圆锥曲线 1 导学案

的直线方程 .复习2:方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 .二、新课导学※ 学习探究取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个 .如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?思考:移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?经过观察后思考:在移动笔尖的过程中,细绳的 保持不变,即笔尖 等于常数.新知1: 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .反思:若将常数记为2a ,为什么122a F F >?当122a F F =时,其轨迹为 ;当122a F F <时,其轨迹为 .试试:已知1(4,0)F -,2(4,0)F ,到1F ,2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 .小结:应用椭圆的定义注意两点:①分清动点和定点; ②看是否满足常数122a F F >.新知2:焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b+=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上,两个焦点坐标 ,则椭圆的标准方程是 .※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴4,1a b ==,焦点在x 轴上;⑵4,a c ==y 轴上;⑶10,a b c +==.变式:方程214x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数m 的范围 .小结:椭圆标准方程中:222a b c =+ ;a b > .例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,(2,0),并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,求它的标准方程 .变式:椭圆过点 ()2,0-,(2,0),(0,3),求它的标准方程.小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 .练习1.平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ,则点M 的轨迹为( ).A .椭圆B .圆C .无轨迹D .椭圆或线段或无轨迹2.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ).A .(0,)+∞B .(0,2)C .(1,)+∞D .(0,1)3.如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6,那么点P 到另一个焦点2F 的距离是( ).A .4B .14C .12D .84.椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15,则椭圆的标准方程是 .5.如果点(,)M x y 在运动过程中,10=,点M 的轨迹是 ,它的方程是 .课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴焦点在x 轴上,焦距等于4,并且经过点(3,P -; ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-,5a =; ⑶10,4a c a c +=-=.2. 椭圆2214x y n +=的焦距为2,求n 的值.。

圆锥曲线集体备课(教案)

圆锥曲线集体备课(教案)

圆锥曲线集体备课教案一、知识导学1. 点M(x 0,y 0)与圆锥曲线C :f(x ,y)=0的位置关系已知12222=+b y a x (a >b >0)的焦点为F 1、F 2, 12222=-by a x (a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2,px y 22=(p >0)的焦点为F ,一定点为P(x 0,y 0),M 点到抛物线的准线的距离为d ,则有:上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明. 2.直线l ∶Ax +B y +C=0与圆锥曲线C ∶f(x ,y)=0的位置关系:直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为: 设直线l :Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由⎩⎨⎧==++0y)f(x,0C By Ax消去y(或消去x)得:ax 2+bx+c=0,△=b 2-4ac,(若a ≠0时), △>0⇔相交 △<0⇔相离 △= 0⇔相切注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.二、疑难知识导析1.椭圆的焦半径公式:(左焦半径)01ex a r +=,(右焦半径)02ex a r -=,其中e 是离心率。

焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式: ⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF( 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点). 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关. 可以记为:左加右减,上减下加. 2.双曲线的焦半径定义:双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段,叫做双曲线的焦半径. 焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式:⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式:⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF( 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点)3.双曲线的焦点弦: 定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。

关于学习圆锥曲线的教案

关于学习圆锥曲线的教案

关于学习圆锥曲线的教案一、引言学习圆锥曲线是高中数学教学中的重点内容之一。

通过学习圆锥曲线的性质和应用,可以帮助学生深入理解数学中的几何概念和解决实际问题的能力。

本教案旨在为教师提供一个有条理、有效的教学方案,以帮助学生更好地学习和应用圆锥曲线。

二、教学目标1. 让学生了解圆锥曲线的定义和基本性质;2. 培养学生分析和解决圆锥曲线相关问题的能力;3. 引导学生掌握圆锥曲线的方程和图形特征;4. 培养学生运用圆锥曲线解决实际问题的能力。

三、教学内容1. 圆锥曲线的定义和分类a. 椭圆b. 双曲线c. 抛物线2. 圆锥曲线的方程和图形特征a. 椭圆的标准方程b. 双曲线的标准方程c. 抛物线的标准方程3. 圆锥曲线的性质和应用a. 焦点和准线的关系b. 椭圆的离心率和焦距的关系c. 双曲线的渐近线d. 抛物线的顶点和对称轴e. 圆锥曲线在物理和工程领域的应用四、教学方法1. 导入法:通过引入日常生活或实际问题,激发学生对圆锥曲线的兴趣和学习动力。

