二项分布课件
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医学统计学二项分布课件
医学统计学二项分布课件xx年xx月xx日•二项分布概述•二项分布数学模型•二项分布的参数估计•二项分布与其它分布的关系目•二项分布的应用实例•二项分布在SPSS和R语言中的应用录01二项分布概述二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立的是/非试验中成功的次数的概率分布。
其中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
定义B(n, p) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)公式二项分布的定义二项分布的特点二项分布在n次独立的是/非试验中成功的次数。
二项分布的随机变量取值为0，1，2，…，n。
在n次独立的是/非试验中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
描述病情变化在医学领域中，病情变化是一个二项分布的过程。
病情可能变好也可能变坏，每次试验可以看作是医生对病情的观察和评估。
临床试验设计在临床试验中，通常将二项分布应用于设计试验方案和分析数据。
例如，在随机对照试验中，将患者随机分为试验组和对照组，比较两组的有效率或成功率等指标。
诊断和预后在医学诊断和预后评估中，通常将二项分布应用于计算概率和可信区间。
例如，计算某疾病的发病率、某检查手段的阳性率等指标。
二项分布在医学统计学中的应用02二项分布数学模型二项分布概率函数公式：$P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$其中 $C(n, k)$ 表示组合数，$p$ 表示每次试验成功的概率，$n$ 表示试验次数二项分布概率函数二项分布的均值$E(X) = np$二项分布的方差$D(X) = np(1-p)$二项分布的均值和方差二项分布曲线是一个钟形曲线随着 $n$ 的增大，曲线越来越接近正态分布曲线二项分布曲线的形状03二项分布的参数估计样本大小的选择确定样本量医学研究中，样本量的选择是至关重要的。
通常根据研究目的、研究因素的数量和研究因素的水平数来决定样本量。
考虑变异性和研究因素在选择样本量时，需要考虑研究因素的变异性和水平数。
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
7.4.1二项分布PPT课件(人教版)
二、素养训练
1．某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率都为45，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的 概率是( )
12 A.125
48 B.125
16 C.125
96 D.125
解析 播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为 C23452×1－45＝14285.
答案 B
2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第 X 次首次测到正
解析 设出现正面向上的次数为 X，则 X～B5，12，故 P(X＝3)＝C351231－122＝156.
答案
5 16
3．某人射击一次击中目标的概率为0.6, 经过3次射击， 此人至少有两次击中目标的概 率为__________． 解析 设击中目标的次数为X，则X～B(3，0.6)． 故 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C230.62(1－0.6)＋C330.63＝0.648.
好发生 k 次的概率 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
(√)
[微训练]
1．已知 X～B6，13，则 P(X＝4)＝__________．
解析 P(X＝4)＝C461341－132＝22403.
答案
20 243
2．连续掷一枚硬币5次， 恰好有3次出现正面向上的概率是__________．
1．n重伯努利实验的概念 只包含__两__个可能结果的实验叫做伯努利实验，将一个伯努利实验独立地重 复进行n次所组成的随机实验称为n重伯努利实验．
2．n重伯努利实验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利实验重复做n次； (2)各次实验的结果相互独立．
3．二项散布 一般地，在n重伯努利实验中，设每次实验中事件A产生的概率为p(0<p<1)， 用X表示事件A产生的次数，则X的散布列为： P(X＝k)＝___C_nk_p_k_(1_－__p_)_n－_k____，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的散布列具有上式的情势，则称随机变量X服从二项散布，记作 __X__～__B_(_n_，__p_) ______． 4 ． 一 般 地 ， 可 以 证 明 ： 如 果 X ～ B(n ， p) ， 那 么 E(X) ＝ np ， D(X) ＝ ___n_p_(1_－__p_)_______．
二项分布教学课件ppt
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
(0.2+0.8)3 二项分布示意图
构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现 的次数X的概率分布为：
P X CnX X 1 nX
其中X=0，1，2…，n。 n，π是二项分布的两个参数 。
对于任何二项分布，总有
中国福利彩票
发行量1500万元，特等奖100个，金额5万元； 每张彩票面值2元，中奖概率1/75000。
投入金额 未中概率 中奖概率
100元 1000元 1万元 10万元 100万元 0.99933 0.99336 0.93551 0.51341 0.00127 0.00067 0.00664 0.06449 0.48659 0.99873
例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60% 现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？
B(X;n,π)或B(n,π)。
二项分布的概率函数
• 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生
两种结果，发生的概率分别是: 和1－
• 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那 么X服从二项分布，记做 XB(n,) 或 B(X;n,π) 。
