2021-2022学年上海市松江区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）

试题数：21，总分：150

1.（填空题，4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}，则A∩B=___ ．

2.（填空题，4分）计算：

n→∞n 2+2

n (n−1)

=___ ．

3.（填空题，4分）已知复数z=1+i （其中i 是虚数单位），则z 2+z=___ ．

4.（填空题，4分）关于x ，y 的方程组 {x −2y =1

3x +y =−1

的增广矩阵为 ___ ．

5.（填空题，4分）二项式（x 2+ 1

x ）5的展开式中含x 4的项的系数是 ___ （用数字作答）． 6.（填空题，4分）若抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ___ ．

7.（填空题，5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 ___ ． 8.（填空题，5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 ___ 种．

9.（填空题，5分）已知函数f （x ）= √3 sinωx+cosωx （ω＞0），若f （x ）≤f （ π4

）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ___ ．

10.（填空题，5分）已知a ＞0，b ＞0，且 1

a+2 + 2

b = 2

3 ，则2a+b 的最小值为 ___ ．

11.（填空题，5分）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，且对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的最小值为 ___ ．

12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x −8x x ＜0

|x −a |x ≥0 ，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在

x 2∈[-2，-1]，使得f （x 1）•f （x 2）≥a ，则实数a 的取值范围为 ___ ．

13.（单选题，5分）已知角α的终边经过点P （3，4），将角α的终边绕原点O 逆时针旋转

π

2

得到角β的终边，则tanβ等于（ ）

A. −4

3 B. −3

4 C. 4

5 D. −54

14.（单选题，5分）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本．若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（ ） A.高一学生26人、高三学生23人 B.高一学生28人、高三学生21人

C.高一学车多于24人、高三学生少于24人即可

D.高一、高三学生人数都不限

15.（单选题，5分）如图，已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

16.（单选题，5分）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当λi ∈{-1，1}（i=1，2，3，4，5）时，|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A.6 B.12 C.18 D. 8+4√3

17.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点．

（1）求异面直线BC 1与DC 所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求证：BC 1 || 平面A 1CD ．

18.（问答题，14分）在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知csinC-

bsinB=a（sinA-sinB）．

（1）求角C的值；

（2）若c=3，求△ABC周长的最大值．

19.（问答题，14分）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点．近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》．年份传统能源发电新能源发电总装机容量

火力发电水力发电核能发电太阳能发电风能发电2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27 2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49 2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84 2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00 2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10 2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00 （1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？

（2）假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？

20.（问答题，16分）已知双曲线Γ： x 2a 2 - y 2

b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2 √3 ，渐近线方程为y=± √2

2 x ．

（1）求双曲线Γ的方程；

（2）若对任意的m∈R ，直线y=kx+m 与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围； （3）若过点（1，0）的直线l 与双曲线Γ交于M 、N 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得 PM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由．

21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数k 和A ，对任意的x∈R ，都有|f （x ）-kx|≤A 成立，则称函数f （x ）为“拟线性函数”，其中数组（k ，A ）称为函数f （x ）的拟合系数．

（1）数组（2，1）是否是函数

g （x ）= 2x 3

1+x 2 的拟合系数？

（2）判断函数s （x ）=xsinx 是否是“拟线性函数”，并说明理由；

（3）若奇函数h （x ）在区间[0，p]（p ＞0）上单调递增，且h （x ）的图像关于点（p ，q ）成中心对称（其中p ，q 为常数），证明：h （x ）是“拟线性函数”．