2. 讲授法:通过讲解圆锥曲线的概念、性质和方程,帮助学生建立起知识体系。

3. 示例法:通过解析和解题示例,引导学生熟练掌握圆锥曲线的应用方法。

4. 探究法:组织学生进行实验和探究活动,培养学生的实际操作和问题解决能力。

五、教学步骤1. 导入引导学生观察身边物体的形状,并通过问答帮助学生了解到圆锥曲线的普遍存在。

2. 讲解概念a. 介绍圆锥曲线的定义和分类,引导学生理解椭圆、双曲线和抛物线的区别和特点。

b. 通过示意图和实例,讲解圆锥曲线的方程及其与图形特征的对应关系。

3. 解析示范运用示例,详细解析椭圆、双曲线和抛物线的相关概念、方程和特征。

4. 练习巩固分别给学生提供一些练习题,以巩固他们对圆锥曲线基本知识的理解和掌握。

5. 拓展应用融合实际问题,引导学生运用所学知识解决日常生活或工程领域中的相关问题。

6. 总结回顾归纳总结圆锥曲线的性质和应用,与学生一起回顾所学内容,强化对知识的理解和记忆。

《圆锥曲线》教学案

《圆锥曲线》教学案

第二章《圆锥曲线》教学案教学目标:1. 椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距,椭圆的几何性质,椭圆的画法;双曲线的定义、标准方程、焦点、焦距,双曲线的几何性质,双曲线的画法,等轴双曲线;抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距,抛物线的几何性质,抛物线的画法,2. 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点:椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质;坐标法的应用.教学难点:椭圆、双曲线的标准方程的推导过程;利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等.教学过程:一、课前预习二、复习引入:椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标准方程,并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹2.椭圆的标准方程:1by a x 2222=+,12222=+b x a y (0>>b a )3.椭圆的性质:由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-,椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中. (2)对称性:图象关于y 轴对称.图象关于x 轴对称.图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心,简称中心.x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点: )0,(),0,(2a A a A -,),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴,21B B 叫椭圆的短轴.长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1abe -=10<<e 椭圆形状与e 的关系:0,0→→c e ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁,直至成为极限位置线段21F F ,此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4.双曲线的定义:平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数(小于21F F )的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下,两定点间距离较长,则所画出的双曲线的开口较开阔(→两条平行线)两定点间距离较短(大于定差),则所画出的双曲线的开口较狭窄(→两条射线)双曲线的形状与两定点间距离、定差有关5.双曲线的标准方程及特点:(1)双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种:焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为:);0b ,0a (1b y a x 2222>>=- 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为:).0b ,0a (1bx a y 2222>>=- 6.a 、b 、c 有关系式222b a c +=成立,且a>0,b>0,c>0.其中a 与b 的大小关系:可以为a =b ,a<b, a>b.7焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即2x 项的系数是正的,那么焦点在x 轴上;2y 项的系数是正的,那么焦点在y 轴上8.双曲线的几何性质: (1)范围、对称性由标准方程12222=-by a x ,从横的方向来看,直线x =-a ,x =a 之间没有图象,从纵的方向来看,随着x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心(2)顶点顶点:()0,),0,(21a A a A -,特殊点:()b B b B -,0),,0(21实轴:21A A 长为2a , a 叫做半实轴长虚轴:21B B 长为2b ,b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 (3)渐近线过双曲线12222=-by a x 的渐近线x a b y ±=(0=±b y a x )(4)离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22,叫做双曲线的离心率范围:1>e 双曲线形状与e 的关系:1122222-=-=-==e ac a a c a b k ,e 越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔9.等轴双曲线定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:x y ±=;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率2=e10.共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb,那么此双曲线方程就一定是:)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x 11.