矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
在矩阵的运算中，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，具有很多重要的性质和应用。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法及其应用。
特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个n维非零向量X，使得AX=λX，其中λ为一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的计算方法求解矩阵的特征值与特征向量的计算方法主要有两种：特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，记为I_n。
（2）定义特征多项式为f(λ)=|A-λI_n|，其中|A-λI_n|表示A-λI_n的行列式。
（3）求解f(λ)=0的根，即为矩阵A的特征值。
（4）将特征值代入方程(A-λI_n)X=0，求解Ax=λX，即可得到矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
2. 迭代法迭代法是求解特征值与特征向量的一种数值方法。
它通过不断迭代矩阵的幂，逐渐逼近特征值与特征向量。
具体步骤如下：（1）选择一个任意的非零向量X_0作为初始向量。
（2）计算矩阵A与初始向量X_0的乘积AX_0。
（3）根据公式X_1=AX_0/|AX_0|，其中|AX_0|表示AX_0的模长。
（4）重复上述步骤，计算X_2=AX_1/|AX_1|，X_3=AX_2/|AX_2|，直到收敛。
（5）当向量X_k满足|AX_k-AX_{k-1}|<ε时，停止迭代，其中ε为预先设定的误差限。
特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的价值，下面将介绍其在不同领域的应用。
1. 物理学中的应用在量子力学和固体物理学中，特征值和特征向量描述了问题的能量和波函数。
通过求解薛定谔方程，可以得到物质的特征值与特征向量，从而研究其电子能级和波函数分布。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量一、定义与性质：1.特征值：设A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个非零列向量X使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
2.重要性质：(1)特征值与特征向量是一一对应的，即一个特征值对应一个特征向量，特征向量的倍数仍为特征向量。
(2) 设λ1，λ2，...，λn是A的n个特征值，则A的特征值的和等于A的主对角线元素之和，即λ1+λ2+...+λn=ΣAii(i=1,2,...,n)。
(3)A的特征值的积等于A的行列式值，即λ1λ2...λn=，A。
二、计算方法：1.方程法：设λ是A的一个特征值，则有，A-λE，=0，其中E是n阶单位矩阵。
将，A-λE，=0展开，可以得到一个n次的多项式，称为特征多项式。
解特征多项式，即可求得特征值。
2.特征向量法：对于方程A-λE=0，将其变形为(A-λE)X=0，其中X是一个n维列向量。
求解(A-λE)X=0可以得到特征向量。
三、应用：1.物理学中的应用：(1)量子力学中的量子态演化过程可以表示为一个特征值问题，特征值对应着能量，特征向量对应着量子态。
(2)电力系统中的节点电压和电流可以用矩阵的特征值和特征向量求解，用于电网稳定性的分析。
2.经济学中的应用：(1)马尔可夫过程中的平稳分布可通过马尔科夫矩阵的特征值和特征向量求解。
(2)输入输出模型中，矩阵表示产出与投入之间的关系，通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以得到经济系统的稳定性和发展趋势。
3.图像处理中的应用：(1)图像压缩算法中，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行信息提取和图像压缩。
(2)图像识别中，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量，进行目标物体的特征提取和分类。
总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它们的计算方法可以通过特征多项式和特征向量方程进行求解。
在物理学、经济学和图像处理等领域都有着重要的应用，可以对实际问题进行分析和求解。
矩阵的特征值与特征向量
i 1 n
性质7 f ( x )为x的多项式，则 f ( A) 的特征值为 f ( ).
进一步，1，2， ，n为n阶方阵A的全部特征值， Page 18
则f (1 )，f (2 )， ，f (n )是f ( A)的全部特征值。
性质8 矩阵 A 和 AT 的特征值相同。 例4 若矩阵A满足A2 A，证明：A的特征值只 能为0或1。 证明： 设0为A的任意特征值，则存在X 0 0，
所以-1，- 2， ，-n是2 E A的特征值,
| 2 E A | 1 2 ... n 1 n!
n
Page 20
a11 a21 f (0) bn a n1
a12 a1n a22 a2 n ( 1)n A 。） an 2 ann
Page 17
性质6 若A的特征值为1，2， ,n，则 （1）A 1 2 n ; （2）1 2 n a11 a22 ann .
