矩阵的特征值与特征向量

充分性：设 A 有一个特征值为0，对应的特征向量为 x. 由特征值的定义有： Ax 0x 0 ( x 0)
齐次线性方程组有非零解，由此可知 |A| ＝0，即A为奇 异矩阵. 亦可叙述为：n阶矩阵是非奇异矩阵(可逆)的充分必要条件
是A的任一个特征值不为零。
二、特征值与特征向量的性质
定理1 矩阵A与其转置矩阵AT具有相同的特征值 .
Ax 2 x
1 2 x 0,
则x 0, 与定义矛盾.
定理4
设1 , 2 ,L , n是n阶方阵A的n个特征值,则
n
n
i aii ,
i 1
i 1
n
i | A |
i 1
说明１.在复数范围内，n阶方阵A一定有n个特征根， 其中可能有重根和复根.
(1) m是Am的特征值m是任意正整数 .
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
| aij | 1(j 1, 2, ..., n)，则 | | 1(为A的特征值).
i1
定理3： 设1,2 , ,m是方阵A的m个特征值, x1, x2 , , xm依次是与之对应的特征向量。如果1,2 , ,m
各不相等,则 x1, x2 , , xm 线性无关。
是
A
的一个特征值，


0 0 1 2
求：y 及 A 的其他特征值.
1 0 0
解 设 |A E | 1 0
0
0 0 y 1
0 0 1 2
(2 1)[( y )(2 ) 1]
( 1)( 1)[2 ( y 2) 2 y 1].
证明 Q ( A I )T =AT I
| A I || ( A I )T|=|AT I |
即A与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因 此必有相同的特征值.
n
定理2 A为n阶矩阵，若 | aij | 1(i 1, 2, ..., n)或者 j 1 n
0 得基础解系为 p2 1 ,
1
1 p3 0,
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
0 1 0 0
例
设
A


1
0
0 0
0 y
0
，若
1
3
解得x1

x2 ,所以对应的特征向量可取为p2

1

1
.
故相应于1 4的全体特征向量为kp2 (k 0)
例设
2 A 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
AI 0 2 0
4 1 3
证明: 设有常数 k1, k2 , , km 使 k1 x1 k2 x2 km xm 0.
则 Ak1 x1 k2 x2 km xm 0, 由Axi xi可得
k11 x1 k22 x2 kmm xm 0,
类推之，有 1k x1k1 k2 x2k2 km xmkm 0.
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
因为,如果设x同时是A的属于特征值1, 2的
1 2 的特征向量,即有
Ax 1x,
1 x 2 x 由于1 2 0,
可逆.于是有 k1 x1, k2 x2 , , km xm 0,0, ,0,
即 kj xj 0 j 1,2, ,m.但 xj 0,故 k j 0 j 1,2, ,m.
所以向量组 x1, x2 , , xm 线性无关.
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
k 1,2, ,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1
k1 x1, k2 x2 ,
,km xm
1

2


m1 1
m1 2



0,0,
,0
1 m
m1 m

上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式,当各i不相等,该行列式不等于0,从而该矩阵
的非零解向量.
求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解 多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题.
例 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 )
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
例 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = I), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = I .
证明 由 A2 = I可得
(I + A)( I - A) = 0,
由于 A 的特征值都是 1 , 这说明 -1 不是 A 的特征值, 即 |A + I| 0.
因为 3 是 A 的一个特征值，所以 3 必为
2 ( y 2) 2 y 1 0
的根， 由此求得 y 2
及 2 ( y 2) 2y 1 0 的另一根 1，故 A 的
全部特征值为 1,1,1,3.
例 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
第四章 矩阵的特征值
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
➢矩阵的特征值 ➢特征值与特征向量的性质
一、矩阵的特征值
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
使关系式
A 成立, 则称这样的数 称为方阵A的特征值, 非零向 量 称为A的对应于特征值的特征向量. 说明 1. 特征向量 0, 特征值问题是对方阵而言的.
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程 A I x 0.由
~ 1 1 1
A
I


0
3
0

1 0 1

0
1
0

,
4 1 4 0 0 0
征向量.
例 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意正整数 .
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 2当A可逆时, 0, 由Ax x可得 A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x
因而 I + A 可逆. 在 (I + A)(I - A) = 0 两端左乘
(I + A) - 1 即可得 A =I.
例 试证 n阶矩阵是奇异矩阵(不可逆)的充分必要 条件是A有一个特征值为零。
证：必要性 如果 A 是奇异矩阵，则 |A| ＝0。于是
A 0I A 0 即0是 A 的一个特征值

1 . 1
故相应于1 2的全体特征向量为kp1 (k 0)
当 2 4时,由
3 4 1 x1 0,即 1 1 x1 0, 1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
2. n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
I A x 0 有非零解的 值 , 即满足方程| I A |
0的都是矩阵A的特征值.
a11 a12 L
3. I A 0 a21 a22 L
L
LL
a1n a2n 0 L
an1
an2 L ann
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程 A 2I x 0.由
~ 4 1 1
A 2I


0
0
0

4 1 1

0
0
0

,
4 1 1 0 0 0
２.定理4表明，全部特征根的和与A的主对角 线元素的和相等；全部特征根的乘积等于|A|.
3. 当det A0时, A的特征值全为非零数
当det A=0时, A至少有一个零特征值.
例 设4阶方阵A满足条件: det 3I A 0,
AAT 2I,det A 0,求A的一个特征值.
定义2 A为n阶矩阵，称 I - A为A的特征矩阵,其行
列式| I - A|为的n次多项式，称为A的特征多项式，
| I - A| 0称为A的特征方程.
说明 1.由定义得，是A的特征值，等价于是其特征
方程| I - A| 0的根，因此又称为A的特征根.若
是| I - A| 0的ni重根，则称为A的ni重特征值(根).
解 因为det A 0,故A可逆.由 det( A 3I ) 0知 3是A的一个特征值, 1 是A1的一个特征值. 3 又由 AAT 2I得 det( AAT ) det(2I ) 16,即
(det A)2 16,于是det A 4, 但 det A 0,因此det
说明 2.方程( I - A)x 0的任意非零解向量，都是 对应于的特征向量. 3. A的特征矩阵也可以表示为A I；
特征多项式也可以表示为|A I|； 特征方程也可以表示为|A I| 0. 4. 求A的特征值就是求|A I|=0的根， 求A的相应于的特征向量就是求|A I|x 0
A

4,
故
A
有一个特征值为
4 3
.
所以A的特征值为1 2, 2 4.
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
即
x1 x2 0,

x1

x2

0.
解得 x1

x2,
所以对应的特征向量可取为 p1