旋转和中心对称
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A： (−4, 2)
B： (−2, 4)
C： (4, − 2)
D： (2, − 4)
练2-1.将点P(1, 1)绕原点顺时针旋转135 后，得到的点的坐标是________________．
练2-2.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4, 6)、B(5, 2)、C(2, 1)，如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90 ，得到 ，那么点A、B的对应点 的坐标分别是( )
旋转和中心对称
【知识点一】旋转的概念和性质
旋转的概念：在同一平面内，把一个图形绕着某一个定点转动一个角度，叫图形的旋转.
图中E经旋转得到B,E和B叫对应点.对应点与旋转中心的连线的夹角叫旋转角.
旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向
DEF绕点O逆时针旋转60°：
①旋转中心：点O
②旋转角： BOE、 COF、 AOD等
③旋转方向：逆时针
旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等;
②对应点与旋转中心所连线一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，它们都相等;
②因为旋转中心到对应点的距离相等,所以旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上；
③旋转过程中，图形大小状无变化，只有位置改变.
D：180
例5.(1)关于中心对称的两个图形，对应线段的关系是（ ）
A：相等 B：平行 C：相等且平行 D：相等且平行或相等且在同一直线上
(2)已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A：点C
B：点D
C：线段BC的中点
D：线段FC的中点
(3)作三角形关于点成中心对称图形：已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF与△ABC关于O成中心对称．
中心对称的性质：
探究：已知 ABC和 DEF成中心对称，
① ABC .
②AD、BE、CF相较于点，且AO=，BO=，CO=，
③AB∥，BC∥，AC∥.
中心对称的性质：
①成中心对称的两个图形是全等的
②对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分
③对应线段互相平行(或在同一直线上）
确定对称中心：
举例：如图，两个图形成中心对称，请找出它们的对称中心，任意连接两条对称点连线所连线段相交于一点则交点是所找的对称中心，成中心对称的图形 对称点连线交于一点且被该点平分.
练3-1.如图，等腰直角△ABC的顶点A、B、C在正方形(每个小正方形边长为单位1)网格的格点上，∠BAC = 90 ，AB = AC(计算结果保留π)
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90 后的 ；
（2）求旋转过程中线段BC的中点经过的路径长；
练3-2.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．画出△ABC绕点O逆时针旋转90 后的 .
练习：如图将 ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到 ADE，若 CAE=65°， E=70°，且AD BC，则 BAC的度数为（ ）
A.60° B.85° C.75° D.90°
例1.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35 ，得到 ， 交AC于点D，若∠ = 90 则∠A度数为( )
A：45
B：55
C：65
思考：将平行四边形绕它的对角线交点0旋转180°,有什么发现呢?
思考：这样旋转180°与自己重合的图形有什么高端大气上档次的名字呢？
中心对称图形的定义：
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.例如：线段，平行四边形
例4.（1）下列图形是旋转对称图形的是（）
(2)如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（）
A：60
B：90
C：120
D：180
练4-1.下列各图形，不是旋转对称图形的是（）
练4-2.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心点旋转( )．
A：60
B：90
C：120
D：75
(2)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至 ，使点 落在BC的延长线上．已知∠A= 27 ，∠B = 40 ，则 =( )
A：46 B：45
C：44 D：43
练1-1.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20 ，B点落在 位置，点A落在 位置．若 ⊥AB，则∠ 的度数是( )
A：50
B：60
C：70
D：80
练1-2.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100 ，得到△ ，若点 在线段BC的延长线上，则∠ 的大小为（ ）
A：70
B：80
C：84
D：86
例2.(1)将点M(−4, 0)绕着原点逆时针旋转45 后得到点N，则点N的坐标是____________．
(2)如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90 ，则顶点B的对应点 的坐标为( )
A：(−3, 3)、(−2, 4)
B：(3, − 3)、(1, 4)
C：(3, − 3)、(−2, 4)
D：(−3, 3)、(1, 4)
例3.如图，△ABC是格点三角形，网格的单位长度为1，请画出△ABC绕P点顺时针转动90 所形成的图形 ．并求出旋转过程中PA、PB、PC分别扫过的面积．(计算结果保留π)
【知识点二】中心对称
把一个图形绕着一个点旋转180°，如果它能够与另个图形重合，
那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这两个图形在
旋转后能重合的对应点叫做关干对称中心的对称点.如图， AOB
与 COD关于点O对称，点A和点C对称,点B和点D对称.
练习.判断下列图形是否构成中心对称
（）（）（）（）
练5-1.(1)如图所示四个图形中，中心对称图形有（ ）
A：① B：② C：③ D：④
(2)在以下图形中，是中心对称图形的有（ ）
①圆 ②正方形 ③长方形 ④平行四边形 ⑤等边三角形
A：2个 B：3个 C：4个 D：5个
练5-2.(1)规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60 的是（ ）
A：正三角形 B：正方形 C：正六边形 D： 正十边形
(2)下列汉字或者字母既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A：大 B：由 C：H D：Z
例6.已知 和 关于原点对称，则 的值为（ ）
B： (−2, 4)
C： (4, − 2)
D： (2, − 4)
练2-1.将点P(1, 1)绕原点顺时针旋转135 后，得到的点的坐标是________________．
练2-2.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4, 6)、B(5, 2)、C(2, 1)，如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90 ，得到 ，那么点A、B的对应点 的坐标分别是( )
旋转和中心对称
【知识点一】旋转的概念和性质
旋转的概念：在同一平面内，把一个图形绕着某一个定点转动一个角度，叫图形的旋转.
