旋转和中心对称
第5课 几何变换(2)：旋转与中心对称
第4课 几何变换(2)：旋转与中心对称一、例题选讲例1、如图，如果四边形CDEF 绕某点P 旋转以后与正方形ABCD 重合，则这样的点P 有几个？B A例2、如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，比较DEF S ∆与（B D F A D E S S ∆∆+）的大小并说明理由。
BCF例3、如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =2，PB =PC =4，则△ABC 的边长是多少？AB例4、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上两点，且BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。
FDAC例5、如图，Rt △ABC 中，O 是斜边AB 的中点，P 、Q 分别是AC 、BC 上的点，且OP ⊥OQ ，证明：AP 2+BQ 2=PQ 2.QBAP例6、定点P 到等边△ABC 的定点距离A P=2,BP =3,当此三角形的边长、位置都可以改变时，求PC 的最大值，并证明你的结论。
C例7、△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC =1200，△ADE 是等边三角形，点D 在BC 边上，且BD :DC =2:3,若△ABC 的面积是50，求△ADE 的面积。
CBB二、巩固练习1、两家共有一块平行四边形田地 ，中间有一用于灌溉的圆形池塘，现在两家需要把这块地均分，并且中间的池塘也要均分，你能为他们想个办法吗？2、7个相同的圆按照图示的位置排列，把这个图形分成面积相等的两块.3、设P 是边长为1的等边△ABC 内的任意一点，记l =P A+PB+PC ,求证：23≤≤l .B4、如图,正方形ABCD 中,∠MAN =45°,求证:MN=BM+DN .CN5、已知△ABC 中,AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6,则BD 的长是多少?C6、梯形ABCD中,AB∥CD.AB+CD=AD,E是BC的中点,求证:AE、DE分别是∠DAB,∠ADC 的平分线.E7、P为正方形内一点,且P A:PB:PC=1:2:3,求∠APB的度数.8、如图,已知五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,则五边形ABCDEF 的面积为多少?E9、一个三角形正面红色，反面蓝色，把它分割，重新拼装成与它成轴对称的三角形，要求正面还是红色。
核心考点01图形的旋转与中心对称 (解析版)
核心考点01图形的旋转与中心对称目录考点一：生活中的旋转现象考点二：旋转的性质考点三：旋转对称图形考点四：中心对称考点五：中心对称图形考点六：作图-旋转变换一．生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O 旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．二．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．三．旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．考点考向四．中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．五．中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．六．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．一．生活中的旋转现象（共1小题）1．（2022春•泰州月考）下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】因为45°×8＝360°，整个图形应由8个基本图形组成．【解答】解：根据旋转的性质可知，可以由一个“基本图案”连续旋转45°，考点精讲即经过8次旋转得到的是B．故选：B．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．二．旋转的性质（共11小题）2．（2022春•姑苏区校级月考）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（ ）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接ER、FP、GQ，作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，交点为旋转中心．【解答】解：如图，∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ，∴连接ER、FP、GQ，作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过C，即旋转中心是C．故选：C．【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．3．（2022春•梁溪区校级期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是 35° ．【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于60°，从而可以得到∠BOB′的度数，由∠AOB＝15°可以得到∠AOB′的度数．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A′OB′，∴∠BOB′＝50°．∵∠AOB＝15°，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°．故答案为：35°．【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前后的夹角是旋转角．4．（2022春•邗江区校级月考）如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°，AB∥DE，求∠DAC的度数．【分析】根据旋转的性质得∠C＝∠E＝60°，∠D＝∠B＝40°，再根据平行线的性质的∠BAD＝∠D＝40°，从而得出答案．【解答】解：∵△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E＝60°，∠D＝∠B＝40°，∵∠B＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠D＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°，∴∠DAC的度数为40°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．（2022春•沭阳县月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，垂足为点C，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）图中△EFD可以由△ EBA 绕着点 E 旋转 180 度后得到；（2）写出图中的一对全等三角形 △EBA≌△EFD ；（3）若AB＝4，BC＝5，CD＝6．求△BCF的面积．【分析】（1）由已知条件可证明△EBA≌△EFD，所以△EFD可以由△EBA绕点E旋转180°后得到；（2）由（1）可得出答案；（3）由（1）可知△EBA≌△EFD，所以求△BCF的面积可转化为求梯形ABCD的面积，根据梯形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠FDE，∵E是AD的中点，∴AE＝CE，在△EBA和△EFD中，，∴△EBA≌△EFD（AAS），∴△EFD可以由△EBA绕点E旋转180°后得到，故答案为：EBA，E，180°；（2）由（1）可知△EBA ≌△EFD ，故答案为：△EBA ≌△EFD ；（3）∵△EBA ≌△EFD ，∴S △BCF ＝S 梯形ABCD ＝＝25．【点评】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．6．（2022春•沭阳县月考）如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，∠BOC ＝150°，将△BOC 绕点C 按顺时针旋转得到△ADC ，连接OD ，OA ．（Ⅰ）求∠ODC 的度数；（Ⅱ）若OB ＝2，OC ＝3，求AO 的长．【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；（Ⅱ）在Rt △AOD 中，由勾股定理可求得AO 的长，再在直角△AOD 中利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由旋转的性质得，CD ＝CO ，∠ACD ＝∠BCO ，∵∠ACB ＝60°，∴∠DCO ＝60°，∴△OCD 为等边三角形，∴∠ODC ＝60°；（Ⅱ）由旋转的性质得，AD ＝OB ＝2，∵△OCD 为等边三角形，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BOC ＝150°，∠ODC ＝60°，∴∠ADO ＝90°，在Rt △AOD 中，由勾股定理得：AO ＝＝．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及三角函数的定义，正确求得AO的长是解题的关键．7．（2022春•铜山区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝5，AC＝3，求：（1）∠BAD的度数；（2）AD的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AD＝DE，BC＝CD，AB＝CE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∠ABD＝∠DCE，可证△ADE是等边三角形，可得∠DAE＝60°，AD＝AE，即可求解；（2）由等边三角形的性质可求AD＝AE的长．【解答】解：（1）∵把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴AD＝DE，BC＝CD，AB＝CE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∠ABD＝∠DCE，∵∠BAC+∠BDC＝180°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∴∠ACD+∠DCE＝180°，∴点A，点C，点E三点共线，又∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAD＝60°；（2）∵AB＝5＝CE，AC＝3，∴AE＝AC+CE＝8，∴AD＝AE＝8．