用配方法推导一元二次方程的求根公式--教学设计 (3)
求根公式解一元二次方程的教案
求根公式解一元二次方程的教案学习目标1．使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2．引导学生熟记求根公式aac b b x 242-±-=并理解公式中的条件042≥-ac b3．使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。
学习重点： 1．掌握一元二次方程的求根公式。
2．熟练地运用求根公式解一元二次方程。
学习难点： 求根公式的推导教学过程（一）复习引入我们学过了一元二次方程的两种解法，它们是1．直接开平方法2．配方法（提问步骤）（二）探索新知1.学生尝试用配方法推导一元二次方程的求根公式:用配方法解形如一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一元二次方程：解:把方程两边都除以 a,得移项，得配方，得( x + )即 2 =∵2a ≠0，24a ＞0，∴当b 2-4ac ≥0时, x + =±解得x= -± 即：aac b b x 242-±-= 这就是一元二次方程2ax +bx+c=0 (a ≠0，2b -4ac ≥0)的求根公式。
2．交流讨论：分析公式的特点，记忆公式● 公式含有a 、b 、c 三个字母的式子，分母是分子是● 被开方数b 2-4ac 叫做△，即△=b 2-4ac 公式中b 2-4ac ≥0 如果b 2-4a c<0则此方程无解。
● b 2-4ac ＞0时，有两个解， b2-4ac =0有一个解例题学习用求根公式法解下列方程：（1）X 2-2x-1=0 方程满足一般式 步骤：解：∵ a=1，b=－2，c=－1 （1）确定a 、b 、c 的值b2－4ac = (-2)2－4×1×(-1) =8＞0 （2） 确定△的值（3）代入求根公式，即可求出方程的根 （4）定解方程不满足一般式 步骤： 解：方程化为：x 2+4x-2=0 （1）把方程转化为一般式 ∵ a=1，b=4，c=－2 （2）确定a 、b 、c 的值b2－4ac = 42－4×1×(-2) =24＞0 （3） 确定△的值（4）代入求根公式，即可求出方程的根 22221282±=⨯±=x 211+=x 212-=x 2422=+x x ）（6212244±-=⨯±-=x（5）定解练习：1、先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a 、b 、c ：（1）方程2x 2+x-6=0中，a= ，b= ， c= ； b 2－4ac= ；（2）方程5x 2－4x=12中，a= ，b= ，c= ； b 2－4ac= ；（3）方程4x 2－4x+1=0中，a= ，b= ，c= ； b 2－4ac= ；2用公式法解课本p28页练习〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕小结：(1)求根公式的概念及其推导过程;(2)求根公式法的概念;(3)应用公式法解一元二次方程;(4)初步了解一元二次方程的根的情况作业：课本p38 复习题 1〔2〕〔3〕,9〔3〕〔4〕. 621+-=x 622--=x。
用配方法推导一元二次方程的求根公式
二
次
ax2 bx c 0 (a≠0)
确定a、b、c的值
计算 b2 4ac
b2 4ac 0
否
是
x1 b
b2 2a
4ac
，x2
b
b2 4ac .
2a
写出x1, x2
方程无 实数根
三、
交流归纳 揭示新知
三、
交流归纳 揭示新知
1 2a
2
1 4a 4a2
符号判断
x 1 1 4a
2a
4a2
二次根式 的化简
二、
自主探究 排难解惑
本环节 1
完成的
任务
2
求解含字母系数的一元二次方 程时，意识到了对开平方的条 件进行分类讨论.
回顾了分式的加减运算、二次 根式的化简等知识，并运用于 求解的过程中.
三、
2
1 4c 4
对开平方的条件 需进行分类讨论
ax2 bx c 0a 0.
ax2 x 1 0(a 0).