举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同 性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率， 即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率 为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为 ，相 应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡 的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，
例 实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率 π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数为
二项分布及其应用 (2)ppt课件
中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
p
~
N
(
,
1
)
n
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
p u s p , p u s p
死 死 生 0.8 0.8 0.2 0.128
1
死 生 死 0.8 0.2 0.8 0.128
生 死 死 0.2 0.8 0.8 0.128
0
死 死 死 0.8 0.8 0.8 0.512
P（x） (5)
0.008
0.096
0.384 0.512 1.000
概率的乘法原理：几个相互独立的事件同时发生的概率等于各 事件发生概率的乘积。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
n
304
（3） 确定P值 , 做出推断结论。查表得, P<0.0005, 按 = 0.05
水准拒绝H0, 接受H1, 认为老年胃溃疡患者较一般患者更易发 生胃出血。
☺小贴士：注意事项
以上各例均为单侧检验, 若需进行双侧检验, 则P值为从H0
规定的总体中抽到现有样本以及更极端（即概率小于等于现有 样本概率）情形的累计概率。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
p
~
N
(
,
1
)
n
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
p u s p , p u s p
死 死 生 0.8 0.8 0.2 0.128
1
死 生 死 0.8 0.2 0.8 0.128
生 死 死 0.2 0.8 0.8 0.128
0
死 死 死 0.8 0.8 0.8 0.512
P（x） (5)
0.008
0.096
0.384 0.512 1.000
概率的乘法原理：几个相互独立的事件同时发生的概率等于各 事件发生概率的乘积。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
n
304
（3） 确定P值 , 做出推断结论。查表得, P<0.0005, 按 = 0.05
水准拒绝H0, 接受H1, 认为老年胃溃疡患者较一般患者更易发 生胃出血。
☺小贴士：注意事项
以上各例均为单侧检验, 若需进行双侧检验, 则P值为从H0
规定的总体中抽到现有样本以及更极端（即概率小于等于现有 样本概率）情形的累计概率。
二项分布公开课课件
概率生成函数是二项式定理的推广，用于计算在n次独立重复 试验中，随机事件恰好发生k次的概率，其公式为P(X=k) = [T^(k)] * (p * (1-p))^n，其中T是试验次数，p是随机事件发 生的概率。
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
二项分布(优秀公开课课件)
[方法技巧] n 重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及 对立事件的概率公式．
(2)运用 n 重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验 是否为 n 重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试 验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发 生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
(2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4.且 X～B4，12. 所以 P(X＝k)＝Ck412k1－124－k＝Ck4124(k＝0,1,2,3,4)． 所以随机变量 X 的分布列为
X0 1
P
1 16
1 4
2 34
3 11 8 4 16
题型三 二项分布的均值和方差 [学透用活]
[典例 3] (1)某运动员投篮投中的概率 p＝0.6，则重复 5 次投篮时投中次 数 Y 的数学期望等于________．
＝15×19×1861＝28403. 答案：28403
4．设随机变量 ξ～B6，12，则 D(ξ)等于________． 解析：因为随机变量 ξ～B6，12， 所以 D(ξ)＝6×12×1－12＝32. 答案：32
题型一 n 重伯努利试验 [学透用活]
在 n 重伯努利试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发 生的概率为 p，那么在 n 重伯努利试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率 P(X＝ k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
[学透用活] [典例 2] 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各个路口是否遇到红 灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2 min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min 的概率． [解] (1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件 A. 因为事件 A 等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯，在 第三个路口遇到红灯”， 所以事件 A 的概率为 P(A)＝1－13×1－13×13＝247.
二项分布(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
(1) 没有鸡感染病毒的概率；(2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率.