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，证明点A，点C，点E三点共线是解题的关键．8．（2022春•东海县期末）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过操作观察可知，线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．同理可得FC＝CD，EF＝ AD ；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求此时四边形BCFE的面积．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH的长，由面积法可求CG的长，即可求解．【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案为：AD；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD；（3）解：如图，过点C作CG⊥BE于G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），＝×BC×CH＝×BH×CG，∵S△BCH∴30×40＝50×CG，∴CG＝24，∴四边形BCFE的面积＝BE×CG＝80×24＝1920（cm2）．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．9．（2022•溧阳市模拟）已知：如图，将△ABC绕点C旋转一定角度得到△EDC，若∠ACE＝2∠ACB．（1）求证：△ADC≌△ABC；（2）若AB＝BC＝5，AC＝6，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AB＝AD，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，设AC，BD交于O，根据勾股定理得到BO＝＝＝4，求得BD＝8，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C旋转一定角度得到△EDC，∴∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，∵∠ACE＝2∠ACB，∴∠ACE＝2∠DCE，∴∠ACD＝∠DCE＝∠ACB，在△ADC与△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SAS）；（2）解：由（1）知，△ADC≌△ABC，∴AB＝AD，∵AB＝BC，BC＝CD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，设AC，BD交于O，∴AO＝AC＝3，∴BO＝＝＝4，∴BD＝8，∴四边形ABCD的面积＝AC•BD＝6×8＝24．【点评】本题考查了旋转的性质全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2022春•滨海县月考）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；（2）将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，可知∠ADC＝∠BOC＝150°，即得∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，故AD⊥OD；（3）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠ACO＝∠BCO+∠ACO，即∠DCO＝∠ACB，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC＝60°；（2）AD与OD的位置关系是：AD⊥OD，理由如下：由（1）知∠ODC＝60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∴AD⊥OD；（3）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝．【点评】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．11．（2022春•相城区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△AB1C1．当B1B∥AC时，求∠BAC1的度数．【分析】先依据平行的性质可求得∠ABB1的度数，然后再由旋转的性质得到△AB1B为等腰三角形，∠B1AC1＝50°，再求得∠BAB1的度数，最后依据∠BAC1＝∠BAB1﹣∠C1AB1求解即可．【解答】解：∵B1B∥AC，∴∠ABB1＝∠BAC＝50°．∵由旋转的性质可知：∠B1AC1＝∠BAC＝50°，AB＝AB1．∴∠ABB1＝∠AB1B＝50°．∴∠BAB1＝80°∴∠BAC1＝∠BAB1﹣∠C1AB1＝80°﹣50°＝30°．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、平行线的判断，求得∠BAB1的度数是解题的关键．12．（2022春•南京期中）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，且A、C、E三点共线，若AB＝3，AC＝2，求∠BAD的度数与AD的长．【分析】由旋转的性质可得出∠ADE＝60°、DA＝DE，进而可得出△ADE为等边三角形以及∠DAE＝60°，由点A、C、E在一条直线上可得出∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°；由点A、C、E在一条直线上可得出AE＝AC+CE，根据旋转的性质可得出CE＝AB，结合AB＝3、AC＝2可得出AE的长度，再根据等边三角形的性质即可得出AD的长度．【解答】解：∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠ADE＝60°，DA＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°．∵点A、C、E在一条直线上，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°．∵点A、C、E在一条直线上，∴AE＝AC+CE．∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴CE＝AB，∴AE＝AC+AB＝2+3＝5．∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝5．【点评】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出△ADE为等边三角形是解题的关键．三．旋转对称图形（共3小题）13．（2022春•东台市月考）正方形至少旋转 90 度才能与自身重合．【分析】正方形可以被其对角线平分成4个全等的部分，则旋转的角度即可确定．【解答】解：正方形可以被其对角线平分成4个全等的部分，则旋转至少360÷4＝90度，能够与本身重合．故答案为：90．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．注意基础概念的熟练掌握．14．（2022春•常州期末）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 60 °后能与原来的图形重合．【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义作答．【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴该六边形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．故答案为：60．【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．15．（2022春•洪泽区校级月考）等边三角形绕一点至少旋转 120 °与自身完全重合．【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．【解答】解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，所以，旋转角为360°÷3＝120°，故至少旋转120度才能与自身重合．故答案为：120．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．四．中心对称（共5小题）16．（2022春•张家港市校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△BOC，则点A与点B'之间的距离为（ ）A．6B．8C．10D．12【分析】根据菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，可得AC⊥BD，所以∠BOC＝90°，根据△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，所以∠CO′B′＝∠BOC＝90°，AO′＝6，OB′＝8，再根据勾股定理即可求出点A与点B′之间的距离．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，∴O′C＝OC＝OA＝AC＝2，∴AO′＝6，∵OB＝OD＝O′B′＝BD＝8，在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得：AB′＝＝＝10．则点A与点B′之间的距离为10．故选：C．【点评】本题考查了中心对称、旋转的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质．17．（2022春•相城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（ ）A．3B．4C．D．【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA＝OC＝O'C＝1、OB⊥OC、O'B'⊥O'C、BC＝B′C，根据AB′＝5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，∵AB′＝5，∴，∴，∴，即菱形ABCD的边长是，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．18．（2022春•涟水县校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（ ）A．