随机事件与概率
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.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
.
三 事件之间的关系与计算
1 .包 含 关 系 ： 若 事 件 B 发 生 必 然 导 致 事 件 A 发 生 则 称 事 件 A 包 含 B , 记 作 A B 或 B A .
B发生A发生
2 . 相 等 关 系 ： 若 事 件 A 所 包 含 的 基 本 事 件 与 事 件 B 所 包 含 的 基 本 事 件 完 全 相 同 , 记 作 A = B .
.
§4.1 随机事件
一、随机事件的概念 二、样本空间与事件 三、事件间的关系和运算
.
随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称
为随机试验. a 可以在相同的条件下重复地进行——重复
性； b 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
先明确试验的所有可能结果——确定性； c 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现——随机性。
.
说明 (1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. (2) 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”. 分析
a 试验可以在相同的条件下重复地进行;
.
二、样本空间与事件
样本点ω 试验每一个基本事件
样本空间
试验全部基本事件
Ω={样本点的全体}
事件
样本空间的子集 或 样本点的某个集 合
事件发生该集合中某个样本点出现
Hale Waihona Puke Baidu
.
例2：样本空间 样本空间
1：掷一颗骰子的试验。
{1, 2, 3, 4, 5, 6} Ai {i}, i 1, 2,L , 6 A {1, 3, 5}
.
b 试验的所有可能结果: 正面、反面;
c 进行一次试验之前不能确 定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验.
(1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.
.
(3) 记录某公共汽车站 某时刻的等车人数.
(4) 考察某地区 10 月 份的平均气温.
.
一、随机事件的概念
试验的每一种可能的结果称为事件. 在一次试验中可 能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称为事 件，用大写拉丁字母A，B，C 等来表示.
基本事件：一个试验中所有可能出现的基本结果，最 简单的随机事件.
必然事件：每次试验中一定出现的事件，用符号 来
表示. 不可能事件：每次试验中一定不出现的事件，用符
第四章 随机事件与概率
.
随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
(1) 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳从东边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
.
确定性现象的特征
条件完全决定结果
(2) 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
A与B等价
.
3 . 互 斥 关 系 ： 若 事 件 A 与 B 不 可 能 同 时 发 生 ， 则 称 事 件 A 与 B 互 斥 ， 或 称 事 件 A 与 B 互 不 相 容 . AB
A、B不能同 时发生
.
事件之间的运算
1 .和 事 件 ： 事 件 A 与 B 中 至 少 有 一 个 事 件 发 生 ， 则 称 事 件 A 发 生 或 事 件 B 发 生 ， 记 作 A + B
基本事件 含三个样本点的集合
2：已知某批产品中有1、2、3等品及不合格品， 从中任取一件观察其等级。
若记 i =“取得i等品” ， 0 = “取得不合格品”
{0,1,2,3}
.
3：观察某商场某日开门半小时后场内到达的 顾客数。
{0,1,2,3,}
4：讨论某地区气温。
(, )o r [a ,b ]
且仅当事件 A3 , A 6 这两个基本事件中有一个发生。
2.试验E中，“点数大于0”是必然事件，“点数大于7” 不可能事件。
.
必然事件和不可能事件是每次试验之前都可 以准确预言的，其结果不是随机事件。但为 了讨论问题的方便，我们把它们看成是特殊 的随机事件，作为随机事件的两个极端情况。
事件是相对于一定的试验而言的，如果试验 的条件变化了，事件的性质也将可能发生变 化.
号 来表示.
.
例1 设试验E为掷一颗骰子，观察其出现的点数，在这 个试验中，记事件 A =n “n点”，n=1，2，3，4，5，
6。 显然A1，, A2,L , A6都是基本事件。 除此之外，记
A=“奇数点”，B=“被三整除的点”，则A，B也 都是随机事件。 1.事件A由 A1, A3, A5 这三个基本事件组成；事件B发生当
.
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品.
实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
其结果可能为: 正品 、次品.
.
实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.
实例7 明天的天气可
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
.
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
称为随机现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
.
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
结果有可能为:
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
.
5：一口袋中装有2只红球、3只白球。从中任 取2球，不计顺序，观察其结果。
若记红球为 a 1 , a，2
白球为 b1 , b2 , b3 ，则
{a (1,a2)(,a1,b1)(,a1,b2)(,a1,b3), (a2,b1)(,a2,b2)(,a2,b3), (b1,b2)(,b1,b3)(,b2,b3)}
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
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三 事件之间的关系与计算
1 .包 含 关 系 ： 若 事 件 B 发 生 必 然 导 致 事 件 A 发 生 则 称 事 件 A 包 含 B , 记 作 A B 或 B A .