2 2 而 A A A A 0， 使得AX 0 0 X 0，
于是( A2 A) X 0 0 X 0 A2 X 0 AX 0 0 X 0 0 X 0 0 ( 0 ) X 0 0
2 0 2 0
由于X 0 0，可知02 0 0 0 0或1。
下面用例子说明它们可以不具有相同的特征向量。
1 1 1 0 T 让 A= , 则A , 0 1 1 1
Page 15
A与AT 具有相同的特征值 1(二重).
1 但A的所有特征向量为c , c 0, 0 0 T 而A 的所有特征向量为c ，c 0. 1
矩阵特征值与特征向量
a11 f (0) bn a21
a12 a22
a1n a2n (1)n A 。
an1 an2
ann
24
若A的特征值为1，2， ,n，则 （1） A 12 n; （2）1 2 n a11 a22 ann .
证明：A的特征多项式f()= E-A
n b1 n1 bn1 bn
26
例 设A为n阶方阵,n个特征值为3,4,…,n+2, 求行列式|A-2I|.
解 : 若0是A的特征值, x为相应的特征向量.
则 (A-2I)x =Ax-2Ix 0 x 2x 0 2 x
故0 2是A 2I的特征值
所以1,2,…,n是A-2I的特征值
|A-2I| 1 2 ... n =n!
由特征值和特征向量的性质4，5。得到求n阶
矩阵A的特征值和特征向量的一般程序：
(1) 计算特征多项式 E A ；
(2) 求出 E A 0的全部根，得A的
全部特征值1 , 2 , , n；
(3)
对于每个不同的特征值
，求出齐
j
次线性方程组 j E A X 0的一个基础解
系X1, X2 ,
证明：矩阵A的特征多项式
E A ( E A)T E AT 。
这就得到A与AT具有相同的特征多项式 从而也就有相同的特征值。 下面用例子说明可以不具有相同的特征向量。
20
让
A=
1 0
1 1
,
则AT
1 1
0
1
,
A与AT 具有相同的特征值 1(二重).
但A的所有特征向量为c
1 0
性质1
若X1 ,
X
是A的属于同一个特征值
2
0的特征向量，且X1 X2 0，则X1 X2
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，其特征值和特征向量也是矩阵理论中的核心内容。
本文将全面介绍矩阵的特征值和特征向量，包括定义、性质、求解方法以及应用等方面，为读者深入理解和应用矩阵的特征值和特征向量提供帮助。
一、特征值和特征向量的定义矩阵A是由m×n个数构成的矩形数表，其特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是矩阵A的特征值，而非零向量x称为A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的定义说明了矩阵在线性变换下的不变性。
特征向量表示了矩阵在该线性变换下的一个不变方向，而特征值则表示了该方向上的伸缩倍数。
二、特征值和特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。
对于n阶矩阵A，其特征值λ1, λ2, …, λn满足λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)，λ1 × λ2 × … × λn = |A|。
2. n阶方阵的特征向量个数不超过n，且特征向量线性无关。
3. 若λ是方阵A的特征值，则对于任意非零常数c，cλ也是A的特征值。
4. 若λ是方阵A的特征值，且x是A对应于λ的特征向量，则对于任意正整数k，λ^k是A^k的特征值，x是A^k对应于特征值λ^k的特征向量。
三、特征值和特征向量的求解方法求解特征值和特征向量是矩阵理论中一个重要的问题。
下面介绍两种常用的求解方法：1. 特征方程法：设A是一个n阶矩阵，λ是其特征值，x是对应于λ的特征向量，那么Ax = λx可以变形为(A - λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵。
由于x是非零向量，所以矩阵(A - λI)的行列式必须为零，即|A - λI| = 0，这样就可以得到特征值λ的值。
然后，通过解(A - λI)x = 0可以求得特征向量x。
2. 幂迭代法：这是一种迭代法的方法，通过矩阵的幂次迭代来逼近特征向量。
矩阵的特征值与特征向量
§2.5 矩阵的特征值与特征向量定义1 在A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如果方程Ax =λx （1）存在非零解向量，则称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量x 称为与特征值λ对应的特征向量.将(1)式改写为(λE -A )x = 0即n 元齐次线性方程组)3(.0,0)(,0)(221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−−−=−−−−−=−−−−n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x aλλ此方程组存在非零解的充分必要条件为系数行列式等定义2设A 为n 阶矩阵，含有未知量λ的矩阵λE -A 称为A 的特征矩阵，其行列式|λE -A |是A 的n 次多项式，称为A 的特征多项式，|λE -A |=0称为A 的特征方程.λ是矩阵A 的一个特征值，则一定是|λE -A |=0的根，因此又称为特征根.