复变函数习题答案第3章习题详解
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第三章习题详解
1．沿下列路线计算积分
。
⎰
+i
dz z 30
21)自原点至的直线段；
i +3解：连接自原点至的直线段的参数方程为： i +3()t i z +=310≤≤t ()dt
i dz +=3()()()⎰⎰
+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+1
3
1
0332330
233
13313i t i dt t i dz z i
2)自原点沿实轴至，再由铅直向上至；
33i +3解：连接自原点沿实轴至的参数方程为： 3t z =10≤≤t dt
dz =
3
3
033
2
3
02
33
131=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
⎰
⎰
t dt t dz z 连接自铅直向上至的参数方程为： 3i +3it z +=310≤≤t idt
dz =()()()3
3
1
031
02
33
233133
13313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰
+i it idt it dz z i
()()()3
3331
02
3
0230233
133********i i idt it dt t dz z i
+=-++=
++=
∴⎰⎰⎰
+3)自原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至。
i i i +3解：连接自原点沿虚轴至的参数方程为： i it z =10≤≤t idt
dz =
()()31
31
02
02
3131i it idt it dz z i
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自沿水平方向向右至的参数方程为： i i +3i t z +=10≤≤t dt
dz =()()()3
3
1
031
02323113
131i i i t dt i t dz z i
i
-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰
+()()3
333320
230
213
13113131i i i i dz z dz z dz z i i
i
i
+=-++=
+=
∴⎰
⎰
⎰
++2．分别沿与算出积分
的值。
x y =2
x y =()⎰++i dz iy x
10
2
解： x y = ix x iy x +=+∴2
2
()dx
i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴
⎰⎰
+i i x i x i dx ix x i dz iy x i
213112131111
0231
0210
2 2
x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴()dx
x i dz 21+=∴ ()()()()()⎰
⎰⎪
⎭⎫
⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴
+1
1
043210
2
2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x
i
而()i
i i i i 656121213
1
3121311+-=-++=⎪⎭⎫
⎝⎛++
3．设在单连通域内处处解析，为内任何一条正向简单闭曲线。问，
()z f B C B ()[]0=⎰
C
dz z f Re 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
()[]0=⎰C
dz z f Im 解：不成立。 例如：，，()z z f =ϑ
i e
z C =。π
ϑ<≤0
()[]()i
i d dz z f C
πϑϑϑπ
=+=⎰
⎰sin cos cos Re 20
()[]()π
ϑϑϑπ
-=+=
⎰
⎰sin cos sin Im i d dz z f C
20
4．利用在单位圆上的性质，及柯西积分公式说明，其中为正向单位圆周。z z 1
=
i dz z C
π2=⎰C 1=z 解： 01
1-=
=
z z z ()i f dz z dz z C
C
ππ2020
1
==-=∴⎰
⎰5．计算积分
的值，其中为正向圆周：⎰
C
dz z
z
C 1)
；
2=z 解：在上，
2=z ϑ
i e z 2=()[]i
i id e d e dz z
z
i i C
πϑϑπ
π
π
ϑϑ
42222
22020
20
====⎰
⎰
⎰
-2)
4
=z 解：在上，
4=z ϑ
i e z 4=()[]i
i id e d e dz z
z
i i C
πϑϑπ
π
π
ϑϑ
84444
42020
20
====⎰
⎰
⎰
-6．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向的圆周。C 1=z 1)
⎰
-C
z dz
2
解：在内解析，根据柯西—古萨定理，()21
-=
z z f C 0
2=-⎰C
z dz 2)
⎰
++C
z z dz 4
22解：在内解析，根据柯西—古萨定理，()()2221421+=++=
z z z z f C 0422=++⎰C
z z dz