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浙江省文澜中学数学圆几何综合(培优篇)(Word版含解析)

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中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含详细答案

中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含详细答案

中考数学圆的综合(大题培优 易错难题)含详细答案、圆的综合1.在平面直角坐标中，边长为 2的正方形OABC 的两顶点 A 、C 分别在y 轴、x 轴的正 半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕。

点顺时针旋转，当 A 点一次落在直线 y X 上 时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x 于点M , BC 边交x 轴于点N (如图).C(1)求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当 MN 和AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；(3)设 MBN 的周长为p ,在旋转正方形 OABC 的过程中，P 值是否有变化？请证明 你的结论.【答案】(1) K 2 (2) 22.5。

(3)周长不会变化，证明见解析 【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边OA 在旋转过程中所扫过的面积；(2)解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出/AOM 的度数；(3)利用全等把4MBN 的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) ; A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，直线 y=x 与y 轴的夹角是 45°,，OA 旋转了 45 °.(2) 「MN //AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 : Z BMN=Z BNM,，BM=BN.又,. BA=BC, .1. AM=CN.又.. OA=OC, /OAM=/OCN, • . △ OAM^ △ OCN.Z AOM=ZCON=- (/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 .2 2，旋转过程中，当 MN 和AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为45 -22.5 =22.5 .(3)在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化.证明：延长BA 交y 轴于E 点，贝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 °-Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又••• OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN.••.△OAE^AOCNI.・•・ OA 在旋转过程中所扫过的面积为45 22360，OE=ON, AE=CN又「 / MOE=Z MON=45 , OM=OM , ••.△OME^AOMN. .. MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN ,.•尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.考点：旋转的性质.2.如图，A、B两点的坐标分别为(0, 6) , (0, 3),点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q,连接PQ, M为线段PQ的中点.(1)求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；(2)当。

第二十四章 圆培优检测卷(解析版)(重点突围)

第二十四章 圆培优检测卷(解析版)(重点突围)

《第二十四章 圆》培优检测卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：第二十四章； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）已知O e 的半径为3cm ，点A 到圆心O 的距离为2cm ，那么点A 与O e 的位置关系是（ ）A ．点A 在O e 内B ．点A 在O e 上C ．点A 在O e 外D ．不能确定【答案】A【分析】根据点到圆心的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系进行判断即可．【详解】解：由题意得：2,3d r ==，故：d r <，∴点A 在O e 内，故选A ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．2．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )A ．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等B ．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴C ．平分弦的直径一定垂直于这条弦D ．等弧所对的圆周角相等【答案】D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A 进行判断，根据对称轴的定义对B 进行判断，根据垂径定理的推论对C 进行判断，根据圆周角定理的推论对D 进行判断．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；B 、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；C 、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；D 、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，故选：D ．理及圆周角定理的推论．3．（2022·湖北孝感·九年级期末）点P 到⊙O 的最近点的距离为2cm ，最远点的距离为7cm ，则⊙O 的半径是（ ）A ．5cm 或9cmB ．2.5cmC ．4.5cmD ．2.5cm 或4.5cm【答案】D【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【详解】解：①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为2cm ，最长距离为7cm ，∴圆的直径为7﹣2＝5（cm ），∴该圆的半径是2.5cm ；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为2cm ，最长距离为7cm ，∴圆的直径＝7+2＝9（cm ），∴圆的半径为4.5cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．4．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在O e 上，若130ADC Ð=°，则BAC Ð的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求得B Ð，根据直径所对的圆周角是直角可得=90°ACB Ð，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：∵AB 为O ⊙的直径，,60OA OB AOB =Ð=°Q ，AOB \ 是等边三角形，12,12OA AB AP AB \====，223OP OA AP \=-=，即这个正六边形的边心距为3，【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连接AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（ ）A．65°B．50°C．40°D．25°【答案】C【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A ＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．【详解】解：连接OC，∵BC与半⊙O相切于点C，∴∠OCB＝90°，∵∠A＝25°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．故选：C【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为_____．【答案】32【分析】首先根据圆周角定理求出∠【答案】1【分析】连接OA、OC、OD然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：连接OA、OC∵点O为正六边形ABCDEF【答案】15【分析】如图，连接CQ，然后求出【详解】解：如图，连接CQ．由题意CQ＝CP，CDPQ＝∴DQ＝DP＝12∵PA＝QB，【答案】1或3或5e与坐标轴的切点为【分析】设PQ点D是切点，P e的半径是1Q，PB=2Q=，PC2\=+=，52 AP AC PC定及性质，利用分类讨论的思想求解．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）(1)点M的坐标为　(2)点D（5，﹣2）在⊙M【答案】(1)（2，0）(2)内【分析】（1）由网络可得出线段（2）解：由图知，圆的半径AM∵2513>，∴点D在圆M内，(1)求正六边形的边长；(2)以A为圆心，AF为半径画弧【答案】(1)6(2)4π(1)求ACBÐ的度数；e的半径为3，求圆弧 AC的长．(2)若O【答案】(1)30°(2)2pe的切线∵AB是O^∴OA AB∴90Ð=OAB°∵90Ð=DAC°Ð=Ð∴DAC OAB（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．17．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，与A ，B 重合），过O 作OC ⊥AP (1)试判断CD 与AB 的数量和位置关系？并说明理由；(2)若45B Ð=°，AP=4，则⊙∵45B Ð=°，四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ．A D AE DE E E Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ACE ≌△DBE （ASA ），∴BE ＝CE ，∵AE ＝DE ，∴AE -BE ＝DE -CE ，即AB ＝CD ．【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．19．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在Rt ABC 中，∠C =90º，以AC 为直径作⊙O ，交AB 于D ，过O 作OE ∥AB ，交BC 于E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)如果⊙O 的半径为3，DE =4，求AB 的长；(3)在（2）的条件下，求△ADO 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)10AB =(3) 4.32ADO S =△【分析】（1）根据平行线的性质，得出123A Ð=ÐÐ=Ð，，再根据等边对等角，得出1A Ð=Ð，再根据等量代换，得出32Ð=Ð，再利用SAS ，得出OCE ODE ≌△△，进而得出OCE ODE Ð=Ð，进而得出OD DE ^，即可得出结论；（2）根据（1），得出ODE 是直角三角形，根据勾股定理，得出5OE =，再根据三角形的中位线定理，即可得出AB 的长；（3）连接CD ，根据圆周角定理，得出90ADC Ð=°，再根据等面积法，得出CD 的长，然后根据勾股定理，得出AD 的长，再根据三角形的面积公式，得出ADC 的面积，再根据三角形中线平分三角形的面积，即可得出ADO △的面积．（1）证明：如图，∵OE AB ∥，∴123A Ð=ÐÐ=Ð，，∵OA OD =，∴1A Ð=Ð，∴32Ð=Ð，∵OC OD OE OE ==，，∴()OCE ODE SAS △≌△，∴OCE ODE Ð=Ð，∵90C Ð=°，∴90OCE ODE Ð=Ð=°，即OD DE ^，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：由（1），可得：三角形ODE 是直角三角形，在Rt ODE △中，∵34OD DE ==，，∴5OE =，【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、切线判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、圆周角定理、三角形中线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．20．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在圆心，OB为半径的圆与(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．【答案】(1)8 3(2)3∵Oe与AC相切于点∴AC OD^，∴∠ADO=90°，即∠PDO∵∠ABC =90°， AB =8，∴22AC AB BC =+=∵OD AC ^，AB BC ^∴1122AC OD BC OB ×+×∴AC OD BC OB ×+×=∵∠EFD=∠ODF=∠OEF=90°∴四边形ODFE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODFE是正方形，===∴AF DF OD r∵222，∵OD<OA，∴OB+OD<OB+OA，∴2r<8，∴r<4，∴r的取值范围是252-【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理、用不等式求取值范围等知识与方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键，属于考试压轴题．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）(1)求抛物线解析式及D 点坐标．(2)猜测直线CM 与D e 的位置关系，并证明你的猜想．(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，若将线段上？若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【答案】(1)()2125344y x =--+；(3,0)(2)相切；证明见解析；由抛物线的解析式得：M (3,254∵D (3,0)，∴()22225225403416CM æö=-+-=ç÷èø∴222CM CD DM +=，根据题意得∠CP C¢=∠CGD=∠GDO ∴∠CPH+∠HP C¢=90°，∠GCP+∴∠GCD=∠HP C¢，OC=GD=4，∵CP=C¢P∴∆CGP≅∆PH C¢，∴PG=C¢H=GD-DP=4-k，CG=PH六、（本大题共12分）。