（0，0）B．（﹣1，0）C．（﹣1，﹣1）D．（0，﹣1）【分析】根据点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，得出△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称．【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是（﹣1，0）是解题的关键．19．（2022春•江阴市校级月考）平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于点Q（1，0）成中心对称的点的坐标是 （﹣1，2） ．【分析】连接PQ并延长到点P′，使P′Q＝PQ，设P′（x，y），则x＜0，y＞0．过P作PM⊥x轴于点M，过P′作PN⊥x轴于点N．利用AAS证明△QP′N≌△QPM，得出QN＝QM，P′N＝PM，即1﹣x＝3﹣1，y＝2，求出x＝﹣1，y＝2，进而得到P′的坐标．【解答】解：如图，连接PQ并延长到点P′，使P′Q＝PQ，设P′（x，y），则x＜0，y＞0．过P作PM⊥x轴于点M，过P′作PN⊥x轴于点N．在△QP′N与△QPM中，，∴△QP′N≌△QPM（AAS），∴QN＝QM，P′N＝PM，∴1﹣x＝3﹣1，y＝2，∴x＝﹣1，y＝2，∴P′（﹣1，2）．故答案为（﹣1，2）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质，准确作出点P（3，﹣2）关于点（1，0）对称的点P′是解题的关键．20．（2022春•铜山区校级月考）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是 2 cm2．【分析】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．【解答】解：连接AC．∵与关于点O中心对称，∴点O为AC的中点，∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积＝△BAC的面积＝＝2cm2．故答案为：2．【点评】根据中心对称的性质，把所求的不规则图形转化为规则图形即△BAC的面积，是解决本题的关键．五．中心对称图形（共2小题）21．（2022春•南京期末）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．22．（2022春•泰兴市期末）江苏省第二十届运动会将于今年8月28日在泰州举行，运动会会徽依据“江苏•泰州”首字母为原型进行设计．下列字母中，是中心对称图形的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：“J”、“T”都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，“S”、“Z”能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．六．作图-旋转变换（共6小题）23．（2022春•通州区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（4，3），B（1，4），C（1，1），将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A'B'C'．（1）请在图中画出△A'B'C'，并求出△A'B'C'的面积；（2）若△ABC内一点M（a，b），则在△A'B'C'内与M相对应的点M'的坐标是 （﹣b，a） ．【分析】（1）根据旋转的性质找出对应点即可求解；再由面积公式求得△A'B'C'的面积；（2）由旋转的性质可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；∴△A'B'C'的面积＝；（2）在△A'B'C'内与M相对应的点M'的坐标是（﹣b，a），故答案为：（﹣b，a）．【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．24．（2022春•涟水县校级月考）按下列要求分别画出与四边形ABCD成中心对称的四边形：（1）以顶点A为对称中心的四边形AB1C1D1（2）以BC的中点O为对称中心的四边形A2B2C2D2【分析】（1）连接CA并延长至C1，使得AC1＝CA，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形即可；（2）方法同（1），连接AO并延长至A2，使AO＝A2O，则A2就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形即可．【解答】解：（1）连接CA并延长至C1，使得AC1＝CA，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形；如图，四边形AB1C1D1即为所求．（2）连接AO并延长至A2，使AO＝A2O，则A2就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点．）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形，如图所示，四边形A2B2C2D2即为所求，【点评】本题考查了画中心对称图形，掌握中心对称的性质是解题的关键．25．（2022春•天宁区校级期中）正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），△ABC 的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）画出△ABC绕点B逆时旋转90°的△A1BC1．（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．（3）△A1BC1可由△A2B2C2绕点M旋转得到，请写出点M的坐标．【分析】（1）将点A、C分别绕点B逆时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可；（2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；（3）作C1C2、BB1中垂线，交点即为所求．【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．（3）如图所示，点M即为所求，其坐标为（0，﹣1）．【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质．26．（2022春•阜宁县期中）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；（2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标 （﹣4，1） ．【分析】（1）根据题意所述的旋转三要素，依此找到各点旋转后的对应点，顺次连接可得出△A1B1C；（2）根据中心对称点平分对应点连线，可找到各点的对应点，顺次连接可得△A2B2C2，结合直角坐标系可得出点C2的坐标．【解答】解：根据旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°，所作图形如下：．（2）所作图形如下：结合图形可得点C2坐标为（﹣4，1）．【点评】此题考查了旋转作图的知识，解答本题关键是仔细审题，找到旋转的三要素，另外要求我们掌握中心对称点平分对应点连线，难度一般．27．（2022春•锡山区期末）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，在10×10的网格中，有一格点三角形ABC（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）．将△ABC绕点C旋转180°，得到△A′B′C，请直接画出旋转后的△A′B′C．（2）在图1中，作出AC边上的高BF，则BF的长为 ．（3）如图2，已知四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF＝BE．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A′，B′；（2）利用面积法求出BF，可得结论，（3）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AD于点F，点F即为所求．【解答】解：（1）如图，△A′B′C即为所求；＝3×3﹣×2×3﹣×1×3﹣×1×1＝4，（2）∵AC＝＝，S△ABC∴×AC×BF＝4，∴BF＝．故答案为：．（3）如图2，点F即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（2022春•鼓楼区校级期中）（1）如图1，已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，画出将△ABC绕点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1．（2）如图2，在平面直角坐标系中，将线段AB绕平面内一点P旋转得到线段A′B′，使得A′与点B重合，B′落在x轴负半轴上．请利用无刻度直尺与圆规作出旋转中心P．（不写作法，但要保留作图痕迹）【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）作出线段AB，A′B′的垂直平分线的交点P即可．【解答】解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求；（2）如图2，点P即为旋转中心．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．一、单选题1．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图所示的五个四边形全等，不能由四边形ABCD 经过平移或旋转得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据平移或者旋转的性质逐一分析即可．【详解】A.经过平移和旋转可得，符合题意；巩固提升B.经过旋转可得，不符合题意；C.经过平移可得，不符合题意；D.经过旋转可得，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，掌握平移和旋转的性质是解题的关键．2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）下列运动属于旋转的是（）A．篮球的运动B．气球升空的运动C．钟表钟摆的摆动D．一个图形沿某直线对折的过程【答案】C【分析】根据旋转的定义进行判断即可．【详解】解：A．篮球的运动不一定是旋转，故A不符合题意；B．气球升空的运动属于平移，不属于旋转，故B不符合题意；C．钟表钟摆的摆动属于旋转，故C符合题意；D．一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的定义．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（ ）A．点B与点D是对应点B．∠BCD等于旋转角C．点A与点E是对应点D．△ABC≌△DEC【答案】D【分析】利用旋转的性质即可求解【详解】解：∵△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，∴△ABC≌△DEC，点B与点E是对应点，点A与点D是对应点，∠ACD与∠BCE是旋转角，。
