带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题(解析版)

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．
1．临界条件的挖掘
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。

(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。

2．不同边界磁场中临界条件的分析
(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。

(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。

(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。

粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。

3. 审题技巧
许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．
【典例1】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。

一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。

现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正
方形内，下列说法中正确的是( )
A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是5
3t 0，则它一定从cd 边射出磁场
B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是2
3t 0，则它一定从ad 边射出磁场
C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是5
4t 0，则它一定从bc 边射出磁场
D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场 【答案】 AC 【解析】 如图所示，
【典例2】放置在坐标原点O 的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子的速率均为v ，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy 平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B ，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x 轴放置的挡板PQ 上，求：
(1)挡板PQ 的最小长度； (2)磁场区域的最小面积． 【答案】 (1)mv Bq (2)⎝⎛⎭⎫π2＋1m 2v 2q 2B
2
【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝mv 2R ，即R ＝mv
Bq
【跟踪短训】
1. 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图8－2－24所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．
A ．若r <2mv q
B ，则0°<θ<90° B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πm
qB
C ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv qB
D ．若r ＝2mv qB ，则t ＝πm
qB
【答案】 AD
【解析】 带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径R ＝mv qB .当r ≥2mv
qB 时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大
且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r <2mv
qB 时，粒子在到达P 点之前射出圆形磁场区，速度偏转
角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，
能过x 轴的粒子的速度偏转角φ>90°，所以过x 轴时0°<θ<90°，A 对、B 错；同理，若t ＝πm
qB ，则
r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t 等于πm qB
，C 错、D 对． 2. 如图所示，磁感应强度大小为B ＝0.15 T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R ＝0.10 m 的圆形区域内，圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端跟很大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。

置于原点的粒子源可沿x 轴正方向以不同的速度射出带正电的粒子流，粒子的重力不计，比荷q
m ＝1.0×108
C/kg 。

(1)请判断当粒子分别以v 1＝1.53×106 m/s 和v 2＝0.53×106 m/s 的速度射入磁场时，能否打到荧光屏上；
(2)要使粒子能打在荧光屏上，求粒子的速度v 0的大小应满足的条件；
(3)若粒子的速度v 0＝3.0×106 m/s ，且以过O 点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，求此过程中粒子打在荧光屏上离A 的最远距离。

【答案】 (1)速度为v 1时，能 速度为v 2时，不能 (2)v 0>1.5×106 m/s (3)0.15 m 【解析】 (1)粒子以不同速度射入磁场的轨迹如图甲所示，
同理，当粒子的速度为v 2时，
解得r 2＝
3
3
R <R ，故不能打到屏上。

(2)设当v 0＝v 3时，粒子恰好打不到荧光屏上，则这时粒子沿图甲中轨迹②从磁场的最高点竖直向上射出磁场。

由几何关系可知，粒子在磁场中的轨迹半径r 3＝R 。

由洛伦兹力提供向心力，得qv 3B ＝m v 32
r 3，解得v 3＝1.5×106 m/s 。

由题意可知，当v 0>1.5×106 m/s 时，粒子能打到荧光屏上。

课后作业
1. 如图所示，圆形区域半径为R ，区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，P 为磁场边界上的最低点。

大量质量为m 、电荷量大小为q 的带负电粒子，以相同的速率从P 点射入磁场区域，速度方向沿位于纸面内的各个方向。

粒子的轨道半径为2R ，A 、C 为圆形区域水平直径的两个端点，粒子重力不计，空气阻力不计，则( )
A ．粒子射入磁场的速率为v ＝2Rq
B m
B ．粒子在磁场中运动的最长时间为t ＝πm
3qB
C ．不可能有粒子从C 点射出磁场
D．若粒子的速率可以变化，则可能有粒子从A点水平射出
【答案】ABD
2. 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝16 cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v＝
3.0×106 m/s。

已知α粒子的电荷量与质量之比q
m＝5.0×10
7 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。

【答案】20 cm
【解析】α粒子从S点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中均沿逆时针方向做匀速圆
周运动，可求出它们的运动轨迹半径R，由qvB＝m v2
R，得R＝
v
q/m B，代入数值得R＝10 cm，可见
2R>l>R.
由于朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，可先考查速度沿负y方向的α粒子，其轨迹圆心在x轴上的A1点，将α粒子运动轨迹的圆心A1点开始，沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如图所示。

由图可知，当轨迹圆的圆心移至A3 点时，粒子运动轨迹与ab相交处P2 到S 的距离为2R，P2 即为粒子打中ab上区域的右边最远点，由题中几何关系得：NP2 ＝2R2－l2.
当α粒子的轨迹的圆心由A3点移至A4点的过程中，粒子运动轨迹均会与ab相交，当移动A4点后将不再与ab相交了，这说明圆心位于A4点的轨迹圆，与ab相切的P1点为粒子打中区域的左边最远点。

可过A4点作平行于ab的直线cd，再过A4作ab的垂线，它与ab的交点即为P1，同样由几何关系可知：NP1＝
则所求长度为P1P2＝NP1＋NP2，代入数值得P1P2＝20 cm.
3. 如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m＝5.0×10－8 kg、电量为q＝＋1.0×10－6 C的带电粒子，从静止开始经U0＝10 V的电压加速后，从P点沿图示方向进入磁场，已知OP＝30 cm(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)粒子到达P点时速度v的大小；
(2)若磁感应强度B＝2.0 T，粒子从x轴上的Q点离开磁场，求OQ的距离；
(3)若粒子不能进入x轴上方，求磁感应强度B′满足的条件。

【答案】：(1)20 m/s(2)0.90 m (3)B′>5.33 T(取“≥”也可)
而
OP
sin 37°＝R＝0.50 m
由几何关系知，粒子的轨迹圆心一定在x轴上，粒子到达Q点时速度方向垂直于x轴，轨迹如图甲所示。

由几何关系可知：
OQ＝R＋R cos 37°
故OQ＝0.90 m。

(3)若粒子恰好不从x轴射出，如图乙所示，
由几何关系得：
OP>R′＋R′sin 37°
R′＝mv qB′
联立以上两式并代入数据得：
B′>16
3T≈5.33 T(取“≥”也可)。

4. 如图，图中坐标原点O(0,0)处有一带电粒子源，沿xOy平面向y≥0、x≥0的区域内的各个方向发射粒子。

粒子的速率均为v、质量均为m、电荷量均为＋q。

有人设计了方向垂直于xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该区域的边界射出时均能沿y轴负方向运动，不考虑粒子间相互作用，不计粒子重力。

求：
(1)粒子与x轴相交的坐标范围；
(2)粒子与y轴相交的坐标范围；
(3)该匀强磁场区域的最小面积。