1-1质点运动的描述

P2 (x2 , y2 , z2 )
注意
r r 位矢长度的变化
r
x2 2
y22 z22

x12 y12 z12
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
3 位移与路程的区别
（A）位移是矢量, 路程 是标量.
y p1 rs p2
（B） 一般情况, 位移
大小不等于路程.
o
x
dt
瞬时速率：速度
vdvt的大小dt称为速率

v
ds dt
et
v vv (dx )2 (dy )2 (dz )2 v ds
dt dt dt
dt
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
平均速率 v s v t
瞬时速率 v ds v
y r(t t)
B s r
讨论
dt
r (t)
A
o
x
一运动质点在某瞬时位于矢径 r(x, y) 的端点
处，其速度大小为
dr （A） dt
d r （C） dt
dr （B） dt
（D）
(dx)2 (dy)2 dt dt
1 – 1 质点运动的描述
注意
第一章质点运动学
1.平均速度与平均速率的区别
•平均速度为物体发生的位移与时间 之比；为矢量。
vi
B
l
物体vvBB的v速y vj度
dy dt
v j
o
A
v x
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
x2 y2 = l2
y
B
两边求导得
2x dx 2 y dy 0 dt dt
l
o
A
v x
即
dy x dx
dt y dt
质点
没有大小和形状，只具有全部质量的一点。
可以将物体简化为质点的两种情况：
物体不变形，不作转动(此时物体上各点的速度及加速 度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动).即平 动物体.
物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物体 的变形及转动显得并不重要)。
1 – 1 质点运动的描述
描述质点运动的物理量
四 理解伽利略速度变换式、经典相对性原理 .
1 – 1 质点运动的描述
描述运动的前提条件
第一章质点运动学
1 参考系与坐标系 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物
体作为参考，被选作参考的物体称为参照系。
日心系
Z
地面系
o
Y X 地心系
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
注意 参照系不一定是静止的。
vB


x y
dx dt
j
dx v, tan
vvB
dt
沿y
轴正向,
当
x y
vB
60时 vB
v tan
1.73v
j
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
四 加速度 （反映速度变化快慢的物理量）
1） 平均加速度
单位时间内的速度增
量即平均加速度
av vv
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
教学基本要求
一 掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描 述质点运动的物理量 . 理解这些物理量的矢量性、 瞬时性.
二 掌握由运动方程确定质点的位置、速度、
加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初 始条件求速度、运动方程的方法 .
三 能计算质点在平面内运动时的速度和加速 度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、 切向加速度和法向加速度 .
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
对于同一种运动，由于参照系 选择的不同而有不同的描写。
运动描述 的相对性
坐标系——为了定量地确定质点在空间的位置而 固定在参照系上的一个框架。
（直角坐标、自然坐标系、极坐标、 球坐标、柱面坐标等)
1 – 1 质点运动的描述
2 质点---理想(物理)模型
第一章质点运动学
o
x(t)
z(t)
x
z
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
2 矢量表示（位置矢量）
确定质点P某一时刻在
y
坐位标置系矢r里 量的, x简i位称置位的yj矢物r理z.量k称
y
zo
式中i、j 、k分别为x、y、z z
方向的单位矢量.
r= r(t) 就是质点运动方程的矢量式。
vr s
r(t1)
r(t2 )
O
（C）什么情况 r s？ z
x
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s .
即 d r d s
1 – 1 质点运动的描述
三、 速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点
A 运动到点 B, 其位移为


r r(t t) r(t)
解：由加速度定义 a dv (1.0s1)v
dt
v dv (1.0s1)
t
dt ,
v v0
0
v v0e(1.0s1)t
o
v

dy dt

v0e(1.0s1)t
ydy
0

wenku.baidu.com
v0
e dt t (-1.0s-1)t
0
vv0
y 10[1 e(1.0s1)t ]m
y
1 – 1 质点运动的描述
v v0e(1.0s1)t
v/m s-1 v0
第一章质点运动学
y 10[1 e(1.0s1)t ]m
y/m
10
0
t/s 0
t/s
v
v0/10 v0/100 v0/1000 v0/10000
t/s
y/m
t 9.2s, v 0, y 10m
1 – 1 质点运动的描述
dt


dx dt
2


dy dt
2
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
vv 例 1 设质点的运动方程为 ruuv(t) x(t)i y(t) j,
其中 x(t) (1m s1)t 2m,
y(t
)

(
1 4
m

s 2
)t
2

2m.
（1）求 t 3 s 时的速度.（2） 作出质点的运动轨迹图.
av
与
vv
t
同方向
.
2）（瞬时）加速度
av lim vv dvv t0 t dt
y vvA
vvB
B
A
O
x
vvA
vv
vvB
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
加速度
av
dvv dt
d 2 rv dt 2

dvx
i
dv y
dt dt
j
加速度大小 a lim v t0 t
第一章质点运动学
加速度为恒矢量时质点的运动方程
已知一质点a作平 面ax运i动,a其y 加j 速度a 为恒矢量, 有
a dv dt
v
v0
dv
t adt
0
积分可得
v v0 at
写成分量式 vx v0x axt vy v0 y ayt
（2） 运动方程
x(t) (1m s1)t 2m
y (t )