2020-2021备战中考数学圆的综合(大题培优)附答案解析

2020-2021备战中考数学圆的综合(大题培优)附答案解析

2020-2021备战中考数学圆的综合(大题培优)附答案解析一、圆的综合1．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠． （1）求证：CE 是半圆的切线； （2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠， ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径， ∴CE 是半圆的切线. （2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=.∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A ， ∴△AOD ∽△ACB . ∴AC AOAB AD=. ∵1132OA AB x ==，AD =2x +10, ∴113221013xx x =+. 解得 x =8. ∴138413OA =⨯=. 则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连结AC ，过»BD上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连结AE 交CD 于点F ，且EG=FG ，连结CE ． （1）求证：∠G=∠CEF ； （2）求证：EG 是⊙O 的切线；（3）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tanG =34，AH=33，求EM 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3253. 【解析】试题分析：（1）由AC ∥EG ，推出∠G =∠ACG ，由AB ⊥CD 推出»»AD AC =，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HCEM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AHHC=34，∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣33HC=43∴222(33)(43)r r-+=，∴r 253，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HCEM OE=，∴33432536EM=，∴EM=2538．点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．3．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, DEBE=DHBCDE BE =21-4．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

浙江省文澜中学小升初数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

浙江省文澜中学小升初数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

浙江省文澜中学小升初数学期末试卷（培优篇）（Word版含解析）一、选择题1．在21：00时，钟面上的时针和分针成（）。

A．锐角B．直角C．钝角D．平角2．鲜蘑菇经过晾晒后失去原来质量的85%，则10千克蘑菇干是由多少千克鲜蘑菇制成的？正确的算式是()。

A．10÷85% B．10÷(1－85%)C．10×85% D．10×(1－85%)3．一个三角形中最小的角是46度，这个三角形一定是（）三角形。

A．直角B．锐角C．钝角4．某市出租车计费标准如表所示。

星期天，妈妈从家出发打车去商场，支付了18元，这段路程最长是几千米？设这段路程最长有x千米，下列方程正确的是（）。

3km以内（包括3km）3km以上（不足1km按1km计算）10元2元/kmA．10＋2x＝18 B．2（x－3）＝18 C．10＋2（x－3）＝18 D．10＋（x－3）＝185．观察立体图形，从右面看到的形状是（）A．B．C．6．甲、乙、两三个仓库各存粮若干吨，已知甲仓库存的粮是乙仓库的23，乙仓库存的粮比丙仓库多14，丙仓库比甲仓库多存粮40吨，下列说法中错误的是（）。

A．丙仓库存的粮是乙仓库的45B．甲仓库存的粮是丙仓库的56C．甲、乙、丙三个仓库存粮之比是10∶15∶12 D．甲仓库存粮240吨7．一个骰子，六个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6。

掷出这个骰子，朝上的数字是（）的可能性最小。

A．质数B．合数C．奇数D．偶数8．朱小刚给杂志社审稿，获得稿费4800元。

按照规定，超过800元的部分应繳纳5%的个人所得税，他实际可拿到（）元。

A．240 B．4600 C．3800 D．45609．观察一下图两个梯形，下面结论正确的是（）．A ．周长、面积都相等B ．周长、面积都不相等C ．周长相等，但面积不相等D ．面积相等，但周长不相等二、填空题10．据统计，绿色出行为社会减少碳排放量超过二百一十六万吨，相当于节约六亿五千万升汽油。

