课本PPT_二项分布
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二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
1-二项分布PPT课件
分析理解
每次射击都有两种可能的结果：击中目标或没击中
目标，并且每次击中目标的概率都是p= ，—3没击中目
标的概率均为1-p= ，在—1 对目标进行的4次射4 击中，
击中目标次数X的取值为04、-1、2、3、4。
2
X=k
0
1
2
3
4
P(X=k)
在上面的问题中，如果将一次射击看成做了一次试
验，思考如下问题：
例9:一批机床，每台发生故障的概率均为0.01， 且发生故障后由一个维修工就可排除。现甲厂 订购了20台机床，配备了1名维修工,乙厂订购 了80台机床，配备了3名维修工。试问:甲、乙 两厂因机床故障又不能及时维修的概率各是多 少？比较这两个概率，有什么实际义？（可以 使用计算器完成习题）
-
9
• 练习： • 甲乙两人击各射一次击中目标的概率是 2 和 ，3
例5：甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目
标的概率为 1 ，乙每次击中目标的概率为 2 ，求：
2
3
（1）甲恰好击中目标2次的概率。
（2）乙至少击中目标2次的概率。 （3）乙恰好比甲多击中2次的概率。
-
7
• 例6：甲乙两围棋手进行比赛，已知每一局比赛中甲获 胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4. （1三胜制”，求甲胜的概率。 （3）在以上两种比赛的制度下，采用哪一种比赛甲获 胜的可能性较大？
例7：从学校到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个
交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ， 设X2 为途中遇到红灯的次数，求：
5
（1）随机变量X的分布列。 （2）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
-
8
例8:n支步枪独立射击目标，每支步枪的命中率都 是0.001，求至少有一支步枪命中目标的概率， 并试讨论n充分大时的结果。
7.4.1二项分布课件共28张PPT
示事件A发生的次数，则X的分布列为
= = × × ( − )− ， = , , …,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial
distribution），记作X~B(n,p).
X
p
0
0
n
1
0
n
1 n 1
C pq C pq
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).
甲最终获胜的概率为 =P(X=2)+P(X=3)= × . × . + × . =0.648.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B(5，0.6).甲最终获胜的概
小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右
下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的
过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下
落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一
个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等
于向右落下的次数,因此X服从二项分布。
典型例题
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但
1
n
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
…
C nk p k q n k
…
…
n
C nn p n q 0
1.二项分布中，各个参数的意义？
n：重复试验的次数；k：事件A发生的次数；p：在一次试验中，事件A发生的概率.
2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：
一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；
二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
= = × × ( − )− ， = , , …,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial
distribution），记作X~B(n,p).
X
p
0
0
n
1
0
n
1 n 1
C pq C pq
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).
甲最终获胜的概率为 =P(X=2)+P(X=3)= × . × . + × . =0.648.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B(5，0.6).甲最终获胜的概
小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右
下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的
过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下
落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一
个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等
于向右落下的次数,因此X服从二项分布。
典型例题
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但
1
n
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
…
C nk p k q n k
…
…
n
C nn p n q 0
1.二项分布中，各个参数的意义？
n：重复试验的次数；k：事件A发生的次数；p：在一次试验中，事件A发生的概率.
2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：
一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；
二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
二项分布公开课课件
概率生成函数是二项式定理的推广，用于计算在n次独立重复 试验中，随机事件恰好发生k次的概率，其公式为P(X=k) = [T^(k)] * (p * (1-p))^n，其中T是试验次数，p是随机事件发 生的概率。
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
统计学二项分布PPT资料(正式版)
查表法 对于n 50的小样本资料，直接查附表6百分率的95%或99%可信区间表，即可得到其总体率的可信区间。
验结果的出现不会影响其它试验结果出
接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 此时若用样本资料计算样本率p=X/n作为π的估计值，则
（2）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为
的估计为:
今对10名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。
概率π固定不变；
3. 重复试验是相互独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。
(二) 二项分布的性质
1. 二项分布的均数与标准差 在n次独立重
复试验中，出现“阳性”次数X的
总体均数为
n
总体方差为 2n(1)
总体标准差为 n(1)
若以率表示，则样本率p的
较为常见。 每次试验只会发生两种对立的可能结果
样本率的标准差也称为率的标准误，可用来描述样本率的抽样误差，率的标准误越小，则率的抽样误差就越小。
检验统计量u值的计算公式为:
之一，即分别发生两种结果的概率之和
如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效 如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效；
随机变量有连续型和离散型之分，相应的概率分布就可分为连续型分布和离散型分布。
感染等。 否则，拒绝H0，接受H1。
按 а水准，拒绝H0，接受H1，即新的治疗方法比常规疗法的效果好。
若从阳性率（死亡率、感染率等） 为π的总体中随机抽取大小为n的样本， 则出为X～B(n，π).