共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别:三量a ,b ,c 中a ,b 不同(互换)c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为-112.双曲线的焦点弦:定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式:当双曲线焦点在x 轴上时,过左焦点与左支交于两点时:|AB|=-2a-e (x1+x2) 过右焦点与右支交于两点时:|AB|=-2a+e (x1+x2) 当双曲线焦点在y 轴上时,过左焦点与左支交于两点时:|AB|=-2a-e (y1+y2) 过右焦点与右支交于两点时:|AB|=-2a+e (y1+y2) 13.双曲线的通径:定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 ab d 22=14 抛物线定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线15.抛物线的准线方程: (1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ,准线l :2p x -= (2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ,准线l :2py -= (3))0(22>-=p px y , 焦点:)0,2(p -,准线l :2p x =(4) )0(22>-=p py x ,焦点:)2,0(p -,准线l :2p y = 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41,即242p p = 不同点:(1)图形关于X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为px 2±、左端为2y ;图形关于Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右端为py 2±,左端为2x (2)开口方向在X 轴(或Y 轴)正向时,焦点在X 轴(或Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X 轴(或Y 轴)负向时,焦点在X 轴(或Y 轴)负半轴时,方程右端取负号16.抛物线的几何性质 (1)范围因为p >0,由方程()022>=p px y 可知,这条抛物线上的点M 的坐标(x ,y )满足不等式x ≥0,所以这条抛物线在y 轴的右侧;当x 的值增大时,|y |也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性以-y 代y ,方程()022>=p px y 不变,所以这条抛物线关于x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程()022>=p px y 中,当y =0时,x =0,因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点.(4)离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线的定义可知,e =1.17抛物线的焦半径公式:抛物线)0(22>=p px y ,0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ,0022x pp x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ,0022y pp y PF +=+=抛物线)0(22>-=p py x ,0022y pp y PF -=-= 18.直线与抛物线: (1)位置关系:相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点);相切(一个公共点) 将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ,消去y ,得到 关于x 的二次方程02=++c bx ax (*) 若0>∆,相交;0=∆,相切;0<∆,相离 综上,得: 联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22,得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a (二次项系数为零),唯一一个公共点(交点) 当0≠a ,则若0>∆,两个公共点(交点)0=∆,一个公共点(切点) 0<∆,无公共点 (相离)(2)相交弦长: 弦长公式:21k ad +∆=, (3)焦点弦公式:抛物线)0(22>=p px y , )(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y , )(21x x p AB +-= 抛物线)0(22>=p py x , )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ,)(21y y p AB +-=(4)通径:定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径:p d 2= (5)若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒(6)常用结论:⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxyp x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =四、【例题】1.动点A 到定点F 1(0, -2)和F 2(0, 2)的距离的和为4,则动点A 的轨迹为 ( B ) A . 椭圆 B . 线段 C . 无图形D . 两条射线;2.动点P 到定点F 1(1, 0)的距离比它到定点F 2(3, 0)的距离小2,则点P 的轨迹是 ( C )A .双曲线B .双曲线的一支C .一条射线D .两条射线3.人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.社地球的半径为R ,卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1、r2,球卫星轨道的离心率.4.两定点的坐标分别为A (-1,0),B (2,0),动点M 满足,MAB 2MBA ∠=∠求动点M 的轨迹方程.。