中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及详细答案

中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及详细答案

中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及详细答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．【答案】发现： 90°，102；思考：（1）103π=；（2）25π−1002+100；（3）点O到折痕PQ的距离为30.【解析】分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102−10)2=（10-OP）2，解得OP=102−10，最后用面积的和差即可得出结论．探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=12OO′=30．详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB+=102；思考：（1）如图，连接OQ，∵点P 是OB 的中点，∴OP=12OB=12OQ ． ∵QP ⊥OB ，∴∠OPQ=90° 在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=12OP OQ =， ∴∠QOP=60°，∴l BQ =6010101803ππ⨯=； （2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102，在Rt △B'OP 中，OP 2+(102−10)2=（10-OP ）2解得OP=102−10，S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101210(10210)3602π⨯-⨯⨯⨯- ＝25π−1002+100；探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心，∴O′C=OB=10，∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点，∴O′C ⊥AO ，∴O′C ∥OB ，∴四边形OCO′B 是矩形，在Rt △O′BP 中，226425-=在Rt △OBO′K ，2210(25)=230-，∴OM=12OO ′=12×23030 即O 到折痕PQ 30点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=180n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．3．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD ，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴935535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.4．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .（1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212 【解析】 试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .∴BD CD BO EO= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，∴CF =FB .∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=5．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，CB ∥PO ．（1）判断PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC 的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（2）35 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．7．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC= 5311，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=3m，可得AN=11m，利用直角AGM,AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴EM=MG=1EG=1，2∴∠EAG=∠ECD=2α，∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，∵tan∠BAC53，∴设NG=3，可得AN=11m，AG22-14m，AG AM∵∠ACG=60°，∴CN=5m，AM3，MG22-m=1，AG AM∴m =12， ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．9．问题发现．(1)如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 是AB 边上任意一点，则CD 的最小值为______．(2)如图②，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、点N 分别在BD 、BC 上，求CM+MN 的最小值．(3)如图③，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．【答案】(1) 125CD =;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，求C N '的长即可;(3) 连接AC ，则ADCACGAGCD S SS=+四，321GB EB AB AE ==-=-=，则点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，由AEM ACB ∽求得GM 的值，再由ACDACGAGCD S SS=+四边形 求解即可.试题解析：（1）从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线，垂足为D ，22ABCCD AB AC BCS ⋅⋅==，∴341255AC BC CD AB ⋅⨯===，（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，且与BD 交于M ，则CM MN +的最小值为C N '的长， 设CC '与BD 交于H ，则CH BD ⊥， ∴BMC BCD ∽，且125CH =， ∴C CB BDC ∠=∠'，245CC '=， ∴C NC BCD '∽，∴244965525CC BC C N BD ⨯⋅===''， 即CM MN +的最小值为9625．（3）连接AC ，则ADCACGAGCD S SS=+四，321GB EB AB AE ==-=-=，∴点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧． 过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ， ∵AEM ACB ∽， ∴EM AEBC AC=， ∴24855AE BC EM AC ⋅⨯===， ∴83155GM EM EG =-=-=，∴ACDACGAGCD S SS=+四边形，113345225=⨯⨯+⨯⨯，152=． 【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．10．如图1，等边△ABC 的边长为3，分别以顶点B 、A 、C 为圆心，BA 长为半径作AC 、CB 、BA ，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l 为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A 与线段MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A 与端点N 重合，则线段MN 的长为 ；（2）如图3，将这个图形的顶点A 与等边△DEF 的顶点D 重合，且AB ⊥DE ，DE =2π，将它沿等边△DEF 的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B 与⊙O 的圆心O 重合，⊙O 的半径为3，将它沿⊙O 的圆周作无滑动的滚动，当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为 （请用含n 的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3． 【解析】试题分析：（1）先求出AC 的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论； （2）先判断出莱洛三角形等边△DEF 绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O 重合旋转一周点I 的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，∴∠BAG=120°，∴S扇形BAG=21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI并延长交AC于D．∵I是△ABC的重心也是内心，∴∠DAI=30°，AD=12AC=32，∴OI=AI=3230ADcos DAI cos∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O为圆心，OI为半径的圆周，∴当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n•2π•3=23nπ．故答案为23nπ．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目．11．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．12．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；（1）求证：∠ADC+∠CBD＝12∠AOD；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】 【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】()1证明：OD BC ⊥，BD CD ∴=，CBD DCB ∴∠=∠，90DFE EDF ∠+∠=， 90EDF DFE ∴∠=-∠，OD OA =， ()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠，190902DFE AOD ∴-∠=-∠，12DEF AOD ∴∠=∠，DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠；()2解：OD BC ⊥，BE CE ∴=，BD CD =，BD CD ∴=， OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠， PA 切O 于点A ，90PAO ∴∠=，90OAD DAP ∴∠+∠=，PFA DFE ∠=∠， 90PFA ADO ∴∠+∠=，PAF PFA ∴∠=∠， PA PF ∴=． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)(1)在如图中，过点作边上的高． (2)在如图中，过点作的切线，与交于点．【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析. 【解析】 【分析】（1）连接AC 交圆于一点F ，连接PF 交AB 于点E,连接CE 即为所求． （2）连接OF 交BC 于Q ，连接PQ 即为所求． 【详解】(1)如图1所示．(答案不唯一)(2)如图2所示．(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．15．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3x2＋（m＋n）x＋mn]＝3（3mn＋mn）3．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.。

浙江省文澜中学数学几何模型压轴题(培优篇)(Word版 含解析)

浙江省文澜中学数学几何模型压轴题(培优篇)(Word版 含解析)

浙江省文澜中学数学几何模型压轴题（培优篇）（Word 版 含解析）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)（1）求出a 和b 之间的数量关系．（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)①求出此时抛物线的解析式；②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1，)，F 1(-8，33-4+)，G 2(8，-8)，F 2(218，-4) 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出1t =，2t =，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。

【详解】解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5∴a+2b=10∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10（2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5）∴2k c 5{c -7+==解得k 6{c -7==即直线AD 的解析式为y=6x-7 联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2y ax +bx-3a-5{y 6x-7== 消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0∵抛物线与直线AD 有两个交点∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6-a =2a 2a +，x A x D =-3a 2a + ∵A （2,5）∴x A =2即x D =2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a ∴2a -22a +=a-104a 解得a=2∴b=10-a 2= 4 ∴此时抛物线的解析式为y= 2x 2+4x-11②如图所示：作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ）∵A （2，5），∴AI=2，BJ=5-t∵AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH∴AB=BH ，∠ABH=90°，∠AIB=∠BJH=90° ∵∠IAB+∠IBA=90°，∠ABH+∠IBA+∠JBH=180°∴∠IBA+∠JBH=90°即∠IAB=∠JBH∴△AJB ≌△BJH 即AI=BJ=2，BI=IH=5-t∴H （5-t ，t-2）∵D （-1，-13）∴y B -y D =t+13同理可得：C （t+13，t-1）设DH 的解析式为y=k 1x+b 1∴1111-k b -13{5-t k b t-2+=+=（）解得11t 11k 6-t {t 11b -13-t-6+=+= 即直线AD 的解析式为t 1111y x-13-66t t t ++=-- ∵D 、H 、C 三点共线∴把C （t+13，t-1）代入AD t 1111y x-13-66t t t ++=--得：t 1111t-1t 13-13-66t t t ++=+--（） 整理得2t 2+31t+82=0解得131305t -4+=，231-305t -4= 由图可知：①当131305t -4+=如图1所示： 此时H （51305+，39305-+） ，C （305-21-，35305-+） ∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点∴G 1（473058+，91305-8+） ，F 1（305-21-8，33305-4+） 由图可知：当231-305t -=如图2所示： 此时H （51-305，39-305-） ，C （30521+，35-305-） ∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点∴G 2（47-305，91-305-） ，F 2（30521+，33-305-） （14分） ∴综上所述：G 1（47305+，91305-+） ，F 1（305-21-，33305-+） G 2（47-305，91-305-） ，F 2（30521+，33-305-）。