二项分布有两个参数：
的 可信区间为：
总体率 本例n=13，X=6。
2.二项分布的图形 对于二项分布而言， 当π时，分布是对称的，见图；
验结果的出现不会影响其它试验结果出
接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 此时若用样本资料计算样本率p=X/n作为π的估计值，则
（2）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为
的估计为:
今对10名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。
概率π固定不变；
3. 重复试验是相互独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。
(二) 二项分布的性质
1. 二项分布的均数与标准差 在n次独立重
复试验中，出现“阳性”次数X的
总体均数为
n
总体方差为 2n(1)
总体标准差为 n(1)
若以率表示，则样本率p的
较为常见。 每次试验只会发生两种对立的可能结果
样本率的标准差也称为率的标准误，可用来描述样本率的抽样误差，率的标准误越小，则率的抽样误差就越小。
检验统计量u值的计算公式为:
之一，即分别发生两种结果的概率之和
如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效 如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效；
随机变量有连续型和离散型之分，相应的概率分布就可分为连续型分布和离散型分布。
感染等。 否则，拒绝H0，接受H1。
按 а水准，拒绝H0，接受H1，即新的治疗方法比常规疗法的效果好。
若从阳性率（死亡率、感染率等） 为π的总体中随机抽取大小为n的样本， 则出为X～B(n，π).
二项分布有两个参数：
的 可信区间为：
总体率 本例n=13，X=6。
2.二项分布的图形 对于二项分布而言， 当π时，分布是对称的，见图；
二项分布(上课)ppt课件
【分析】
（1）有放回的抽取，则每次抽到白球的概率相同， 黑球个数x服从二项分布；
（2）无放回的抽取，则每次抽到白球的概率不同，
黑球个数x服从超几何分布；
（1）P1
C32
3 8
2
5 8
135 512
(2)P2
C32C51 C83
15 56
二项分布与超几何分布有什么区别和联系？
一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中取n 个球，记下红球的个数 .
1.离散型随机变量定义
如果随机变量 X 的所有可能的取值都 能一一列举出来，则 X 称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
3求离散型随机变量的分布列的方法和步骤：
①确定离散型随机变量的可能取值；
②分别计算出随机变量取每个值时的概率；
③列出概率分布表，即分布列.
变式二:5次中恰有3次针尖向上的概率是多少？
引申推广:
P C53 0.63 (1 0.6)53
连续掷n次，恰有k次针尖向上的概率是
P Cnk 0.6k (1 0.6)nk
定义建构
一般地，在 n 次独立重复试验中，
用X表示事件A发生的次数，设每次试验中
事件Ａ发生的概率为p，则:
P
(X
k)
P
(X
k)
C
k n
pk
(1
p)nk
（其中k = 0，1，2，···，n ）
此时称随机变量X服从二项分布，记X~B(n,p) 并称p为成功概率。
基础训练 成功体验
一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有3个交通
（1）有放回的抽取，则每次抽到白球的概率相同， 黑球个数x服从二项分布；
（2）无放回的抽取，则每次抽到白球的概率不同，
黑球个数x服从超几何分布；
（1）P1
C32
3 8
2
5 8
135 512
(2)P2
C32C51 C83
15 56
二项分布与超几何分布有什么区别和联系？
一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中取n 个球，记下红球的个数 .
1.离散型随机变量定义
如果随机变量 X 的所有可能的取值都 能一一列举出来，则 X 称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
3求离散型随机变量的分布列的方法和步骤：
①确定离散型随机变量的可能取值；
②分别计算出随机变量取每个值时的概率；
③列出概率分布表，即分布列.
变式二:5次中恰有3次针尖向上的概率是多少？
引申推广:
P C53 0.63 (1 0.6)53
连续掷n次，恰有k次针尖向上的概率是
P Cnk 0.6k (1 0.6)nk
定义建构
一般地，在 n 次独立重复试验中，
用X表示事件A发生的次数，设每次试验中
事件Ａ发生的概率为p，则:
P
(X
k)
P
(X
k)
C
k n
pk
(1
p)nk
（其中k = 0，1，2，···，n ）
此时称随机变量X服从二项分布，记X~B(n,p) 并称p为成功概率。
基础训练 成功体验
一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有3个交通
二项分布 ppt
P = C 0.9 × (1 − 0.9)
2 4 2
4− 2
次射击看成进行4次相互独立的重复试验 这4次射击看成进行 次相互独立的重复试验。 次射击看成进行 次相互独立的重复试验。 因而射击4次击中 3 次的概率可算为 因而射击 次击中
P = C 0.9 × (1 − 0.9)
3 4 3
4− 3
推广： 推广： 2、这个射手射击5次恰好击中 次的概率是： 、这个射手射击 次恰好击中 次的概率是： 次恰好击中2次的概率是
例题.某射手射击 次 例题 某射手射击1次，击中目标的概率 某射手射击 他射击4次恰好击中 是0.9,他射击 次恰好击中 次的概率 他射击 次恰好击中3 是多少？ 是多少？
分别记在第i次射击中， 分别记在第 次射击中，这个射手击中目标为事件 次射击中 Ai(i=1,2,3,4),未击中目标为事件 i(i=1,2,3,4), 未击中目标为事件A 未击中目标为事件 那么，射手射击 击中3 次共有以下情况： 那么，射手射击4 次，击中 次共有以下情况：
A ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 1 A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4
P ( A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ) = 0.9 × 0.9 × 0.9 × (1 − 0.9) = 0.9 3 × 0.1 P ( A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ) = 0.9 × 0.9 × 0.9 × (1 − 0.9) = 0.9 3 × 0.1
P = C 0.9 × (1 − 0.9)
2 4 5 2
4 5− 2
次射击看成进行4次相互独立的重复试验 这4次射击看成进行 次相互独立的重复试验。 次射击看成进行 次相互独立的重复试验。 因而射击4次击中 3 次的概率可算为 因而射击 次击中
7.4.1 二项分布课件ppt
从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概
率.