旋转对称图形与中心对称图形
初二数学讲义第三讲 旋转对称图形与中心对称图形一、主要知识点1．把—个图形绕旋转中心旋转一定(小于周角)角度后，所得图形能够与自身重合，这种图形称为旋转对称图形。
2．中心对称图形是绕某一中心点旋转180°后能与自身重合的旋转对称图形，这个中心点叫做对称中心；3．中心对称图形是旋转对称图形的特例。
4．中心对称的特征：如果两个图形成中心对称，那么对称中心在对应点的连线上且平分这条线段．两个图形的对应角相等，对应线段平行且相等，两个图形的形状和大小都一样。
5．中心对称与中心对称图形：中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。
区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形。
(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。
联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看成—个整体，则成为中心对称图形。
6．常见的中心对称图形有：①线段；②相交直线；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有：①线段；②相交直线；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。
二、例题与练习例1．下列旋转对称图形中绕哪一个点旋转多少度与自身重合？答：例2．如图所示，该图按顺时针绕旋转中心旋转，可与自身重合的度数是 （ ） （A ）60°； （B ）180°； （C ）120°； （D ）320°。
答：（1）（3） （4） （5）例3．如图，△ABC 为等边三角形，D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置。
（1）旋转中心是点 ；（2）旋转角度是 ；（3）△ADE 是 三角形。
例4、如图，已知△ABC 和点O ，画出△A ’B ’C ’，使△A ’B ’C ’和△ABC 关于点O 成中心对称。
解：（1）连结 并延长 到 ，使 = ，于是得到点 的对称点 ；（2）同样画出点 和点 的对称点 和 ； （3）顺次连结 、 、 。
中心对称与旋转对称
中心对称与旋转对称中心对称和旋转对称是几何学中常见的概念，它们在我们日常生活和各个领域中的应用非常广泛。
本文将从定义、特点以及实际应用等方面对中心对称和旋转对称进行探讨。
一、中心对称中心对称是指平面上的一个图形围绕一个点进行旋转180度后，仍能够与原来的图形完全重合。
中心对称具有如下特点：1. 对称中心：对于一个中心对称的图形，存在一个称为对称中心的点，该点与图形的每一个点都保持相等的距离。
图形中的任意一对对称点均位于对称中心的同一个直径上。
2. 对称轴：对称轴是通过对称中心和图形中任意一对对称点的直线。
对称轴上的任意一点到对称中心的距离与这个点的对称点到对称中心的距离相等。
3. 对称图形：中心对称图形是指具有中心对称性的图形，在进行180度旋转后能够与原来的图形完全重合。
中心对称在我们的日常生活中随处可见。
例如，花朵、雪花、蝴蝶等自然界中的许多图案都具有中心对称性。
此外，在建筑设计、艺术创作等领域中，中心对称也被广泛运用，以达到美观和平衡的效果。
二、旋转对称旋转对称是指平面上的一个图形按照某个点进行旋转一定角度后，可以与原来的图形完全重合。
旋转对称具有如下特点：1. 旋转中心：旋转对称图形的旋转中心是图形中心的一个点，通过该点进行旋转，使图形能够与原来的图形完全重合。
2. 旋转角度：旋转角度是指图形按照旋转中心进行旋转的角度，通常是90度、180度、270度等整数倍的角度。
3. 对称图形：具有旋转对称性的图形，在经过一次或多次旋转后，能够与原来的图形完全重合。
旋转对称在许多领域中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，正多边形具有旋转对称性，同时也是中心对称的。
在艺术创作、标志设计等领域，旋转对称常被用于打造简洁而富有美感的图案。
总结：中心对称和旋转对称是几何学中非常重要的概念。
通过中心对称，我们可以实现图形的对称分布和平衡美感；通过旋转对称，我们可以创造出简洁而富有艺术感的图案。
在实际生活和各个领域中，中心对称和旋转对称都有着广泛的应用，丰富了我们的视觉体验。
图形的旋转、中心对称-重难点题型
专题9.1 图形的旋转、中心对称-重难点题型【苏科版】【知识点1 旋转的定义】在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【知识点2 旋转的性质】旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【考点1 旋转对称图形】【例1】（2021秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（）A．60°B．72°C．75°D．90°【分析】根据五角星的五个顶点等分圆周，所以出现正五边形，进而可得结论．【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，所以360°÷5＝72°，所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为72°．故选：B ．【变式1-1】（2021•南关区四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．180【分析】观察可得图形有6部分组成，从而可得旋转角度．【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转360°6=60°后，能与其自身重合．故选：B ．【变式1-2】（2021秋•海淀区校级月考）如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【分析】如图，观察图形可知：∠AOB ＝∠EOF ＝60°，推出旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，由此即可判断．【解答】解：如图，观察图形可知：∠AOB ＝∠EOF ＝60°∴旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，故选：C ．【变式1-3】（2021春•高平市期末）下列图形中，是旋转对称图形的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可．【解答】解：旋转对称图形是从左起第（1），（2），（3）；不是旋转对称图形的是（4）．故选：C．【考点2 由旋转的性质求角的度数】【例2】（2021秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC 绕顶点A逆时针旋转一定的角度得到△AB′C′，并使点C的对应点C′恰好落在边AB 上，则∠BB'C'的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据旋转可得∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，得∠ABB′＝∠AB'B＝65°，进而可得∠BB'C'的度数．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，∴∠ABB′＝∠AB'B=12×（180°﹣50°）＝65°，∴∠BB'C'＝90°﹣∠ABB'＝90°﹣65°＝25°，故选：B．【变式2-1】（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若AF＝AD，则旋转角α的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据旋转的性质得∠DCA＝α，CD＝CA，则∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣α）＝90°−12α，利用三角形外角的性质得∠DF A＝30°+α，AF＝AD，利用等腰三角形的性质得30°+α＝90°−12α，即可得到α的值．【解答】解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，∴∠DCA＝α，CD＝CA，∴∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣α）＝90°−12α，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD，∵∠DF A＝30°+α，∴90°−12α＝30°+α，解得α＝40°；故选：B．【变式2-2】（2021秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（）A．15°或45°B．15°或45°或90°C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．【解答】解：设旋转的度数为α，若DE∥AB，则∠E＝∠ABE＝90°，∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，∴α＝90°，当点C，点B，点E共线时，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴AC∥DE，∴α＝180°﹣45°＝135°，故选：D．【变式2-3】（2021秋•南召县期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转．如图②，当∠CAE ＝15°时，此时BC∥DE．继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其他所有可能符合条件的度数为．【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．【解答】解：如图②，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；如图，当DE∥AC时，∠CAE＝45°+90°＝135°．综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，故答案为：60°或105°或135°．