若λ是|λE -A |=0的ni 重根，则λ称为A 的ni 重特征值.方程(λE -A )x = 0的每一个非零向量，都是相应于λ的特征向量.例1求矩阵的特征值和特征向量.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=201034011A 得特征根为解方阵A 的特征方程为0)2()1(2=−−=−λλλA E 1232,1λλλ===（二重）.于是ξ1=(0,0,1)T 为方阵的对应于特征值λ1=2的一个特征向量，而方阵的对应于特征值λ1=2的全部特征向量为k 1 ξ1 ，这里k 1为任意非零常数.解线性方程组,0)(1=−x A E λ即,000001014013321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−x x x 得基础解系.1001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξ于是方阵A 的对应于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量为k 2 ξ2 ，这里k 2为任意非零常数.解线性方程组,0)(2=−x A E λ即,000101024012321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−x x x 得基础解系.1212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=ξ例2求矩阵的特征值和特征向量.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−=163053064A 解A 的特征多项式为所以A 的特征值为当λ1=2时，解线性方程组(λ1E -A )x = 0即,0)1)(2(1630530642=−+=−+−−=−λλλλλλA E .1,2321==−=λλλ,0003306621⎪⎪⎪⎫⎛=⎪⎪⎪⎫ ⎛⎪⎪⎪⎫ ⎛−−x x得基础解系ξ1=(-1,1,1)T ，所以A 的对应于特征值λ1=-2的全部特征向量为k 1 ξ1 ，这里k 1为任意非零常数.当λ2=λ3=1时，解线性方程组(λ2E -A )x = 0即,000063063063321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−x x x 得基础解系23201,0,01ξξ−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是方阵A 的对应于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量为k 2 ξ2+k 3 ξ3 ，这里k ,k 为任意不同时为0的常数.例3证明：n 阶矩阵A 奇异的充分必要条件是A 有一个特征值为0.证必要性：如果A 是奇异矩阵，则|A|=0. 于是即0是A 的一个特征值.所以齐次线性方程组Ax = 0有非零解ξ. 由此可知|A |=0，即A 为奇异矩阵.这个结论也可以表述为，n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是它的任一特征值不为0.定理4.3n 阶矩阵A 与它的转置矩阵A T 有相同的特征值.,0)1(0=−=−=−A A A E n 充分性：设A 有一个特征值为0，对应的特征向量为ξ. 由特征值的定义，有)0(00≠==ξξξA 证由(λE -A )T =λE -A T 有AE A E A E T T −=−=−λλλ)(证用数学归纳法证明.当m=1时，由于特征向量不能是零向量，因此定理成立.设A 的m-1个互不相同的特征值λ1, λ2,…,λm -1, 其对应的特征向量x 1, x 2,…,x m-1线性无关.现证明对m 个互不相同的特征值λ1, λ2,…,λm ，其对应的特征向量x 1, x 2,…,x m 线性无关.定理4.4 n 阶矩阵A 互不相同的特征值λ1, λ2,…,λm ,对应的特征向量x 1, x 2,…,x m 线性无关.又因x m 为非零向量，所以k m =0. 由(4)式乘以λm 减去(5)式，得,0)()()(111222111=−++−+−−−−m m m m m m x k x k x k λλλλλλ 由归纳假设法，x 1, x 2,…,x m -1线性无关，于是)1,,2,1(0)(−==−m i k i m i λλ于是(4)式化为k m x m =0因为所以),1,,2,1(−=≠m i i m λλk 1 =k 2 = … =k m-1 = 0.因此，x 1, x 2,…,x m 线性无关.设有)4(,0112211=++++−−m m m m x k x k x k x k 以矩阵A 乘(4)式两端，注意到Ax i =λx i ，得)5(,0111222111=++++−−−m m m m m m x k x k x k x k λλλλ例4 设λ为A 的特征值，则λ2为A 2的特征值；若矩阵A 满足A 2=A （这时称A 的幂等矩阵），则A 的特征值只能是0或者1.证设λ为A 的特征值，x 是A 的对应于λ的特征向量，于是，且有A x =λx.所以λ2是A 2的特征值，由已知条件λ2x =λx ，即(λ2 -λ)x=0.0≠x 又因为,)()()(22x Ax x A Ax A x A λλλ====因为，所以必有λ2 -λ=0，即λ=0或者λ=1.0≠x。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域均有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，特征值与特征向量是一个不可或缺的概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，探讨它们在矩阵理论和实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个非零向量 X 和一个实数λ，使得Ax = λX 成立，则称λ 为矩阵 A 的特征值，X 称为特征值λ 对应的特征向量。