(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范
围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件
求概率.
变式训练3在一次抗洪抢险中,相关人员准备用射击的办法引爆从上游漂
流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,
所以所求的概率为
4
5
2
1
1
232
1
1- C5 ·3 · 3 + 3
= 243.
(2)当 X=4 时记为事件 A,
2
2
1
2
4
1
则 P(A)=C3 · ·
· = .
3 3
3 27
当 X=5 时,意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件 B.
3
4
2
1
1
1
1
则 P(B)=C4 · ·
+
= ,
行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很高,但他很谦虚,
自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有一个人可以做
自己的老师.这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢?我们不妨从
概率的角度来看一下.
知识梳理
二项分布
1.伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2
× =
1
,故
4
ξ~B
1
10, 4
.因此
微思考
在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗?
提示 在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试
率.
(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范
围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件
求概率.
变式训练3在一次抗洪抢险中,相关人员准备用射击的办法引爆从上游漂
流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,
所以所求的概率为
4
5
2
1
1
232
1
1- C5 ·3 · 3 + 3
= 243.
(2)当 X=4 时记为事件 A,
2
2
1
2
4
1
则 P(A)=C3 · ·
· = .
3 3
3 27
当 X=5 时,意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件 B.
3
4
2
1
1
1
1
则 P(B)=C4 · ·
+
= ,
行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很高,但他很谦虚,
自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有一个人可以做
自己的老师.这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢?我们不妨从
概率的角度来看一下.
知识梳理
二项分布
1.伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2
× =
1
,故
4
ξ~B
1
10, 4
.因此
微思考
在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗?
提示 在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试
第七章7.4.1二项分布PPT课件(人教版)
√A.0.648
B.0.432
C.0.36
D.0.312
解析 根据题意，该同学通过测试的两种情况分别为投中2次和投中3次， 所以所求概率为 P＝C23×0.62×(1－0.6)＋C33×0.63＝0.648.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0<p<1)，
跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同 学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他
们中成功咨询的人数X的散布列，并求E(X).
解 由题意可知 X～B3，34， ∴P(X＝k)＝Ck3×34k×143－k，k＝0,1,2,3， 即 P(X＝0)＝C03×340×143＝614； P(X＝1)＝C13×34×142＝694； P(X＝2)＝C23×342×14＝2674； P(X＝3)＝C33×343＝2674.
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
解 记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2， “乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2， 则 P(A2)＝C22×232＝49，P(B2)＝C12×341×1－34＝38， 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)＝49×38＝16.
4.甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三
局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以 3∶1 的比分 获胜的概率为
√A.287
64 B.81
4 C.9
8 D.9
解析 当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只 赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢， 所以甲以 3∶1 的比分获胜的概率为 P＝C23×232×1－23×23＝3×49×13 ×23＝287，故选 A.
《二项分布及其应》课件
• a. 样本量较小：二项分布适用于独立重复试验，当样本量较小时，分布的精确度降低。 • b. 分布参数难以确定：在实际应用中，往往难以确定二项分布的参数，如试验次数和单次试验的成功概率。
• 改进方向： a. 引入其他分布：对于样本量较小的情况，可以考虑使用泊松分布等其他分布来近似二项分布。 b. 利 用贝叶斯推断：贝叶斯推断可以用于估计未知的分布参数，提高二项分布在实际应用中的精确度。 c. 考虑其他模型： 对于某些特定问题，可以考虑使用其他模型来描述实际数据，如正态分布、泊松分布等。
贝叶斯估计法的定义和原理 贝叶斯估计法在二项分布参数估计中的应用 贝叶斯估计法的优缺点分析 贝叶斯估计法与其他参数估计方法的比较
最小二乘估计法
定义：最小二乘法是一种数学统计方法，通过最小化误差的平方和来估计参数
原理：最小二乘法通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和来估计参数，从而得到最佳的 参数估计值
假设检验的步骤和实例
提出假设
构造检验统计量
确定临界值
做出推断
实例演示
06
二项分布在实际应用中的案例分析
实验设计和数据分析
实验设计：确 定实验目的、 设计实验方案、 选择实验样本
数据分析：对 实验数据进行 整理、分析和 解释，得出结
论
实验结果：展 示实验结果， 包括数据表格、