【考点3 由旋转的性质求线段的长度】【例3】（2021秋•怀化期末）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，P A＝6，将△P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（）A．6B．√6C．3D．2【分析】根据等边三角形的性质推出AC＝AB，∠CAB＝60°，根据旋转的性质得出△CQA≌△BP A，推出AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，求出∠P AQ＝60°，得出△APQ是等边三角形，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，∵将△P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，∴△CQA≌△BP A，∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°，即∠P AQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴QP＝P A＝6，故选：A．【变式3-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（）A．1B．2C．√3D．4【分析】根据旋转的性质可证明△BCC'、△ABA'是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC＝2AB＝2，由勾股定理得BC=√3，从而解决问题．【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，∴BA＝BA'，BC＝BC'，∠BAC＝∠BA'C'，∵∠BAC＝60°，∴∠A'＝60°，∴△ABA'是等边三角形，∴∠ABA'＝60°，∴∠CBC'＝∠ABA'＝60°，∴△BCC'是等边三角形，∴CC'＝BC，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2，∴BC=√3，∴CC'＝BC=√3，故选：C．【变式3-2】（2021春•覃塘区期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC ＝8，BC＝6，将三角形ABC绕顶点C逆时针旋转得到三角形A'B'C，A'B'与AC相交于点P，则线段PC长度的最小值为（）A．6B．5.2C．4.8D．4【分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，AB＝A'B'＝10，∵S△A'B'C=12×B'C×A'C=12×A'B'×CP，∴CP=6×810=4.8．故选：C．【变式3-3】（2021秋•江油市期末）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE（如图2），此时AB与CD1交于点H，则线段AD1的长度为√34．【分析】由直角三角形的性质可得AC＝BC＝3√2，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，由旋转的性质可求∠D1CB＝45°，由直角三角形的性质可求AH＝CH＝3，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，AB于CD1交于点H，∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝30°，斜边AB＝6，CD＝8，∴AC＝BC＝3√2，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∵将三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE，∴∠D1CB＝45°，CD1＝CD＝8，∴AB⊥CD1，∴AH＝CH＝3，∴D1H＝5，∴AD1=√AH2+D1H2=√25+9=√34，故答案为：√34．要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，【考点4 中心对称图形】【例4】（2021秋•招远市期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：A．【变式4-1】（2021秋•通榆县期末）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（）A．2张B．3张C．4张D．5张【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色求解．【解答】解：由于黑桃9与梅花3、黑桃8中间的图形旋转180°后无法与原来重合，故不是中心对称图形；只有红桃2，方片J是中心对称图形，共2张．故选：A．【变式4-2】（2021秋•海阳市期末）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；②是中心对称图形，故本选项符合题意；③不是中心对称图形，故本选项不合题意；④是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【变式4-3】（2021秋•市南区期末）万花筒写轮眼是漫画《火影忍者》及其衍生作品中的一种瞳术，下列图标中，是中心对称图形的有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．【解答】解：从左往右第二、四、五这3个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，第一、三这两个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：A．【考点5 设计中心对称图形】【例5】（2021秋•迁安市期末）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（）A．①②B．③④C．②④D．②③【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的③④位置，所组成的图形是中心对称图形．故选：B．【变式5-1】（2021春•汝阳县期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．故答案为：③．【变式5-2】（2021秋•辛集市期末）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．【解答】解：（1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形．【变式5-3】（2021•宁波模拟）图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：（1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；（3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．【分析】（1）根据题意涂阴影；（2）根据题意涂阴影；（3）根据题意涂阴影；【解答】解：（1）如图1；（2）如图2，答案不唯一；（3）如图3，答案不唯一．【考点6 旋转变换作图】【例6】（2021秋•广饶县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A （1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；（3）观察图形，判断△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标．【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们相交一点，则两个三角形关于这个点中心对称．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．【变式6-1】（2021秋•普陀区期末）如图，已知四边形ABCD和直线MN．（1）画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；（2）画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；（3）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；（2）根据中心对称性质即可画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD 关于点O成中心对称；（3）结合以上画图即可得四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是．【解答】解：（1）如图，A1B1C1D1即为所求；（2）如图，A2B2C2D2即为所求；（3）关于直线CO成轴对称．故答案为：CO．【变式6-2】（2021秋•顺城区月考）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ABC以O为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并直接写出坐标A1（﹣4，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，5）；（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2，并直接写出坐标A2（4，﹣2），B2（2，﹣1），C2（1，﹣5）；（3）若△ABC内有一点P（a，b），经过上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P2，请直接写出点P2的坐标．（用含a，b的代数式表示）【分析】（1）分别作出三个顶点绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可；（2）分别作出三个顶点关于原点对称的对应点，再首尾顺次连接即可；（3）结合以上对应点的坐标变化规律可得答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作，A1（﹣4，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，5），故答案为：（﹣4，2），（﹣2，1），（﹣1，5），（2）如图，△A2B2C2即为所作，A2（4，﹣2），B2（2，﹣1），C2（1，﹣5），故答案为：（4，﹣2），（2，﹣1），（1，﹣5），（3）根据题意知P2（b，﹣a）．【变式6-3】（2021秋•孝义市期中）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．（1）以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）．注：点A 与A1，B与B1，C与C1分别是对应点；（2）点P的对应点P1的坐标是（b，﹣a）；（3）若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P2的坐标是（﹣b，a），点P1与点P2关于原点对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后写出A1，B1，C1的坐标；（2）利用A1，B1，C1的坐标特征写出点P的对应点P1的坐标；（3）先写出点P的对应点P2的坐标，再利用P1和P2的坐标特征可判断点P1与点P2关于原点对称．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）；故答案为（4，﹣5），（3，﹣1），（1，﹣3）；（2）点P的对应点P1的坐标是（b，﹣a）；故答案为（b，﹣a）；（3）点P的对应点P2的坐标是（b，﹣a），点P1与点P2关于原点对称．。
