复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解

1．沿下列路线计算积分

。

⎰

+i

dz z 30

21)自原点至的直线段；

i +3解：连接自原点至的直线段的参数方程为： i +3()t i z +=310≤≤t ()dt

i dz +=3()()()⎰⎰

+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+1

3

1

0332330

233

13313i t i dt t i dz z i

2)自原点沿实轴至，再由铅直向上至；

33i +3解：连接自原点沿实轴至的参数方程为： 3t z =10≤≤t dt

dz =

3

3

033

2

3

02

33

131=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

⎰

⎰

t dt t dz z 连接自铅直向上至的参数方程为： 3i +3it z +=310≤≤t idt

dz =()()()3

3

1

031

02

33

233133

13313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰

+i it idt it dz z i

()()()3

3331

02

3

0230233

133********i i idt it dt t dz z i

+=-++=

++=

∴⎰⎰⎰

+3)自原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至。

i i i +3解：连接自原点沿虚轴至的参数方程为： i it z =10≤≤t idt

dz =

()()31

31

02

02

3131i it idt it dz z i

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自沿水平方向向右至的参数方程为： i i +3i t z +=10≤≤t dt

dz =()()()3

3

1

031

02323113

131i i i t dt i t dz z i

i

-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰

+()()3

333320

230

213

13113131i i i i dz z dz z dz z i i

i

i

+=-++=

+=

∴⎰

⎰

⎰

++2．分别沿与算出积分

的值。

x y =2

x y =()⎰++i dz iy x

10

2

解： x y = ix x iy x +=+∴2

2

()dx

i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴

⎰⎰

+i i x i x i dx ix x i dz iy x i

213112131111

0231

0210

2 2

x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴()dx

x i dz 21+=∴ ()()()()()⎰

⎰⎪

⎭⎫

⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴

+1

1

043210

2

2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x

i

而()i

i i i i 656121213

1

3121311+-=-++=⎪⎭⎫

⎝⎛++

3．设在单连通域内处处解析，为内任何一条正向简单闭曲线。问，

()z f B C B ()[]0=⎰

C

dz z f Re 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。

()[]0=⎰C

dz z f Im 解：不成立。 例如：，，()z z f =ϑ

i e

z C =。π

ϑ<≤0

()[]()i

i d dz z f C

πϑϑϑπ

=+=⎰

⎰sin cos cos Re 20

()[]()π

ϑϑϑπ

-=+=

⎰

⎰sin cos sin Im i d dz z f C

20

4．利用在单位圆上的性质，及柯西积分公式说明，其中为正向单位圆周。z z 1

=

i dz z C

π2=⎰C 1=z 解： 01

1-=

=

z z z ()i f dz z dz z C

C

ππ2020

1

==-=∴⎰

⎰5．计算积分

的值，其中为正向圆周：⎰

C

dz z

z

C 1)

；

2=z 解：在上，

2=z ϑ

i e z 2=()[]i

i id e d e dz z

z

i i C

πϑϑπ

π

π

ϑϑ

42222

22020

20

====⎰

⎰

⎰

-2)

4

=z 解：在上，

4=z ϑ

i e z 4=()[]i

i id e d e dz z

z

i i C

πϑϑπ

π

π

ϑϑ

84444

42020

20

====⎰

⎰

⎰

-6．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向的圆周。C 1=z 1)

⎰

-C

z dz

2

解：在内解析，根据柯西—古萨定理，()21

-=

z z f C 0

2=-⎰C

z dz 2)

⎰

++C

z z dz 4

22解：在内解析，根据柯西—古萨定理，()()2221421+=++=

z z z z f C 0422=++⎰C

z z dz