图表等
结论与讨论： 对实验结果进 行讨论，提出 改进意见和建
议
二项分布在实际应用中的案例介绍
案例一：医学研究计学中的 二项分布
案例四：计算机科学中的 二项分布
二项分布在实际应用中的优缺点分析
优点：适用于独立 重复试验，可以快 速准确地计算概率
缺点：不适用于连 续性随机变量，需 要满足独立同分布 的条件
• 改进方向： a. 引入其他分布：对于样本量较小的情况，可以考虑使用泊松分布等其他分布来近似二项分布。 b. 利 用贝叶斯推断：贝叶斯推断可以用于估计未知的分布参数，提高二项分布在实际应用中的精确度。 c. 考虑其他模型： 对于某些特定问题，可以考虑使用其他模型来描述实际数据，如正态分布、泊松分布等。
贝叶斯估计法的定义和原理 贝叶斯估计法在二项分布参数估计中的应用 贝叶斯估计法的优缺点分析 贝叶斯估计法与其他参数估计方法的比较
最小二乘估计法
定义：最小二乘法是一种数学统计方法，通过最小化误差的平方和来估计参数
原理：最小二乘法通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和来估计参数，从而得到最佳的 参数估计值
假设检验的步骤和实例
提出假设
构造检验统计量
确定临界值
做出推断
实例演示
06
二项分布在实际应用中的案例分析
实验设计和数据分析
实验设计：确 定实验目的、 设计实验方案、 选择实验样本
数据分析：对 实验数据进行 整理、分析和 解释，得出结
论
实验结果：展 示实验结果， 包括数据表格、
图表等
结论与讨论： 对实验结果进 行讨论，提出 改进意见和建
议
二项分布在实际应用中的案例介绍
案例一：医学研究计学中的 二项分布
案例四：计算机科学中的 二项分布
二项分布在实际应用中的优缺点分析
优点：适用于独立 重复试验，可以快 速准确地计算概率
缺点：不适用于连 续性随机变量，需 要满足独立同分布 的条件
二项分布PPT课件
P X 2 x 2 0P X x 2 0X !n n !X !X 1 n X
P0P1P2
15!00.13010.13150 15!00.13110.13149
0!15!0
1!14!9
15!00.13210.13148
2!14!8
2.31107
2021/6/16
23
至少有2名感染的概率为:
n=3×0.6=1.8（只）
方差为 2 n1
30.60.40.7（ 2 只）
标准差为 n1
30.60.40.85(只）
2021/6/16
18
如果以率表示，将阳性结果的频率记为 p ，X
n
则P的总体均数 p
总体方差为
p2
1
n
总体标准差为
p
1
n
式中 p 是频率p的标准误，反映阳性频率的
卫生统计学（第六版）
卫生统计学与数学教研室
2021/6/16
1
第二节 二项分布
一、二项分布的概念与特征
（一）成败型实验（Bernoulli实验）
在医学卫生领域的许多实验或观察中，人们感兴
趣的是某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实
验，关心的是白鼠是否死亡；某种新疗法临床实验观
察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性
等。将我们关心的事件A出现称为成功，不出现称为失
败，这类试验就称为成-败型实验。指定性资料中的二
项分类实验。观察对象的结局只有相互对立的两种结
果。 2021/6/16
3
成-败型（Bernoulli）实验序列：
满足以下三个条件的n次实验构成的序列称为成 -败型实验序列。
1）每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一 （A或非A）。
7.4.1二项分布课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
二、二项散布
思考: 如果连续射击4次, 类比上面的分析, 表示中靶次数 X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的散布列.
(1) 表示中靶次数X等于2的结果有： A1A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 ,
A1 A2 A3 A4 , A1A2 A3 A4 , A1A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4. 共6个.
P(X=5)= C150×0.55×(1-0.5)5
= C150×0.510
= 252 = 63 . 1024 256
(2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6, 于是
P(4≤X≤6)= C140×0.510+ C150×0.510 + C160×0.510
= 672 = 21. 1024 32
15
三、二项散布的均值与方差 探究:假设随机变量X服从二项散布B(n, p), 那么X的均值和方差
各是什么？
从简单开始, 先考察n较小的情况. (1)当n=1时, X服从两点散布, 散布列为 P(X=0)=1-p, P(X=1)=p. 均值和方差分别为 E(X)=p, D(X)=p(1-p). (2)当n=2时, X的散布列为
p1 = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =C53×0.63×0.42+C54×0.64×0.41+C55×0.65 = 0.68256.
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利. 实际上, 比赛局数 越多, 对实力较强者越有利.
思考 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率? 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影
8
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次, 求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率; (2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
二项分布PPT精选课件
20
21
四、二项分布的应用
1.正态近似法
当n足够大，p和1-p均不太小时 ， 即np和n(1-p)均大于5时，二项分布 近似正态分布N（nπ, nπ(1-π) ）
可信度为1-α的可信区间：
（p-Zasp,p+Zasp）
22
例5.4 某医院用复方当归注射液， 静脉滴注治疗脑动脉硬化症188例； 其中显效83例，试估计复方当归注 射液显效率的95％可信区间。
二项分布和Poisson 分布及其应用
1
学习要点： 二项分布和Poisson分布的定义、性
质及应用
2
第一节 二项分布
3
第一节 二项分布及其应用
*离散型随机变量及其概率分布列
4
离散型随机变量：假如用3只小白鼠 作一定剂量某种毒物的毒性试验， 那么试验后3只小白鼠“死亡数X” 的可能取值能够一一列出，分别为 0，1，2，3。这种可能取值能够一 一列出的随机变量称为离散型随机 变量。其概率分布特征 见下表
X 的 均 数 X = n
X
的
方
差
2 X
=
n
(1-
)
X 的 标 准 差 X = n 1
前例
B( n, )=B(3,0.8)的 鼠 死 亡 数 X 的
总体均数
X =3×0.8=2.4(只 )
总体方差
2 X
=3×0.8×0.2=0.48(只
)
总体标准差
X = 3 0.8 0.2 = 0 . 6 9 ( 只 )
K X !(n X )!
