定积分的证明题
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题目1证明题 容易
。证明
)()()()(a f x f dt t f t x dx d x
a -='-⎰
解答_
。
)()()()()()()()()()()()()
()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt
t f a f x a dt
t f a x t f t x t df t x dt
t f t x x
a
x
a x
a x
a
x a -=+-='-=∴
+-=+-=-='-⎰⎰⎰⎰⎰
题目2证明题 容易
。
利用积分中值定理证明 0sin lim :40
0=⎰→dx x n n π
解答_
。
使
上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0
sin lim 1sin 0sin lim 4
]4
[0, ( )04(
sin lim sin lim ,]4
,0[, 40
00
40
=∴=∴<<⋅=∈-⋅=⎰⎰→→→∞
→∞→π
π
ξξξ
π
π
ξπ
ξξπ
xdx dx x n n n n n n n n n n Q
题目3证明题 一般
。
使内至少存在一点证明：在，内可导，且在设函数0) (f ],[0
)(0)(],[)(='
==⎰ξξb a dx x f a f b a x f b
a
解答_
。
使，在一点应用罗尔定理，可知存上，在区间，使
存在一点由积分中值定理，在0) (b)(a,) (a ,] [0
) (0
))( ()( ),(11111='⊂∈=∴=-=⎰ξξξξξξξf a f a b f dx x f b a b
a
题目4证明题 一般
。
为正整数时证明：当，
设⎰⎰
=+=a
na
dx x f n dx x f n a x f x f 0 0
)()( )()(
解答_
。
证明：⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰=∴=-+-+===+=++===++=∴+=++=--a
na
a
a
a
na a n a a
a
a a
a a
a
a
a a na
a
n a
a
a na
dx x f n dx x f dx
x f dy
y f dy
a n y f a n y x dx x f dx
x f dy y f dy
a y f dy a y f a y x dx x f dx
x f dy y f dy a y f a y x dx x f a x f x f dx
x f dx x f dx x f dx x f 0
)1 ( 0
3 2 0
2 )1( 2 0
)()( )( )( ))1(( )1( )( )()( )()2( 2 )( )()()( )( )
()( )()()()(
题目5证明题 一般
。证明： )1()1(1
0 1
0 ⎰⎰-=-dx x x dx x x m n n
m
解答_
。
时时且则令证⎰⎰⎰⎰-=-=--=-∴====-=-=1
1
1
1
0 )1( )1( )
()1( )1( 0, 1 1
, 0 1:dx x x dt
t t dt t t dx
x x t x t x dt dx t x m n m n n m n m
题目6证明题 一般
。且
上可积在则有上任意两点且对上有定义在设2)(2
1
)()()(,],[)( .)()(,,],[,],[)(a b a f a b dx x f b a x f y x y f x f y x b a b a x f b
a
-≤
---≤-⎰
解答_
。有由定积分的不等性质即又由题设知上可积在于是上连续在因为证明22
2
)(2
1
)()()( 2
)( )
()()( 2
)( )]()([ )( )]()([ , )()()()()( )()()( .],[)(,],[)( 0
lim )()(),(:a b a f a b dx x f a b a f a b dx x f a b dx a x a f dx
x f dx
a x a f a x a f x f a x a f a x a x a f x f
b a x f b a x f y x x f x x f y b a x b
a
b
a
b
a b
a
b
a x -≤
--∴-≤
--≤--
-+≤≤---+≤≤--≥-≤-∴=∆∴∆≤-∆+=∆∈∀⎰⎰⎰⎰⎰→∆
题目7证明题 一般
。
其中证明且内可导在上的连续在设 )(sup ,)()(4 :.
0)()(,),(,],[)( 2x f M a b M dx x f b f a f b a b a x f b
x a b
a
'=-≤==<<⎰
解答_
。
有
两式相加有取绝对值故又由有
定理由假设并利用微分中值证明22
22
222i 2211)(4)( , )(8)()( )(8
)()( )()( )()(, 2
,1 .) ()(sup ),( ) ()()()()( ),( ) ()()()()( ,:a b M dx x f a b M
dx x b M dx x f a b M
dx a x M dx x f M x b x f M a x x f i M f x f M b x f b x b f x f x f x a f a x a f x f x f b a b b a b
b
a b
a a
b a a b
x a -≤-=-≤-=
-≤-≤-≤=≤''=∈'-=-=∈'-=-=⎰⎰⎰⎰
⎰
++++<<ξξξξξ
题目8证明题 一般
。
使，内至少存在一点上正值，连续，则在在设⎰⎰⎰==b
b dx x f dx x f dx x f b a b a x f a a )(21)()( ),( ],[ )(ξξξ
解答_