x2
1 a
x
1 2a
2
1 2a
2
1 a
配方
x
1 2a
2
1 4a2
1 a
分式计算
x
16.2 用配方法推导一元二次方程 的求根公式
教学内容分析 教学目标的确定 教学过程设计与实施
教学特点及效果分析
教学内容分析
1 教材的地位和作用 2 学生学情分析
九年级数学上册《2.2 配方法公式法解一元二次方程》教案 北师大版
《22配方法公式法解一元二次方程》教案姓名年级性别教材第课教学课题教学目标1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程一.教学内容：用配方法和公式法解一元二次方程1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．二. 知识要点：1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3.用配方法解一元二次方程的步骤：用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤：（1）移项：将常数项移到方程右边；（2）把二次项系数化为1：方程左右两边同时除以二次项系数（3）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()x m n+=的形式即将2x mx±的式子加上2()2m，可得到完全平方式⇒222()()22m mx mx x±+=±（4）当0n≥时，用直接开方法解变形后方程三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．【例题剖析】【衔接训练】1、一元二次方程230x -=的解是 （ ）A 、3x =B 、3x =-C 、123,3x x ==-D 、123,3x x ==- 2、一元二次方程21090x x ++=可变形为 （ ）A 、2(5)16x +=B 、2(5)34x +=C 、2(5)16x -=D 、2(5)25x +=5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是 （ ）A 、22430(2)7x x x --=-=化为 B 、227252730()416x x x -+=-=化为 C 、22525490()33636x x x --=-=化为 D 、22517215()416y y y +=+=化为 6、将二次三项式241x x -+配方后得 （ ）A 、2(2)3x -+B 、2(2)3x --C 、2(2)3x ++D 、2(2)3x +-7、（1）226___(__)x x x ++=+； （2）224___(__)3x x x -+=-； （3）228___(__)x x x ++=+ （4）2214___(__)x x x -+=-（5）227___(__)x x x ++=+ （6）223___(__)5x x x -+=- （7）22___(__)x px x ++=+； （8）22___(__)b x x x a++=+；（9）222()___(__)x m n x x -++=- （10）22___(__)x ax x -+=- 8、用配方法解一元二次方程225033x x +-=时，此方程可变形为_____________，解得：12____,____x x == 9、解下列方程：（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0 （３）（x ＋1）2= 2（4）22350x x --= （5） 22410x x --=（6）23(1)50x x +-= （7）(1)(2)12t t --=10、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长。
用配方法推导一元二次方程的求根公式--教学设计
《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教学设计一.教学内容的分析 1.教材的地位和作用一元二次方程的求根公式是一元二次方程中的重要内容，是在学习了一次方程、方程组，分式方程以及一元二次方程有关概念的基础之上学习的.求根公式的推导是引出根的判别式、进一步讨论一元二次方程的实数根的存在性的前提，同时也为推导根与系数的关系以及今后学习二次函数等有关内容奠定基础.2.对教学内容的认识用配方法推导一元二次方程的求根公式是本节课的教学内容.由于公式的推导均为字母间的运算，为了让学生能够亲自参与推演求根公式的过程，设计了三个活动，逐步由数字系数的一元二次方程过渡到含三个字母系数的一元二次方程，学生经历从特殊到一般的研究过程.一元二次方程的解法---公式法，安排3课时.本节课是第一课时:用配方法推导一元二次方程的求根公式.根据以上分析，确定本节课的教学重点是：用配方法推导一元二次方程的求根公式.3.学生学情分析我校是通州区一所普通中学，所授班级是学校音乐特长班，大部分学生个性活泼、开朗, 学习数学的积极性较高，兴趣较为浓厚，但数学基础一般.在上本节课之前，我对本校九年级两个班共计72位同学做了一次调查，用配方法解方程： 结果仅有3位同学推导过程完全正确，正确率仅约为4.17%。
我对其中的错误进行了简单分析：同时，设置了这样两个问题：在推导一元二次方程的求根公式时，你觉得有20(0).ax bx c a ++=≠哪些困难？有很多学生提到“字母太多”、“运算量大”等困难；在运用公式法解一元二次方程时，你有哪些困惑？有些学生认为公式的结构复杂，不便于记忆，主要靠死记硬背，套公式解一元二次方程，而不知公式从何而来.基于以上分析和调查，我认为虽然课标中并未对用配方法推导一元二次方程的求根公式提出具体要求，但推导过程本身的价值在于通过让学生亲历公式的推演，帮助学生理解一元二次方程的根是由系数a 、b 、c 决定的.由于公式的推导过程均为字母间的运算，对学生来说困难较大，因此本节课的难点是：一元二次方程求根公式的推导过程. 二.教学目标的确定结合教材内容和学生的实际情况，我从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三方面确定本节课的教学目标：1.理解配方法，能用配方法推导一元二次方程求根公式.2.经历探索一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律.3.逐步培养学生的探究意识和创新精神，渗透探索数学问题的一般方法. 三、教学过程设计与实施为了达到教学目标,我把教学过程设计为以下五个阶段:具体教学过程如下：3）用配方法解方程 222221+1111+22111方程两边同时除以 a x x a x x a a a a x ≠∴⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+=-+12212x a a x a +=±=-±220040可判断a a a a ⎝⎭≠∴≠∴∴>24=2只有当b b x a -+。