27
例5.7 一种鸭通常感染某种传染病的 概率是0.2，现将一种药物注射到25 只鸭后发现有1只鸭发生感染，试判 断这种药物对预防感染是否有效。
21
四、二项分布的应用
1.正态近似法
当n足够大，p和1-p均不太小时 ， 即np和n(1-p)均大于5时，二项分布 近似正态分布N（nπ, nπ(1-π) ）
可信度为1-α的可信区间：
（p-Zasp,p+Zasp）
22
例5.4 某医院用复方当归注射液， 静脉滴注治疗脑动脉硬化症188例； 其中显效83例，试估计复方当归注 射液显效率的95％可信区间。
二项分布和Poisson 分布及其应用
1
学习要点： 二项分布和Poisson分布的定义、性
质及应用
2
第一节 二项分布
3
第一节 二项分布及其应用
*离散型随机变量及其概率分布列
4
离散型随机变量：假如用3只小白鼠 作一定剂量某种毒物的毒性试验， 那么试验后3只小白鼠“死亡数X” 的可能取值能够一一列出，分别为 0，1，2，3。这种可能取值能够一 一列出的随机变量称为离散型随机 变量。其概率分布特征 见下表
X 的 均 数 X = n
X
的
方
差
2 X
=
n
(1-
)
X 的 标 准 差 X = n 1
前例
B( n, )=B(3,0.8)的 鼠 死 亡 数 X 的
总体均数
X =3×0.8=2.4(只 )
总体方差
2 X
=3×0.8×0.2=0.48(只
)
总体标准差
X = 3 0.8 0.2 = 0 . 6 9 ( 只 )
K X !(n X )!
27
例5.7 一种鸭通常感染某种传染病的 概率是0.2，现将一种药物注射到25 只鸭后发现有1只鸭发生感染，试判 断这种药物对预防感染是否有效。
2.4二项分布 ppt课件(25张) 高中数学苏教版 选修2-3
k n k Ck ， 它是二项式[(1－p)＋p] n 展开式的第 k＋1 项． 所 np (1－p)
－
以称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3
独立重复试验有哪些特点？
答
本 课 时 栏 目 开 关
(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)各次试验的结果是相互独立的；
(1)由题意知，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，且 23 1 0 P(ξ＝0)＝C3×1－3 ＝27， 解
(2)恰在第三次命中目标； (3)命中两次； (4)刚好在第二次、第三次两次击中目标．
解 题中的 4 个问题都是在同一条件下事件发生的情况，所以 均属独立重复试验．
(1)命中一次的概率为 33 12 8 96 1 3 1－ ＝ · ＝ P＝C4· ； 5 5 125 625 5
填一填·知识要点、记下疑难点
1．一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次
本 课 时 栏 目 开 关
试验的结果仅有 两种对立的状态 ，即 A 与 A .每次试验中 P(A)＝p＞0.我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验，也 称为伯努利试验 . 2．在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k(0≤k≤n)次的 k k n－k C 概率为 Pn(k)＝ np q ，k＝0,1,2„，n，它恰好是(q＋p)n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)恰在第三次命中目标的概率为 3 3 3 8 3 24 1－ ＝ · ＝ P＝ · 5 5 125 625； 5 (3)命中两次的概率为 32 9 4 216 2 3 2 1－ ＝6· · ＝ P＝C4· · ； 5 25 25 625 5 (4)在第二次、第三次两次击中目标的概率为 3 32 36 2 1－ ＝ P＝5 · . 5 625
－
以称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3
独立重复试验有哪些特点？
答
本 课 时 栏 目 开 关
(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)各次试验的结果是相互独立的；
(1)由题意知，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，且 23 1 0 P(ξ＝0)＝C3×1－3 ＝27， 解
(2)恰在第三次命中目标； (3)命中两次； (4)刚好在第二次、第三次两次击中目标．
解 题中的 4 个问题都是在同一条件下事件发生的情况，所以 均属独立重复试验．
(1)命中一次的概率为 33 12 8 96 1 3 1－ ＝ · ＝ P＝C4· ； 5 5 125 625 5
填一填·知识要点、记下疑难点
1．一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次
本 课 时 栏 目 开 关
试验的结果仅有 两种对立的状态 ，即 A 与 A .每次试验中 P(A)＝p＞0.我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验，也 称为伯努利试验 . 2．在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k(0≤k≤n)次的 k k n－k C 概率为 Pn(k)＝ np q ，k＝0,1,2„，n，它恰好是(q＋p)n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)恰在第三次命中目标的概率为 3 3 3 8 3 24 1－ ＝ · ＝ P＝ · 5 5 125 625； 5 (3)命中两次的概率为 32 9 4 216 2 3 2 1－ ＝6· · ＝ P＝C4· · ； 5 25 25 625 5 (4)在第二次、第三次两次击中目标的概率为 3 32 36 2 1－ ＝ P＝5 · . 5 625
二项分布教学课件(共36张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
C 则这 3 台车床中至少有一台每天加工的零件数超过 35 的概率为( )
1 A. 64
27 B. 64
37 C. 64
63 D. 64
解析：设车床每天加工的零件数超过 35 的台数为 ，由题意知每台加工的零件数
超过 35 的概率 P 1 0.5 1 ， 24
所以
~
B
3,
1 4
，则这
3
4
32 4
C34
33 1
4
31 4
C44
34 1
4
30 4
思考交流
在上面的问题中, 将一次射击看成做了一次试验, 思考并回答下列问题: （1）一共进行了几次试验？每次试验有几种可能的结果？ （2）如果将每次试验的两种结果分别称为"成功"(命中目标)和"失败"(没有命 中目标), 那么每次试验成功的概率是多少? 它们相同吗? （3）各次试验是否相互独立？在随机变量X的分布列的计算中, 独立性具体应 用在哪里?