初中物理圆锥曲线教案

初中物理圆锥曲线教案

初中物理圆锥曲线教案教学目标:1. 让学生了解圆锥曲线的概念,理解圆锥曲线的形成原理。

2. 培养学生运用几何知识解决物理问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、思考能力和动手实践能力。

教学内容:1. 圆锥曲线的概念及特点2. 圆锥曲线的形成原理3. 圆锥曲线在物理学中的应用教学过程:一、导入(5分钟)1. 利用多媒体展示各种圆锥曲线现象,如行星运动、抛物线运动等,引导学生关注圆锥曲线在生活中的应用。

2. 提问:这些现象有什么共同特点?它们与圆锥曲线有什么关系?二、新课讲解(20分钟)1. 讲解圆锥曲线的概念:圆锥曲线是由一个圆锥的截面与一个平面相交形成的曲线。

根据截面的位置和方向,圆锥曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三种类型。

2. 讲解圆锥曲线的特点:a. 椭圆:焦点在x轴上,中心轴为x轴,两焦点距离为2a,长轴为2a,短轴为2b。

b. 抛物线:焦点在x轴上,中心轴为x轴,两焦点距离为2a,但没有短轴,只有一个顶点。

c. 双曲线:两焦点在x轴上,中心轴为x轴,两焦点距离为2a,实轴为2a,虚轴为2b。

3. 讲解圆锥曲线的形成原理:以椭圆为例,当一个平面与圆锥相交,且截面与底面不平行时,根据圆锥的性质,截面与底面的半径、斜高和母线之间的关系,形成椭圆。

三、实例分析(15分钟)1. 以抛物线为例,分析其在物理学中的应用,如抛物线运动、光学反射等。

2. 引导学生思考:圆锥曲线在其他领域有哪些应用?四、课堂练习(10分钟)1. 请学生运用所学知识,分析生活中常见的圆锥曲线现象,如自行车轮胎痕迹、篮球轨迹等。

2. 请学生总结圆锥曲线在物理学、工程学等领域的应用。

五、总结(5分钟)1. 回顾本节课所学内容,强调圆锥曲线的基本概念和特点。

2. 强调圆锥曲线在实际生活中的广泛应用,激发学生学习兴趣。

教学评价:1. 课堂讲解是否清晰、易懂,学生是否能掌握圆锥曲线的基本概念和特点。

2. 学生是否能运用所学知识分析生活中的圆锥曲线现象。

圆锥曲线1课程教案(标准版)

圆锥曲线1课程教案(标准版)

数学(高三) 课程教案科目数学章节圆锥曲线1授课方式(请打√)理论课√讨论课□实验课□习题课√其他□课时安排2课时授课题目(教学章、节或主题):圆锥曲线1教学目的、要求(分掌握、熟悉、了解三个层次):1、理解椭圆、双曲线、抛物线的基本方程及简单运用。

2、掌握椭圆、双曲线、抛物线在高考中的考点及运用。

3、通过具体的情境感知研究圆锥曲线的必要性和实际意义;体会数学的对称美、简洁美,培养学生的审美情趣,形成学习数学知识的积极态度。

教学重点及难点:圆锥曲线的几何性质及运用。

教学基本内容方法及手段一、基本知识点回顾二、主要考试简介三、求轨迹方程1、讲授法2、讨论法3、练习法作业、讨论题、思考题:课后小结:附页教学内容一、基本知识点回顾【热点透析】一、圆锥曲线的定义1. 椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。

即:{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。

即{P| ||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆:当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆:22221x y a b +=(a>b>0)或22221y x a b +=(a>b>0)(其中,a2=b2+c2) 2.双曲线:22221x y a b -=(a>0, b>0)或22221y x a b -=(a>0, b>0)(其中,c2=a2+b2)3.抛物线:y2=±2px (p>0),x2=±2py (p>0)三、圆锥曲线的性质 知识要点:1.椭圆:22221x y a b +=(a>b>0)(1)范围:|x|≤a ,|y|≤b (2)顶点:(±a,0),(0,±b) (3)焦点:(±c,0)(4)离心率:e=∈(0,1) (5)准线:2a x c =±2.双曲线:22221x y a b -=(a>0, b>0)(1)范围:|x|≥a, y ∈R (2)顶点:(±a,0) (3)焦点:(±c,0)(4)离心率:c e a =∈(1,+∞) (5)准线:2a x c =± (6)渐近线:by xa =± 3.抛物线:y2=2px(p>0)(1)范围:x≥0, y ∈R (2)顶点:(0,0) (3)焦点:(2p,0) (4)离心率:e=1 (5)准线:x=-2p二、主要考试简介:(1)求轨迹方程;A 、直接求曲线的方程B、代入法求曲线的方程C、定义法求曲线方程D、交轨法求曲线的方程(2)曲线与方程;A、曲线的方程与方程的曲线B、判断方程是否为曲线方程C、证明方程是曲线方程(3)定义和性质的利用;(4)圆锥曲线的最值问题;(5)直线与圆锥曲线的位置关系;三、求轨迹方程1、直接法求曲线的方程2、代入法求曲线方程3、定义法求曲线方程4、交轨法求曲线方程圆锥曲线(1)--作业1、点P(a,b)是单位圆上的动点,则Q(a+b,ab)的轨迹方程是________________2、3.。

高二期末圆锥曲线复习学案汇编

高二期末圆锥曲线复习学案汇编

圆锥曲线复习学案(一)一、基础知识1、三种圆锥曲线的研究(1)当0<e<1时,点P 轨迹是椭圆;当e>1时,点P 轨迹是双曲线;当e=1时,点P 轨迹是抛物线。

(2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF 1|+|PF 2|=2a ,2a>|F 1F 2|>0,F 1、F 2为定点},双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|>2a>0,F 1,F 2为定点}。

(3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变而改变。

①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点;椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。