《一元二次方程的解法——公式法》教学案
一元二次方程的解法——公式法学习目标：用配方法推导求根公式，会用公式法解方程.重点难点：求根公式的推导，公式的正确使用.一、复习引入（学生活动）用配方法解方程6x2-7x+1=0小结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的；（4）原方程变形为的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数，则一元二次方程无实根．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用配方法求出它的两根？问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1，x2解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+ =+ 即（x+）2=∵≥0且4a2>0 ∴≥0 直接开平方，得：x+=±即x=∴x1= ，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式知，一元二次方程最多有两个实根．例题学习：用公式法解下列方程．（用公式法解一元二次方程，首先要把它化为一般形式喔）（1）2x2+4x-1=0 （2）（3）5x-3=3x2 三、巩固练习：用公式法解下列方程当堂检测：班级_______ 姓名__________ 【第一关】1.用公式法解下列方程（1）（2）y2＋7y＋6＝0；（3）（4）4x2-12x=3 （5）（6）(2x－1)(x －1)＝1【第二关】2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是_ ___，条件是____ ____．3．当x=___ ___时，代数式x2-8x+12的值是-4．4．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是___ __．【第三关】综合提高题5．（m2+n2）（m2+n2-2）-8=0，则m2+n2的值是（）．A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或26.某农场要建一个面积能达到150m2长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用木栏围成，木栏长35m．求鸡场的长和宽各多少米？。
《解一元二次方程》教学设计【优秀9篇】
《解一元二次方程》教学设计【优秀9篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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3.2一元二次方程的解法教学案
一元二次方程的解法教学案一、学习目标知识与技能：1．使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程,在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。
2. 使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。
过程与方法：在具体的解方程中理解配方法的实质，探求其规律性。
感情态度与价值观：在共同探究问题中学会学习，树立自信心。
二、学习重点1、使学生掌握配方法解一元二次方程。
2. 掌握一元二次方程的求根公式。
三、学习难点1、把一元二次方程转化为q p x =+2)(,2. 求根公式的推导. 四、学习过程（一）温故而知新：1、解下列方程，并说明解法的依据：（1）2321x -= （2）()2160x +-= （3） ()2210x --= 教师点评：通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：()()()2200x b b x a b b =≥-=≥和根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。
如()212x -=-1、请说出完全平方公式。
()()22222222x a x ax a x a x ax a+=++-=-+。
（二）探究过程一：活动一：自主探究，合作交流试一试：1、解下列方程：2x ＋2x ＝5； （2）2x －4x ＋3＝0.思考:能否经过适当变形，将它们转化为()2= a 的形式，应用直接开方法求解？ 解:（1）原方程化为2x ＋2x ＋1＝6， （方程两边同时加上1）_____________________,_____________________,_____________________.（2）原方程化为2x －4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）_____________________,_____________________,_____________________.活动二：探索新知归 纳：上面，我们把方程2x －4x ＋3＝0变形为()22x -＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯学习重、难点重点：一元二次方程的求根公式.难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0学习过程：一、自学质疑：1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示：刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号.(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨：例1、课本例题总结:其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根.例2、解方程：(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈：做书上第P90练习。
沪科版八年级下册数学第17章 一元二次方程 【教案】 公式法