解：设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X , P( X 0) 0.85 0.32768.
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为
P(X
1)
C
1 5
0.2 0.84
0.4096.
解：由题意知,X服从二项分布,即X ~ B(4，0.5).
(1) X的分布列为
P(X
k)
C
k 4
0.54 ,k
0,1,2,3,4.
(2) E( X ) 4 0.5 2，
D( X ) 4 0.5(1 0.5) 1.
2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫 苗，求：
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概 率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用 5局3胜制对甲更有利？ 解法2：采用3局2胜制, 不妨设赛满3局, 用X表示3局比赛中 甲获胜的局数, 则X~B(3, 0.6). 甲最终获胜的概率为 p1 = P(X=2)+P(X=3)= C32×0.62×0.4+C33 ×0.63= 0.648. 采用5局3胜制, 不妨设赛满5局, 用X表示5局比赛中甲获胜 的局数, 则X~B(5, 0.6). 甲最终获胜的概率为
解：设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X , P( X 0) 0.85 0.32768.
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为
P(X
1)
C
1 5
0.2 0.84
0.4096.
解：由题意知,X服从二项分布,即X ~ B(4，0.5).
(1) X的分布列为
P(X
k)
C
k 4
0.54 ,k
0,1,2,3,4.
(2) E( X ) 4 0.5 2，
D( X ) 4 0.5(1 0.5) 1.
2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫 苗，求：
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概 率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用 5局3胜制对甲更有利？ 解法2：采用3局2胜制, 不妨设赛满3局, 用X表示3局比赛中 甲获胜的局数, 则X~B(3, 0.6). 甲最终获胜的概率为 p1 = P(X=2)+P(X=3)= C32×0.62×0.4+C33 ×0.63= 0.648. 采用5局3胜制, 不妨设赛满5局, 用X表示5局比赛中甲获胜 的局数, 则X~B(5, 0.6). 甲最终获胜的概率为
《二项分布及其应》课件
• a. 样本量较小：二项分布适用于独立重复试验，当样本量较小时，分布的精确度降低。 • b. 分布参数难以确定：在实际应用中，往往难以确定二项分布的参数，如试验次数和单次试验的成功概率。
• 改进方向： a. 引入其他分布：对于样本量较小的情况，可以考虑使用泊松分布等其他分布来近似二项分布。 b. 利 用贝叶斯推断：贝叶斯推断可以用于估计未知的分布参数，提高二项分布在实际应用中的精确度。 c. 考虑其他模型： 对于某些特定问题，可以考虑使用其他模型来描述实际数据，如正态分布、泊松分布等。
贝叶斯估计法的定义和原理 贝叶斯估计法在二项分布参数估计中的应用 贝叶斯估计法的优缺点分析 贝叶斯估计法与其他参数估计方法的比较
最小二乘估计法
定义：最小二乘法是一种数学统计方法，通过最小化误差的平方和来估计参数
原理：最小二乘法通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和来估计参数，从而得到最佳的 参数估计值
假设检验的步骤和实例
提出假设
构造检验统计量
确定临界值
做出推断
实例演示
06
二项分布在实际应用中的案例分析
实验设计和数据分析
实验设计：确 定实验目的、 设计实验方案、 选择实验样本
数据分析：对 实验数据进行 整理、分析和 解释，得出结
论
实验结果：展 示实验结果， 包括数据表格、
图表等
结论与讨论： 对实验结果进 行讨论，提出 改进意见和建
议
二项分布在实际应用中的案例介绍
案例一：医学研究计学中的 二项分布
案例四：计算机科学中的 二项分布
二项分布在实际应用中的优缺点分析
优点：适用于独立 重复试验，可以快 速准确地计算概率
缺点：不适用于连 续性随机变量，需 要满足独立同分布 的条件
• 改进方向： a. 引入其他分布：对于样本量较小的情况，可以考虑使用泊松分布等其他分布来近似二项分布。 b. 利 用贝叶斯推断：贝叶斯推断可以用于估计未知的分布参数，提高二项分布在实际应用中的精确度。 c. 考虑其他模型： 对于某些特定问题，可以考虑使用其他模型来描述实际数据，如正态分布、泊松分布等。
贝叶斯估计法的定义和原理 贝叶斯估计法在二项分布参数估计中的应用 贝叶斯估计法的优缺点分析 贝叶斯估计法与其他参数估计方法的比较
最小二乘估计法
定义：最小二乘法是一种数学统计方法，通过最小化误差的平方和来估计参数