②定量:椭 圆 双 曲 线 抛 物 线焦 距无 长轴长 无 无 实轴长 无无 短轴长 无 通径长 离心率基本量关系无(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变),当焦点在x 轴上的方程如下:椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1b y a x 2222=+(a>b>0)1b y a x 2222=-(a>0,b>0) y 2=2px (p>0) 顶 点 (±a ,0) (0,±b )(±a ,0)(0,0) 焦 点 (±c ,0) (2p,0) 中 心 (0,0)范 围 |x|≤a |y|≤b|x|≥a x ≥0 焦半径————|PF|=x 0+2p总之研究圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。

二、常见结论:1、与双曲线22221x y a b-=(a>0,b>0), 有共同渐近线的双曲线系方程为等轴双曲线的性质: 离心率为 ,渐近线方程为 ,等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠02、焦点弦的性质 焦点弦 过px y22=()0>p 的焦点弦AB,A(1x ,1y )B(2x ,2y )(1)AB = ;(2)12y y = ,12x x = ,(3)以AB 为直径的圆与准线相切(4)抛物线的通径:通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为2p ,通径是过焦点最短的弦. 三、典例剖析题型一:圆锥曲线的定义及方程例1根据下列条件,求双曲线方程: (1)已知双曲线的一条渐进线方程为12y x =,且通过点(3,3)A ,则该双曲线的标准方程为 .(2) 与双曲线116922=-y x 有共同渐近线,且过点)32,3(-;例2(1)设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为(3,1),则2||||PM PF +的最大值为 .(2)设点P 在双曲线116922=-y x 上,若F 1、F 2为此双曲线的两个焦点,且|PF 1|∶|PF 2|=1∶3,求△F 1PF 2的周长。

圆锥曲线习题课学案

圆锥曲线习题课学案

圆锥曲线习题课(一)教学目标:(1)掌握圆锥曲线的标准方程(2)注意研究方程的形式和基本量的几何意义,运用待定系数法确定p e c b a ,,,,(3)通过本节的学习,可以培养我们观察、推理的能力重 点:圆锥曲线的标准方程难 点:圆锥曲线性质的理解与运用一.知识回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质.二.数学探究问题1:圆锥曲线定义的灵活运用:例1.如果双曲线191622=-y x 右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2,则点P 到左准线的距离为__________.练习1.若动圆与圆1)2(22=+-y x 外切,又与直线01=+x 相切,则动圆圆心轨迹方程是__________.问题2:求圆锥曲线的标准方程方法:待定系数法例2.与双曲线141622=-y x 有公共焦点,且过点)2,23(的双曲线的标准方程是_______________.练习2.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为)6,23(,求抛物线和双曲线的方程.问题3:直线与圆锥曲线相交及弦长方法:弦长公式 韦达定理例3.双曲线C 方程为1422=-y x ,直线l 为)2(1-=-x k y ,当k 为何值时,l 与C (1)有两个公共点?(2)有一个公共点?例4、斜率为1的直线与椭圆12422=+y x 交于P 、Q 两点,且OQ OP ⊥.求:(1)此直线的方程.(2)PQ 的长.练习3.已知抛物线C:x y 42=的焦点为F,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B.(1)若AB=316,求直线l 的方程. (2)求AB 的最小值.课堂小结:1.知识小结:2.数学思想方法:课外练习:1.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上,顶点A 为椭圆的一个焦点,且椭圆另一个焦点在BC 边上,则ABC ∆的周长是__________.2.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为_________.3. 抛物线2ax y =的准线方程是2=y ,则a 的值是_______.4.直线2+=kx y 和椭圆63222=+y x 有交点,则k 的取值范围是_____.5.已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ,则m 的值为________. 6.设中心在原点的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是_________.7. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上一点,21,F F 分别为左、右焦点,且焦距为c 2,则21F PF ∆内切圆的圆心横坐标为________.8.已知斜率为1的直线过椭圆1422=+y x 的右焦点交椭圆于A 、B 两点,则弦AB 的长是________.9. 设椭圆的焦点在x 轴上,离心率22=e ,且右焦点2F 到右准线l 的距离为2,求椭圆的标准方程.10.已知直线2-=kx y 交抛物线x y 82=于A 、B 两点,且AB 的中点的横坐标为2,求弦AB 的长.。

高中数学圆锥曲线教学案(2021年整理)

