圆周运动的教学案例

圆周运动的教学案例

[学习目标定位]

1.知道向心力由一个力或几个力的合力提供，会分析具体问题中的向心力来源。

2.能用匀速圆周运动规律分析、处理生产和生活中的实例。

3.知道向心力、向心加速度公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度。

一、过山车问题

1.向心力：过山车到轨道顶部A时，如图1所示，人与车作为一个整体，所受到的向心力是重力mg跟轨道对车的弹力N的合力，即F向＝N＋mg。如图所示，过山车在最低点B，向心力F向＝N1－mg。

图1

2．临界速度：

当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度最小，v临界＝gR。

(1)v＝v临界时，重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力，车不会脱离轨道。

(2)v

(3)v>v临界时，弹力和重力的合力提供向心力，车子不会掉下来。

二、转弯问题

1.自行车在水平路面转弯，地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力。

2.汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力。

3.火车转弯时外轨高于内轨，如图2所示，向心力由支持力和重力的合力提供。

图2

一、分析游乐场中的圆周运动

[问题设计]

游乐场中的过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车与人却掉不下来，这主要是因为过

山车的车轮镶嵌在轨道的槽内，人被安全带固定的原因吗？ 答案 不是． [要点提炼]

竖直平面内的“绳杆模型”的临界问题 1．轻绳模型(如图3所示)

图3

(1)绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)。

(2)在最高点的动力学方程T ＋mg ＝m v 2

R

。

(3)在最高点的临界条件T ＝0，此时mg ＝m v 2

R

，则v ＝gR 。

①v ＝gR 时，拉力或压力为零。 ②v >gR 时，小球受向下的拉力或压力。

③v

图4

(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力。 (2)在最高点的动力学方程

当v ＞gR 时，N ＋mg ＝m v 2

R ，杆对球有向下的拉力，且随v 增大而增大。

当v ＝gR 时，mg ＝m v 2

R

，杆对球无作用力。

当v ＜gR 时，mg －N ＝m v 2

R ，杆对球有向上的支持力。

当v ＝0时，mg ＝N ，球恰好能到达最高点。 (3)杆类的临界速度为v 临＝0。 二、研究运动物体转弯时的向心力 [问题设计]

骑自行车转弯时，车与人会向弯道的内侧倾斜，你知道其中的原因吗？

答案 骑自行车转弯时，车和人需要向心力，车与人向弯道的内侧倾斜，就是为了使地面对人的作用力倾斜，这样它与重力的合力提供车与人做圆周运动的向心力。 [要点提炼]

1．自行车在转弯处，地面对自行车的作用力与重力的合力提供向心力．其表达式为mg tan_θ

＝m v 2R ，即tan θ＝v 2

gR

。自行车倾斜的角度与自行车的速度和转弯半径有关。

2．汽车在水平路面上转弯时，地面的静摩擦力提供向心力，其表达式为f ＝m v 2

R

。由于地面

的静摩擦力不能大于最大静摩擦力，因此汽车在转弯处的速度不能大于μgR 。 3．火车转弯

(1)向心力来源：在铁路的弯道处，内、外铁轨有高度差，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由重力G 和支持力N 的合力提供，即F ＝mg tan_α。

(2)规定速度：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道侧压力，则mg tan α＝mv

20R

，故v 0＝

gR tan α，其中R 为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，v 0为弯道规定的速度。

①当v ＝v 0时，F 向＝F ，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力，这就是设计的限速状态。

②当v >v 0时，F 向>F ，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分。

③当v

说明：火车转弯时受力情况和运动特点与圆锥摆类似。

一、竖直面内的“绳杆模型”的临界问题

例1 如图5所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g 的小球，试管的开口端与水平轴O 连接．试管底与O 相距5 cm ，试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动．求：

图5

(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？

(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？(g 取10 m/s 2

) 解析 (1)当试管匀速转动时，小球在最高点对试管的压力最小，在最低点对试管的压力最大．

在最高点：F 1＋mg ＝mω2R 在最低点：F 2－mg ＝mω2R F 2＝3F 1

联立以上方程解得ω＝

2g

R

＝20 rad/s 。 (2)小球随试管转到最高点时，当mg ＞mω2R 时，小球会与试管底脱离，

即ω＜

g R

。 答案 见解析

例2 如图6所示，质量为m 的小球固定在长为l 的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端O 在竖

直平面内做圆周运动．球转到最高点时，线速度的大小为 gl

2

，此时( )

图6

A ．杆受到1

2mg 的拉力

B ．杆受到1

2mg 的压力

C ．杆受到3

2mg 的拉力

D ．杆受到3

2

mg 的压力

解析 以小球为研究对象，小球受重力和沿杆方向杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，

则N ＋mg ＝m v 2l ，将v ＝ gl 2代入上式得N ＝－1

2mg ，即小球在A 点受杆的弹力方向向上，

大小为12mg ，由牛顿第三定律知杆受到1

2mg 的压力．

答案 B

二、交通工具的转弯问题

例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图7所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( )

图7

A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压

B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压

C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg cos θ

D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg

cos θ

解析 由牛顿第二定律F 合＝m v 2

R

，解得F 合＝mg tan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力

作用，如图所示，N cos θ＝mg ，则N ＝mg

cos θ，内、外轨道对火车均无侧向压力，故C 正确，

A 、

B 、D 错误．