原理：最小二乘法通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和来估计参数，从而得到最佳的 参数估计值
假设检验的步骤和实例
提出假设
构造检验统计量
确定临界值
做出推断
实例演示
06
二项分布在实际应用中的案例分析
实验设计和数据分析
实验设计：确 定实验目的、 设计实验方案、 选择实验样本
数据分析：对 实验数据进行 整理、分析和 解释，得出结
论
实验结果：展 示实验结果， 包括数据表格、
图表等
结论与讨论： 对实验结果进 行讨论，提出 改进意见和建
议
二项分布在实际应用中的案例介绍
案例一：医学研究计学中的 二项分布
案例四：计算机科学中的 二项分布
二项分布在实际应用中的优缺点分析
优点：适用于独立 重复试验，可以快 速准确地计算概率
缺点：不适用于连 续性随机变量，需 要满足独立同分布 的条件
二项分布-高中数学课件
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，
则 X ~ B(10, 0.5).
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率为
P(X
5)
C150
0.55
(1 0.5)5
252 1024
63 256
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
4
3 4
1
3 4
3
C41
3 4
1
1
3 4
41
.
PX
k
P Bk
C4k
3 k 4
1
3 4k 4
k
0,1,2,3,4 .
X的分布列就可以写成如表的形式：
X
0
1
2
3
4
P
C40
3 4
0
1
3 4 4
C41
3 4
1
1
2
1
3 4
2C43
3 4
3
1
3 4
当n=1时，可以得到两 点分布的分布列如右 表：
X
0
1
P 1 p p
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布； 二项分布可以看做两点分布的一般形式.
典例解析
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
Cnk pk qnk
C
n n
p
nq
0
此时称随机变量X服从二项分布，记作 X~B(n,p),并称p为成功概率。
追问 二项分布和两点分布有什么联系？
二项分布新课课件
=C140.8（1 1 0.8）3
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
分析：包含C24种情况 每种情况的概率都为：0.82 （1 0.8）2
P( X 2) C420.8（2 1 0.8）2
恰好投中三次呢？
P( X 3) C430.8（3 1 0.8）1
P( X 0) （1 0.8）4 C400.8（0 1 0.8）4
)3
(1
9 10
)1
C44
(9 10
)4
9963 104
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
1 ，乙获胜的概率为1 ．
2
2
⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验，
且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负
∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
P1
C
2 4
( 1 )2 2
( 1 )2 2
1 2
3 16
.
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称 服从参
数为n,p的二项分布。简记为x～B(n,p)
试验成功的概率
实验失败的概率
P( X k ) Cnk pk (1 p)nk
（其中k= 0，1，2，···，n ）
试验成功的次数
实验总次数
与二项式定理有联系吗？
例1. 下列随机变量X服从二项分布吗？如果服从二项分布，
p(X
5 )
C51
0(
1 2
)1
0
0.25
②有的同学可能会继续思考，10次投掷中恰有一半 朝上的可能性不大，那么增加投掷次数，比如100 次，恰好出现一半“正面朝上”的可能性会不会大 一些呢？
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
分析：包含C24种情况 每种情况的概率都为：0.82 （1 0.8）2
P( X 2) C420.8（2 1 0.8）2
恰好投中三次呢？
P( X 3) C430.8（3 1 0.8）1
P( X 0) （1 0.8）4 C400.8（0 1 0.8）4
)3
(1
9 10
)1
C44
(9 10
)4
9963 104
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
1 ，乙获胜的概率为1 ．
2
2
⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验，
且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负
∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
P1
C
2 4
( 1 )2 2
( 1 )2 2
1 2
3 16
.
