运用完全平方公式进行因式分解ppt课件
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第2课时 用完全平方公式进行因式分解
【例3】将下列多项式分解因式：（1）ax2+2a2x+a3 （2）-3x2+6xy-3y2
解:原式=a(x2+2ax+a2) =a(x+a)2
解:原式=-3(x2-2xy+y2) =-3(x-y)2
能提公因式的，要先提公因式再用完全平方公式进行因式分解
【例4】 利用完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2500.
【例5】 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时 运用完全平方公式因式分解
1.能够运用完全平方公式进行因式分解（重点）2.能综合运用各种方法进行因式分解（难点）
学习目标
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
1.完全平方式
问题四 这两个多项式有什么共同的特点？
(4m)2
16m2 +8mn+n2；
=(4m+n)2 .
+2•(4m)
+n2
a2 - 2 ab + b2
y2
解:原式=
【例2】分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.
解:原式=(4x)2+2∙4x∙3+32 =(4x+3)2
解:原式=-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2∙x∙2y+(2y)2] =-(x-2y)2.
解:原式=a(x2+2ax+a2) =a(x+a)2
解:原式=-3(x2-2xy+y2) =-3(x-y)2
能提公因式的，要先提公因式再用完全平方公式进行因式分解
【例4】 利用完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2500.
【例5】 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时 运用完全平方公式因式分解
1.能够运用完全平方公式进行因式分解（重点）2.能综合运用各种方法进行因式分解（难点）
学习目标
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
1.完全平方式
问题四 这两个多项式有什么共同的特点？
(4m)2
16m2 +8mn+n2；
=(4m+n)2 .
+2•(4m)
+n2
a2 - 2 ab + b2
y2
解:原式=
【例2】分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.
解:原式=(4x)2+2∙4x∙3+32 =(4x+3)2
解:原式=-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2∙x∙2y+(2y)2] =-(x-2y)2.
因式分解(完全平方公式)精选教学PPT课件
ab2 a2 2ab b2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2
a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解
利用完全平方公式进行因式分解ppt课件
④ 4x2 – 8xy + 4y2 = 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2
例3 把下列完全平方式因式分解。
（1）x2+14x+49； （2）（m+n）2-6（m+n）+9.
例4 把下列各式因式分解。
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy。
补例 把9x2 3x 1 因式分解
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1 = (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方公式也可 以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。 即：
a 2 2 a b b 2 a b 2
a 2 2 a b b 2 a b 2
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
a 2 2 a b b 2 a b 2
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _______(a_+__3)_2______ ② n2–10n+25 = ____(n_–_5_)_2_______ ③ 4t2–8t+4 = _____4_(t_–_1_)_2 _______ ④ 4x2–12xy+9y2 = _(_2_x_–_3_y_)2______
形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式。
① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1
完全平方式
④ 4x2 – 8xy + 4y2 ⑤ 1 – 2a2 + a4 ⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
111111完全平方公式进行因式分解一ppt课件
2
2 2
2
(2) 49b a 14ab (3) a 10a 25
2 3 2 2 3
(4) 4 x y 4 x y xy
例2：因式分解
(1) x 18 x 81
4 2
(2)
(2 x y ) 6(2 x y ) 9
2
（３）
1 2 2 x 3xy 9 y 4
2 2
(x 7)
2
(2)
(m n) 6(m n) 9
2
原式 (m n) 2 2 (m n) 3 32 解：
(m n 3) 2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
a表示：2x+y b表示：3
(2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32