《中心对称图形》旋转中心对称图形
特点
中心对称图形有一个特点，就是 围绕一个点旋转180度后，能够与 原来的图形重合。这个点通常被 称为“对称中心”。
实例
常见的中心对称图形有圆形、矩形 、菱形等。
中心对称图形的性质
旋转性质
对于中心对称图形，如果我们 将其围绕对称中心旋转180度， 那么它所对应的点也会旋转180
度。
对称性质
中心对称图形的两个部分是关 于对称中心对称的，也就是说 ，如果我们将图形的两部分沿 着对称中心对折，它们会重合
04
中心对称图形和旋转中心对 称图形的实例
中心对称图形的实例
圆
圆是一种典型的中心对称图形，圆的直径是它的对称轴，圆心是 它的对称中心。
蝴蝶
蝴蝶的身体结构呈现出中心对称的特性，当它停在花朵上时，翅 膀上的花纹左右对称，给人以美的享受。
雪花
雪花是一种美丽的晶体，其结构呈现出中心对称的特性，即从中 心向各个方向扩展的形状都是相同的。
中心对称图形与旋转中心对称图形的区别
中心对称图形是对称中心两侧的图形 关于对称中心进行对称，而旋转中心 对称图形是图形围绕某一点旋转180
度后与原图形重合。
中心对称图形是一种静态的对称形式 ，而旋转中心对称图形是一种动态的
对称形式。
中心对称图形强调的是两侧图形的对 称性，而旋转中心对称图形强调的是
THANK YOU.
图形的旋转和重合。
中心对称图形与旋转中心对称图形的转化
旋转中心对称图形可以通过将中心对称图形绕其对称中心旋转180度得 到。
中心对称图形可以通过平移和翻转得到旋转中心对称图形。
在某些情况下，可以将中心对称图形转化为旋转中心对称图形，例如将 一个平行四边形绕其对角线的交点旋转180度后可以得到一个菱形，这 个菱形就是一个旋转中心对称图形。
中心对称与旋转对称性
中心对称与旋转对称性中心对称和旋转对称性是数学中的重要概念，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将详细介绍中心对称和旋转对称性的概念、性质以及它们在各个领域的应用。
一、中心对称性中心对称是指图形相对于一个点对称，该点称为中心对称的中心。
可以用镜子来形象地理解中心对称性，当一个图形能够通过镜子对称地折叠在一起，那么这个图形就具有中心对称性。
中心对称的图形在平面上具有以下几个性质：1. 所有的中心对称图形都具有轴对称性。
2. 中心对称图形的任意两个对称点之间的线段都相等。
3. 中心对称图形具有封闭性，即将中心对称图形绕中心旋转180°后依然得到原来的图形。
4. 在平面上，图形的每一点和中心对称图形上的对称点的连线都会经过中心点。
中心对称性在几何学中有广泛的应用，例如建筑设计中的对称结构、艺术创作中的对称图案等。
二、旋转对称性旋转对称是指图形相对于一个点旋转180°后仍然能重合，这个点称为旋转对称的中心。
旋转对称的图形在平面上具有以下几个性质：1. 旋转对称图形的中心是对称图形的一个顶点。
2. 对于旋转对称图形上的任意两个对称点，中心到这两个点的距离相等，并且与旋转角度有关。
3. 旋转对称图形的旋转角度可以是90°、180°、270°和360°。
旋转对称性在自然界和科学中都有广泛的应用。
例如，在生物学中，一些动植物的结构具有旋转对称性，如蝴蝶的图案和植物的花瓣排列；在物理学中，旋转对称性被广泛应用于分子结构的研究和晶体的对称性分析。
三、中心对称与旋转对称的关系中心对称和旋转对称是密切相关的概念，事实上，中心对称图形可以看作是一个旋转对称中心位于无穷远处的特殊情况。
具体来说，中心对称的图形经过180°旋转后可以得到自身，也就是说，中心对称图形具有旋转对称性。
中心对称和旋转对称的关系可以通过以下几个例子来理解：1. 正方形是具有中心对称性的图形，它的中心对称中心位于图形的中心，同时也是它的一个旋转对称中心。
旋转(中心对称图形)
目录
• 旋转的定义和性质 • 中心对称图形的定义和性质 • 旋转和中心对称图形的关系 • 旋转和中心对称图形的几何证明
01
旋转的定义和性质
旋转的定义
01
02
03
旋转
在平面内，将一个图形绕 着某一点转动一定的角度， 这样的图形运动称为旋转。
旋转中心
在旋转过程中，固定不动 的点称为旋转中心。
旋转角度
图形绕旋转中心转动的角 度称为旋转角度。
旋转的性质
01
02
03
04
对应点到旋转中心的距 离相等。
对应点与旋转中心所连 线段的夹角等于旋转角。
对应线段相等且平行或 在同一直线上。
旋转前后的图形全等。
旋转的分类
旋转变换
绕固定点按顺时针或逆时针方向转动。
旋转方向
顺时针或逆时针方向。
旋转角度
可以是任意角度，但通常为90度、180度等。
旋转和中心对称图形的应用
在几何学中，旋转是研究图形性质和 变换的重要工具。中心对称图形在建 筑设计、艺术创作和自然界中广泛存 在。
通过旋转中心对称图形，可以创造出 新的图形和设计。例如，旋转一个花 朵的图案可以形成美丽的花环。
旋转和中心对称图形的实例
常见的中心对称图形包括圆形、正方形、正十二面体等。
中心对称图形上的任意两点关 于中心对称点对称。
中心对称图形关于中心对称点 成中心对称。
中心对称图形的对应角相等， 对应边相等。
中心对称图形的分类
轴对称图形
旋转对称图形
在平面内，如果一个图形关于一条直 线（轴）对称，则称该图形为轴对称 图形。
在平面内，如果一个图形绕某一点旋 转一定角度后与自身重合，则称该图 形为旋转对称图形。
旋转与中心对称
旋转与中心对称旋转和中心对称是几何学中两种重要的变换方式。
它们在平面几何和立体几何中有广泛的应用，并且对于我们理解和解决几何问题具有重要意义。
一、旋转变换旋转是指以某一点为中心，按照一定的角度和方向将图形围绕中心点旋转。
在平面几何中，我们通常用角度来表示旋转的大小，用顺时针或逆时针来表示旋转的方向。
以平面上的一个点P为中心，逆时针旋转角度为θ的图形A，可以用记号R(θ,P)表示。
在旋转变换中，点P始终保持不变，而图形A的所有点按照相同的角度和方向绕点P旋转。
旋转变换有许多重要的性质。
首先，旋转变换保持长度不变。
也就是说，图形A经过旋转变换后，图形的任意两点之间的距离保持不变。
其次，旋转变换保持角度不变。
图形A中任意两线段之间的夹角，在旋转变换后仍然保持不变。
这些性质使得旋转变换在解决与角度和距离有关的几何问题时非常有用。
二、中心对称变换中心对称是指以某一点为对称中心，图形上对称的点与对称中心距离相等。
在平面几何中，中心对称分为对称轴在图形内部的内部中心对称和对称轴在图形外部的外部中心对称。
以点P为对称中心的内部中心对称变换，可以用记号S(P)表示。
对于任意点Q，它的对称点Q'在直线PQ上，并且PQ'=PQ。
图形A中的每一个点Q经过内部中心对称变换后得到的对称点Q'，都在直线PQ 上，并且偏离对称中心的距离相等。
外部中心对称变换与内部中心对称变换类似，只不过对称轴在图形的外部。
以线段AB为外部对称轴，可以用记号S(AB)表示。
图形A 中的每一个点Q经过外部中心对称变换后得到的对称点Q'，都在直线AB上，并且偏离对称轴的距离相等。
中心对称变换具有许多重要的性质。
首先，中心对称变换保持距离不变。
也就是说，图形A经过中心对称变换后，图形的任意两点之间的距离保持不变。
其次，中心对称变换使得线段、角度和面积保持不变。
图形A中任意两线段之间的夹角，在中心对称变换后仍然保持不变。
旋转与中心对称知识点总结
旋转与中心对称知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是指一个图形绕着一个固定的点（称为旋转中心）旋转一定角度，使得图形的每一点都按照相同的角度和方向进行旋转。
旋转是一种基本的变换方式，可以将一个图形变换成另一个图形。
2. 旋转的性质（1）旋转保持图形的大小不变，只改变其位置和方向。
（2）旋转是一种等距变换，即旋转前后图形上的任意两点的距离不变。
（3）旋转有方向性，即按照逆时针或者顺时针方向旋转。
（4）旋转的角度可以是正数、负数或者零。
3. 旋转的记法在表示旋转时，通常用“R(α, O)”来表示。
其中，R表示旋转的动作，α表示旋转的角度，O 表示旋转的中心。
4. 旋转的应用旋转在几何中有着广泛的应用，如在图形的相似性、对称性、平移和旋转组合变换等方面都有重要作用。
此外，旋转还在几何构造和设计中有着重要的应用价值。
二、中心对称的基本概念1. 中心对称的定义中心对称是指以某一点为中心进行对称变换，使得图形的每一点都关于这个中心对称，即以中心为轴，使得对称的两个部分分别对称于中心点的两侧。
2. 中心对称的性质（1）中心对称的图形和它的中心对称图形是全等的，即它们的形状和大小都完全相同。
（2）中心对称是一种等长变换，原图形中的任意一点到中心的距离和对称图形中的相对点到中心的距离相等。
（3）中心对称是一种对易变换，即进行两次中心对称等于原图形。
3. 中心对称的应用中心对称在几何中也有着重要的应用，如在图形的分类和性质判断、对称性的分析、几何构造等方面都有重要的应用。
此外，中心对称还在艺术设计和图案构图中有着重要的应用价值。
三、旋转与中心对称的关系1. 旋转与中心对称的联系旋转和中心对称在一定条件下是等价的，即通过旋转可以实现中心对称，通过中心对称也可以实现旋转。
这是因为旋转和中心对称都是一种对称性变换，它们都具有保持图形不变的性质。
2. 旋转与中心对称的应用旋转与中心对称在一些几何问题中常常结合使用，如在构造等边三角形、六边形等图形时，旋转和中心对称可以互相借助，以实现图形的变换和构造。
中心对称与旋转的区别和联系
中心对称与旋转的区别和联系中心对称和旋转是几何学中两个重要的概念，它们分别描述了物体的性质和变换方式。
下面将分别从定义、特征、性质和应用等方面介绍中心对称和旋转，并探讨它们之间的区别和联系。
1. 中心对称中心对称是指一个物体在某个中心点处，以该点为对称中心，在平面上对称出现相同的形状。
具体而言，对于一个平面上的物体，如果存在一个点P，连接该点P和物体上任意一点Q，并延长长度将其延长到等于PQ的位置，那么PQ'就与PQ重合，且使得PQ'与PQ对称。
特征：- 中心对称的物体可以通过旋转180°或通过镜像变换来得到。
- 中心对称的物体对于任意一点的对称性质相同。