中考数学圆的综合(大题培优易错试卷)附答案

中考数学圆的综合(大题培优易错试卷)附答案

中考数学圆的综合(大题培优易错试卷)附答案一、圆的综合1．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4【解析】试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切（2）如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点F 在⊙O 上，且点C 是的中点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E ．（1）求证：AE ⊥DE ；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．试题解析：（1）证明：连接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC为直角三角形，AE=3，∴AC=2，连接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF为等边三角形，∴AF=OA=AB，在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考点：切线的性质．3．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，sinA=35，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3 ，35-3.【解析】分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.（2）由sinA=35且BC=6可知，AB=10且cosA=45，然后求出OD的长度即可.（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在△ODB和△OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.∴AB为⊙O的切线.（2）如图：∵sinA=35，∴CB3AB5=,∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4,∵sinA=35，∴cosA=45，∴OA=5，∴OD=3，即⊙O的半径为：3.（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,∴223635+=∴PB=OB-OE=353.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=3+35点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.4．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，扇形ABE的面积为12π×42=4π，∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.5．如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD﹣DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_____cm．（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣38t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=103s．【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．详解：（1）由勾股定理可知：AB22AC BC．∵D、E分别为AB和BC的中点，∴DE=12AC=4，AD=12AB=5，∴点P在AD上的运动时间=55=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s ．∵DE 段运动速度为1c m/s ，∴DP =（t ﹣1）cm ．故答案为t ﹣1．（2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP 时，重叠部分为五边形，∴3＞t ﹣1，t ＜4，DP ＞0，∴t ﹣1＞0，解得：t ＞1，∴1＜t ＜4．∵△DFN ∽△ABC ，∴DN FN =AC BC =86=43． ∵DN =PN ﹣PD ，∴DN =3﹣（t ﹣1）=4﹣t ， ∴4t FN -=43，∴FN =344t -（）， ∴FM =3﹣344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ，∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ．∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ，∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =103s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．由（1）可知，DP=（t﹣1）cm，则PE=CQ=（5﹣t）cm，MQ=3cm，∴MC=MQ+CQ=5﹣t+3=（8﹣t）cm，∴1+0.2t=8﹣t，解得：t=356s．∵P到E点停止，∴t﹣1≤4，即t≤5，∴t=356s（舍）．综上所述：当t=103s时，⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切．点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．6．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O 与直线AB的距离为5．（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？【答案】（1）522；（2）52；（3）20423-【解析】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；（2）设运动的时间为t 秒，根据题意得：CC′=2t ，DD′=t ，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ，由第（1）的结论列式得出结果；（3）求出相切的时间，进而得出B 点移动的距离．详解：（1）假设第一次相切时，△ABC 移至△A′B′C′处，如图1，A′C′与⊙O 切于点E ，连接OE 并延长，交B′C′于F ，设⊙O 与直线l 切于点D ，连接OD ，则OE ⊥A′C′，OD ⊥直线l ，由切线长定理可知C′E=C′D ，设C′D=x ，则C′E=x ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，∴△EFC′是等腰直角三角形，∴C′F=2x ，∠OFD=45°， ∴△OFD 也是等腰直角三角形，∴OD=DF ，∴2x+x=1，则x=2-1，∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2，∴点C 运动的时间为522-； 则经过522-秒，△ABC 的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切，△ABC 移至△A′B′C′处，⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处，A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ，∵CC′=2t ，DD′=t ，∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ，由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ，由（1）得：4-t=2-1， 解得：t=5-2，答：经过5-2秒△ABC 的边与圆第一次相切；（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t ，DD′=t ，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t ，由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ，由（1）得：4-1.5t=2-1，解得：t=1022-， ∴点B 运动的距离为2×1022-=2042-．点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．7．如图1，等边△ABC 的边长为3，分别以顶点B 、A 、C 为圆心，BA 长为半径作¶AC 、¶CB、¶BA ，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l 为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A 与线段MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A 与端点N 重合，则线段MN 的长为 ；（2）如图3，将这个图形的顶点A 与等边△DEF 的顶点D 重合，且AB ⊥DE ，DE =2π，将它沿等边△DEF 的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B 与⊙O 的圆心O 重合，⊙O 的半径为3，将它沿⊙O 的圆周作无滑动的滚动，当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为 （请用含n 的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）23nπ． 【解析】 试题分析：（1）先求出¶AC 的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论； （2）先判断出莱洛三角形等边△DEF 绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O 重合旋转一周点I 的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，¶¶¶AC BC AB ==，∴¶¶AC BC l l ==¶AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为¶¶¶AC BC ABl l l ++=3π．故答案为3π； （2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I 所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出¶AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目．8．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ．（2）探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当△ABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．【答案】（12；（2）AD ﹣2BD ；（3）2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC ，AD ，BD 之间的数量关系（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =，EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =，再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌，∴AE=CD ，BE=BD ，∴CD+AD=AD+AE=DE ，∵BDE ∆是等腰直角三角形， ∴DE=2BD ，∴DC+AD=2BD ，故答案为2．（2）2AD DC BD -=．证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．∵90ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE CBD ∠=∠．∵90BAE AOB ∠+∠=︒，90BCD COD ∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠，∴BAE BCD ∠=∠，∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =，∴CDB AEB ∆∆≌，∴CD AE =，EB BD =，∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =． ∵DE AD AE AD CD =-=-，∴2AD DC BD -=．（3）如图3中，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证2==，CH AH∴21==+．BD AD【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.9．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，3PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴»»BD CD=，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD ⊥DF ，∴DF 为⊙O 的切线；（2）连结OB ，连结OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD 为等边三角形，∴∠ODB=60°，3 ，∴∠BDF=30°，∵BC ∥DF ，∴∠DBP=30°，在Rt △DBP 中，PD=123 ，3， 在Rt △DEP 中，∵37∴22(7)(3)- =2，∵OP ⊥BC ，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE ，∠BED=∠AEC ，∴△BDE ∽△ACE ，∴AE ：BE=CE ：DE ，即AE ：5=17 ，∴57 ∵BE ∥DF ，∴△ABE ∽△AFD ， ∴BE AE DF AD= ，即5757125DF = ， 解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=123，∴阴影部分的面积=△BDF的面积﹣弓形BD的面积=△BDF的面积﹣（扇形BOD的面积﹣△BOD的面积）=22160(23)3123(23)2π⨯⨯⨯--⨯ =93﹣2π．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．10．如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD.(1)求证：EF∥BC；(2)若EH＝4，HF＝2，求»BE的长.【答案】(1)见解析；(2) 233π【解析】【分析】（1）根据EF＝BD可得»EF＝»BD，进而得到»»BE DF=，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定»BE所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】(1)∵EF＝BD，∴»EF＝»BD∴»»BE DF=∴∠D＝∠DEF又BD＝BC，∴∠D＝∠C，∴∠DEF=∠C(2)∵AB是直径，BC为切线，∴AB⊥BC又EF∥BC，∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,GF＝GE＝12(HF+EH)=3，HG=1DB平分∠EDF，又BF∥CD，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2∴cos∠BHG＝HGHB ＝12，∠BHG＝60°.∴∠FDB＝∠BDE＝30°∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.∴弧BE＝16×43π＝233π【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.11．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，（1）求证：△PCM为等边三角形；（2）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．【答案】（1）见解析；（2153 4【解析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH ⊥CM 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM ∥BP ，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中，BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt △PMH 中，∠MPH=30°，∴PH=332，∴S 梯形PBCM =12（PB+CM ）×PH=12×（2+3）×33=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．12．在中，，，，分别是边，的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，记直线与的交点为.（1）问题发现如图1，当时，线段的长等于_________，线段的长等于_________.（2）探究证明如图2，当时，求证：，且.（3）问题解决求点到所在直线的距离的最大值.（直接写出结果）【答案】（1）；；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；（3）首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．【详解】（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，∴AE=AD=2，∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，∴BD1=；故答案为：；；（2）证明：由题意可知，，，∵是由绕点逆时针旋转得到，∴，，在和中，，∴， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴，且.（3）点的运动轨迹是在的上半圆周， 点的运动轨迹是在的弧段. 即当与相切时，有最大值. 点到所在直线的距离的最大值为.【点睛】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG 的最长时P 点的位置是解题关键．13．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠DAB ＝120°，BC ＝CD ，AD ＝4，AC ＝7，求AB 的长度．【答案】AB ＝3．【解析】【分析】 作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD u u u r u u u r ，进而得到∠DAC ＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝3AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可.【详解】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∵BC ＝CD ，∴BC CD =u u u r u u u r ，∴∠CAB ＝∠DAC ，∵∠DAB ＝120°，∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°，∴sin60°＝4DE ，cos60°＝4AE ， ∴DE ＝3AE ＝2，∵AC ＝7，∴CE ＝5，∴DC ()2223537+= ∴BC 37，∵BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°，∴tan60°＝BF AF，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF 3，∴()2223737AF +-=， ∴AF ＝2或AF ＝32， ∵cos60°＝AF AB， ∴AB ＝2AF ，当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4，∴AB ＝AD ，∵DC ＝BC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC （SSS ），∴∠ADC ＝∠ABC ，∵ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，但AC 2＝49，()222243753AD DC +=+=，AC 2≠AD 2+DC 2，∴AB ＝4（不合题意，舍去）， 当AF ＝32时，AB ＝2AF ＝3， ∴AB ＝3．【点睛】 此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.14．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线上的一点，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线交DF 于点E ，CE ⊥DF ．(1)求证：AC 平分∠FAB ；(2)若AE ＝1，CE ＝2，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）52【解析】 试题分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA =∠OAC 与∠CAE =∠OCA ，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB ∽△AEC ，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB 的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接OC .∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE =90°∵CE ⊥DF ，∴∠CEA =90°，∴∠ACE +∠CAE =∠ACE +∠OCA =90°，∴∠CAE =∠OCA∵OC ＝OA ，∴∠OCA =∠OAC .∴∠CAE =∠OAC ，即AC 平分∠FAB(2)连接BC .∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴AB AC AC AE=.∵AE＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴2222125AC AE CE=+=+=∴()22551ACABAE===，∴⊙O的半径为52．15．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝12∠P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）PM＝32；（3）满足条件的DH 63-或12311+【解析】【分析】（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH=∠PMH，∠C=∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，DH CD FM BF=．②当△CDH∽△MFB时，DH CDFB MF=，分别构建方程即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，∵∠C＝12∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，∵∠C+∠CMD＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，∴∠OFC+∠PFC＝90°，∴∠OFP＝90°，∴直线PA是⊙O的切线．（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，∴∠AOF＝60°，∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，∴∠C＝30°，∵⊙O的半径为4，DM＝1，∴OA＝2OF＝8，CD＝3DM＝3，∴OD＝OC﹣CD＝4﹣3，∴AD＝OA+OD＝8+4﹣3＝12﹣3，在Rt△ADP中，DP＝AD•tan30°＝（12﹣3）×3＝43﹣1，∴PM＝PD﹣DM＝4 3﹣2．（3）如图2中，由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM BF ＝，CM ＝2DM ＝2，CD ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝﹣2， ①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF = ，∴= ，∴DH ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF =，∴4DH =，∴DH ，∵DN =，∴DH ＜DN ，符合题意，综上所述，满足条件的DH ． 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.。