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称 服从参
数为n,p的二项分布。简记为x～B(n,p)
试验成功的概率
实验失败的概率
P( X k ) Cnk pk (1 p)nk
（其中k= 0，1，2，···，n ）
试验成功的次数
实验总次数
与二项式定理有联系吗？
例1. 下列随机变量X服从二项分布吗？如果服从二项分布，
p(X
5 )
C51
0(
1 2
)1
0
0.25
②有的同学可能会继续思考，10次投掷中恰有一半 朝上的可能性不大，那么增加投掷次数，比如100 次，恰好出现一半“正面朝上”的可能性会不会大 一些呢？
二项分布课件
选修2-3 高二数学 选修
2.2.3独立重复试验 独立重复试验 与二项分布
形成概念 姚明罚球一次,命中的概率是 姚明罚球一次 命中的概率是0.8, 命中的概率是 引例1:他在练习罚球时 投篮11次 恰好全都投中 他在练习罚球时， 引例 他在练习罚球时，投篮 次,恰好全都投中 的概率是多少? 的概率是多少 引例2:他投篮 他投篮11次 恰好投中 次的概率是多少? 恰好投中7次的概率是多少 引例 他投篮 次,恰好投中 次的概率是多少 结论: 结论: 1).每次试验是在同样的条件下进行的; 1).每次试验是在同样的条件下进行的; 每次试验是在同样的条件下进行的 2).每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 2).每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 每次试验都只有两种结果 3).各次试验中的事件是相互独立 3).各次试验中的事件是相互独立的； 4).每次试验,某事件发生的概率是相同的. 4).每次试验,某事件发生的概率是相同的. 每次试验
闯关自测
第1关 ，闯关成功 恭喜你， 第2关 恭喜你
第3 关
重复进行10次试验 次试验， 1、每次试验的成功率为 p (0 < p < 1), 重复进行 次试验，其中前 、 7次都未成功后 次都成功的概率为（C ） 次都未成功后3次都成功的概率为 次都未成功后 次都成功的概率为（ 3 3 7 3 B．C10 p 3 (1 − p ) A．C10 p 3 (1 − p )
3
课后作业
书面作业： A组 1）书面作业：P59 A组1，3 ；B组1 2）阅读作业: 教材本节P58探究与发现； ）阅读作业: 教材本节P58探究与发现； P58探究与发型
掷一枚图钉，针尖向上 掷一枚图钉， 的概率为0.6 的概率为0.6，则针尖 0.6， 向下的概率为1 向下的概率为1－0.6=0.4
7.4.1二项分布课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
二、二项散布
思考: 如果连续射击4次, 类比上面的分析, 表示中靶次数 X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的散布列.
(1) 表示中靶次数X等于2的结果有： A1A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 ,
A1 A2 A3 A4 , A1A2 A3 A4 , A1A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4. 共6个.
P(X=5)= C150×0.55×(1-0.5)5
= C150×0.510
= 252 = 63 . 1024 256
(2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6, 于是
P(4≤X≤6)= C140×0.510+ C150×0.510 + C160×0.510
= 672 = 21. 1024 32
15
三、二项散布的均值与方差 探究:假设随机变量X服从二项散布B(n, p), 那么X的均值和方差
各是什么？
从简单开始, 先考察n较小的情况. (1)当n=1时, X服从两点散布, 散布列为 P(X=0)=1-p, P(X=1)=p. 均值和方差分别为 E(X)=p, D(X)=p(1-p). (2)当n=2时, X的散布列为
p1 = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =C53×0.63×0.42+C54×0.64×0.41+C55×0.65 = 0.68256.
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利. 实际上, 比赛局数 越多, 对实力较强者越有利.
思考 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率? 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影
8
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次, 求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率; (2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
二项分布-课件
3.对于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称 轴知: (1)对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a); (2)P(X<x0)=1-P(X≥x0); (3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).
【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)P(B|A)与P(A|B)的含义相同. ( ) (2)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). ( )
【即时训练】将一个半径适当的小球放入如图所示的容
器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过
程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已
知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概
率分别为 2，1 , 则小球落入A袋中的概率为
33
A. 3B. 1C.1D. 2
4
4
3
3
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且
P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<4)=( )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
命题角度2 3σ原则的应用
【典例】(1)(2018·茂名模拟) A.7 539 设X～N(1，1)，其正态分布密 C.7 028
度曲线如图所示，那么向正方
考点三 正态分布 【明考点·知考法】
正态分布作为考查数学应用意识的重要载体，在 高考题中经常出现，试题常以选择题、填空题形式出 现，考查正态曲线的特点及应用、3σ原则的应用，解 题过程中常渗透数形结合的思想.