(
1 4
m

s 2
)t 2

2m
t 由运动方程消去参数 可得轨迹方程为
y (1 m-1)x2 x 3m 4
轨迹图
y/m
t 4s 6
t 4s
t 2s4 t 0 t 2s
2
x/m
-6 -4 -2 0 2 4 6
yBzkv y A )
j
(zB

z
A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
2 位移与位矢的区别
y
A）位矢表示某一瞬时的位置。
P1 rs P2
B）位移表示某一段时间位置 的变化.
r(t1)
r
r(t2 )
O
z
x P1(x1, y1, z1)
改变，
①.无限分割路径；
r
A
②.以直代曲；
t
③以不变代变；用平均速度 代替变速度；
④令 t 0 取极限。

v
r
t
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度,
简称速度
v lim
r
dr
t0 t dt
当 t 0 时, dr ds
解 （1）由题意可得速度分量分别为
vx
dx dt
1m s1,
vy

dy dt
(1 m s2)t 2
t
3
s
时速度为
vv

(1m

s
1
v )i

(1.5m

s
1
)
v j
速度 vv 与x 轴之间的夹角
arctan1.5 56.3
1
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
tvv时间内rvt ,
质点的平均速度
与 r同方向.
第一章质点运动学
y
r (t

t)
B
s r
A
r(t)
o
x
平均速度大小
v
( x ) 2 t
(y)2 t

v
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
2 瞬时速度
B
对于变速曲线运动的物体，
速度大小与方向都在随时间
位矢r的值为 r rv x2 y2 z2
r *P
x
x
cos x r
cos y r
cos z r
1 – 1 质点运动的描述
二、 位置的变化量（位移）
y

rvA A
r rvB
B
o
x
第一章质点运动学
经过时间间隔t 后, 质点位置矢量发生变化, 由
始位点移矢A量指向r终. 点位移B 矢的量有也向简线称段位AB移称. 为点 A 到 B 的
v r
t
•平均速率为物体经过的 路程与时间之比；为标量。
s
B
v s t

A
r
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
2. 速度与速率的区别
•速度为位矢r对时间的一次导数，为矢量：
v

dr

dx
i
dy
j
dt dt
dt
•速率为速度的大小，为标量：
v | v | dr
积分
积分
直线运动:
r
xi, v
d
x
i,
a
dv
i
dt
dt
可用代数量 x, v, a 的正负号表示方向.
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
为 vv例0 3 (1有0m一s个1球) vj体, 在它某的液加体速中度竖为直a下v 落(,1其.0初s1速)v度vj
问 （1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
一、位置矢量 1 分量表示（坐标表示） 选直角坐标系，用质点的
坐标（ x, y, z ）表示质点的
位置，其中
x x(t) y y(t)
z z(t)
就是质点运动方程的分量式。
从中消去参数 t 得轨迹方程：
f (x, y, z) 0
第一章质点运动学
y
r P
o

x
z
yP
y(t)
r(t)
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
1 r位(移rrxBrBB的A坐rxAxxA标BA)iiv表i示(yyy：BBA

j j
yA)
vj
y

yB yA
rvA A
r rvB
o
xA
B
yB yA
xB x
三维直角坐标系中：
xB xA
r


(xBxivxA)yi vj(
在Ob上截取 oc oa
有
v cb
第一章质点运动学
a vv b
vv(t) vv(tc t)
O
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
讨论
问 av a dv 吗？ dt
例 匀速率圆周运动
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0 dt
vv(t) O vv(t dt) dvv
v
ds dt
et
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向.
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
v
dx
i
dy
j
dt
v v
dt xi vy
j
y vy
若质点在三维空间中运动,
v
vx
其速度为
v
dx
i
dy
j
dz
k
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
例2 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性
细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体
A以恒定的速率 v向左滑行, 当 60o时, 物体B的
速率为多少？
解 建立坐标系如图, y
物体A 的速度
vA

vxi
dx dt
i
而 av a 0
所以 a dv dt
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 .
r(t) 求导 vv(t) 求导 a(t)
ax2 a2y
质点作三维运动时加速度为
av

v axi

ay
v j

v azk
加速度大小
ax

dvx dt

d2x dt 2
ay

dvy dt

d2 y dt 2
a ax2 ay2 az2
az

dvz dt

d2z dt 2
1 – 1 质点运动的描述
讨论 vv v 吗？
vv vv(t t) vv(t) v v(t t) v(t)