浙江省文澜中学九年级数学上册第四单元《圆》测试卷(包含答案解析)

浙江省文澜中学九年级数学上册第四单元《圆》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ）A ．3B ．332C ．3D ．332+ 2．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在O 上，两边分别交圆O 于A ，B 两点，若O 的直径为6，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．33．如图，AB 是О的直径，,CB CD 是О的弦，且,CB CD CD =与AB 交于点E ，连接OD ．若40,AOD ∠=︒则D ∠的度数是（ ）A ．20B ．35C ．40D ．554．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO ，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图ABC 内接于一个半径为5的半圆，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则ABC 的面积为（ ）A．5πB．7.5πC．253πD．10π5．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在的圆的圆心，20cmAB=，点C是AB的中点，点D是AB的中点，且5cmCD=，则这段弯路所在圆的半径为（）A．10cm B．12.5cm C．15cm D．17cm6．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D、C．若∠ACB=30°，AB= 3，则阴影部分的面积（）A．3B．3C．3π6-D．3π6-7．若圆锥的底面半径为5cm，侧面积为265cmπ，则该圆锥的高是（）A．13cm B．12cm C．11cm D．10cm 8．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（）A．5B．10C．52D．1029．如图，O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 可取的整数值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 10．如图，AB 是⊙的直径，DB 、DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数是（ ）A ．65°B ．55°C ．60°D ．70°11．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠BOD 等于（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°12．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（ ）A ．2B 1213C ．4D ．5二、填空题13．下列说法：①弦是圆上任意两点之间的部分；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧；④直径是最长的弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥直径是圆的对称轴．其中正确的是________．14．如图，矩形ABCD 和正方形BEFG 中2AB =，3AD =，1BE =，正方形BEFG 绕点B 旋转过程中，线段DF 的最小值为______．15．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，64A ∠=︒，则OBC ∠=______°．16．已知半径为5的圆O 中，弦AB =8，则以AB 为底边的等腰三角形腰长为___________．17．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．18．如图，A ，B ，P 是半径为2的O 上的三点，45APB ∠=︒，则弦AB 的长为______．19．如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则OC ＝_____．20．扇形 的半径为6cm ，弧长为10cm ，则扇形面积是________．三、解答题21．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G 在BC 上，点O 在线段AB 上，且AO BO ≥．以OF 为半径的O 与直线AB 交于点M 、N ．（1）如图1，若点O 为AB 中点，且点D ，点C 都在O 上，求正方形BEFG 的边长． （2）如图2，若点C 在O 上，求证：以线段OE 和EF 为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．（3）如图3，若点D 在O 上，求证：DO FO ⊥． 22．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．（1）若50A ∠=︒，求OCE ∠的度数；（2）若42CD =，2AE =，求O 的半径． 23．如图，若O 是ABC 的外接圆，AD 为直径，60ABC ∠=︒．（1）求DAC ∠的度数；（2）若4=AD ，求阴影部分的面积．24．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，求大正方形的面积．25．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD=8，DE=5，求BC的长．26．如图，ABC内接于O，60∠=︒，点D是BC的中点．BC，AB边上的高BACAE，CF相交于点H．试证明：∠=∠；（1）FAH CAO（2）四边形AHDO是菱形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB＋FE的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E的长即可．【详解】解：作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，则FB＝FB′，∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此时FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝32，∴B′E3＝332，即BF＋EF 33．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．2．A解析：A【分析】连接AO并延长交O于点D，连接BD；根据同弦所对的圆周角相等可得30D P∠=∠=︒；再说明AD=6,然后根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半．【详解】解：如图：连接AO并延长交O于点D，连接BD，30P ∠=︒，30D P ∴∠=∠=︒，∵AD 是O 的直径，6AD =，90ABD ∠=︒， 132AB AD ∴==． 故答案为A ．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解答本题的关键．3．B解析：B【分析】连接BD ，得到∠DOB=140°，求出∠CDB ，∠ODB 即可；【详解】如图：连接BD ，∵ ∠AOD=40°，∴∠DOB=180°-40°=140°，∴ ∠DCB=12∠DOB=70°， ∵ CB=CD ，∴ ∠CBD=∠CDB=55°，∵DO=BO ，∴∠ODB=∠OBD=20°，∴∠CDO=∠CBO ，∴∠CDO=∠CDB-∠ODB=35°，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识； 4．B【分析】设AC=a ，BC=b ，由勾股定理可求得a 2+b 2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab ，进而可求得△ABC 的面积．【详解】解：设AC=a ，BC=b ，由题意，AB=10，∴a 2+b 2=102， 由图可知，空白部分面积为（25122ab π-）， 阴影部分面积= 22111251()()2222222a b ab ab πππ⨯+⨯⨯+-+ = 22()2582a b ab ππ+-+ =1002582ab ππ-+ = ab ， ∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，∴ab =3（25122ab π-）， 解得：15ab π=，∴△ABC=12ab =7.5π， 故选：B ．【点睛】 本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．5．B解析：B【分析】根据题意，可以推出AD ＝BD ＝10，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣5，OA ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值．【详解】解：∵OC ⊥AB ，AB ＝20，∴AD ＝DB ＝10，在Rt AOD 中，OA 2＝OD 2+AD 2，设半径为r 得：r 2＝（r ﹣5）2+102，解得：r ＝12.5，∴这段弯路的半径为12.5，【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OA的长度．6．C解析：C【分析】首先求出∠AOB，OB，然后利用S阴＝S△ABO−S扇形OBD计算即可．【详解】连接OB．∵AB是⊙O切线，∴OB⊥AB，∵OC＝OB，∠C＝30°，∴∠C＝∠OBC＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝90°，AB3∠A＝30°，∴OB＝ABtan30°=1，∴S阴＝S△ABO−S扇形OBD＝1232601360π⋅3π6-．故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会分割法求面积，记住扇形面积公式，属于中考常考题型．7．B解析：B【分析】先根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•5•OA=65π，可求出OA=13，然后利用勾股定理计算圆锥的高．