命题角度1 正态曲线的性质
【典例】(1)设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，
二项分布PPT精选课件
20
21
四、二项分布的应用
1.正态近似法
当n足够大，p和1-p均不太小时 ， 即np和n(1-p)均大于5时，二项分布 近似正态分布N（nπ, nπ(1-π) ）
可信度为1-α的可信区间：
（p-Zasp,p+Zasp）
22
例5.4 某医院用复方当归注射液， 静脉滴注治疗脑动脉硬化症188例； 其中显效83例，试估计复方当归注 射液显效率的95％可信区间。
二项分布和Poisson 分布及其应用
1
学习要点： 二项分布和Poisson分布的定义、性
质及应用
2
第一节 二项分布
3
第一节 二项分布及其应用
*离散型随机变量及其概率分布列
4
离散型随机变量：假如用3只小白鼠 作一定剂量某种毒物的毒性试验， 那么试验后3只小白鼠“死亡数X” 的可能取值能够一一列出，分别为 0，1，2，3。这种可能取值能够一 一列出的随机变量称为离散型随机 变量。其概率分布特征 见下表
X 的 均 数 X = n
X
的
方
差
2 X
=
n
(1-
)
X 的 标 准 差 X = n 1
前例
B( n, )=B(3,0.8)的 鼠 死 亡 数 X 的
总体均数
X =3×0.8=2.4(只 )
总体方差
2 X
=3×0.8×0.2=0.48(只
)
总体标准差
X = 3 0.8 0.2 = 0 . 6 9 ( 只 )
K X !(n X )!
27
例5.7 一种鸭通常感染某种传染病的 概率是0.2，现将一种药物注射到25 只鸭后发现有1只鸭发生感染，试判 断这种药物对预防感染是否有效。
21
四、二项分布的应用
1.正态近似法
当n足够大，p和1-p均不太小时 ， 即np和n(1-p)均大于5时，二项分布 近似正态分布N（nπ, nπ(1-π) ）
可信度为1-α的可信区间：
（p-Zasp,p+Zasp）
22
例5.4 某医院用复方当归注射液， 静脉滴注治疗脑动脉硬化症188例； 其中显效83例，试估计复方当归注 射液显效率的95％可信区间。
二项分布和Poisson 分布及其应用
1
学习要点： 二项分布和Poisson分布的定义、性
质及应用
2
第一节 二项分布
3
第一节 二项分布及其应用
*离散型随机变量及其概率分布列
4
离散型随机变量：假如用3只小白鼠 作一定剂量某种毒物的毒性试验， 那么试验后3只小白鼠“死亡数X” 的可能取值能够一一列出，分别为 0，1，2，3。这种可能取值能够一 一列出的随机变量称为离散型随机 变量。其概率分布特征 见下表
X 的 均 数 X = n
X
的
方
差
2 X
=
n
(1-
)
X 的 标 准 差 X = n 1
前例
B( n, )=B(3,0.8)的 鼠 死 亡 数 X 的
总体均数
X =3×0.8=2.4(只 )
总体方差
2 X
=3×0.8×0.2=0.48(只
)
总体标准差
X = 3 0.8 0.2 = 0 . 6 9 ( 只 )
K X !(n X )!
27
例5.7 一种鸭通常感染某种传染病的 概率是0.2，现将一种药物注射到25 只鸭后发现有1只鸭发生感染，试判 断这种药物对预防感染是否有效。
7-4-1二项分布课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
由二项式定理，可得
n
n
k 0
k 0
k k
n k
n
P
(
X
k
)
C
p
(1
p
)
[(1
p
)
p
]
1
n
深圳市第七高级中学 傅世宁
二项分布的分布列如下表：
X
0
1
k
n
P
Cn0 p 0 (1 p ) n
Cn1 p1 (1 p ) n 1
Cnk p k (1 p) n k
Cnn p n (1 p )0
X
0
1
P
1 p
p
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；
二项分布可以看做两点分布的一般形式.
