【复习资料】高等数学(下)

高等数学（下）

第八章 多元函数微分法及其应用

一、基本概念 1．多元函数

（1）知道多元函数的定义

n 元函数：),,,(21n x x x f y =

（2）会求二元函数的定义域

1°：分母不为0； 2°：真数大于0；

3°：开偶次方数不小于0；

4°：u z arcsin =或u arccos 中||u ≤1 （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限

这里动点),(y x 是沿任意路线趋于定点),(00y x 的．

（1） 理解二重极限的定义

（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性

（1）理解定义：)()(lim 00

P f P f P P =→．

（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；

（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。 二、偏导数与全微分 1．偏导数

（1）理解偏导数的定义（二元函数）

（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系． （3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数

（1）理解高阶偏导数的定义． （2）注意记号与求导顺序问题．

（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：x

y z

y x z ∂∂∂=∂∂∂22． 3．全微分

（1）知道全微分的定义

若),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可表示成)(ρo y B x A +∆⋅+∆⋅，则

),(y x f z =在点),(00y x 处可微；称y B x A ∆⋅+∆⋅为此函数在点),(00y x 处的全微分，记

为y B x A dz ∆⋅+∆⋅=．

（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；

（x

z

A ∂∂=

，y z B ∂∂=；dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=

） 偏导数存在，不一定可微（dz z -∆是否为)(ρo ）． 偏导数连续，全微分必存在．

（3）求方向导数、梯度．

三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则 （1）

x

v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ （2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．

（3）掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法． 2．隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形

若0),(=y x F 确定了)(x y y =，则

y

x F F dx dy

-=； 若0),,(=z y x F 确定了),(y x z z =，则z x F F x z

-=∂∂，

z

y F F y z -=∂∂． （2）方程组的情形

若⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 能确定⎩

⎨⎧==)()

(x z z x y y ，则由

可解出

dx dy 与dx

dz ； 若⎩

⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定了),(y x u u =，),(y x v v =，像上边一样，可以求出x u ∂∂，

x v

∂∂及

y u ∂∂，y

v

∂∂． 四、多元函数微分法的应用 1．几何应用

（1）空间曲线的切线与法平面方程

1°：曲线Γ：)(t x ϕ=，)(t y ψ=，)(t z ω=，0t t =时，Γ上相应点),,(000z y x 处

的切线方程：

)

()()(00

0000t z z t y y t x x ωψϕ'-=

'-='- 法平面方程：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ

2°：曲线Γ：⎩

⎨⎧==)()(x z x y ψϕ，则点),,(000z y x 处的切线方程：000

001()()x x y y z z x x φψ---==

'' 法平面方程：00000()()()()()0x x x y y x z z φψ''-+-+-=

3°：曲线Γ：⎩⎨

⎧==0

),,(0

),,(z y x G z y x F ，则点),,(000z y x P 处的切线方程为

法平面方程：

0)()()(000=-⋅+

-⋅+

-⋅z z G G F F y y G G F F x x G G F F P

y

x y

x P

x z

x

z P

z

y z y （2）空间曲面的切平面与法线方程

1°：曲面∑：0),,(=z y x F ，点),,(000z y x 处的切平面方程为： 法线方程：

z

y x F z z F y y F x x 0

00-=-=- 2°：曲面∑：),(y x f z =，在点),,(000z y x 处的切平面方程为：

)(),()(),(0000000y y y x f x x y x f z z y x -⋅+-⋅=-

法线方程为：1

00--=-=-z z f y y f x x y x 2．极值应用

（1）求一个多元函数的极值（如),(y x f z =）：先用必要条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00y

z x

z

，求出全部驻点，

再用充分条件求出驻点处的xx z ，yy z 与xy

z ；

02>-B AC ，0A 时有极小值； 02<-B AC 时无极值．

（2）求最值

1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题．