【详解】解：根据题意得12•2π•5•OA=65π，解得：OA=13，所以圆锥的高2213512．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．C解析：C【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．【详解】∵AC=AC，∴∠D=∠B，∵∠BAC=∠D，∴∠B=∠BAC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是直径，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AC=5，∴AB=52，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B．9．C解析：C【分析】当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小，从而确定OM的取值范围即可解决问题．【详解】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB=8，OA=5，∴AM′=1×8=4，2∴在Rt△OAM′中，OM′=2222-'=3，54OA AM=-∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．所以，OM的取值范围是：3≤OM≤5，故线段OM长的整数值为3，4，5，共3个．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．10．D解析：D【分析】连结BC，则由已知可以求得∠BCD与∠CBD的度数，最后由三角形的内角和定理可以得到∠D的度数．【详解】解：如图，连结BC，则由弦切角定理可知：∠ABC=∠ACE=35°，∵DB与⊙O相切，∴∠CBD=90°-∠ABC=90°-35°=55°，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=180°-∠ACE-∠90°=55°，∴∠D=180°-∠BCD-∠CBD=70°，故选D ．【点睛】本题考查圆的应用，灵活运用直线与圆相切的性质求解是解题关键．11．B解析：B【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得=BC BD，然后由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=BC BD，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．故选：B．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．A解析：A【分析】易证∠APB＝90°，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP的长的最小值时的位置，OP′＝OA＝12AB＝3，OD＝5，DP′＝OD−OP′＝2，即可得出结果．【详解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝12AB＝3，OD22AD+OA224+3＝5，∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轨迹等知识；判断出P点的运动轨迹，找出DP长的最小值时的位置是解题的关键．二、填空题13．④⑤【分析】根据弦的定义垂径定理圆的对称性即可求解【详解】解：①连接圆上两点间的线段才是弦故原说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦故原说法错误；③垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧故原说法错误解析：④⑤．【分析】根据弦的定义、垂径定理、圆的对称性即可求解．【详解】解：①、连接圆上两点间的线段才是弦，故原说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；③垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，故原说法错误；④直径是最长的弦，正确；⑤弦的垂直平分线经过圆心，正确；⑥直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法错误；所以，正确的结论有④⑤．故答案为：④⑤．【点睛】本题考查了圆的对称性，垂径定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．14．【分析】由勾股定理可求BD=BF=由题意可得点F 在以点B 为圆心BF 为半径的圆上则当点F 在线段DB 上时DF 的值最小即可求解【详解】解：连接BDBF ∵矩形∴∠C=90°∴∵正方形∴∴点F 在以点B 为圆心B【分析】由勾股定理可求，由题意可得点F 在以点B 为圆心，BF 为半径的圆上，则当点F 在线段DB 上时，DF 的值最小，即可求解．【详解】解：连接BD 、BF∵矩形ABCD ，2AB =，3AD =，∴∠C=90°∴BD ==∵正方形BEFG ，1BE = ∴==BF∴点F在以点B为圆心，BF为半径的圆上，∴当点F在线段DB上时，DF的值最小，∴DF的最小值=BD-BF=132【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，正确的判断出DF最小时F点的位置是解答此题的关键．15．26【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC的度数【详解】解：∵∠A=64°∴∠BOC=2∠A=128°∵OB=OC∴∠OBC=∠解析：26【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC的度数．【详解】解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=128°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC=1（180°-128°）=26°．2故答案为26．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．16．或【分析】根据题意分该等腰三角形是钝角还是锐角的情况进行讨论再结合圆的有关性质计算即可【详解】①当等腰三角形为锐角三角形时如图所示连接OAOBOC并延长OC与AB交于D∵OA=OBAC=BC∴CD垂解析：25或45【分析】根据题意分该等腰三角形是钝角还是锐角的情况进行讨论，再结合圆的有关性质计算即可．【详解】①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示，连接OA，OB，OC，并延长OC与AB交于D，∵OA=OB，AC=BC，∴CD垂直平分AB，CD⊥AB，AD=BD=4，∵圆的半径为5，∴在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，OD=3，∴CD=OC+OD=8，∴在Rt△ADC中，2245AC CD AD=+=；②若等腰三角形是钝角三角形时，如图所示：连接OA，OB，OC交AB于D，同理的可得OC垂直平分AB，在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，OD=3，∴CD=2，∴在Rt△ADC中，2225=+=AC CD AD故答案为：25或45．【点睛】本题考查圆与等腰三角形的综合问题，主要涉及到垂径定理的推论，及勾股定理解三角形，灵活思考所有可能的情况是解题关键．17．1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论【详解】解：如图的面积为设半径为r ∴解得∵OA=OB 为等边三角形故故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆熟知正六边形解析：1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径，再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论．【详解】解：如图，O 的面积为π，设半径为r ，2S r ππ∴==，∴21r =，解得，1r =，∵360606AOB ︒∠==︒，OA=OB AOB ∴为等边三角形，故1AB OA ==．故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键． 18．【分析】首先连接OAOB 由圆周角定理即可求得∠AOB=90°又由OA=OB=2利用勾股定理即可求得弦AB 的长【详解】解：连接OAOB∵∠APB=45°∴∠AOB=2∠APB=90°∵OA=OB=2∴解析：22【分析】首先连接OA，OB，由圆周角定理即可求得∠AOB=90°，又由OA=OB=2，利用勾股定理即可求得弦AB的长．【详解】解：连接OA，OB，∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°，∵OA=OB=2，∴2222+=AB OA OB故答案为：2【点睛】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．19．【分析】连接OB作OD⊥BC于D由等边三角形的性质得∠ABC＝60°BC＝8由⊙O与等边三角形ABC的两边ABBC都相切得出OD是⊙O的半径∠OBC＝∠OBA＝30°应用三角函数求出BD＝3CD＝B解析：7【分析】连接OB，作OD⊥BC于D，由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，BC＝8，由⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，得出OD是⊙O的半径，∠OBC＝∠OBA＝30°，应用三角函数求出BD＝3，CD＝BC−BD＝5，由勾股定理得出OC，即可得出答案．【详解】连接OB，作OD⊥BC于D，∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴∠ABC＝60°，BC＝8，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∠ABC＝30°，∴OD是⊙O的半径，∠OBC＝∠OBA＝12∵tan∠OBC＝OD，BD∴BD ＝OD tan 30＝33＝3， ∴CD ＝BC−BD ＝8−3＝5，OC ＝22OD +CD ＝()223+5＝27，故填：27．