2. 计算特征值与特征向量为了计算特征值与特征向量，我们可以使用特征值方程 det(A-λI) = 0。
其中，det() 表示矩阵的行列式，A 是待求特征值与特征向量的矩阵，I 是单位矩阵，λ 是未知数。
解特征值方程得到的λ 值即为矩阵的特征值。
3. 求解特征向量在得到特征值λ 后，我们可以通过代入特征值到方程 (A-λI)X = 0 中，求解出对应的特征向量 X。
需要注意的是，特征向量并不唯一，可以乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有以下重要性质：- 矩阵 A 的特征值的个数等于矩阵的阶数 n，包括重复的特征值。
- 所有特征值的和等于矩阵的迹（主对角线元素的和）。
- 矩阵 A 的特征向量构成的集合是线性无关的。
5. 矩阵的对角化与相似矩阵如果能找到一个可逆矩阵 P，使得 P^-1AP = D，其中 D 是对角矩阵，则称矩阵 A 是可对角化的。
对角矩阵 D 的对角线上的元素就是矩阵 A的特征值。
P 的列向量组成的矩阵就是 A 的特征向量矩阵。
6. 特征值与矩阵的性质关系矩阵的特征值与矩阵的性质之间存在一定的联系：- 如果矩阵 A 是奇异矩阵，则它的特征值中至少有一个为零。
- 如果矩阵 A 是对称矩阵，则它的特征值都为实数，并且相应的特征向量可以取为正交向量。
- 如果矩阵 A 是正定矩阵，则它的特征值都大于零。
7. 应用举例：主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的统计学方法，用于数据降维和特征提取。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的基本概念之一，它们在科学计算、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将对矩阵的特征值与特征向量进行详细的介绍。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零n维向量x，使得Ax与x线性相关，即满足下式：Ax = λx其中，λ为非零常数，称为矩阵A的特征值；而向量x称为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。
从定义中可以看出，特征向量并不唯一，一个特征值可以对应多个特征向量，且特征值和特征向量是成对存在的。
二、求解特征值与特征向量的方法求解一个矩阵的特征值与特征向量可以使用多种方法，其中比较常用的有特征值问题的特征多项式法和幂法。
1. 特征多项式法特征多项式法是一种较为直观的方法，其基本思想是通过解矩阵的特征方程来求解特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程可以表示为：|A-λI| = 0其中，I是n阶单位矩阵，λ是一个未知量。
解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值。
解特征方程得到特征值后，再带入Ax = λx中，可以求解对应的特征向量。
2. 幂法幂法是一种迭代的方法，通过不断迭代矩阵的幂次来逼近特征值和特征向量。
算法的基本思想是：(1)选择一个任意的非零向量x0；(2)计算x1 = Ax0；(3)计算x2 = Ax1；......(4)迭代到某一步，得到xk与x(k-1)之间的变化很小时，停止迭代。
在迭代过程中，向量x逐渐趋近于特征向量，而矩阵B = A^k中的最大特征值则逐渐趋近于特征值，因此可以通过幂法来估计特征值与特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有多个重要性质。
1. 特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n；（2）特征值的和等于矩阵的迹（即主对角线上元素之和）；（3）特征值的积等于矩阵的行列式；（4）特征值具有可交换性，即两个矩阵AB和BA具有相同的特征值。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵在数学和物理学中扮演着重要的角色，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量，v称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的求解是一个重要的矩阵问题。
2. 求解特征值与特征向量的方法求解特征值与特征向量的方法主要有两种：代数方法和几何方法。
代数方法：通过求解矩阵A的特征方程来确定特征值λ，然后通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解特征向量v。