( 2 x y 3) 2
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， ( 2 y 1) 2 b表示1
9a b 3ab 1
2 2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
2 2
2
(2) 49b a 14ab (3) a 10a 25
2 3 2 2 3
(4) 4 x y 4 x y xy
例2：因式分解
(1) x 18 x 81
4 2
(2)
(2 x y ) 6(2 x y ) 9
2
（３）
1 2 2 x 3xy 9 y 4
2 2
(x 7)
2
(2)
(m n) 6(m n) 9
2
原式 (m n) 2 2 (m n) 3 32 解：
(m n 3) 2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
a表示：2x+y b表示：3
(2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32
( 2 x y 3) 2
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， ( 2 y 1) 2 b表示1
9a b 3ab 1
2 2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
利用完全平方公式因式分解
利用完全平方公式因式分解当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方公式来进行因式分解。
完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式转化为一个平方的方法。
完全平方公式如下：(a+a)^2=a^2+2aa+a^2(a−a)^2=a^2−2aa+a^2我们以一个具体例子来说明这个方法。
假设我们要因式分解a^2+6a+9这个二次多项式。
我们可以将这个多项式写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。
因此，a^2+6a+9=(a+3)^2接下来我们来看一个更复杂的例子。
假设我们要因式分解a^2+8a+12这个二次多项式。
我们可以尝试将这个多项式写成两个完全平方的和的形式。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。
a^2+8a+12=(a+2)(a+6)通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。
(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。
除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。
例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。
我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。
通过这种方法，我们成功将a^4+10a^2+25因式分解为一个完全平方的平方。
(a^2+5)^2即为该多项式的因式分解形式。
总结一下，完全平方公式是一种因式分解多项式的方法。
通过将一个二次多项式转化为一个平方的形式，我们可以更容易地因式分解一个多项式。
通过试错的方法或其他的求解技巧，我们可以找到适合使用完全平方公式的例子来进行因式分解。
用完全平方公式因式分解
注意符号 哦！！！
解：原式＝ - （x2 – 4xy + 4y2 ） = - ( x – 2y )2
1、下列分解因式正确的是（ B ）
A、1+4x2 =(1+2x)2
B、a2+6a+9 = (a+3)2 C、1+4m- 4m2=(1-2m)2
小心变形哦
D、x2+xy+y2=(x+y) 2
2、把下列各式分解因式：
（1）有 三 项组成。
（2）有两项分别是某两个数（或式）的
平方，
且这两项 同 号.
（3）交叉项是上述两数（或式）的乘积的 2倍或-2 倍
我们把多项式a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b² 叫做完全平方式。
16x2 －+24x+9
. . (4x)2 －+ 2 4x 3 +32
. . a2 －+ 2 a b + b2
(1)4x2-4x＋1
(2) -2xy-x²-y²
我们已经学习了两种方法进行因式分解： 第一种是提公因式法， 第二种运用公式法：如果多项式是二项式，
考虑运用平方差公式，如果多项式是三项式， 考虑运用完全平方公式。
(1)3ax2 + 6axy＋ 3ay2
注意啦！如果多项式中有公因式，应先提取公因式！
简单记成：一提二套三彻底
练一练：把下列各式分解因式： （1） ax2 + 2a2x + a3
（2）(m + n )2 + 4(m + n) + 4
求华
学习目标：
1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过程， 理解公式的意义。
8.因式分解-----公式法课件数学沪科版七年级下册
解：（1）原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)
（2）原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
分解后的结果中若出现公因 式，一定要再用提公因式法 继续分解.
2.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36；
（1）ab2-ac2;
(2)3ax2+24axy+48ay2. 48a=3a×16
(1)解：ab2-ac2 =a(b2-c2) （提取公因式） =a(b+c)(b-c).（用平方差公式）
(2)解：3ax2+24axy+48ay2 =3a(x2+8xy+16y2) （提取公因式） =3a[x2+2·x·4y+(4y)2] =3a(x+4y)2. （用完全平方公式）
（2）原式=－ 3（x2 -2xy +y2） =－3(x－y )2.
3.分解因式： （3）5m2a4－5m2b4； （4）a2－4b2－a－2b.