【点睛】 本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的性质是解题的关键．20．30【分析】结合题意根据弧长计算公式计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算即可得到答案【详解】∵扇形的半径为6cm 弧长为10cm ∴弧长对应的圆心角n 为：∴扇形面积为：故答案为：30【点睛】本题 解析：302cm【分析】结合题意，根据弧长计算公式，计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算，即可得到答案．【详解】∵扇形的半径为6cm ，弧长为10cm∴弧长对应的圆心角n 为：101803006ππ⨯=⨯ ∴扇形面积为：263003630360360n πππ⨯⨯=⨯=2cm 故答案为：302cm ．【点睛】本题考查了弧长、扇形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握弧长、扇形的性质，从而完成求解．三、解答题21．（1）12；（2）见解析；12；（3）证明见解析【分析】（1）连接OC，设BE=EF=x，则OE=x+12，得出(x+12)2+x2＝(12)2+12，解得：x=12，则答案求出；（2）连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，得出x2+（x+y）2=y2+12，即x（x+y）=12，则结论可得证；（3）连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，可得出12+a2=（1-a+b）2+b2，得出a=b，则OA=EF，证明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），则得出∠FOE=∠ODA，结论得出．【详解】解：（1）连接OC∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，∴AB=BC=1，BE=EF，∠OEF=∠ABC=90°，∵点O为AB中点，∴OB=12AB=12，设BE=EF=x，则OE=x+12，在Rt△OEF中，∵OE2+EF2=OF2，∴(x+12)2+x2＝OF2，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，∴(12)2+12=OC2，∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC=OF，∴(x+12)2+x2＝(12)2+12，解得：x=12，∴正方形BEFG的边长为12；（2）证明：如图2，连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC=OF，∴x2+（x+y）2=y2+12，∴2x2+2xy=1，∴x2+xy=12，即x（x+y）=12，∴EF×OE=12，∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为12．（3）证明：连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，∵∠DAO=∠OEF=90°，∴DA2+OA2=OD2，OE2+EF2=OF2，∴12+a2=OD2，（1-a+b）2+b2=OF2，∵OD=OF，∴12+a2=（1-a+b）2+b2，∴（b+1）（a-b）=0，∵b+1≠0，∴a-b=0，∴a=b，∴OA=EF，在Rt△AOD和Rt△EFO中，OD OF OA EF ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △AOD ≌Rt △EFO （HL ），∴∠FOE=∠ODA ，∵∠DAO=90°，∴∠ODA+∠AOD=90°，∴∠FOE+∠AOD=90°，∴∠DOF=90°，∴DO ⊥FO ．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键．22．（1）10︒；（2）3【分析】(1)首先求出 ∠ADE 的度数，再根据圆周角定理求出 ∠AOC 的度数，最后求出 ∠OCE 的度数；(2)由弦CD 与直径 AB 垂直，利用垂径定理得到 E 为CD 的中点，求出 CE 的长，在直角三角形 OCE 中，设圆的半径 OC = r ，OE = OA-AE ，表示出 OE ，利用勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解即可得到圆的半径 r 的值．【详解】解：()1CD AB ⊥，50A ∠=︒，40ADE ∴∠=︒．280AOC ADE ∴∠=∠=︒，908010OCE ∴∠=︒-︒=︒；()2因为AB 是圆O 的直径，且CD AB ⊥于点E ，所以1122CE CD ==⨯= 在Rt OCE 中，222OC CE OE =+，设圆O 的半径为r ，则OC r =，2OE OA AE r =-=-，所以222(2)r r =+-， 解得：3r =．所以圆O 的半径为3．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 23．（1）30°；（2）23π+【分析】连接DC,则有ABC ADC ∠=∠ 利用AD 是直径，得到90ACD ∠= ，便可求出DAC ∠．根据（1）的结论和已知，先求出AOC s、OCD S 扇形 便可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）连接DC 如图所示∵60ABC ∠=︒∴ABC ADC ∠=∠60=︒∵AD 是直径∴90ACD ∠=∴DAC ∠=30°（2）连接OC,作OE ⊥ AC,垂足为E∵4=AD∴AO=OD=OC=230OCA DAC ∴∠=∠=60DOC ∴∠=在Rt AOE 中OE=1、3∴3∴AOC s =12OE AC •3 ∴OCD S 扇形=2360n R π 2602360π⨯ =23π ∴阴影部分面积为：233π 【点睛】 本题考查了圆周角性质，圆直径所对的圆周角是直角，扇形面积计算，属于基础题． 24．64cm 2【分析】连接OA 、OB 、OE ，证Rt △ADO ≌Rt △BCO ，推出OD=OC ，设AD=a ，则OD=12a ，由勾股定理求出5a ，求出EF=FC=4cm ，在△OFE 中由勾股定理求出a ，即可求出答案．【详解】解：连接OA 、OB 、OE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC ，∠ADO=∠BCO=90°，∵在Rt △ADO 和Rt △BCO 中∵OA OB AD BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADO ≌Rt △BCO ，∴OD=OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，设AD=acm ，则OD=OC=12DC=12AD=12acm ， 在△AOD 中，由勾股定理得：5acm ， ∵小正方形EFCG 的面积为16cm 2，∴EF=FC=4cm ，在△OFE 中，由勾股定理得：5a)2=42+(12a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8，∴正方形面积为264cm故答案为：64cm²．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．25．（1）证明见解析；（2）152． 【分析】（1）只要证明90A B ∠+∠=︒，90ADE B ∠+∠=︒，即可解决问题；（2）首先证明210AC DE ==，在Rt △ADC 中，6DC =，设BD x =，在Rt △BDC 中，2226BC x =+，在Rt △ABC 中，()222810BC x =+-，可得()22226810x x +=+-，解方程即可解决问题；【详解】（1）证明：连接OD ，∵DE 是切线，∴90ODE ∠=︒，∴90ADE BDO ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90A B ∠+∠=︒，∵OD=OB ，∴B BDO ∠=∠，∴ADE A ∠=∠；（2）连接CD ，∵ADE A ∠=∠，∴AE=DE ，∵BC 为圆O 的直径，90ACB ∠=︒，∴EC 是O 的切线，∴ED=EC ，∴AE=EC ，∵5DE =，∴210AC DE ==，在Rt △ADC 中，6DC =，设BD x =，在Rt △BDC 中，222=6BC x +，在Rt △ABC 中，()222810BC x =+-，∴()22226810x x +=+-， 解得：92x =， ∴22915622BC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，准确分析计算是解题的关键． 26．（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）连接AD ，根据题意易得,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，则有∠DAE=∠ODA ，∠DAO=∠ODA ，然后根据角的等量关系可求解；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，由题意易得AC=2AM ，AC=2AF ，进而可证△AFH ≌△AMO ，然后可得四边形AHDO 是平行四边形，最后问题可证．【详解】证明：（1）连接AD ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，∵AE ⊥BC ，∴AE ∥OD ，∴∠DAE=∠ODA ，∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ODA ，∴∠BAD-∠DAE=∠CAD-∠DAO ，∴∠FAH=∠CAO ；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AC=2AM ，∵CF ⊥AB ，∠BAC=60°，∴AC=2AF ，∴AF=AM ，∵∠AFH=∠AMO=90°，∠FAH=∠OAM ，∴△AFH ≌△AMO （ASA ），∴AH=AO ，∵OA=OD ，∴AH //CD ，∴四边形AHDO 是平行四边形，∵OA=OD ，∴四边形AHDO 是菱形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理及菱形的判定，熟练掌握圆周角定理、垂径定理及菱形的判定是解题的关键．。