第3课时公式法一、教学目标（1）知识与能力1.理解求根公式的推导过程；2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.（2）过程与方法：1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。
(3)情感、态度与价值观让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学重、难点（1）教学重点1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤.2.熟练地用求根公式解一元二次方程。
（2）教学的难点：理解求根公式的推导过程。
（3）教学设计要点1.温故知新用配方法解下列一元二次方程（1） x²-4x=0（2） x²-2x-3=0（3） 2x²-12x+10=0上课开始，通过提问让学生回忆配方法解一元二次方程的一般步骤。
利用上节课所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。
然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。
2.教学内容的处理（1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
（2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤。
3.教学方法合作探究，小组讨论三、教具准备彩色粉笔、幻灯片四、教学过程1.复习导入新课复习配方法的一般步骤，给出三个例题让学生运用配方法解方程：（1） x ²-4x=0（2） x ²-2x-3=0（3） 2x ²-12x+10=0（1）所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的（2）总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备2、呈现问题，层层递进，探索新知你能用配方法解般形式的一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)吗?让学生在导学案上先做，然后找同学来回答，化简、移项、配方、变形，和学生一起探究完成，提出问题:（1）、公式法和哪几个因素有关？（2）、不是一般形式的一元二次方程能用公式法吗？应该怎么办？（3）、b 2-4ac 对结果有影响吗？（4）、你认为用公式法解题应该有哪几个步骤？让小组交流、讨论达成共识。
八年级数学下册《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教案、教学设计
1.配方法的原理：教师讲解配方法的基本原理，即通过添加和减去同一个数，将一元二次方程转化为完全平方形式。
2.求根公式的推导：引导学生运用配方法将一元二次方程转化为标准形式，进而推导出一元二次方程的求根公式。
3.求根公式的应用：通过实例，讲解如何运用求根公式解决一元二次方程问题。
（三）学生小组讨论
（1）x^2 - 6x + 9 = 0
（2）2x^2 - 4x - 6 = 0
（3）实际问题：某公司生产的产品，每件成本为1000元，售价为2000元。若公司每月固定成本为50000元，求公司每月盈利达到100000元时的销售数量。
2.学生解答：学生在课堂上独立完成练习题，教师对解答过程进行指导。
（五）总结归纳
（2）通过课后作业和小测验，了解学生对配方法和求根公式的掌握程度。
（3）收集学生的反馈意见，了解他们在学习过程中的困难和需求，及时调整教学方法。
4.教学关注点：
（1）关注学生的个体差异，针对不同学生的需求进行差异化教学。
（2）注重培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
（3）关注学生的情感态度，激发学生的学习兴趣，使他们在愉快的氛围中学习数学。
4.通过典型例题的讲解和练习，让学生掌握一元二次方程求根公式的使用方法，培养学生解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生主动探索数学问题的积极性。
2.通过配方法和求根公式的学习，使学生体会到数学知识的内在联系，培养学生的数学思维。
3.培养学生面对困难时，勇于挑战、善于思考、持之以恒的精神风貌。
4.学生对数学学科的兴趣和热情存在差异，教学中要注意激发学生的学习兴趣，关注学生的情感态度，使他们在轻松愉快的氛围中学习数学。
用配方法推导一元二次方程的求根公式
一元二次方程的解法用配方法推导一元二次方程的求根公式素养目标：1.了解一元二次方程求根公式的历史，带上配方法重温一元二次方程求根公式的推导过程。
2.运用配方法求解含参的一元二次方程，提升从特殊到一般的解题能力，发现难点，多方位突破。
3.认识公式法和根的判别式，加深对一元二次方程求根公式的理解，会用求根公式构造一元二次方程解决问题。
活动一：课前热身赛：挑战配方法比赛程序：1，同桌之间互相出题：在表格中给你的同桌出一道题“用配方法解一元二次方程”，互相批改，决出胜负。
2，向老师推荐：好题，完美的解题，典型的错误，自己无法批改的题目等。
活动一总结：活动二：穿越之旅：带上配方法去旅行重走先贤之路：推导一元二次方程求根公式（配方法）揭秘先贤的智慧：探寻一元二次方程求根公式的多种推导方法1，首系数不化为12， 几何法活动二总结：活动三：穿越归来：学以致用用求根公式解下列方程2(1)470x x --=())2322222x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2(3)178x x +=活动三小结：12x x +()221212x x a x x b ==或()()2224c a-)21.x x =-我国数学家赵爽在其《周髀算经》注文的《勾股圆方图注》一文中提到：“其倍弦（2c ）为广袤合（ ），而令勾股见者自乘为实，四实以减之 开其余，所得为差以差减合 ，半其余为广。
活动四：火眼金睛：由求根公式构造一元二次方程()24222240,2.22b ac b b a ac b c a a -≥⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例题：已知试化简22,4.b ac b ac ≤=--练习1：已知a>0,b 0,c<0,求的最小值321,40381112.222a a a =⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭练习2，已知求的值21,.28a =-练习3，已知求a32,.2a +=练习4，已知求-a活动五：归纳小结：方法，模型，应用活动六：布置作业1，活页P9-10（必做）2，导学案上的练习补充完整（选做）3，。