解：（3）原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
（4）原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
整式乘法
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
类比平方差公式，把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
第三讲因式分解PPT课件
① x2-5x+6
1
-2
1
-3
解：原式=（x-2)(x-3)
② a2-a-2
1
1
1
-2
解：原式=(a+1)(a-2)
【例 4】 (2011·台湾)下列四个多项式，是 2x2＋5x－3 的因式的只能为
( A)
A．2x－1
B．2x－3
C．x－1
D．x－3
2x²-5x-3
4x²+10x+6
⑷分组分解法： a3 a2 a 1
（1）、提公因式法： 公因式的确定：
ma + mb + mc = m（a+b+c）系数取所有系数的最大公约数，
字母取相同的字母， 指数取最低指数。
练习：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
）②p（y-x）-2（x-y）
解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
解：原式=p(y-x)+2(y-x) =(y-x)(p+2)
综合运用多种方法分解因式
知能迁移 4 (1)分解因式：a5－a (2)分解因式：(x＋2)(x＋4)＋x2－4 (3)(解2012(·x＋临2沂)(x)＋分4解)＋因x式22－：4a－6ab＋9ab2＝ ________＝．x22＋6x＋8＋x22－4 (4)在＝实2x数22＋范6x围＋内4 分解因式：x4－4
（2）运用公式法：
例题精析
【例 1】 (1)(2013·广东湛江)分解因式：x2－4＝___x_2－__4_＝__(_x_＋__2_)(_x_－__2_)____． (2)(2013·江苏苏州)分解因式：a2＋2a＋1＝___a_2＋__2_a_＋__1_＝__(_a_＋__1_)2_____． (3)(2013·山东滨州)分解因式：5x2－20＝__5_x_2_－__2_0_＝__5_(_x_＋__2_)(_x_－__2_)_． (4)(2013·湖南益阳)分解因式：xy2－4x＝___x_y2_－__4_x_＝__x_(_y＋__2_)_(_y_－__2_) __．
完全平方公式PPT精品课件1
1、想要体面生活，又觉得打拼辛苦；想要健康身体，又无法坚持运动。人最失败的，莫过于对自己不负责任，连答应自己的事都办不到，又何必抱怨这个世界都和你作对？人生的道理很简单，你想要什么，就去付出足够的努力。 2、时间是最公平的，活一天就拥有24小时，差别只是珍惜。你若不相信努力和时光，时光一定第一个辜负你。有梦想就立刻行动，因为现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 3、无论正在经历什么，都请不要轻言放弃，因为从来没有一种坚持会被辜负。谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。 4、努力本就是年轻人应有的状态，是件充实且美好的事，可一旦有了表演的成分，就会显得廉价，努力，不该是为了朋友圈多获得几个赞，不该是每次长篇赘述后的自我感动，它是一件平凡而自然而然的事，最佳的努力不过是：但行好事，莫问前程。愿努力，成就更好的你！ 5、付出努力却没能实现的梦想，爱了很久却没能在一起的人，活得用力却平淡寂寞的青春，遗憾是每一次小的挫折，它磨去最初柔软的心智、让我们懂得累积时间的力量；那些孤独沉寂的时光，让我们学会守候内心的平和与坚定。那些脆弱的不完美，都会在努力和坚持下，改变模样。 6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！ 7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！ 8、人生的旅途中，最清晰的脚印，往往印在最泥泞的路上，所以，别畏惧暂时的困顿，即使无人鼓掌，也要全情投入，优雅坚持。真正改变命运的，并不是等来的机遇，而是我们的态度。 9、这世上没有所谓的天才，也没有不劳而获的回报，你所看到的每个光鲜人物，其背后都付出了令人震惊的努力。请相信，你的潜力还远远没有爆发出来，不要给自己的人生设限，你自以为的极限，只是别人的起点。写给渴望突破瓶颈、实现快速跨越的你。 10、生活中，有人给予帮助，那是幸运，没人给予帮助，那是命运。我们要学会在幸运青睐自己的时候学会感恩，在命运磨练自己的时候学会坚韧。这既是对自己的尊重，也是对自己的负责。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠， 其实都是祝愿。
因式分解完全平方公式课件
因式分解
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结 构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项 都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重 要内容，对于培养学生的逻辑思维和数 学能力具有重要意义。随着教育改革的 深入，因式分解完全平方公式的应用将 更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有 广泛应用，还在物理学、工程学等领域中 有所应用。例如，在解决物理问题时，可 以利用因式分解完全平方公式简化复杂的 物理表达式；在计算机科学中，因式分解 完全平方公式也可以用于算法优化和数据 结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均 为2，且常数项是首项和末项系数之积 的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式 的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的 练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的 基础应用，需要掌握公式结构，理解每 一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少 练习题2：a^2+2ab+b^2=多少
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结 构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项 都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重 要内容，对于培养学生的逻辑思维和数 学能力具有重要意义。随着教育改革的 深入，因式分解完全平方公式的应用将 更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有 广泛应用，还在物理学、工程学等领域中 有所应用。例如，在解决物理问题时，可 以利用因式分解完全平方公式简化复杂的 物理表达式；在计算机科学中，因式分解 完全平方公式也可以用于算法优化和数据 结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均 为2，且常数项是首项和末项系数之积 的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式 的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的 练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的 基础应用，需要掌握公式结构，理解每 一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少 练习题2：a^2+2ab+b^2=多少
2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第2课时用完全平方公式分解因式课件浙教版
4.3 用乘法公式分解因式
勤反思
小结
完 全 平 方 公 式
特征
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式简化运算
4.3 用乘法公式分解因式
反思
判断下面分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．
a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)．
解：不正确．改正：a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)＝ab(a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
筑方法
类型一 用完全平方公式分解因式
例1 教材例3变式题用完全平方公式进行因式分解：
(1)9m2＋24mn＋16n2；(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4.