解：
设 X 为 5 台机床中正常工作的台数， 则 X 服从参数为 n 5， p 0.2 的二项分布，
即
P( X 于是， 由题意可得
k ) C5k 0.2k (1 0.2)3 k (k
0,1, 2,3, 4,5)
P(X 4)
P(X 4) P(X 5) C54 0.24 0.8 C55 0.25 0.80 0.007
中目标
(事件
Bk
发生)，这包含
C
k 4
种情况.
根据互斥事件的概率加法公式和相互独立
事件的概率乘法公式，可得
P(X k) P Bk
C4k
3k 4
1
二项分布剖析课件
公式：$PGF(z) = E(z^X) = sum_{k=0}^n C_n^k p^k (1p)^{n-k} z^k$。
特征函数（CF）
特征函数（CF）是二项分布在离散概率空间上的特征函数 ，表示在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的特征函 数的和。
公式：$CF(t) = E(e^{itX}) = sum_{k=0}^n C_n^k p^k (1-p)^{n-k} e^{itk}$。
二项分布剖析课件
目录
• 二项分布的概述 • 二项分布的性质 • 二项分布的参数 • 二项分布的计算方法 • 二项分布在统计学中的运用 • 二项分布的假设检验 • 二项分布的实例分析
01
二项分布的概述
二项分布的定义
总结词
二项分布是一种离散概率分布，描述 了在n次独立重复的伯努利试验中成 功的次数。
详细描述
二项分布适用于描述具有两种对立结 果的事件，其中每次试验只有两种可 能的结果，即成功或失败，且每次试 验的成功概率是相同的。
二项分布在现实生活中的应用
总结词
二项分布在金融、生物统计学、可靠性工程等领域有广泛应 用。
详细描述
在金融领域，二项分布用于评估投资风险和预期回报；在生 物统计学中，二项分布用于研究遗传学和流行病学中的事件 ；在可靠性工程中，二项分布用于分析产品的寿命和故障率 。
置信区间的确定
要点一
置信区间的概念
在统计学中，置信区间是指在一定置信水平下，样本统计 量可能取值的一个范围。这个范围越小，置信水平越高。
要点二
置信区间计算方法
在二项分布中，置信区间的计算方法通常采用正态近似法 或精确法。正态近似法适用于样本数量较大时，而精确法 适用于样本数量较小时。通过这些方法，可以计算出在一 定置信水平下，成功的次数可能取值的一个范围。
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搭配課本第 32 頁
職籃選手阿鼎罰球命中率是 8 成，如果每次罰球命中是獨立事 件，4 次罰球全命中的機率是多少？
解 阿鼎 4次罚球全命中的机率是 ( 0.8 )4＝0.4096。
一般重复丢一个铜板、重复掷一个骰子或重复由一袋中抽球 ( 取后放回 ) 都是假设前后试验所得的结果是独立事件。但在实 务上常遇到取样不放回的情况，下面例题说明当母体样本数很大， 而取样次数不是很多时，则不放回的方式与放回的方式所得机率 值很接近。
(1) 若取球后放回袋中，则两事件独立。 (2) 若取球后不放回袋中，则两事件不独立。 在丢铜板与掷骰子的问题中有一个共同点，我们会假设上 次试验结果不会影响下次，即所谓独立事件。这些概念都将是 学习统计与机率十分重要的部分。
搭配課本第 31 頁
上面我们谈的是两个事件独立，n个事件A1，A2，…，An， 1 ≤ i＜j＜k＜… ≤ n，独立的定义为 (1) P ( Ai∩Aj )＝P ( Ai )．P ( Aj )， (2) P ( Ai∩Aj∩Ak )＝P ( Ai )．P ( Aj )．P ( Ak )，
P ( B│A )≠P ( B ) 时，我们称 A，B是相关事件。
搭配課本第 29 頁
日常生活中在很多状况下，事件间独立或相关的现象常被误 用。例如：某彩券行这一期开出头彩后，生意特别兴隆，表示人 们错误认知到这一家彩券行买彩券，中奖的机率会比较高。其实 每张彩券中头彩的机率是相同的，与到哪一家彩券行买是无关的。
多少？ (2) 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是多少？
解 (1) 打出安打的机率是0.3，而没打出安打的机率是0.7， 再因每次打击打出安打是独立事件，所以4次上场打击， 前两次都打出安打，后两次没安打的机率是 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.0441。
(2) 4次上场打击，共击出两次安打， 其安打出現次序有 C42種，而每一種次序的機率都是 ( 0.3 )2 ×( 0.7 )2， 所以 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是 C42 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.2646。
独立事件 重复试验 二项分布 二项分布的性质
1-2
二项分布
习题 1-2
1-2 大考试题
搭配課本第
頁
在第二册第三章我们介绍过条件机率，条件机率是当提供某 种新的信息 ( 事件A ) 后，如何重新计算某事件 ( 事件B ) 发生的 机率 ( P ( B│A ) )。我们会问两个事件是否有相关？ 如果两事件A，B无关，也就是事件A发生与否不会影响到事件B发 生的机率，即P ( B│A )＝P ( B ) 时，这种状况我们就称A，B两事 件是独立事件。 反之，如果事件A发生后，事件B发生的机率受影响，即
搭配課本第 30 頁