典例分析
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，
同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
p2 P ( X 3) P ( X 4) P ( X 5)
P ( X 1) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) C 31 0.82 0.21
P ( X 3) P ( A1 A2 A3 ) C 33 0.83 0.20
于是，中靶次数X的分布列可表示为
P ( X k ) C 3k 0.8k 0.23 k ,k 0,1,2,3.
n
n
k 0
k 0
k k
n k
n
P
(
X
k
)
C
p
(1
p
)
[(1
p
)
p
]
1
n
深圳市第七高级中学 傅世宁
二项分布的分布列如下表：
X
0
1
k
n
P
Cn0 p 0 (1 p ) n
Cn1 p1 (1 p ) n 1
Cnk p k (1 p) n k
Cnn p n (1 p )0
X
0
1
P
1 p
p
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；
二项分布可以看做两点分布的一般形式.
典例分析
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，
同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
p2 P ( X 3) P ( X 4) P ( X 5)
P ( X 1) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) C 31 0.82 0.21
P ( X 3) P ( A1 A2 A3 ) C 33 0.83 0.20
于是，中靶次数X的分布列可表示为
P ( X k ) C 3k 0.8k 0.23 k ,k 0,1,2,3.
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（1）全部成活的概率为
9 4 6561 P ( X 4) C ( ) 4 10 10
4 4
（2）全部死亡的概率为
9 4 1 P ( X 0) C（1 ） 4 10 10
0 4
小结
1.二项分布
（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“ 成
功” 和“ 失败” ； （2）每次实验“ 成功” 的概率均为p，“ 失败” 的概率 均为1-p；
n投k中呢？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？ 问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？ 问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的
概率是多少？
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
分析： 令Ai
“ 第i次投中” （i 1， 2， 3， 4）
用X 表示4次投篮中投中的次数
P( X 4) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
0.8 4
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
学生探究：已知诸葛亮贡献正确意见的概率为0.9,五位谋士贡献
正确意见的概率都为0.7， 每个人必须单独征求意见，符合独立重复 试验模型.由二项分布可求出谋士团体7 (1 0.7)
k 3 k
n k
则三个人得出正确结论的概率为：
3 P 1 P(X 0) 1 C0 0.3 1 0.027 0.973 3
（3）各次实验是相互独立的.
用X 表示这n次试验中成功的次数，则 k k n k P ( X k ) Cn ( k 0,1, 2, n) p（1 p）
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X 服从参数 为n, p的二项分布，简记为X B( n, p).
2.利用二项分布解决实际问题
②有的同学可能会继续思考，10次投掷中恰有一半 朝上的可能性不大，那么增加投掷次数，比如100 次，恰好出现一半“正面朝上”的可能性会不会大 一些呢？
1 100 P(Y 50) C ( ) 0.08 2
50 100
动手实践
练习
9 种植某种树苗，成活率为 ，现在种植这种树苗 10 4棵，试求：
2 2 2 P ( X 2) C4 0.8（1 0.8） 3 3 1 P ( X 3) C4 0.8（ 1 0.8）
P ( X 4) 0.8 C 0.8（1 0.8）
4
4 4 4 0
连续投篮n次，恰好投中k次的概率为
P ( X k ) C 0.8（1 0.8） ( k 0,1, 2, n)
课后思考题：“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮” 吗? 刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有5名谋士 (不包括诸葛亮),假定对某事进行决策时,每名谋 士贡献正确意见的概率为0.7,诸葛亮贡献正确意 见的概率为0.9.现为此事可行与否而分别征求智 囊团每名谋士的意见,并按智囊团中过半数人的 意见作出决策,这样作出正确决策的概率与诸葛 亮作出正确决策的概率谁大？
3.各次实验是否相互独立？
每次实验都是相互独立的
抽象概括：
（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“ 成功”
和“ 失败” ； （2）每次实验“ 成功” 的概率均为p，“ 失败” 的概率
均为1-p； （3）各次实验是相互独立的.