B发生A发生
2 . 相 等 关 系 ： 若 事 件 A 所 包 含 的 基 本 事 件 与 事 件 B 所 包 含 的 基 本 事 件 完 全 相 同 , 记 作 A = B .
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§4.1 随机事件
一、随机事件的概念 二、样本空间与事件 三、事件间的关系和运算
.
随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称
为随机试验. a 可以在相同的条件下重复地进行——重复
性； b 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
先明确试验的所有可能结果——确定性； c 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现——随机性。
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说明 (1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. (2) 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”. 分析
a 试验可以在相同的条件下重复地进行;
.
二、样本空间与事件
样本点ω 试验每一个基本事件
样本空间
试验全部基本事件
Ω={样本点的全体}
事件
样本空间的子集 或 样本点的某个集 合
事件发生该集合中某个样本点出现
Hale Waihona Puke Baidu
.
例2：样本空间 样本空间
1：掷一颗骰子的试验。
{1, 2, 3, 4, 5, 6} Ai {i}, i 1, 2,L , 6 A {1, 3, 5}
.
b 试验的所有可能结果: 正面、反面;
c 进行一次试验之前不能确 定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验.
(1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.
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(3) 记录某公共汽车站 某时刻的等车人数.
(4) 考察某地区 10 月 份的平均气温.
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一、随机事件的概念
试验的每一种可能的结果称为事件. 在一次试验中可 能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称为事 件，用大写拉丁字母A，B，C 等来表示.
基本事件：一个试验中所有可能出现的基本结果，最 简单的随机事件.
必然事件：每次试验中一定出现的事件，用符号 来
表示. 不可能事件：每次试验中一定不出现的事件，用符
第四章 随机事件与概率
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随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
(1) 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳从东边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
.
确定性现象的特征
条件完全决定结果
(2) 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
A与B等价
.
3 . 互 斥 关 系 ： 若 事 件 A 与 B 不 可 能 同 时 发 生 ， 则 称 事 件 A 与 B 互 斥 ， 或 称 事 件 A 与 B 互 不 相 容 . AB
A、B不能同 时发生
.
事件之间的运算
1 .和 事 件 ： 事 件 A 与 B 中 至 少 有 一 个 事 件 发 生 ， 则 称 事 件 A 发 生 或 事 件 B 发 生 ， 记 作 A + B
基本事件 含三个样本点的集合
2：已知某批产品中有1、2、3等品及不合格品， 从中任取一件观察其等级。
若记 i =“取得i等品” ， 0 = “取得不合格品”
{0,1,2,3}
.
3：观察某商场某日开门半小时后场内到达的 顾客数。
{0,1,2,3,}
4：讨论某地区气温。
(, )o r [a ,b ]
且仅当事件 A3 , A 6 这两个基本事件中有一个发生。
2.试验E中，“点数大于0”是必然事件，“点数大于7” 不可能事件。
.
必然事件和不可能事件是每次试验之前都可 以准确预言的，其结果不是随机事件。但为 了讨论问题的方便，我们把它们看成是特殊 的随机事件，作为随机事件的两个极端情况。
事件是相对于一定的试验而言的，如果试验 的条件变化了，事件的性质也将可能发生变 化.
号 来表示.
.
例1 设试验E为掷一颗骰子，观察其出现的点数，在这 个试验中，记事件 A =n “n点”，n=1，2，3，4，5，
6。 显然A1，, A2,L , A6都是基本事件。 除此之外，记
A=“奇数点”，B=“被三整除的点”，则A，B也 都是随机事件。 1.事件A由 A1, A3, A5 这三个基本事件组成；事件B发生当
.
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品.
实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
其结果可能为: 正品 、次品.
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实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.
实例7 明天的天气可
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
.
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
称为随机现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
.
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
结果有可能为:
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
.
5：一口袋中装有2只红球、3只白球。从中任 取2球，不计顺序，观察其结果。
若记红球为 a 1 , a，2
白球为 b1 , b2 , b3 ，则
{a (1,a2)(,a1,b1)(,a1,b2)(,a1,b3), (a2,b1)(,a2,b2)(,a2,b3), (b1,b2)(,b1,b3)(,b2,b3)}