解： (1)9m2＋24mn＋16n2＝(3m＋4n)2.
(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4＝(x－2)2－4(x－2)＋4＝(x－2－2)2＝(x－4)2.
解：(1)x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2. (2)16a4－8a2＋1＝(4a2)2－2×4a2×1＋12＝(4a2－1)2＝(2a＋1)2(2a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
【归纳总结】因式分解的一般步骤 (1)观察多项式是否存在公因式； (2)若提取公因式后的式子是两项或三项，则考虑是否符合平 方差公式或完全平方公式的特点； (3)检查每个因式是否分解彻底．
第4章
4.3
分解因式
用乘法公式分解因式
第4章 因式分解
第2课时
用完全平方公式 分解因式
学知识 筑方法
勤反思
4.3 用乘法公式分解因式
学知识
知识2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
平方和 ，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数 即两数的________
用完全平方公式进行因式分解
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
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1
复习
已经学过的因式分解的哪些方法？
1、提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、运用公式法
（1）平方差公式
a2 b2 (a b)(a b)
2
练习
把下列各式分解因式
① a3-a
② x4-16
解：原式=a(a2-1)
解： 原式=(x2+4)(x2-4)
=a(a+1)(a-1)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
3
引入 口算:
1. (x 2)2 x2 4x 4 2. (1 3a)2 1 6a 9a2 3.(3x 5y)2 9x2 30xy 25 y2 4.( y 3z)2 y2 6yz 9z2
4
回顾与思考:
上面计算过程中运用了哪个乘法公式? 完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
x2-2·x·3+32
x2-2·x·0.5+0.52
12+2·1·0.5m+(0.5m)2 (2y)2-2·2y·3x+(3x)2
7
课内练习
2、填空 ：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1) 2 （4）n2-2n+ 1 =( n-1 ) 2 （5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y) 2
公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
｛ a2-2ab+b2=(a-b)2
①三项式
完全平方式，特征： ②两平方项的符号同正
③首尾2倍中间项
例1 把下列各式分解因式：
（1）4a2+12ab+9b2
（2）-x2+4xy-4y2
解：原式=(2a)2 + 2·2a·3b+ (3b)2 解：原式=-(x2-4xy+4y2)
9
课本P162 T1、T2 想一想
10
7.5运用完全平方公式分解因式
公式：a2-2ab+b2=(a-b)2
完全平方式，特征：
①三项式
整式乘法
(a+b)2
a2+2ab+b2
②两平方项的符号同正
因式分解
③首尾2倍中间项
整式乘法(a-b)2a2-2ab+b2
因式分解
11
7.5运用完全平方公式分解因式
5
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
完全平方式又怎样的特征呢？
①三项式; ②其中两项是两个整式的和; ③另一项是这两个整式积的2倍。
6
课内练习
1、下列多项式哪些是完全平方式？哪些不是？
√（1）x2-6x+9 ×（2）1+4a2 ×（3）x2-0.5x+0.25 ×（4）4x2+4x-1 √（5）1+m+0.25m2 √（6）4y2-12xy+9x2
（5）xn+2xn+1+xn+2
(n为正整数)
13
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全平方
式，则k=
2.已知
a(a+1)-(a2-b)=-2,
求
a2+b2 2
+ab
的值。
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