高中数学圆锥曲线教学案(2021年整理)

高中数学圆锥曲线教学案(word版可编辑修改)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学圆锥曲线教学案(word 版可编辑修改))的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高中数学总复习教学案第9单元圆锥曲线与方程本章知识结构本章的重点难点聚焦本章的重点:椭圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程及标准方程表示的圆锥曲线的几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系。

本章的难点:求圆锥曲线的方程及利用几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系综合问题.本章学习中应当着重注意的问题理解椭圆、双曲线、抛物线的概念,准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质,特别注重函数与方程不等式的思想、转化思想、数形结合思想在本单元解题中的应用.本章高考分析及预测本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。

通过对近几年的高考试卷的分析,可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识,分值20分左右。

主要呈现以下几个特点:1.考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法,常以选择题与填空题的形式出现;2.直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现,这类问题视角新颖,常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景,以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度;3.在考查基础知识的基础上,注意对数学思想与方法的考查,注重对数学能力的考查,强调探究性、综合性、应用性,注重试题的层次性,坚持多角度、多层次的考查,合理调控综合程度;4.对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题,但从最近几年的高考试题本看,难度有所降低,有逐步趋向稳定的趋势。

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锥曲线与方程学案
【专题要点】
1.考查圆锥Illi线的基本概念、标准方程及儿何性质等知识及基本技能、基本方法,常以选择题与填空题的形式出现.
2.宜线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题:常以压轴题的形式出现,这类问题视角新颖,常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景,以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度.
3.在考查基础知识的基础上,注意对数学思想与方法的考查,注重对数学能力的考查,强调探究性、综合性、应用性,注重试题的层次性,坚持多角度、多层次的考查,合理调控综合程度.
4.对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的儿个热点问
题,但从最近儿年的高考试题本看,难度有所降低,有逐步趋向稳定的趋势.
【考纲要求】
(1)圆锥曲线
%1了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
%1掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单性质.
%1了解双Illi线的定义、儿何图形和标准方程,知道它的简单儿何性质.
%1了解圆锥曲线的简单应用.
%1理解数形结合的思想.
(2)曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
【复习指引】
高考试题中,解析儿何试题的分值一般占20%左右,而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14%左右,选择、填空、解答三种题型均有.选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用;以圆锥曲线为载体的解答题设计中,重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论,它们是热中之热.解答题的题型设计主要有三类:
(1)圆锥曲线的有关元素计算.关系证明或范围的确定;
(2)涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题;
(3)求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹.
近年来,高考中解析几何综合题的难度有所下降.随着高考的逐步完善,结合上述考题特点分析,预测今后高考的命题趋势是:将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查,加弦对于分析和解决问题能力的考查.因此,复习中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用.
【典例精析】
1.圆锥曲线概念、性质类问题
9 求2任的重心M 的轨迹方程。

例1. (2009广东,11).巳知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在工轴上,离心率为
HG 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为.
变式1. (2009江苏13.)如图,在平面直角坐标系和y 中,吊,心环旦为椭圆
2 2 ^T + 2_ = 1(^>/?>0)的四个顶点,P 为其右焦点,直线人©2与直线相交于点T,线 cT b~
段。

7与椭圆的交点M 恰为线段。

7的中点,则该椭圆的 离心率为 例2. (2009辽宁,16)。

以知F 是双曲线-一匕二1的左 4 12
焦点,A(1,4),F 是双曲线右支上的动点,则Ai
PF\ + |PA|的最小值为。

----
变式2. (2009福建13).过抛物线),2 = 2px(p > 0)的焦点 F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长
为8,则
2. 与圆锥曲线有关的轨迹类问题
解析几何主要研究两大类问题:一是根据题设条件,求出表示平面曲线的方程;二是通 过方程,研究平面曲线的性质.求曲线的轨迹方程是解析儿何的两个基本问题之一.求符合 某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的儿何条件,用“坐标化”将其转化为 寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性质等基础知识的掌握,还 充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力,因此这类问题成为高考命题的 热点,也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时,若能充分挖掘儿何关系,则往往可以简化 解题过程.
例3. (1)-动圆与圆x 2 + y 2+6x + 5 = 0外切,同时与圆x 2 + /-6x-91 = 0内切,求 动圆圆心M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。