其中I为单位矩阵。
几何方法：考虑矩阵A作用下的线性变换，特征向量表示在该变换下仅仅被拉伸而不改变方向的向量，特征值则表示该变换在相应方向上的拉伸倍数。
3. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：- 矩阵A的特征值的个数等于其维数。
- A的所有特征值的和等于其主对角线元素之和，即Tr(A)。
- A的所有特征值的乘积等于其行列式，即det(A)。
- 如果A是一个对称矩阵，则其特征向量构成一组正交基。
- 如果A是一个正定矩阵，则所有特征值大于零。
4. 特征值与特征向量在实际问题中的应用特征值与特征向量在许多实际问题中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：- 物理学：矩阵的特征值与特征向量在量子力学、振动理论、电路分析等领域中有重要应用。
- 数据分析：特征值与特征向量可用于降维、聚类以及图像处理等方面的数据分析。
- 工程科学：特征值与特征向量在结构动力学、控制系统等工程问题中有着广泛的应用。
总结：矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们不仅具有丰富的数学性质，而且在实际问题中有广泛的应用。
通过求解特征值与特征向量，我们可以深入理解矩阵所代表的线性变换的特性，并应用于解决各种实际问题。
了解并掌握特征值与特征向量的求解方法与应用将为我们在数学和科学领域的研究与应用提供有力的工具和思路。
矩阵的特征值及特征向量
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A
变成
，而可逆矩阵 称为进行这一变换的
相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解
解之得基础解系
求得基础解系
故 不能化为对角矩阵.
解之得基础解系
例2 A能否对角化？若能对角 解
解之得基础解系
所以 可对角化.
注意
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
四、小结
二、特征值和特征向量的性质
证明
则
即
类推之，有
ห้องสมุดไป่ตู้
把上列各式合写成矩阵形式，得
注意
１ . 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２ . 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３ . 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为
解
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
思考题
思考题解答
、 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
矩阵的特征值与特征向量
例 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意正整数 .
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
例设
2 A 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
AI 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程 A I x 0.由
~ 1 1 1
A
I
0
3
0
1 0 1
AAT 2I,det A 0,求A的一个特征值.
解 因为det A 0,故A可逆.由 det( A 3I ) 0知 3是A的一个特征值, 1 是A1的一个特征值. 3 又由 AAT 2I得 det( AAT ) det(2I ) 16,即
(det A)2 16,于是det A 4, 但 det A 0,因此det
1 . 1
故相应于1 2的全体特征向量为kp1 (k 0)
当 2 4时,由
3 4 1 x1 0,即 1 1 x1 0, 1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
解得x1
x2 ,所以对应的特征向量可取为p2
1
1
.
故相应于1 4的全体特征向量为kp2 (k 0)
的特征向量.
例 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = I), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = I .
矩阵的特征值与特征向量
1, 2, …, n), 则 P 可逆, 且 P-1AP=
1,
注: 对于实对称矩阵 A，一定有可逆阵 P，使 P－1AP为对角阵， P 的列向量为 A 的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为 A 的特征值，而且也一定有正交阵 Q，使 Q－1AQ 为对角阵. 当 A 的特征 值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向量单位化 ，即可求得正交阵 Q；当 A 有 k 重特征值时，这个k 重特征值 一定对应有 k 个线性无关的特征向量，用施密特正交化方法将其 化为两两正交的向量并单位化，就求出正交阵 Q 来了.