14
15
=(2a+3b)2
=-［x 2 -2·x·2y+(2y) 2 ］
（3）0.25x2+xy+y2
=-(x-2y) 2
解：原式=(0.5x)2+2·0.5x·y+y2
=(0.5x+y) 2
12
练习 把下列各式分解因式：
（1）9-6y3+6y6 （2）m2-2m(p+q)+(p+q)2 （3）27a2+18ab+3b2 （4）x3-4x2y+4xy2
8
练习
例1 把下列各式分解因式：
(1) x2 2 xy 1 y2 (2) 2ax2 12axy 18ay2
39
(3)(x y)2 8(x y) 16
分析：（1）首先要提取负号，使其变成为完全平方式。 （2 ） 因式分解时，如果多项式有公因式一般 先提取公因式，再用其他方法分解因式。
（3）把 ( x y) 看作一个整体。
复习
已经学过的因式分解的哪些方法？
1、提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、运用公式法
（1）平方差公式
a2 b2 (a b)(a b)
2
练习
把下列各式分解因式
① a3-a
② x4-16
解：原式=a(a2-1)
解： 原式=(x2+4)(x2-4)
=a(a+1)(a-1)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
3
引入 口算:
1. (x 2)2 x2 4x 4 2. (1 3a)2 1 6a 9a2 3.(3x 5y)2 9x2 30xy 25 y2 4.( y 3z)2 y2 6yz 9z2
4
回顾与思考:
上面计算过程中运用了哪个乘法公式? 完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
x2-2·x·3+32
x2-2·x·0.5+0.52
12+2·1·0.5m+(0.5m)2 (2y)2-2·2y·3x+(3x)2
7
课内练习
2、填空 ：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1) 2 （4）n2-2n+ 1 =( n-1 ) 2 （5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y) 2
公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
｛ a2-2ab+b2=(a-b)2
①三项式
完全平方式，特征： ②两平方项的符号同正
③首尾2倍中间项
例1 把下列各式分解因式：
（1）4a2+12ab+9b2
（2）-x2+4xy-4y2
解：原式=(2a)2 + 2·2a·3b+ (3b)2 解：原式=-(x2-4xy+4y2)
9
课本P162 T1、T2 想一想
10
7.5运用完全平方公式分解因式
公式：a2-2ab+b2=(a-b)2
完全平方式，特征：
①三项式
整式乘法
(a+b)2
a2+2ab+b2
②两平方项的符号同正
因式分解
③首尾2倍中间项
整式乘法(a-b)2a2-2ab+b2
因式分解
11
7.5运用完全平方公式分解因式
5
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
完全平方式又怎样的特征呢？
①三项式; ②其中两项是两个整式的和; ③另一项是这两个整式积的2倍。
6
课内练习
1、下列多项式哪些是完全平方式？哪些不是？
√（1）x2-6x+9 ×（2）1+4a2 ×（3）x2-0.5x+0.25 ×（4）4x2+4x-1 √（5）1+m+0.25m2 √（6）4y2-12xy+9x2
（5）xn+2xn+1+xn+2
(n为正整数)
13
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全平方
式，则k=
2.已知
a(a+1)-(a2-b)=-2,
求
a2+b2 2
+ab
的值。
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
14
15
=(2a+3b)2
=-［x 2 -2·x·2y+(2y) 2 ］
（3）0.25x2+xy+y2
=-(x-2y) 2
解：原式=(0.5x)2+2·0.5x·y+y2
=(0.5x+y) 2
12
练习 把下列各式分解因式：
（1）9-6y3+6y6 （2）m2-2m(p+q)+(p+q)2 （3）27a2+18ab+3b2 （4）x3-4x2y+4xy2
8
练习
例1 把下列各式分解因式：
(1) x2 2 xy 1 y2 (2) 2ax2 12axy 18ay2
39
(3)(x y)2 8(x y) 16
分析：（1）首先要提取负号，使其变成为完全平方式。 （2 ） 因式分解时，如果多项式有公因式一般 先提取公因式，再用其他方法分解因式。
（3）把 ( x y) 看作一个整体。