擲公正骰子一次，設 A 是點數不大於 3 的事件，B 為擲出 2，4 點的事件， C 是點數不小於 3 的事件。試問： (1) A，B 是否為獨立事件？ (2) A，C 是否為獨立事件？
搭配課本第 31 頁
上面例子以袋中取球为例，说明两事件是否独立受试验过程 的影响。
大明从袋中随机拿两次球，第一次取到某色球的事件与第二 次取到某色球的事件是否独立，受取球后放回袋中与否的影响。
当两事件独立时，则此两事件都发生的机率，就等于个别事件发 生的机率相乘，所以若事件A，B独立，则 P ( A∩B )＝P ( A )．P ( B )。
搭配課本第 29 頁
在某些试验里我们常会做重复的测试，
例如：掷一个骰子3次，观察其出现的点数，或是丢一个铜板5次，
观察出现正面的次数，或是由一袋中随机抽球几次 ( 取后放回 )，
… (3) P ( A1∩A2∩…∩An )＝P ( A1 )．P ( A2 )．…．P ( An )。
如果同一试验重复n次，每次试验结果互相独立，那么根据 上式就可以很容易算出n个事件同时发生的机率。
搭配課本第 31 頁
2
某位職棒選手打擊率 3 成，如果每次打擊打出安打是獨立事件。 (1) 4 次上場打擊兩次都打出安打，後兩次沒安打的機率是
机率的加法原理说明互斥两事件A，B中至少一个发生的机 率，等于个别事件发生机率的和，
若 A∩B＝○ ／，則 P ( A∪B )＝P ( A )＋P ( B )。 而利用条件机率可以得到机率的乘法原理，即 P ( A∩B )＝P ( B )．P ( A│B )， 此乘法原理可以处理两个事件A， B都发生的机率。
搭配課本第 30 頁
解
(1) 設 S1 為樣本空間，因為抽球後放回袋中，所以 n (S1)＝5 ×5＝25， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件，
所以 n ( A∩B )＝3 ×3＝9，P ( A∩B )＝ 9 。 25
另一方面，P (A)＝ 35 ＝ 3 ，P (B)＝ 53 ＝ 3 ，
出現正面的機率仍是
1 2
。
独立事件 两个离散型随机
搭配課本第 29 頁
变量独立
1
袋中有 3 個紅球，2 個藍球，每球被取中之機會均等，大 明每次從袋中抽取一球，抽球兩次。設 A，B 分別代表第 一次抽中紅球與第二次抽中紅球的事件。 (1) 若抽球後放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？ (2) 若抽球後不放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？
25 5
25 5
可以得到 P ( A∩B )＝P (A) ·P (B)，因此 A，B 是獨立事件。
搭配課本第 30 頁
解
(2) 設 S2 為樣本空間，因為抽球後不放回袋中，所以 n (S2)＝5 ×4＝20， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件， 所以 n ( A∩B )＝3 ×2＝6，故 P ( A∩B )＝ 6 。 20 另一方面，P(A)＝ 3 4 ＝ 3 ， 20 5 P (B)＝ 3 2 ＋ 23 ＝ 3 20 20 5 ( 分成紅球、紅球與藍球、紅球兩種情形 )， 可以得到 P ( A∩B )≠P (A) ·P (B)，因此 A，B 不是獨立事件。
观察抽出球的颜色，
在这些试验里我们常假设每次重复试验所得结果都与前面所得结
果无关 ( 即独立 )，也就是每次重复试验时的环境是相同的。
例如：在丟銅板的試驗裡，若前 3 次都丟出反面，我們假設試驗
者不會因為心想丟出正面，而改變其丟銅板的方式或技術，來提
高丟出正面的機率，如果這樣的假設是正確的，則第四次丟銅板
職籃選手阿鼎罰球命中率是 8 成，如果每次罰球命中是獨立事 件，4 次罰球全命中的機率是多少？
解 阿鼎 4次罚球全命中的机率是 ( 0.8 )4＝0.4096。
一般重复丢一个铜板、重复掷一个骰子或重复由一袋中抽球 ( 取后放回 ) 都是假设前后试验所得的结果是独立事件。但在实 务上常遇到取样不放回的情况，下面例题说明当母体样本数很大， 而取样次数不是很多时，则不放回的方式与放回的方式所得机率 值很接近。
(1) 若取球后放回袋中，则两事件独立。 (2) 若取球后不放回袋中，则两事件不独立。 在丢铜板与掷骰子的问题中有一个共同点，我们会假设上 次试验结果不会影响下次，即所谓独立事件。这些概念都将是 学习统计与机率十分重要的部分。
搭配課本第 31 頁
上面我们谈的是两个事件独立，n个事件A1，A2，…，An， 1 ≤ i＜j＜k＜… ≤ n，独立的定义为 (1) P ( Ai∩Aj )＝P ( Ai )．P ( Aj )， (2) P ( Ai∩Aj∩Ak )＝P ( Ai )．P ( Aj )．P ( Ak )，
P ( B│A )≠P ( B ) 时，我们称 A，B是相关事件。
搭配課本第 29 頁
日常生活中在很多状况下，事件间独立或相关的现象常被误 用。例如：某彩券行这一期开出头彩后，生意特别兴隆，表示人 们错误认知到这一家彩券行买彩券，中奖的机率会比较高。其实 每张彩券中头彩的机率是相同的，与到哪一家彩券行买是无关的。
多少？ (2) 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是多少？
解 (1) 打出安打的机率是0.3，而没打出安打的机率是0.7， 再因每次打击打出安打是独立事件，所以4次上场打击， 前两次都打出安打，后两次没安打的机率是 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.0441。