矩阵的特征值与特征向量
一. 特征值与特征向量的求法
1.利用定义求特征值与特征向量
注: 用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值. 为此， 首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根或 因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值. 求特征向 量 即求齐次方程组(A- E)X=0 的基础解系.
2.利用公式求特征值与特征向量
二.A 与对角阵相似的解题方法
注: 当矩阵有重特征值时，我们用定理“A 与对角阵相似的充 要条件为 r(A- iE)=n-ri”来判定 A 能否与对角阵相似，其中 ri特征值 i的重数，n 为矩阵 A 的阶数.
注: 矩阵相似对角化的步骤: (1) 求出 A 的所有特征值 1, 2,…
三. 方阵 及其特征值、特征向量的互求
四.An 的求法
五.证明题
n,若
1, 2,…,
n 互异, 则 A 与对角阵相似；若
1, 2,…,
异的为
1, 2,…,
m, 每个
i 的重数为 ri, 当 r(A-
i E)=n-
(i=1,2,…m), A 与对角阵相似；否则 A 不能与对角阵相似
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。
在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。
特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。
特征值则是衡量该变换强度的标量。
二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。
解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。
2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。
2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。
这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。
3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。
对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。
2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。
相似矩阵具有相同的特征值。
3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。
例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。
五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。
特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在许多科学领域中都有广泛的应用。
在矩阵中有两个与之相关的重要概念，即特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换中非常有用的性质，它们可以帮助我们理解和描述线性变换的特点。
本文将重点探讨矩阵的特征值和特征向量的定义、性质以及应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指满足方程Av=λv的非零向量v以及对应的常数λ。
其中v是特征向量，λ是特征值。
换句话说，特征向量是矩阵作用后与自身平行（或成比例）的向量，而特征值则表示该向量在作用后的缩放倍数。
2. 计算特征值与特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值与特征向量，需要解决特征值问题，即求解方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。
解这个方程可以得到特征值的集合。
对于每个特征值λ，再解方程(A-λI)v=0，可以得到特征向量的集合。
3. 特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有一些重要的性质：- 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
- 矩阵的特征值与它的转置矩阵的特征值是相同的。
- 对于n阶矩阵，特征值的个数不超过n个。
- 特征向量可以线性组合，线性组合后的向量仍然是对应特征值的特征向量。
4. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：- 特征值分解：通过特征值与特征向量的计算，可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积形式，这在数值计算和信号处理中非常有用。
- 矩阵对角化：特征值与特征向量可以将一个矩阵对角化，使得计算和处理更加简化和高效。
- 特征值的物理意义：在物理学中，特征值可以表示物理系统的某些性质，如量子力学中的能级等。
总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
通过计算特征值与特征向量，可以帮助我们理解和描述线性变换的性质，进行矩阵的对角化处理，以及在数值计算和信号处理中应用。
矩阵的特征值和特征向量是线性代数学习中不可或缺的内容，对于深入理解线性变换和矩阵的性质具有重要的作用。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域的数学和科学问题中都起着至关重要的作用。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得满足下面的关系式：Av = λv其中λ是一个实数，那么称λ为A的特征值，v为对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的存在性是由代数基本定理所保证的。