用X 表示这n次试验中成功的次数，则 k k n k P ( X k ) Cn p（1 p） ( k 0,1, 2, n)
其参数各是什么？
（1）掷n枚相同的骰子，X 为出现“ 1” 点的骰子数； 1 X 服从二项分布 其参数n n，p 6 （2）n个新生儿，X 为男婴的个数（假定生男生女是等可能的）； 1 X 服从二项分布 其参数n n，p 2 （3）某产品的次品率为p，X 为n个产品中的次品数；
（4）女性患色盲的概率为0.25%，X为任取n个女人 中患色盲的人数.
2 4
9963 104
讲课： 郑海涛
俺投篮，也是 讲概率地！！
第一投，我要努力！
Ohhhh，进球拉！！！
第二投，动作要注意！！
又进了，不愧 是姚明啊 ！！
第三投，厉害了啊！！
第三次登场了！
这都进了！！ 太离谱了！
第四投，大灌蓝哦！！
……
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8， 假设他每次命中率相同，请问他4投3中的概率是 多少？
例 2. 某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击击中目标
3 的概率都为 ，且各次击中目标与否是相互独立的.用 4 X 表示这4次射击中击中目标的次数，求X的分布列.
解
3 X 服从参数为n 4，p 的二项分布 4 则它的分布列为
k 4
3 k 1 4 k P ( X k ) C（ ） ( k 0,1, 2, 3， 4) （ ） 4 4 即 1 2 4 0 3 X k
12 54 108 81 1 P( X k ) 256 256 256 256 256
目标被击中的 概率是多少？
二项分布的应用举例
掷硬币问题
①有人认为投掷一枚均匀的硬币10次，恰好5次正面 向上的概率很大。你同意他的想法吗？
1 10 p(X 5) C ( ) 0.25 2
5 10
动手实践
2 2 2 P ( X 2) C4 0.8（ 1 0.8）
恰好投中三次呢？
3 3 1 P ( X 3) C4 0.8（ 1 0.8）
0 0 4 4 C4 0.8（ 1 0.8） （1 0.8） P ( X 0)
1 1 3 P ( X 1) C4 0.8（ 1 0.8）
（1）全部成活的概率；
（2）全部死亡的概率；
（3）恰好成活3棵的概率；
（4）至少成活2棵的概率.
用X 表示4棵树苗中成活的棵数，那么X 服从参数 解： 9 为n 4，p 的二项分布，则它的分布列为 10 9 4 k k 9 k P ( X k ) C（ ） （1 ） 4 10 10
（3）恰好成活3棵的概率为
9 3 9 1 2916 P ( X 3) C ( )（1 ） 10 10 104
3 4
（4）至少成活2棵的概率为
P ( X 2) P ( X 2) P ( X 3) P( X 4)
9 2 9 2 9 1 3 9 3 4 9 4 C ( )（1 ） C4 ( ) (1 ) C4 ( ) 10 10 10 10 10
分析： P( X 0) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 )
4 （1 0.8）
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
分析：共有以下4种情况：
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4
k n k n k
思考：
在上面的投篮中，如果将一次投篮看成做了一次实验
1.一共进行了几次实验？每次实验有几个可能的结果？
4次试验
2个可能结果：投中和没投中
2.如果将每次实验的两个可能的结果分别称为“ 成功” 功的概率是多少？它们相同吗？
（投中）和“ 失败” （没投中），那么，每次实验成
每次实验成功的概率都是相同的，都为0.8
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称x服从参
数为n,p的二项分布。简记为
x～(n,p)
试验成功的概率
k n
实验失败的概率
k n k
P( X k ) C p (1 p)
（其中k= 0，1，2，· · · ，n ）
试验成功的次数 实验总次数
与二项式定理有联系吗？
例1. 下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布，
A1 A2 A3 A4
3 每种情况的概率都为： 0.81 （1 0.8）
3 P ( X 1) 4 0.81 （1 0.8）
1 3 =C1 0.8 （ 1 0.8 ） 4
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
分析：包含C2种情况 4
2 2 0.8 （ 1 0.8 ） 每种情况的概率都为：