- 中心对称可以在平面上或空间中存在。
性质：- 中心对称的物体的对称中心可以是几何图形的任意一点。
- 中心对称的物体的对称中心可以是其内部点或外部点。
- 中心对称的物体具有平移不变性，即对称变换后的物体与变换前的物体具有相同的平移关系。
应用：- 中心对称广泛应用于图形设计、绘画、建筑等领域，常用于创作出具有美感和和谐感的作品。
- 中心对称在物理学中有重要的应用，可以用于描述电偶极子、电场分布等现象。
- 中心对称在生物学中也有一定的应用，可以用于描述某些物种的形态特征。
2. 旋转旋转是指物体围绕一个旋转中心点进行转动，使得旋转前后物体的形状和尺寸保持不变。
具体而言，对于一个平面上的物体，如果存在一个点P作为旋转中心，连接该点P和物体上的任意两点A和A'，使得PA'与PA长度相等，那么通过该旋转变换后，物体的形状和尺寸与旋转前相同。
特征：- 旋转的中心点可以在物体内部或外部。
- 物体旋转后的位置与旋转前的位置并不重合，但形状和尺寸相同。
性质：- 旋转变换是保角变换，即旋转前后的夹角保持不变。
- 旋转变换不改变物体的面积、周长和体积等性质。
- 一次旋转变换可以用角度来描述，即旋转的角度。
应用：- 旋转经常在数学中用于解决几何问题，如旋转对称图形的性质分析、计算旋转体的体积等。
九年级上册数学旋转知识点总结
九年级上册数学旋转知识点总结九年级上册数学旋转知识点1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征 (3分)1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P’(-x，-y)2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P’(x，-y)3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P’(-x，y)初中数学有理数的运算知识点加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
第14讲 旋转与中心对称
旋转与中心对称知识要点梳理：一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P ,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。
）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。
4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。
二、中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2、中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平所平分。
（2）关于中心对称的两个图形是全等形。
3、作中心对称和图形的一般步骤（1）确定“代表性的点”；（2）作出每个代表性的点的对应点；（3）顺次连结。
三、中心对称图形1、中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，过对称中心的直线，可以把图形分成完全重合的两部分。
2、中心对称图形的识别常见的几何图形，如：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆，26个大写英文字母（7个），正多边等要会识别，并指出对称中心。
3、两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系区别：（1）中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形。
中考数学 专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(含解析)
专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。
旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。
一. 直线（线段）的旋转问题1. 如图，直线l ：y 3x 3=-+与y 轴交于点A ，将直线l 绕点A 顺时针旋转75º后，所得直线的解析式为【 】A ．y 33=B ．y x 3=+．y x 3=-+ D ．y x 3=【答案】B 。
【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，由已知，可求直线y3x3=-+与x、y轴的交点分别为B（1，0），A（0，3），2.根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y x1=+，直接写出：①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；②过点（1，0）且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过点（1，0）的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600，①求直线l4的函数表达式；②把直线l4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l5，求直线l5的函数表达式；（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x55=-垂直的直线l6的函数表达式。
第一讲图形的旋转、中心对称与中心对称图形.doc
第一讲图形的旋转、中心对称与中心对称图形1.1 图形的旋转一、知识点1．旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
2．旋转的性质：（1）旋转前后图形的大小和形状没有改变，旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段的长度、对应角的大小相等3．旋转作图：旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。
二、典型例题例1．下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（）例2．如图,△ABC为等边三角形,D是△ABC内一点,若将△ABD经过一次逆时针旋转后到△ACP的位置,则旋转中心是______,旋转角等于______△ADP是______三角形。
例3．如图，将△ ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 40 °得△ A ′ B ′ C ，若 AC ⊥ A ′ B ′，则∠ BAC等于（）A. 50 °B. 60 °C. 70 °D. 80 °例4．△ABC在方格中的位置如图所示．（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系,使得A 、B 两点的坐标分别为A （2,﹣1）、B （1,﹣4）．并求出C 点的坐标。
（2）作出△ABC 关于横轴对称的△A 1 B 1 C 1 ,再作出△ABC 以坐标原点为旋转中心、旋转180°后△A 2 B 2 C 2 ,并写出C 1 ,C 2 两点的坐标。
例5．如图,在直角坐标系中,已知点A(−3,0),B(0,4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③， ④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为_________________．三、课堂练习1．下列现象属于旋转的有（ ）个．（1）方向盘的转动；（2）钟摆的运动；（3）荡秋千运动；（4）传送带的移动． A.1 B.2 C.3 D.42．如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）A ．B ．C ．D ．3．一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法（ ）①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④4．如图，该图形绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ） A.72° B.108° C.144° D.216°5．如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是( )第（4）题图6．正方形绕中心至少旋转________度后能与自身重合．7．如图，在等边三角形ABC 中，AB=6，D 是BC 上一点，且BC=3BD ，△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，则CE 的长度为________．8．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过________次旋转而得到，每一次旋转_______度．9．如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB ′C ′，点C ′恰好落在边AB上，连接BB ′，则∠BB ′C ′=________度．10．如图，在△ABC 中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′=________. 四、课堂小结五、课后作业1．如图,△ABC 以点A 旋转中心,按逆时针方向旋转60∘得到△AB ′C ′,则△ABB ′是（ ）三角形。
《中心对称》旋转
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目录
• 中心对称旋转的定义 • 中心对称旋转的性质 • 中心对称旋转的应用 • 中心对称旋转的实例 • 中心对称旋转的意义 • 中心对称旋转的挑战与未来发展
01 中心对称旋转的 定义
中心对称的定义
定义
对于一个平面图形，如果存在一个点，使得图形围绕这个点旋转180度后与原 图重合，那么这个点称为图形的中心对称点，这种图形称为中心对称图形。
圆形、球体和轮胎
01 02
圆形
一个圆形的物体绕其中心旋转时，不论从哪个角度看，它都是相同的形 状和方向。例如，一个车轮在行驶时，不论从哪个角度看，它都是向前 滚动的。
球体
球体也是中心对称的，当它绕其中心旋转时，不论从哪个角度看，它都 是相同的形状和方向。例如，地球的自转就是绕其中心旋转的。
03
轮胎
数学中有很多关于对称性的研究，如代数几何、拓扑 学等。中心对称旋转在数学领域的研究对于解决一些 数学难题有着重要的意义。
对称与量子力学的研究
量子力学中的对称性
量子力学是研究物质和能量基本组成的理论，而对称性 是量子力学中一个非常关键的概念。对对称性的研究有 助于深入理解量子现象和量子力学的基本原理。