用公式法解一元二次方程(教学设计)
3.3用公式法解一元二次方程（1）学习目标：1.会用配方法解方程推导出一元二次方程的求根公式。
2.能利用一元二次方程根的判别式判断根的情况。
3.学会运用公式法解一元二次方程。
学习过程：一.拓通准备：1.配方法解一元二次方程的步骤：2.运用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a,b,c都是常数，且a≠0)归纳总结：1.根据上题，得出一元二次方程的求根公式_________________________________________.2.什么叫做公式法：_______________________________.3.一元二次方程根的判别式：________________________.4.根据判别式，怎样判断一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况：当b2-4ac＞0,方程_____________________.当b2-4ac=0, 方程________________________. 当b2-4ac＜0, 方程_______________________.二.自我尝试：不解方程，根据判别式，判断一元二次方程根的情况。
（1）x2（2）x2-x+1=0 (3)4x2-4x+1=0三. 典型例题：用公式法解方程：（1）2x2+5x-3=0 （2）4x2=9x四.自我训练：用公式法解方程(1) x 2+6x+5=0 (2)6Y2-13Y-5=0 (3) x2-3x-4=0 (4)2x2+1=3x五.小结：六.当堂检测：1.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c都是常数，且a≠0)的求根公式：___________________________.用求根公式的前提条件是____ _________2.一元二次方程x2+2= 其中a=____,b=____,c=___,b2-4ac=___.它的根是：________.3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（_____）A: x2+2x-1=0 B: x2x+1=0 C: x2x+2=0 D: -x2+x+2=04.解下列方程：（1）2x2+11x+5=0 （2）5x23．3用公式法解一元二次方程（2）学习目标：1.会熟练地把一元二次方程化成一般形式。
九年级一元二次方程求根公式的推导 人教版教学设计导学案
2、一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：
（1）Δ〉0⟺方程_______________________________
（2）Δ=0⟺方程_______________________________
（3）Δ<0⟺方程_______________________________
年级
九年级
科目
数学
备课人
课题
21.2.2.1一元二次方程的根的判别式
学习
目标
（1分钟）
1、能记住一元二次方程的根的判别式，掌握求根公式的推导过程（重点）
2、能运用根的判别式进行相关的计算和推理（难点）
学法
指导
分析法、转化法、类比法的学习方法
自
学
与
指
导
（9分钟）
自主复习
请每位同学编写一道一元二次方程，由同桌用配方法求方程的解，并填写步骤和每步的依据
题组2：（组内共同完成后交流展示，做好记录，总结归纳，做好笔记）
1、若方程x2+mx+2=0的根的判别式的值为4，则m=_____
2、关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是___________
方法归纳：在已知含字母系数的一元二次方程根的情况下，用逆向思维来解决问题:
1.根据判别式建立2. 一元二次方程的二次项系数0
训
练
与
总
结
题组3：（课堂检测：针对性检测，独立完成后展示）
1、一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值为（ ）
A 4 B 2 C 0 D -4
八年级数学下册《用配方法推导一元二次方程的求根公式》优秀教学案例
4. 定期对学生的学习情况进行总结，分析教学中存在的问题，及时调整教学策略，以提高教学质量。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1. 联系实际生活，提出一个与一元二次方程相关的问题，如：“一块正方形土地，如果边长增加3米，面积就增加21平方米，求原来的边长。”让学生尝试用已有知识解决问题，为新课的学习做好铺垫。
（二）过程与方法
1. 通过实际例题的引入，激发学生探究一元二次方程求根公式的兴趣，培养学生主动参与课堂、积极思考的习惯。
2. 在配方法的推导过程中，引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
3. 通过小组合作、交流讨论等形式，培养学生的团队协作能力和表达能力，提高课堂参与度。
4. 引导学生从问题解决的过程中，总结学习方法，形成数学思维，提高解决问题的策略。
三、教学策略
（一）情景创设
1. 以生活中的实际问题为背景，创设情景，让学生感受到数学知识在实际生活中的应用，从而激发学生的学习兴趣。
2. 利用多媒体手段，如动画、图片等，形象直观地展示一元二次方程的求解过程，增强学生的直观感受，提高学习积极性。
3. 结合学生已有知识，设计富有挑战性的问题，引发学生的认知冲突，激发学生的求知欲。
2. 在小组合作过程中，教师巡回指导，关注学生的个体差异，给予针对性的指导，提高学生的学习效果。
3. 组织小组间的交流分享，让学生在倾听他人观点的过程中，拓宽思路，提高自己的认识。
（四）反思与评价
1. 鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法、思维策略，提高学习效率。
2. 教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的知识掌握、能力提升以及情感态度的变化，给予积极的反馈。
《代数方程解法》教案：一元二次方程求根公式的推导
《代数方程解法》教案：一元二次方程求根公式的推导一、引言在高中数学课程中，一元二次方程是一个重要的内容。
