第五讲平面上取点线平面的辅助投影;线面相对位置
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AB、AD两条边的水平投影ab和ad，补全该面的水平投影。
c
b
k
分析：ABCD 既然是平面，
d
则它的对角线必相交。
作图：
a
1）连接a′、c′和b′、d′，得交点k′；
a
b
k
c
d 2）连接b、d，在bd上求
出k，并连接a、k；
3）在ak上求出c，连接b、c 和d、c，即得该平面的水平
投影；
例 完成平面的水平投影
一、直线与平面相交
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
三、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
kb
二、平面与平面平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应 平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平 面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
例题3 例题4 例题5
一、直线与平面平行
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
a'
d'
b' c'
a1(b1)
d1
a
b
c
d
c1
三、线面相对位置
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性 ）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
二、平面的辅助投影
三个基本问题
（一） 把一般位置平面变为投影面垂直面 （二） 把投影面垂直面变为投影面平行面 （三） 把一般位置平面变为投影面平行面
（一） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d c
[例题] 求点S到平面ABC的距离
k1 s1
距离
[例题] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
即：找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1 已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
b
k●
c
a
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
例2 已知M点在平面EFG上，求M点的水平投
影。
f h
m
●
g
e
f
h
●
e
m
通过在面内作
辅助线求解
g
例3 如图所示，已知一般位置平面ABCD的正面投影和
[选讲]
d
N
e
d
（二） 把投影面垂直面变为投影面平行面c1源自V1a1 b1X1
c1 b1
a1
（三） 把一般位置平面变为投影面平行面
b2
a2
实形
d2
c2
d
d
[例题] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
[例题] 求平面ＡＢＣ与平面ＡＢＤ的夹角。
m
c
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
判断直线的可见性
b n
a
k
m
c
n a
kb
m c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别其可见性。
k' 1' (2')
2 k1
四、一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。 一般位置平面与特殊位置平面相交 判断平面的可见性
试在平面内任作一条直线。
解法一 （利用方法一）
m a
b n c
解法二 （利用方法二）
d b
c a
m a
b nc
b d
a
c
有无数个解。
例2 在平面ABC 内作一条水平线，使其到 H 面的距离为20mm。
a
m
n
20
b
b
m a
c
c 问题：本题有几个解？
n
结论：唯一解！
(2)平面上取点
面上取点的方法——定点先定线
骤和方法。
直线与平面平行,平面与平面平行
一、直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该 平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知 平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例题1 例题2
s r
n m
s
r
结论：两平面平行
[例题4] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面 平行于已知平面 。
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
[例题5] 试判断两平面是否平行。 结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
直线与平面的交点、两平 面的交线
一、直线与平面相交只有一个交点 二、两平面的交线是直线 三、特殊位置线面相交 四、一般位置平面与特殊位置平面相交 五、直线与一般位置平面相交 六、两一般位置平面相交
M
P
B
m C
c PH
K
F N k
fb n
AL
a l
b
m k
c
f
l
a n
m kb a
f
l
c
n
判断平面的可见性
结果
判断平面的可见性
直线与平面垂直、两平面垂直
一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10
二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题13
直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面 相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步
[例题1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例题2] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
f
b
a
a
b f
二、两平面平行
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
[例题3 ] 试判断两平面是否平行
n m
第五讲基本内容:
一、平面上的点和直线 二、平面的辅助投影 三、线面相对位置
一、平面上的点和直线 (1)平面上取任意直线
如何判断直线在平面内？
方法一： 若一直线通过平面上的两点， 则此直线必在该平面内。
方法二： 若一直线通过平面上的一点，且 平行于该平面上的另一直线， 则此直 线在该平面内。
例1 已知平面由相交的两直线AB、AC 所确定，
c
b
k
分析：ABCD 既然是平面，
d
则它的对角线必相交。
作图：
a
1）连接a′、c′和b′、d′，得交点k′；
a
b
k
c
d 2）连接b、d，在bd上求
出k，并连接a、k；
3）在ak上求出c，连接b、c 和d、c，即得该平面的水平
投影；
例 完成平面的水平投影
一、直线与平面相交
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
三、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
kb
二、平面与平面平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应 平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平 面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
例题3 例题4 例题5
一、直线与平面平行
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
a'
d'
b' c'
a1(b1)
d1
a
b
c
d
c1
三、线面相对位置
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性 ）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
二、平面的辅助投影
三个基本问题
（一） 把一般位置平面变为投影面垂直面 （二） 把投影面垂直面变为投影面平行面 （三） 把一般位置平面变为投影面平行面
（一） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b
a
d
b1
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V
D
X
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a1
a
b d
c1
c
d c
[例题] 求点S到平面ABC的距离
k1 s1
距离
[例题] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
即：找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1 已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
b
k●
c
a
a
●
k
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c
利用平面的积聚性求解
例2 已知M点在平面EFG上，求M点的水平投
影。
f h
m
●
g
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m
通过在面内作
辅助线求解
g
例3 如图所示，已知一般位置平面ABCD的正面投影和
[选讲]
d
N
e
d
（二） 把投影面垂直面变为投影面平行面c1源自V1a1 b1X1
c1 b1
a1
（三） 把一般位置平面变为投影面平行面
b2
a2
实形
d2
c2
d
d
[例题] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
[例题] 求平面ＡＢＣ与平面ＡＢＤ的夹角。
m
c
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
判断直线的可见性
b n
a
k
m
c
n a
kb
m c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别其可见性。
k' 1' (2')
2 k1
四、一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。 一般位置平面与特殊位置平面相交 判断平面的可见性
试在平面内任作一条直线。
解法一 （利用方法一）
m a
b n c
解法二 （利用方法二）
d b
c a
m a
b nc
b d
a
c
有无数个解。
例2 在平面ABC 内作一条水平线，使其到 H 面的距离为20mm。
a
m
n
20
b
b
m a
c
c 问题：本题有几个解？
n
结论：唯一解！
(2)平面上取点
面上取点的方法——定点先定线
骤和方法。
直线与平面平行,平面与平面平行
一、直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该 平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知 平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例题1 例题2
s r
n m
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结论：两平面平行
[例题4] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面 平行于已知平面 。
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[例题5] 试判断两平面是否平行。 结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
直线与平面的交点、两平 面的交线
一、直线与平面相交只有一个交点 二、两平面的交线是直线 三、特殊位置线面相交 四、一般位置平面与特殊位置平面相交 五、直线与一般位置平面相交 六、两一般位置平面相交
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判断平面的可见性
结果
判断平面的可见性
直线与平面垂直、两平面垂直
一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10
二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题13
直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面 相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步
[例题1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例题2] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
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二、两平面平行
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
[例题3 ] 试判断两平面是否平行
n m
第五讲基本内容:
一、平面上的点和直线 二、平面的辅助投影 三、线面相对位置
一、平面上的点和直线 (1)平面上取任意直线
如何判断直线在平面内？
方法一： 若一直线通过平面上的两点， 则此直线必在该平面内。
方法二： 若一直线通过平面上的一点，且 平行于该平面上的另一直线， 则此直 线在该平面内。
例1 已知平面由相交的两直线AB、AC 所确定，