雪花是自然界中最著名的中心对称物体之一 。每一片雪花的形状都是独特的，但是它们 都呈现出中心对称的结构。这种结构使得雪 花在各种不同的温度和湿度条件下都能够保
持其美丽和完整的形态。
DNA结构和病毒
DNA结构
DNA（脱氧核糖核酸）是生物体的遗传物质，它的双 螺旋结构也是中心对称的。这种结构保证了DNALeabharlann 细 胞内能够稳定地存在并传递遗传信息。
轮胎的设计也是中心对称的，当轮胎在路面上滚动时，不论从哪个角度
旋转对称图形和中心对称图形
§11.3旋转对称图形与中心对称图形
教学目标：
1．在探究旋转对称图形和中心对称图形的概念过程中，感受从一般到特殊的研究问题方法．2．理解旋转对称图形和中心对称图形的区别和联系．
3．感受旋转对称图形和中心对称图形在生活中的应用，体会数学的价值．
教学重点和难点：
探究旋转对称图形和中心对称图形的概念形成过程．
二、新知探索
师：我们把具有这个特征的图形叫做旋
转对称图形．
问：你能说出什么是旋转对称图形吗？
师生共同总结：
归纳：请比较旋转对称图形和中心对称图形的异同．
练习：课本P102第2、3题
三、拓展应用
1．在一次游戏当中，小明将下面图(1)的四张扑克牌中的一张旋转180o后，得到图(2)，小亮看完，很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？
图(1)
(2)
．如图是由两个等边三角形拼成的图形．
这个图形是不是旋转对称图形
是中心对称图形?若是指出对称中心．若三角形ACD旋转后能与三角形
重合．那么图形所在的平面上可以作为
哪些
称图形，
中
形？
图形（2）是旋转对称图形，
也是中心对称图形．它的旋
转中心是对角线的交点O
图形（3）是旋转对称图形，
也是中心对称图形．它的旋
转中心是对角线的交点O
图形（4）是旋转对称图形，
但不是中心对称图形．它的
解答
答：这个图形是旋转对称图
形，最小的旋转角是120︒．旋转对称图形和旋转角
3．如图，如果四边形CDEF
ABCD重合，那么图
2．画一个旋转角是的旋转对称图形．。
第6讲 图形的旋转-中心对称--基础版
第6讲图形的旋转-中心对称知识点1图形的旋转图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.图形旋转的性质：1、经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
3、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。
【典例】例1 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为【答案】90°【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°。
例2 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为【答案】180°﹣α【解析】解：由题意可得，∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α例3 如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB 中水柱的长度约为【答案】8cm【解析】解：如图，AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=2x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm。
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B： (−2, 4)
C： (4, − 2)
D： (2, − 4)
练2-1.将点P(1, 1)绕原点顺时针旋转135 后，得到的点的坐标是________________．
练2-2.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4, 6)、B(5, 2)、C(2, 1)，如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90 ，得到 ，那么点A、B的对应点 的坐标分别是( )
旋转和中心对称
【知识点一】旋转的概念和性质
旋转的概念：在同一平面内，把一个图形绕着某一个定点转动一个角度，叫图形的旋转.
图中E经旋转得到B,E和B叫对应点.对应点与旋转中心的连线的夹角叫旋转角.
旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向
DEF绕点O逆时针旋转60°：
①旋转中心：点O
②旋转角： BOE、 COF、 AOD等
③旋转方向：逆时针
旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等;
②对应点与旋转中心所连线一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，它们都相等;
②因为旋转中心到对应点的距离相等,所以旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上；
③旋转过程中，图形大小状无变化，只有位置改变.
D：180
例5.(1)关于中心对称的两个图形，对应线段的关系是（ ）
A：相等 B：平行 C：相等且平行 D：相等且平行或相等且在同一直线上
(2)已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A：点C
B：点D
C：线段BC的中点
D：线段FC的中点
(3)作三角形关于点成中心对称图形：已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF与△ABC关于O成中心对称．
中心对称的性质：
探究：已知 ABC和 DEF成中心对称，
① ABC .
②AD、BE、CF相较于点，且AO=，BO=，CO=，
③AB∥，BC∥，AC∥.
中心对称的性质：
①成中心对称的两个图形是全等的
②对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分
③对应线段互相平行(或在同一直线上）
确定对称中心：
举例：如图，两个图形成中心对称，请找出它们的对称中心，任意连接两条对称点连线所连线段相交于一点则交点是所找的对称中心，成中心对称的图形 对称点连线交于一点且被该点平分.
练3-1.如图，等腰直角△ABC的顶点A、B、C在正方形(每个小正方形边长为单位1)网格的格点上，∠BAC = 90 ，AB = AC(计算结果保留π)
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90 后的 ；
（2）求旋转过程中线段BC的中点经过的路径长；
练3-2.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．画出△ABC绕点O逆时针旋转90 后的 .
练习：如图将 ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到 ADE，若 CAE=65°， E=70°，且AD BC，则 BAC的度数为（ ）
A.60° B.85° C.75° D.90°
例1.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35 ，得到 ， 交AC于点D，若∠ = 90 则∠A度数为( )
A：45
B：55
C：65
思考：将平行四边形绕它的对角线交点0旋转180°,有什么发现呢?
思考：这样旋转180°与自己重合的图形有什么高端大气上档次的名字呢？
中心对称图形的定义：
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.例如：线段，平行四边形
例4.（1）下列图形是旋转对称图形的是（）
(2)如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（）
A：60
B：90
C：120
D：180
练4-1.下列各图形，不是旋转对称图形的是（）
练4-2.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心点旋转( )．
A：60
B：90
C：120
D：75
(2)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至 ，使点 落在BC的延长线上．已知∠A= 27 ，∠B = 40 ，则 =( )
A：46 B：45
C：44 D：43
练1-1.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20 ，B点落在 位置，点A落在 位置．若 ⊥AB，则∠ 的度数是( )
A：50
B：60
C：70
D：80
练1-2.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100 ，得到△ ，若点 在线段BC的延长线上，则∠ 的大小为（ ）
A：70
B：80
C：84
D：86
例2.(1)将点M(−4, 0)绕着原点逆时针旋转45 后得到点N，则点N的坐标是____________．
(2)如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90 ，则顶点B的对应点 的坐标为( )
A：(−3, 3)、(−2, 4)
B：(3, − 3)、(1, 4)
C：(3, − 3)、(−2, 4)
D：(−3, 3)、(1, 4)
例3.如图，△ABC是格点三角形，网格的单位长度为1，请画出△ABC绕P点顺时针转动90 所形成的图形 ．并求出旋转过程中PA、PB、PC分别扫过的面积．(计算结果保留π)
【知识点二】中心对称
把一个图形绕着一个点旋转180°，如果它能够与另个图形重合，
那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这两个图形在
旋转后能重合的对应点叫做关干对称中心的对称点.如图， AOB
与 COD关于点O对称，点A和点C对称,点B和点D对称.
练习.判断下列图形是否构成中心对称
（）（）（）（）
练5-1.(1)如图所示四个图形中，中心对称图形有（ ）
A：① B：② C：③ D：④
(2)在以下图形中，是中心对称图形的有（ ）
①圆 ②正方形 ③长方形 ④平行四边形 ⑤等边三角形
A：2个 B：3个 C：4个 D：5个
练5-2.(1)规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60 的是（ ）
A：正三角形 B：正方形 C：正六边形 D： 正十边形
(2)下列汉字或者字母既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A：大 B：由 C：H D：Z
例6.已知 和 关于原点对称，则 的值为（ ）