(2) 4次上场打击，共击出两次安打， 其安打出現次序有 C42種，而每一種次序的機率都是 ( 0.3 )2 ×( 0.7 )2， 所以 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是 C42 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.2646。
独立事件 重复试验 二项分布 二项分布的性质
1-2
二项分布
习题 1-2
1-2 大考试题
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在第二册第三章我们介绍过条件机率，条件机率是当提供某 种新的信息 ( 事件A ) 后，如何重新计算某事件 ( 事件B ) 发生的 机率 ( P ( B│A ) )。我们会问两个事件是否有相关？ 如果两事件A，B无关，也就是事件A发生与否不会影响到事件B发 生的机率，即P ( B│A )＝P ( B ) 时，这种状况我们就称A，B两事 件是独立事件。 反之，如果事件A发生后，事件B发生的机率受影响，即
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擲公正骰子一次，設 A 是點數不大於 3 的事件，B 為擲出 2，4 點的事件， C 是點數不小於 3 的事件。試問： (1) A，B 是否為獨立事件？ (2) A，C 是否為獨立事件？
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上面例子以袋中取球为例，说明两事件是否独立受试验过程 的影响。
大明从袋中随机拿两次球，第一次取到某色球的事件与第二 次取到某色球的事件是否独立，受取球后放回袋中与否的影响。
当两事件独立时，则此两事件都发生的机率，就等于个别事件发 生的机率相乘，所以若事件A，B独立，则 P ( A∩B )＝P ( A )．P ( B )。
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在某些试验里我们常会做重复的测试，
例如：掷一个骰子3次，观察其出现的点数，或是丢一个铜板5次，
观察出现正面的次数，或是由一袋中随机抽球几次 ( 取后放回 )，
… (3) P ( A1∩A2∩…∩An )＝P ( A1 )．P ( A2 )．…．P ( An )。
如果同一试验重复n次，每次试验结果互相独立，那么根据 上式就可以很容易算出n个事件同时发生的机率。
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2
某位職棒選手打擊率 3 成，如果每次打擊打出安打是獨立事件。 (1) 4 次上場打擊兩次都打出安打，後兩次沒安打的機率是
机率的加法原理说明互斥两事件A，B中至少一个发生的机 率，等于个别事件发生机率的和，
若 A∩B＝○ ／，則 P ( A∪B )＝P ( A )＋P ( B )。 而利用条件机率可以得到机率的乘法原理，即 P ( A∩B )＝P ( B )．P ( A│B )， 此乘法原理可以处理两个事件A， B都发生的机率。
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解
(1) 設 S1 為樣本空間，因為抽球後放回袋中，所以 n (S1)＝5 ×5＝25， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件，
所以 n ( A∩B )＝3 ×3＝9，P ( A∩B )＝ 9 。 25
另一方面，P (A)＝ 35 ＝ 3 ，P (B)＝ 53 ＝ 3 ，
出現正面的機率仍是
1 2
。
独立事件 两个离散型随机
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变量独立
1
袋中有 3 個紅球，2 個藍球，每球被取中之機會均等，大 明每次從袋中抽取一球，抽球兩次。設 A，B 分別代表第 一次抽中紅球與第二次抽中紅球的事件。 (1) 若抽球後放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？ (2) 若抽球後不放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？
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可以得到 P ( A∩B )＝P (A) ·P (B)，因此 A，B 是獨立事件。
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解
(2) 設 S2 為樣本空間，因為抽球後不放回袋中，所以 n (S2)＝5 ×4＝20， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件， 所以 n ( A∩B )＝3 ×2＝6，故 P ( A∩B )＝ 6 。 20 另一方面，P(A)＝ 3 4 ＝ 3 ， 20 5 P (B)＝ 3 2 ＋ 23 ＝ 3 20 20 5 ( 分成紅球、紅球與藍球、紅球兩種情形 )， 可以得到 P ( A∩B )≠P (A) ·P (B)，因此 A，B 不是獨立事件。
观察抽出球的颜色，
在这些试验里我们常假设每次重复试验所得结果都与前面所得结
果无关 ( 即独立 )，也就是每次重复试验时的环境是相同的。
例如：在丟銅板的試驗裡，若前 3 次都丟出反面，我們假設試驗
者不會因為心想丟出正面，而改變其丟銅板的方式或技術，來提
高丟出正面的機率，如果這樣的假設是正確的，則第四次丟銅板