利率期限结构模型

一般选用如下形式的多项式样条函数：
D1 ( s) a1 b1s c1s 2 d1s 3 2 3 D2 ( s) a2 b2 s c2 s d 2 s D( s ) 2 3 D3 ( s ) a3 b3 s c3 s d3 s ...........
ˆ 标准布朗运动。 W ,W
(t , T ) 瞬间远期利率 f (t , T ) 的波动。有：
(t , T ) T
(t , T )
V (t , ) 贴现债券利率 R(t , ) 的波动。
Bi (n, T ) 重组树中，在第i种状态下，剩余到期期限为T的贴现债券在时间 n的均衡价格。注意，与 B(t , T ) 的定义不同，此处T表示的是剩 余到期期限，而非到期日。
Vasicek模型（Vasicek，1977）
均衡模型 CIR模型（Cox、Ingersoll&Ross，1985） Ho-Lee模型（Ho&Lee，1986） 套利模型 Hull-White模型（Hull&White，1990） HJM模型（Heath, Jarrow&Morton，1992）
动态模型
ˆ * arg min

j j 2 ˆ ( P P t t) j 1
n
ˆ j 是从模型 其中，P t
ˆ j F ( j ) f (s t; ) P t s
或模型
s
s
ˆ j F ( j ) exp[( s t ) g ( s t; )] P t s
利率期限结构的概念
利率（interest rate）是经济和金融领域的一个核心变量，它实 质上是资金的价格，反映了资金的供求关系。 利率期限结构（term structure of interest rates），又称收益率 曲线（yield curve），是指在相同风险水平下，利率与到期期限 之间的关系，或者说是理论上的零息债券利率曲线。
wj
1/ Dur
1/ Durj
jBaidu Nhomakorabea
而将参数
j n ˆ j )2 的估计过程定义为： t P t ˆ * arg min w2 ( P j j 1
n
多项式样条法
多项式样条函数假设折现因子是到期期限s的多项式 分段连续函数 D( s) 。 在运用此函数时，仔细选择多项式的阶数是至关重要 的。阶数的多少决定了利率曲线的平滑程度和拟合程 度，同时也影响到待估参数的数量。本书将多项式样 条函数的阶数定为3。这是因为，当多项式样条函数 (2) 为二阶时，D( s) 的二阶导数 D (s)是离散的；当阶数过 高（四阶或五阶）时，验证三阶或四阶导数是否连续 的难度将增大，待估参数的数量也将增大。
同样，指数样条法也必须满足如下约束条件：
D(0) 1 D (T ) D (T ) i 1 i i i 1 1 D ( T ) D i 1 (Ti ) i i D 2 (T ) D 2 (T ) i i 1 i i
其中，D(1) (Ti ), D(2) (Ti )分别为D(Ti ) 的一阶导数和二阶导数。 选择样条函数的分段数量和取样条分界点在指数样条法中也同样 十分重要，其方法可以参见多项式样条法。并且，指数样条模型 也容易导致远期利率曲线不稳定。不同于多项式样条法的是，其 参数估计必须采用非线性最优化。
s [0, T1 ] s [T1 , T2 ] s [T2 , T3 ]
模型中，除了 ai , bi , ci , di 外， u也是一个参数，并且有明显的经济含 义。Vasicek and Fong (1982)证明了如下等式：
u lim f (0, s )
s
即，u可以被认为是当前的起息日为未来无限远时的瞬间远期利率。
s 0,5 s 5,10
s 10,30
指数样条法
指数样条函数是Vasicek and Fong (1982)提出的。与在多项式样条函数 部分所述的原因相同，也采用三阶指数形式样条函数，其形式为：
D1 ( s ) a1 b1e us c1e 2us d1e 3us us 2 us 3us D2 ( s ) a2 b2e c2e d 2e D( s ) us 2 us 3us D3 ( s ) a3 b3e c3e d3e ...........
利率期限结构模型
多项式样条法（McCulloch，1971，1975） 样条函数模型 静态模型 指数样条法（Vasicek&Fong，1982） B样条法,（Steeley，1991） Nelson-Siegel模型（Nelsen &Siegel，1987） 节约型模型 Svensson扩展模型（Svensson，1994）
常见的利率期限结构有以下四种：
B(t , t ) 贴现因子曲线（discount factor curve）：
零息票收益曲线（zero-coupon yield curve）， ˆ (t, ) ； （常用）： R(t , ) 或 R
；
远期利率曲线（forward rates curve）： T F (t , s, T s) 瞬时远期利率期限结构（instantaneous forward term structure），（常用）：s f (t , s) 。
其中，函数必须满足以下的7个约束条件：
(i ) D0 (5) D5( i ) (5) i i D5 (10) D10 (10) i 0,1, 2 D (0) 1 0
从而，我们可以将互相独立的参数缩减到5个：
D0 ( s) 1 b1s c1s 2 d1s 3 3 3 D5 ( s) 1 b1s c1s 2 d1 s 3 s 5 d 2 s - 5 D( s ) 3 2 s 3 s 5 D10 ( s ) 1 b1s c1s d1 3 3 3 d 2 s - 5 s 10 d3 s -10
f (t , s)
在时间t计算的，起息日为时间s的瞬时远期利率。有：
f (t , s ) lim F (t , s, T s )
T s 0
f (t , s )
ln B (t , s ) s
rt
即期利率，时间t计算的，剩余到期期限无限小时的零息票债 券的连续符合内部收益率。有：
其中， f (0, ) 表示即期计算的，在未来时间 时发生的瞬间远期利 率。 0 , 1 , 2以及1 均为待估参数。利用
rt lim R (t , )
0
rt
ln B(t , T ) |T t T
Rt 起息日为时间t，剩余到期期限为 t 年的连续复合利率。有：
Rt R(t ,t )
(t , T ) 贴现债券价格 B(t , T ) 在时间t的预期瞬间收益。
(t , T ) 贴现债券价格 B(t , T ) 在时间t的瞬时波动。
s [0, T1 ] s [T1 , T2 ] s [T2 , T3 ]
注意，对于即期贴现率函数 D( s ) 来说，显然有 D(0) 1 。另外，为 了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡，必须保证贴现函 数在整个定义域内连续且一、二阶可导，还需要满足如下约束条件：
Di (Ti ) Di 1 (Ti ) 1 1 Di (Ti ) Di 1 (Ti ) 2 2 Di (Ti ) Di 1 (Ti )

