将军饮马问题(讲)

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4.如图,点边的距离之和最小

将军饮马问题

类型一、基本模式

类型二、轴对称变换的应用(将军饮马问题)

2、如图所示,如果将军从马棚M出发,先赶到河0A上的某一位置P,再马上赶到河0B上

的某一位置Q,然后立即返回校场N.请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q), 使

得总路程M卉PQ+ QN最短.

0B上的某一位置Q.请为将军设计一条路线(即选择点P和Q),使得总路程M卉PQ最短.

3、将军要检阅一队士兵,要求(如图所示):队伍长为a,沿河0B排开(从点P到点Q);将军从马棚M出发到达队头P,从P至Q检阅队伍后再赶到校场N.请问:在什么位置列队(即选择点P和Q),可以使得将军走的总路程皿卉PQ^ QN最短?

【变式】如图所示,将军希望从马棚

P 至U

0A

A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24

6. 已知/ AOB 试在/ AOB 内确定一点 P,如图,使 P 到OA OB 的距离相等,并且到 M N 两点的距离也相等•

7

、已知

/

MON= 40 ° , P 为/ MON 内一定点,OM 上有一点 A , ON 上有一点 B ,当△ PAB 的周 长取最小值时,求/ APB 的度数. 练习

1、已知点A 在直线I 夕卜,点P 为直线I 上的一个动点,探究是否存在一个定点 B ,当点P 在

直线I 上运动时,点P 与A 、B 两点的距离总相等,如果存在,请作出定点 B ;若不存在,

请说明理由.

A

5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM ON 的对称点分别是

丄1和二,分别交OM, ON 于点

8.如图,在四边形

ABCD 中,/ A = 90°, AD= 4,连接 BD, BD 丄CD / ADB=Z C.若 P 是 BC

边上一动点,贝U DP 长的最小值为 _____

A B ,已知

=15,则厶PAB 的周长为(

C

2、如图,在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ,现需要建一货物中转站,要求到 A 、B 两仓 库的距离

和最短,这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理?

A*

B

----------------------------------------------------- a

3、已知:A 、B 两点在直线I 的同侧, 在I 上求作一点M ,使得|AM -BM |最小.

4、如图,正方形 ABCD 中,AB=8 , M 是DC 上的一点,且 DM =2 , N 是AC 上的一动 点,求DN MN 的最小值与最大值.

A B,在坐标轴上找两点 C 、D,使得四边形ABCD 勺周长最小。

.A

.B

5、如图,已知/ AOB 内有一点P,试分别在边 最小。试画出图形,并说明理由。

0A 和0B 上各找一点 E 、F ,使得△ PEF 的周长 6、如图,直角坐标系中有两点

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7、如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸

垂直的桥CD问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?

9、在平面直角坐标系中,A(1, -3)、B(4 , -1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形PABN的周长最小时,求a的值.

10、如图,在等腰梯形ABCC中,AB=CD=AD=2 / D=120,点E、F是底边AD与BC的中点, 连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短.

练习

1、观察下列银行标志,从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有(

8、y x x2•— \.; (9 - x )2• 4 ,当x 为何值时,y的值最小,并求出这个最小值

O耗

B. 2个

2、以下图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(

A.等边三角形 B .矩形 C .等腰梯形

3、在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形

的是

)

D •平行四边形

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4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中,是中心对称图形的个数为()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们

把这样的图形变换叫做滑动对称变换.•在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变

换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换.过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()

(A)对应点连线与对称轴垂直(B)对应点连线被对称轴平分

(C)对应点连线被对称轴垂直平分(D)对应点连线互相平行

3團甲4 團乙a

6、对右图的对称性表述,正确的是().

A.轴对称图形 B .中心对称图形 C .既是轴对称图形又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形

7、如图,△ A B C'是由△ ABC经过变换得到的,则这个变换过程是

(A)平移(B)轴对称(C)旋转(D)平移后再轴对称

A

C

8、如图所示,四边形OAB(是矩形,点A、C的坐标分别为(3, 0), (0,1),点D是线段

1

BC上的动点(与端点B C不重合),过点D作直线y =—丄x + b交折线OA盯点E.

2

(1)记厶ODE勺面积为S,求S关于b的函数关系式;

(2)当点E在线段OA上时,若矩形OAB(关于直线DE的对称图形为四边形OABC,

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