图中E经旋转得到B,E和B叫对应点.对应点与旋转中心的连线的夹角叫旋转角.
旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向
DEF绕点O逆时针旋转60°：
①旋转中心：点O
②旋转角： BOE、 COF、 AOD等
③旋转方向：逆时针
旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等;
②对应点与旋转中心所连线一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，它们都相等;
②因为旋转中心到对应点的距离相等,所以旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上；
③旋转过程中，图形大小状无变化，只有位置改变.
D：180
例5.(1)关于中心对称的两个图形，对应线段的关系是（ ）
A：相等 B：平行 C：相等且平行 D：相等且平行或相等且在同一直线上
(2)已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A：点C
B：点D
C：线段BC的中点
D：线段FC的中点
(3)作三角形关于点成中心对称图形：已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF与△ABC关于O成中心对称．
中心对称的性质：
探究：已知 ABC和 DEF成中心对称，
① ABC .
②AD、BE、CF相较于点，且AO=，BO=，CO=，
③AB∥，BC∥，AC∥.
中心对称的性质：
①成中心对称的两个图形是全等的
②对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分
③对应线段互相平行(或在同一直线上）
确定对称中心：
举例：如图，两个图形成中心对称，请找出它们的对称中心，任意连接两条对称点连线所连线段相交于一点则交点是所找的对称中心，成中心对称的图形 对称点连线交于一点且被该点平分.
练3-1.如图，等腰直角△ABC的顶点A、B、C在正方形(每个小正方形边长为单位1)网格的格点上，∠BAC = 90 ，AB = AC(计算结果保留π)
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90 后的 ；
（2）求旋转过程中线段BC的中点经过的路径长；
练3-2.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．画出△ABC绕点O逆时针旋转90 后的 .
练习：如图将 ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到 ADE，若 CAE=65°， E=70°，且AD BC，则 BAC的度数为（ ）
A.60° B.85° C.75° D.90°
例1.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35 ，得到 ， 交AC于点D，若∠ = 90 则∠A度数为( )
A：45
B：55
C：65
思考：将平行四边形绕它的对角线交点0旋转180°,有什么发现呢?
思考：这样旋转180°与自己重合的图形有什么高端大气上档次的名字呢？
中心对称图形的定义：
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.例如：线段，平行四边形
例4.（1）下列图形是旋转对称图形的是（）
(2)如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（）
A：60
B：90
C：120
D：180
练4-1.下列各图形，不是旋转对称图形的是（）
练4-2.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心点旋转( )．
A：60
B：90
C：120
D：75
(2)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至 ，使点 落在BC的延长线上．已知∠A= 27 ，∠B = 40 ，则 =( )
A：46 B：45
C：44 D：43
练1-1.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20 ，B点落在 位置，点A落在 位置．若 ⊥AB，则∠ 的度数是( )
A：50
B：60
C：70
D：80
练1-2.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100 ，得到△ ，若点 在线段BC的延长线上，则∠ 的大小为（ ）
A：70
B：80
C：84
D：86
例2.(1)将点M(−4, 0)绕着原点逆时针旋转45 后得到点N，则点N的坐标是____________．
(2)如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90 ，则顶点B的对应点 的坐标为( )
A：(−3, 3)、(−2, 4)
B：(3, − 3)、(1, 4)
C：(3, − 3)、(−2, 4)
D：(−3, 3)、(1, 4)
例3.如图，△ABC是格点三角形，网格的单位长度为1，请画出△ABC绕P点顺时针转动90 所形成的图形 ．并求出旋转过程中PA、PB、PC分别扫过的面积．(计算结果保留π)
【知识点二】中心对称
把一个图形绕着一个点旋转180°，如果它能够与另个图形重合，
那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这两个图形在
旋转后能重合的对应点叫做关干对称中心的对称点.如图， AOB
与 COD关于点O对称，点A和点C对称,点B和点D对称.
练习.判断下列图形是否构成中心对称
（）（）（）（）
练5-1.(1)如图所示四个图形中，中心对称图形有（ ）
A：① B：② C：③ D：④
(2)在以下图形中，是中心对称图形的有（ ）
①圆 ②正方形 ③长方形 ④平行四边形 ⑤等边三角形
A：2个 B：3个 C：4个 D：5个
练5-2.(1)规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60 的是（ ）
A：正三角形 B：正方形 C：正六边形 D： 正十边形
(2)下列汉字或者字母既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A：大 B：由 C：H D：Z
例6.已知 和 关于原点对称，则 的值为（ ）