R(t , ) 起息日为时间t，剩余到期期限为
年的连续复合利率。有：
B(t , t ) exp[ R(t , )]
F (t , s, T s) 在时间t计算的，起息日为时间s，剩余到期期限为T-s的远
期利率。有：
B f (t , s, T ) B(t , T ) exp[(T s) F (t , s, T s)] B(t , s)
ˆ j F ( j ) f (s t; ) P t s
s
于是，假想出贴现函数 B(t, s) f (s t; 1) 或零息票债券利率
R(t , s t ) g (s t; 2 )的具体形式，其中 和 为参数向量。然后 2 1 利用假想出的具体形式，来推导附息债券的理论价格，当推导出的 理论价格与给定的市场价格最为接近时，就可以估计出由 1 和 2 构成的参数向量，即：
静态利率期限结构模型
静态利率期限结构模型概述
静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础，构 造利率曲线函数，利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券 的市场价格，从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。 静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模 型，样条函数模型主要包括多项式样条法、指数样条法和B样条法， 节约型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其扩展模型。
推导出的附息债券理论价格。
显然，债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种，而由此带来 的结果是：以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券。 这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征，导致的结 果往往是收益率曲线在远端出现“过度拟合”（Over fitting）的情况， 而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况。 为了解决这一问题，应该对短期债券赋予较高的权重，而对长期 债券赋予较低的权重，从而允许长期债券存在较高的误差。在Bolder和 Streliski (1999)的论文中，设定了如下的权重系数：
利率期限结构模型
利率期限结构模型简介
利率期限结构相关符号表：
B(t , T ) :
在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格，即在未来时间T 支付单位1的债券在时间t的价格。
ˆ (t , ) 起息日为时间t，剩余到期期限为 年的零息票债券利率。有： R
B(t , t ) 1 ˆ (t , )] [1 R
0
Nelson-Siegel模型及其扩展形式
Nelson-Siegel模型可以由一个公式来说明，该公式的形式与那些描述 动态利率的普通微分方程的解的表达式十分类似。该公式为：
f (0, ) 0 1 exp( ) 2 exp( ) 1 1 1
通常，使用静态模型拟合利率期限结构的具体过程如下：
首先，从市场上选出一组无违约风险的附息债券。设该组附息债券在时 s t ，j表示 间t的市场价格为 Pt j ，在时间s的现金流入为 Fs( j )，其中， 该组的第j支债券。 由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系，因此必须 先调整“息票效应”（Coupon Effect）。息票效应是指：对于剩余到 期期限相同的债券来说，它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构 有关，还与它们的票面利率水平有关。对于相同的即期利率期限结构而 言，到期收益率是这些即期利率的加权平均，而权重是各个现金流的现 值。
(1) (2) 其中 D (Ti ), D (Ti )分别为D(Ti ) 的一阶导数和二阶导数。
例如，考虑30年期的贴现率函数，可以用三次多项式分段 拟合如下：
D0 ( s) a1 b1s c1s 2 d1s 3 D( s) D5 ( s) a2 b2 s c2 s 2 d 2 s 3 2 3 D ( s ) a b s c s d s 3 3 3 3 10 s [0, 5] s [5,10] s [10,30]