求解一元二次方程对于提高学生的数学运算能力和建立数学模型具有很大的帮助。
本教案旨在通过推导一元二次方程求根公式，帮助学生深入理解代数方程解法。
二、概述1. 什么是一元二次方程一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c 是已知实数，且a ≠ 0。
2. 求解一元二次方程的目标求解一元二次方程就是要找到满足该方程的实数根或者复数根。
三、推导过程1. 完全平方式转化为配方法假设我们有一个一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0。
首先，我们可以通过变量变换将其完全平方式转化为配方法：x^2 + (b/a)x = -c/a。
2. 完全平方式转化为可开根式形式继续使用变量变换，我们可以将完全平方式转化为可开根式形式：(x +b/2a)^2 = (b^2-4ac)/4a^2。
3. 开方消去指数并整理对上述等式两边同时开方，我们得到x + b/2a = ±√((b^2-4ac)/4a^2)。
进一步整理并移项，得到一元二次方程的求解公式：x = (-b±√(b^2-4ac))/2a。
四、示例和练习1. 示例问题例如有一个一元二次方程 3x^2 - 7x + 2 = 0，按照推导出的求解公式进行计算，可以得到方程的两个实数根为x1 ≈ 0.33 和x2 ≈ 1.00。
2. 练习题a) 解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
b) 解方程 2x^2 + x - 3 = 0。
c) 解方程 x^2 + 4x + 4 = 0。
五、总结回顾通过本教案对一元二次方程求根公式的推导，我们可以看到求解一元二次方程的过程其实是通过变量变换、代入和运算等步骤进行的。
掌握了这个公式，学生可以更加迅速地解决一元二次方程相关问题，并且在日常生活中更好地应用代数知识。
六、延伸拓展除了求根公式外，学生还可以进一步了解韦达定理和因式分解法等其他求解一元二次方程的方法。
21.2.1《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的方程，它在数学中有着广泛的应用。它是解决许多现实问题的关键，如在物理学、经济学等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过配方法解方程x^2-5x+6=0，展示一元二次方程在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
-求根公式的应用：通过具体例题，让学生掌握如何使用求根公式解决实际问题，包括确定a、b、c的值，代入求根公式计算，以及如何处理根号下的负数情况。
举例：对于方程3x^2 - 12x + 9 = 0，重点讲解如何通过配方法得到完全平方形式，进而引导学生推导出求根公式，并应用该公式求解。
2.教学难点
-配方法的灵活运用：学生往往在选取恰当的常数进行配方时遇到困难，不知道如何选择合适的数来完成平方，这是教学的一个难点。
五教学反思
今天的教学中，我尝试通过不同的教学活动让学生掌握用配方法推导一元二次方程的求根公式。从学生的反馈来看，这个知识点确实有一定的难度，但大部分同学能够跟上课堂节奏，逐步理解并运用求根公式。
在导入新课环节，我注意到通过生活实例提出问题，能够很好地激发学生的兴趣。他们开始主动思考一元二次方程在生活中的应用，为后续学习奠定了基础。
具体内容包括：
-配方法解一元二次方程的步骤和技巧。
-利用配方法求解标准形式的一元二次方程，即ax^2+bx+c=0（a≠0）。
-引导学生通过配方法推导出一元二次方程的求根公式：x1,2=（-b±√(b^2-4ac)）/2a。
-通过实际例题，让学生学会运用求根公式解决实际问题。
二、核心素养目标
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《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教学设计一、教学内容解析1.具体内容：《用配方法推导一元二次方程的求根公式》这个内容在北师大版教材中对应的是九年级上册第二章第三节《用公式法求解一元二次方程》.本节主要研究一元二次方程的公式解法，一元二次方程的求根公式是用配方法得到的，可以说，公式法是配方法的一般化和程式化，利用求根公式可以更为便捷地解一元二次方程.本节课的教学内容包括以下三个方面：①承接上节内容，提出用配方法求解方程ax2+bx+c=0(a≠0)的问题，进而推导求根公式；②用公式法求解一元二次方程，同时体会用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程；③通过对b2-4ac的讨论，得出根的判别式与方程根的情况之间的关系.《课标》中对本节课的要求是能用公式法解数字系数的一元二次方程，会用一元二次方程个根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等.2.教育价值：在思想方法上，求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开方的形式，推导过程中还涉及分类讨论的思想.数学思想方法凝聚着数学的精髓和灵魂，尽管学生走上社会后，数学知识似乎渐渐淡忘了，但留存的应是那种铭刻在心头的数学思想、数学思维方式.从运算的角度看，公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算：加、减、乘、除、乘方、开方，体现了公式的和谐统一.各级运算的顺序自动决定了一元二次方程的解题顺序.开平方运算不是总能进行的，要根据判别式的符号来判断方程是否有实数根，如果有实数根，则由三个系数来确定.通过运算可以完美地解决根的存在性、根的个数、根的求法三个问题，可以说是“万能”求根公式.它向我们展示了抽象性、一般性和简洁性等数学的美和魅力.3.与相关内容的联系：方程是初中数学的核心概念，在初中数学中占有重要的地位.在学习一元二次方程之前学生已经学会了解一元一次方程、二元一次方程和分式方程等，积累了一定的解方程的经验，体会到解分式方程时需要通过去分母将分式方程转化为整式方程，渗透了转化的数学思想，为研究一元二次方程的解法奠定了基础.，同时一元二次方程的“公式法”是在学习了直接开方法和配方法之后必须掌握的另一种解一元二次方程的方法，是配方法的一般化和程式化，利用它可以更便捷地解一元二次方程.另外，一元二次方程的解法为高中阶段学习二元二次方程组和一元高次方程的解法提供了方法的引领，发挥着重要的作用.