2
(2)双仙线土一 ),2=1有动点P, 是曲线的两个焦点, 玖
变式3. (2009广东卷理)已知曲线C:),= J 与直线+ 2=0交于两点A (x A ,y A )
和B (xq 、),且.记曲线。

在点A 和点B 之间那一段七与
线段AB所围成的平面
区域(含边界)为。

.设点P(sj)是乙上的任一点,旦点P与点A和点B均不重合.
(1)若点。

是线段AB的中点,试求线段PQ的中点肱的轨迹方程;
(2)若曲线G:y_2以+),2_4),+疽+里=0与。

有公共点,试求。

的最小值.
3.直线和圆锥曲线关系类问题
直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之重,在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用,解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长, 根的分布找范围,曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.
例4.(2009全国卷II 9.)已知直线y = :("2)(日>0)与抛物线C:/=8x相交于B 两点,F为C的焦点,若\FA\=2\FB\f则比=
1 V
2 2 2^2
A. —
B. ---------- C・— D・ --------------------
3 3 3 3
2 2
变式4. (2009天津卷理)以知椭圆* + m = l(a〉b>。

)的两个焦点分别为
2
*(—c,0)和F,(c,0)(c >0),过点E(—,0)的直线与椭I员1相交与两点,旦c B, F.A =2F2B O
F,A//F
2
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B一点在
n
^AF
C的外接圆上,求巳的值
}
m
【强化训练】
1.已知动点F在曲线2x2-y=0上移动,则点A(0, — 1)与点户连线中点的轨迹方程是()
A. y=
B. y=8x~
C. 2y=8x2-l
D. 2y=8/+l
2. 已知两点M(—2,0), A •赤+E
N(2,0),点F 满足PM PN =12,则点F 的轨迹方程为() B. ?+/=16
D. x 2+y 2=8 3. C. )—2=8
动点A 在圆J+),2=1上移动时,它与定点8(3,0)连线的中点的轨迹方程是()
A. (x+3)2+y 2=4
B. (%-3)2+/=1
C. (2^-3)2+4/=1 3 1
D. (*+/+/= 乙

4.
A. 9, 12
B. 8, 11
C. 8, 12
D. 10, 12
a 2 A
.
B
.
C
2 2 设P 是椭圆—+ —= 1上一点,M 、N 分别是两圆:(x + 4)2 +y 2=l 和(x - 4)2 +y
3 =1 25 8
上的点,贝UIFMI +I PN I 的最小值、最大值的分别为
2 2
5. 已知] + ; = 0">O),M,N 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点, / lr
「L 直线PM 、PN 的斜率分别为kiKgk 疽0),若比l + *l 的最小值为1,则椭圆
的离心率为
A 扼 A. —— 2
6. 已知;+春二1(。

>8〉0),也"是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,
且直线PM 、PN 的斜率分别为灯也林氏"。

),若l^l + U 2l 的最小值为1,则椭圆
的离心率为
A. -------
2
7. 如图所示,已知两点1(—2, 0)、8(1,0),动点夕不在*轴上,且满足2AP0= ZBPO, 其中。

为坐
标原点,则点P 的轨迹方程是()
(X+2)2+/=4(.J^0)(才+1尸 + y = \ (y#0) (%—2)2+y =4 (y^O) (x—1)'+/=1 CMO)
8.与圆Y+y-4%= 0外切,乂与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是()
A. y =8x
B. /=8才(才>0)和*=0
C. /=8x(x>0)
D. y =8%(%>0)和y=0(次0)
9.__________________ 已知圆。

(*一3)2+/=4,过原点的直线与圆。

相交于4、3两点,则4、
切两点中点莎的轨迹方程是・
10.己知A(2, -1), B(-l,1), O为坐标原点,动点M满足OM=mOA+nOB.其中且2〃任一/=2,则M的
轨迹方程为・
11.已知一•条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F (1, 0)的距离减去它到y轴距离的差都是
1.
(1)求曲线C的方程;
(2)设n是过原点的直线,/是与n垂直相交于点P,与曲线C相交于A、B两点的直
线,且\OP \= 1问:是否存在上述直线/使AP PB = \成立?若存在,求出直线/ 的方
•程,若不存在,请说明理由。

(I)求椭圆E的方程;
(II)过点C (—1, 0),斜率为人的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上是
否存在点M ,使恒为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
12.已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线),。

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