将军饮马问题(讲)

4.如图，点边的距离之和最小

将军饮马问题

类型一、基本模式

类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）

2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河0A上的某一位置P,再马上赶到河0B上

的某一位置Q,然后立即返回校场N.请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q）, 使

得总路程M卉PQ+ QN最短.

0B上的某一位置Q.请为将军设计一条路线（即选择点P和Q）,使得总路程M卉PQ最短.

3、将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）：队伍长为a,沿河0B排开（从点P到点Q）;将军从马棚M出发到达队头P,从P至Q检阅队伍后再赶到校场N.请问：在什么位置列队（即选择点P和Q）,可以使得将军走的总路程皿卉PQ^ QN最短？

【变式】如图所示，将军希望从马棚

P 至U

0A

A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24

6. 已知/ AOB 试在/ AOB 内确定一点 P,如图，使 P 到OA OB 的距离相等，并且到 M N 两点的距离也相等•

7

、已知

/

MON= 40 ° , P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点 B ,当△ PAB 的周 长取最小值时，求/ APB 的度数. 练习

1、已知点A 在直线I 夕卜，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点 B ，当点P 在

直线I 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在，

请说明理由.

A

■

5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM ON 的对称点分别是

丄1和二，分别交OM, ON 于点

8.如图，在四边形

ABCD 中，/ A = 90°, AD= 4,连接 BD, BD 丄CD / ADB=Z C.若 P 是 BC

边上一动点，贝U DP 长的最小值为 _____

A B ,已知

=15,则厶PAB 的周长为（

C

2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓 库的距离

和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？

A*

■

B

■

----------------------------------------------------- a

3、已知：A 、B 两点在直线I 的同侧， 在I 上求作一点M ，使得|AM -BM |最小.

4、如图，正方形 ABCD 中，AB=8 , M 是DC 上的一点，且 DM =2 , N 是AC 上的一动 点，求DN MN 的最小值与最大值.

A B,在坐标轴上找两点 C 、D,使得四边形ABCD 勺周长最小。

.A

.B

5、如图，已知/ AOB 内有一点P,试分别在边 最小。试画出图形，并说明理由。

0A 和0B 上各找一点 E 、F ,使得△ PEF 的周长 6、如图，直角坐标系中有两点

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7、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸

垂直的桥CD问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

9、在平面直角坐标系中，A(1, -3)、B(4 , -1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形PABN的周长最小时，求a的值.

10、如图，在等腰梯形ABCC中，AB=CD=AD=2 / D=120，点E、F是底边AD与BC的中点, 连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短.

练习

1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有(

8、y x x2•— \.； (9 - x )2• 4 ,当x 为何值时,y的值最小，并求出这个最小值

O耗

B. 2个

2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

A.等边三角形 B .矩形 C .等腰梯形

3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形

的是

)

D •平行四边形

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4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们

把这样的图形变换叫做滑动对称变换.•在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变

换（如图甲）.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换.过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是（）

（A）对应点连线与对称轴垂直（B）对应点连线被对称轴平分

（C）对应点连线被对称轴垂直平分（D）对应点连线互相平行

3團甲4 團乙a

6、对右图的对称性表述，正确的是（）.

A.轴对称图形 B .中心对称图形 C .既是轴对称图形又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形

7、如图，△ A B C'是由△ ABC经过变换得到的，则这个变换过程是

（A）平移（B）轴对称（C）旋转（D）平移后再轴对称

A

C

8、如图所示，四边形OAB(是矩形，点A、C的坐标分别为(3, 0), (0,1),点D是线段

1

BC上的动点(与端点B C不重合)，过点D作直线y =—丄x + b交折线OA盯点E.

2

(1)记厶ODE勺面积为S,求S关于b的函数关系式；

(2)当点E在线段OA上时，若矩形OAB(关于直线DE的对称图形为四边形OABC,