从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，不仅是对已经学过的实数、整式、二次根式等知识的巩固，也为今后学习二次函数以及高中阶段的算法等知识奠定基础，起到了承上启下的作用.二、教学目标1.经历一元二次方程的求根公式的推导过程，领悟其基本思想（降次化归）与基本方法（配方法）；2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况，能够运用公式法求解一元二次方程（数字系数）；3.通过推导求根公式，加强推理技能训练，发展逻辑思维能力和善于发现问题的思维素质.三、学生学情分析学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；学生原有的认知结构中已有的知识是直接开平方法解一元一次方程以及用配方法解数字系数的一元二次方程，学生通过直接开平方法、配方法解一元二次方程的学习，对于降次化归的理论依据（开平方）以及基本思路（将一元二次方程转化为两个一元一次方程）已比较熟悉.这节课可以借助学生已有的配方经验，从具体到抽象，得到一元二次方程一般形式的解，即求根公式.但是九年级学生的思维水平处于具体形象思维向抽象思维过渡阶段，对于一般形式的一元二次方程求解过程以及公式法求解一元二次方程本质的理解仍然存在一定的困难.具体体现在以下几个方面：1.学生独自运用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的过程会遇到困难.2.在用配方法进行公式推导时，忽视对b2-4ac取值的讨论是学生的易错点，也是难点，此讨论又是分类思想的渗透，判别式的应用也在此得以体现.3.对2244a ac b a b x -±=+ 的化简也会存在问题，有些学生会对由2244a ac b a b x -±=+到a ac b a b x 242-±=+的变化不理解. 4.用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程，只要确定系数a 、b 、c 的值，代入公式就能求出方程的根，学生对这个本质的理解会存在困难.四、教学策略分析策略1——课前通过用配方法解数字系数的一元二次方程，回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤，为本节课中的用配方法推导一元二次方程的求根公式奠定理论基础，同时为了降低学生解字母系数的一元二次方程的难度，将推导的过程分为两个环节，第一环节以填空题的形式，让学生明确二次项系数化为1、移项、配方等过程，掌握每一步的具体做法以及变形的依据.第二环节则采用小组讨论和全班共同探索的方式进行，这样就解决了学生独立推导求根公式所面临着种种困难的问题.策略2——当推导到22a4ac 4-b ）a 2b （=+2x 这一步时，通过设计问题串引发学生的思考，逐步意识到只有当配方的结果是一个非负数时才能进行开方运算，于是针对22a 4ac4-b 展开进一步的探讨，渗透分类讨论的数学思想，此环节采用小组交流的方式进行，避免了学生独立思考时思维的局限性.策略3——对2244a ac b a b x -±=+ 进行化简时可能会出现两种情况，一部分学生会误认为2244a ac b -的化简结果就是a 2ac4-b 2，没有考虑到4a 2开方的结果是a 2，缺少分类讨论的思想；还有一部分是对aac b a b x 2422-±=+不会化简，为了突破这个难点，在教学设计时采用采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考， ∵a ≠0，当a ＞0时2a 4ac b a b x 2-±=+ ，当a ＜0时2a 4ac b 2a -4ac b a bx 22-=-±=+ ∴无论a ＞0还是a ＜0 ，都有aac b a b x 242-±=+ ，这样也就解决了学生在推导公式过程中的又一个难题. 策略4——为了强化学生对用公式法求解一元二次方程本质的理解，在教学活动中不是直接告诉学生这个过程就是代数式求值的过程，而是通过具体的例题展示和练习让学生自己经历先确定系数a 、b 、c ，再判断b 2-4ac ，最后代入公式求解一元二次方程的过程，亲身感受到用公式法求解一元二次方程本质就是一个代数式求值的过程.另外，为了便于学生理解，教学环节中又设计了一个程序图来表示用公式法解一元二次方程的步骤，更能直观形象地反映这一本质，同时揭示了“神器”的奥秘，引申出高中阶段要学习的算法知识，体现了知识的前后联系.五、教学过程第一环节 情境引入活动内容：数学竞赛，比一比看谁做的又快又准.用配方法解下列方程：(1)2x2-7x+3=0 (2)2x2+5x+4=0找男生代表和女生代表到前面板演，其余同学在题单上运算.设计意图：与本节课有实质性联系的内容是前一节的配方法，以此为新知识的生长点呈现练习题：用配方法解两个上述方程，即激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可以用配方法来求解，同时体验到配方法的局限性.由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够了.思考：（1）回忆用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？体现了哪种数学思想？设计意图：通过提问，一方面加深对学生数学思想方法的渗透，另一方面，与本节课公式法解一元二次方程的本质形成对比，增强学生对知识的理解和掌握.（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？设计意图：复习用配方法解一元二次方程的步骤为后面用配方法推导一元二次方程的求根公式做铺垫.（3）所有的一元二次方程都能用配方法求解吗？你喜欢配方法吗？为什么？（4）能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根呢？出示“计算神器”，指出只要知道a、b、c就能很快判断出方程根的情况，并且很快计算出方程的根.用“计算神器”计算上面两个一元二次方程，并让学生随机说出一个一元二次方程，进行求解.设计意图：借助“计算神器”，一方面激发学生学习数学的兴趣，调动积极性；另一方面，使学生初步感受到一元二次方程的根的情况就是由系数a 、b 、c 决定的.特别是计算神器的原理又是高中阶段的算法的程序图，这样处理体现知识的前后联系.第二环节 新知探究活动1：推导求根公式.用配方法解一元二次方程：ax 2+bx +c =0(a ≠0)学生阅读题单上小亮同学的用配方法解方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）时的一部分过程，请将横线上的部分补充完整，并指出每一步的依据.