在实际计算中，我们通常将这个关系式转化为一个线性方程组来求解特征值和特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值如果两个矩阵A和B相似，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B。
那么A和B具有相同的特征值。
证明：设Av = λv，其中v是A的特征向量。
将上式两边同时左乘P^{-1}，得到(P^{-1}AP)(P^{-1}v) = B(P^{-1}v)。
令u = P^{-1}v，则Bu = λu，其中u是B的特征向量。
因此，λ也是B的特征值。
2. 特征向量可以线性组合如果v_1和v_2是矩阵A对应于相同特征值λ的特征向量，那么对于任意实数c_1和c_2，cv_1 + c_2v_2也是对应于特征值λ的特征向量。
证明：由于Av_1 = λv_1，Av_2 = λv_2，那么A(cv_1 + c_2v_2) = cAv_1 + c_2Av_2 = cλv_1 + c_2λv_2 = λ(cv_1 + c_2v_2)。
因此，cv_1 +c_2v_2也是对应于特征值λ的特征向量。
三、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化将一个矩阵A通过相似变换P^{-1}AP = D变换为对角矩阵D，其中D的对角线上的元素为A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化。
对角化后的矩阵形式更加简洁，便于计算和分析。
2. 矩阵的幂对于一个对角化的矩阵A和一个非负整数k，有A^k = PD^kP^{-1}，其中D^k是D的每个元素都进行了k次幂运算。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质，具有很大的研究价值和应用潜力。
本文将介绍矩阵特征值与特征向量的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个标量λ，使得满足方程Av=λv 成立的非零向量v称为矩阵A的特征向量（eigenvector）。
其中，方程为矩阵特征值方程。
特征值与特征向量之间存在一一对应关系。
特征值与特征向量是描述矩阵在特定线性变换下的性质的重要指标。
特征值表示变换后的向量与原向量之间的比例关系，特征向量则表示在特定变换下保持方向不变的向量。
二、特征值与特征向量的计算为了求解矩阵的特征值和特征向量，可以通过解特征值方程来实现。
给定一个矩阵A，求解特征值和特征向量的步骤如下：1. 求解特征值方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，det()表示行列式。
2. 解得特征值λ1，λ2，...，λn。
3. 对每个特征值λi，求解方程组(A-λiI)v=0，得到特征向量vi。
特征向量vi可以有多个，对应于不同的特征值λi。
特征向量可以通过高斯消元法或其他方法求解。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下重要性质：1. 矩阵A与其特征向量组成的矩阵P的乘积AP=PD，其中D是一个对角矩阵，对角线上的值是矩阵A的特征值，P是由特征向量组成的矩阵。
2. 特征值的和等于矩阵的迹（trace），特征值的乘积等于矩阵的行列式的值。
3. 特征向量线性无关，可以构成矩阵的一组基。
这些性质为矩阵的分析和计算提供了便利。
四、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个经典的应用示例：1. 特征值分解：利用特征值和特征向量的分析，可以将矩阵分解为对角矩阵的形式，简化计算和求解问题。
2. 主成分分析（PCA）：主成分分析是一种常用的数据降维方法，通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量，将原始数据转换为一组线性无关的主成分。
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齐次线性方程组有非零解，由此可知 |A| ＝0，即A为奇 异矩阵. 亦可叙述为：n阶矩阵是非奇异矩阵(可逆)的充分必要条件
是A的任一个特征值不为零。
二、特征值与特征向量的性质
定理1 矩阵A与其转置矩阵AT具有相同的特征值 .
Ax 2 x
1 2 x 0,
则x 0, 与定义矛盾.
定理4
设1 , 2 ,L , n是n阶方阵A的n个特征值,则
n
n
i aii ,
i 1
i 1
n
i | A |
i 1
说明１.在复数范围内，n阶方阵A一定有n个特征根， 其中可能有重根和复根.
(1) m是Am的特征值m是任意正整数 .
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
| aij | 1(j 1, 2, ..., n)，则 | | 1(为A的特征值).
i1
定理3： 设1,2 , ,m是方阵A的m个特征值, x1, x2 , , xm依次是与之对应的特征向量。如果1,2 , ,m
各不相等,则 x1, x2 , , xm 线性无关。
是
A
的一个特征值，
0 0 1 2
求：y 及 A 的其他特征值.
1 0 0
解 设 |A E | 1 0
0
0 0 y 1
0 0 1 2
(2 1)[( y )(2 ) 1]
( 1)( 1)[2 ( y 2) 2 y 1].
证明 Q ( A I )T =AT I
| A I || ( A I )T|=|AT I |
即A与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因 此必有相同的特征值.
n
定理2 A为n阶矩阵，若 | aij | 1(i 1, 2, ..., n)或者 j 1 n
0 得基础解系为 p2 1 ,
1
1 p3 0,
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
0 1 0 0
例
设
A
1
0
0 0
0 y
0
，若
1
3
解得x1
x2 ,所以对应的特征向量可取为p2
1
1
.
故相应于1 4的全体特征向量为kp2 (k 0)
例设
2 A 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
AI 0 2 0
4 1 3
证明: 设有常数 k1, k2 , , km 使 k1 x1 k2 x2 km xm 0.