解：∵a ≠0∴方程两边都除以a 得0a c x a b x 2=++ ，得 a c x a b x 2-=+ 配方，得 222ac x a b x ) () (+-=++ 即: 2x ）____（+= 思考：（1）按照配方法的步骤，下一步应该做什么呢？（2）现在能直接两边开平方吗？如果能开平方，写出开平方后的结果，如果不能，说明理由.（学生小组内讨论）（3）什么情况下 04422≥-aac b？ 引导学生分析∵ a ≠0∴ 4a 2>0 要使04422≥-aac b 只要 b 2-4ac ≥0即可.当b 2-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得： 2244a ac b ab x -±=+ （4）如何对2244a ac b ab x -±=+进行化简呢？ （学生先独立思考再小组交流讨论）PPT 呈现：对2244a ac b a b x -±=+化简结果进行分析 ∵a ≠0当a ＞0时2a 4ac b a bx 2-±=+ 当a ＜0时2a4ac b 2a -4ac b a bx 22-=-±=+ ∴无论a ＞0还是a ＜0 ，都有aac b a b x 242-±=+ 最后得出aac b b x 242-±-=设计意图：由于用配方法推导求根公式是本节课的一个难点，为了突破这个难点，于是将公式的推导过程分为两个部分，第一部分，只要学生知道配方法的步骤及每一步对应的依据就能很快完成推导过程，但是后一部分对开方的条件的判断以及对2244a ac b ab x -±=+的化简结果的讨论都是本节课上学生的困难所在，于是采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考，大大降低了推导公式的难度，达到让学生跳一跳就能摘到桃子的效果.（5）如果b 2-4ac <0时，会出现什么问题？ 归纳：我们把a ac b b x 242-±-=称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.设计意图：理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件，理解公式的结构特征，突出数学问题的本质.活动2：典例示范.例：用公式法解方程：2x 2-7x +3=0板书示范 解：这里 a =2, b =-7, c =3∵b 2-4ac =(-7)2-4×2×3=25>0 ∴4572225)7(±=⨯±--=x 即31=x ，212=x 思考：例题与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？ 设计意图：回到情境中的练习，运用求根公式解方程2x 2-7x +3=0，使学生体会到求根公式的优越性，感悟从特殊到一般、发现提出问题的方法.请模仿例题完成下面的做一做做一做：用公式法解下列方程（1）4x 2+1= 4x （2）2x ²+5x +4=0思考：（1）第（2）题与第一环节中的第（2）题对比，哪种解法更简捷？（2）通过例题与练习题的学习，请思考用公式法求解一元二次方程的一般步骤有哪些？（3）观察这三道题，你还有什么发现？归纳：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，一元二次方程实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程实数根；当b2-4ac＜0时，一元二次方程实数根.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母Δ来表示.设计意图：通过解方程使学生进一步体会求根公式的实质是代数式求值的过程，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路.使学生运用求根公式解方程的同时，体验判别式与根的个数的关系，特别是判别式小于0时直接得到无实数根而不用代入求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程时可以先确定判别式的值代入求根公式，从而丰富和优化学生的认知结构.第三环节巩固应用1.判断下列方程根的情况：（1）4x2+4x+5=0 （2）3x²+7x=0（3）9x2=6x－1 （4）2x（x-1）=-32.上述方程如果有解，求出方程的解.设计意图：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度.第四环节 感悟收获谈谈本节课的收获和体会？你还有哪些问题？学生发言，互相补充，教师点评完善. 既要关注知识的整理与归纳，更要关注本节课研究问题的过程以及运用的数学思想方法.设计意图：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络.另外，用程序图表示用公式法解一元二次方程的步骤，揭开神器的秘密，学生的好奇心得到满足.第五环节 当堂检测1.一元二次方程y 2＋3y －4=0的根的情况为（ ）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.不能确定2.已知关于x 的一元二次方程x ²+2x +a =0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 41 D. 413.用公式法解方程4x2+9=12x设计意图：紧扣目标点设计达标测评题，全面了解学生学习水平，及时发现学生认识中存在的问题，给予有效指导，保证当堂落实.第六环节布置作业必做题：习题2.5 知识技能第1、2、3题选做题：尝试用不同种方法解一元二次方程2x²－3x+1=0，通过解答过程谈一谈每种解法的优势与不足.六、教学反思本节课的设计目标明确，重点突出，课前以数学竞赛（用配方法解一元二次方程）引入，调动了学生学习数学的积极性，同时激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.公式的推导过程本来是本节课的难点所在，课前设计的各种为了突破难点的策略都发挥了极大的作用，学生在问题的引导下，同伴的互助下很顺利地推导出了一元二次方程的求根公式.公式的训练、落实有效，对判别式的归纳从特殊到一般思路很清晰，归纳也条理.在整个课堂教学活动中，不仅关注数学知识与能力的发展，同时也重视数学思想方法的渗透；不仅有学生独立思考解决问题的环节，同时也关注了学生之间的合作交流，培养了学生之间的合作精神，不仅注重了对学生基础知识和基本技能的评价，同时又注重了对学生情感态度的评价.。