则 Ak1 x1 k2 x2 km xm 0, 由Axi xi可得
k11 x1 k22 x2 kmm xm 0,
类推之，有 1k x1k1 k2 x2k2 km xmkm 0.
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
因为,如果设x同时是A的属于特征值1, 2的
1 2 的特征向量,即有
Ax 1x,
1 x 2 x 由于1 2 0,
可逆.于是有 k1 x1, k2 x2 , , km xm 0,0, ,0,
即 kj xj 0 j 1,2, ,m.但 xj 0,故 k j 0 j 1,2, ,m.
所以向量组 x1, x2 , , xm 线性无关.
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
k 1,2, ,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1
k1 x1, k2 x2 ,
,km xm
1
2
m1 1
m1 2
0,0,
,0
1 m
m1 m
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式,当各i不相等,该行列式不等于0,从而该矩阵
的非零解向量.
求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解 多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题.
例 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 )
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
例 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = I), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = I .
证明 由 A2 = I可得
(I + A)( I - A) = 0,
由于 A 的特征值都是 1 , 这说明 -1 不是 A 的特征值, 即 |A + I| 0.
因为 3 是 A 的一个特征值，所以 3 必为
2 ( y 2) 2 y 1 0
的根， 由此求得 y 2
及 2 ( y 2) 2y 1 0 的另一根 1，故 A 的
全部特征值为 1,1,1,3.
例 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
第四章 矩阵的特征值
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
➢矩阵的特征值 ➢特征值与特征向量的性质
一、矩阵的特征值
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
使关系式
A 成立, 则称这样的数 称为方阵A的特征值, 非零向 量 称为A的对应于特征值的特征向量. 说明 1. 特征向量 0, 特征值问题是对方阵而言的.
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程 A I x 0.由
~ 1 1 1
A
I
0
3
0
1 0 1
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
征向量.
例 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意正整数 .
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 2当A可逆时, 0, 由Ax x可得 A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x
因而 I + A 可逆. 在 (I + A)(I - A) = 0 两端左乘
(I + A) - 1 即可得 A =I.
例 试证 n阶矩阵是奇异矩阵(不可逆)的充分必要 条件是A有一个特征值为零。
证：必要性 如果 A 是奇异矩阵，则 |A| ＝0。于是
A 0I A 0 即0是 A 的一个特征值
1 . 1
故相应于1 2的全体特征向量为kp1 (k 0)
当 2 4时,由
3 4 1 x1 0,即 1 1 x1 0, 1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
2. n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
I A x 0 有非零解的 值 , 即满足方程| I A |
0的都是矩阵A的特征值.
a11 a12 L
3. I A 0 a21 a22 L
L
LL
a1n a2n 0 L
an1
an2 L ann
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程 A 2I x 0.由
~ 4 1 1
A 2I
0
0
0
4 1 1
0
0
0
,
4 1 1 0 0 0
２.定理4表明，全部特征根的和与A的主对角 线元素的和相等；全部特征根的乘积等于|A|.
3. 当det A0时, A的特征值全为非零数
当det A=0时, A至少有一个零特征值.
例 设4阶方阵A满足条件: det 3I A 0,
AAT 2I,det A 0,求A的一个特征值.
定义2 A为n阶矩阵，称 I - A为A的特征矩阵,其行
列式| I - A|为的n次多项式，称为A的特征多项式，
| I - A| 0称为A的特征方程.
说明 1.由定义得，是A的特征值，等价于是其特征
方程| I - A| 0的根，因此又称为A的特征根.若
是| I - A| 0的ni重根，则称为A的ni重特征值(根).
解 因为det A 0,故A可逆.由 det( A 3I ) 0知 3是A的一个特征值, 1 是A1的一个特征值. 3 又由 AAT 2I得 det( AAT ) det(2I ) 16,即
(det A)2 16,于是det A 4, 但 det A 0,因此det
说明 2.方程( I - A)x 0的任意非零解向量，都是 对应于的特征向量. 3. A的特征矩阵也可以表示为A I；