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：圆的综合题【含答案】

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：圆的综合题【含答案】

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：圆的综合题一、单选题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．18552245951252．如图，在以AB 为直径的半圆O 中，C 是它的中点，若AC=2，则△ABC 的面积是（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．43．如图， 、 分别是 的直径和弦，且 ， ，交 于点AD AC ⊙O ∠CAD =30°OB ⊥AD AC B ，若 ，则 的长为（ ）OB =3BCA ．B ．3C ．D ．3233334．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB ，若⊙O 的直径为5，CD=4，则弦AC 的长为（ ）A ．4B ．C ．5D ．6255．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．88°B ．92°C ．106°D ．136°6．如图，AB 是⊙O 的直径， ，∠COD ＝38°，则∠AEO 的度数是（ ）BC =CD =DEA ．52°B ．57°C ．66°D ．78°7．将圆心角为90°，面积为4π的扇形围成一个圆锥的一个侧面，所围成圆锥的底面半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，则与△ABD 相似的三角形有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9．如图，已知点A ，B 在⊙O 上，⊙O 的半径为3，且△OAB 为正三角形，则 的长为（ ）ABA ．B ．π2C ．D ．3π2x 1=−163（舍去），x 2=010．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧弧AB 上任意一点（与点B 不重合），则∠BPC的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°AB=AC11．如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（ ）A．150°B．75°C．60°D．15°⊙O ABCDE AE CD∠AOC12．如图，与正五边形的两边，相切于A，C两点，则的度数是（ ）108°120°144°150°A．B．C．D．二、填空题13．如图，已知∠OCB=20°，则∠A= 度．14．如图①，在边长为8的等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线段CD交于点E，若将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC的边AC，BC相切，则图①中CE的长为 cm．15．如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是弧BC 的中点，OD 交BC 于点H ，且OH=DH ，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，连接EH ，BF ⊥AC 于M ，若AC=5，EH= ，则AF=　　．3216．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在 ⊙O 上运动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O 重叠部分的面积是 .17．已知⊙O 是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x 与⊙O 交与点A 、B ，点P （x ，0）在x 轴上运动，过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，则x 的范围是 .18．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10cm ，圆心角为144°的扇形，则该圆锥的底面半径为　cm ．三、综合题19．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD=CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E ．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．21．如图，已知ʘO是Rt△ABC的外接圆，点D是ʘO上的一个动点，且C，D位于AB的两侧，联结AD，BD，过点C作CE⊥BD，垂足为E。

浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题

浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题

浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1B ．210．如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为a ，则图②中阴影部分的周长与图①中阴影部分的A ．45aB ．54aC ．43a二、填空题11．﹣6的倒数是．12．杭州亚运会售出约3050000张门票，这个数据用科学记数法表示为13．用代数式表示“a 的2倍与b 的和”.14．若512m x y 与35n y x -的和为单项式，则m n -=．15．若0m <，则2=m -．16．如图，正方形ABCD 的面积为6，顶点D 在数轴上表示的数为（点E 在点D 的左侧），且AD DE =，则点E 所表示的数为．17．如果代数式21a b -+-的值为18．已知三个互不相等有理数示为0，ba，b 的形式，则a 三、计算题19．先观察下列等式．再回答问题：①2211111112111++=+-=+②2211111123221++=+-+③2211111134331++=+-+（1）请按照上面各等式反映的规律，试写出用（2）22211111122+++++四、填空题20．如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为数”，例如：自然数4312，其中（1）自然数5413是否是“亚运冠军数（2）若一个“亚运冠军数”的后三位数字所表示的数减去千位数字所表示的数的到的结果除以13余2，则符合要求的五、作图题六、计算题22．计算：(1)()713610-++-+七、应用题(1)求m，n的值；(2)①有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为______个单位长度；NA BM=时，直②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当:2:1接写出此时点A所表示的数．(3)在（2）的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动，记+⋅的值与它们的运火车AB运动后对应的位置为A B''，是否存在常数k使得2PQ k B A'。

【初二上数学】浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(解析版)

【初二上数学】浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(解析版)

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题1.第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩．下列运动标识中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，结合图形分析是解题的关键．“平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，由此即可求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故A 不正确，不符合题意；B 、是轴对称图形，故B 正确，符合题意；C 、不是轴对称图形，故错C 误，不符合题意；D 、不是轴对称图形，故D 故选：B ．2.如果三角形两边长分别是4cm 、9cm ，那么第三边长可能是（）A.5cmB.7cmC.13cmD.15cm【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，本题根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案即可．【详解】解：∵三角形的两边长分别是4cm 、9cm ，∴设这个三角形第三边长为xcm ，则x 的取值范围是：513x <<，故这个三角形第三边的长可能是7cm ．故选：B ．3.已知x y >，下列不等式一定成立的是（）A.66x y --＜B.22＜x yC.22＞--x yD.2121x y ++＞【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式性质，根据不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等式方向改变，逐项判断即可得到答案．【详解】解：A 、由x y >，可知66x y ->-，该选项错误，不符合题意；B 、由x y >，可知22x y >，该选项错误，不符合题意；C 、由x y >，可知22x y -<-，该选项错误，不符合题意；D 、由x y >，可知2121x y ++＞，该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查不等式性质，熟记不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等式方向改变，是解决问题的关键．4.已知点P （m ﹣1，m ＋2）在x 轴上，那么P 点的坐标为（）A.（﹣3，0）B.（3，）C.（0，3）D.（0，﹣3）【答案】A【解析】【分析】根据x 轴上点的纵坐标等于零，可得答案．【详解】解：由题意，得m +2=0，解得m =-2，∴m -1=-3，∴点P 的坐标为（-3，0），故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x 轴上的点的纵坐标为0．5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（）A.在同一个三角形中，等边对等角B.两个角互余的三角形是等腰三角形C.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形D.如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形【答案】C【解析】【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题，根据逆命题的定义直接解答即可．【详解】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，故选：C ．6.直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上的中线长是（）A.6B.6.5C.6或6.5D.6或2.5【答案】C【解析】【分析】分①12是直角边时，利用勾股定理列式求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答，②12是斜边，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】①12是直角边时,斜边13==，第三边上的中线长113 6.52=⨯=，②12是斜边时,第三边上的中线长1262=⨯=，故选C.【点睛】考查勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.7.根据下列已知条件，能画出唯一A B C 的是（）A.60454A B AB ∠∠=︒=︒=，， B.538AB BC AC ===，，C.906C AB ∠=︒=， D.4330AB BC A ∠===︒，，【答案】A【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．【详解】解：A 、60454A B AB ∠∠=︒=︒=，，，角边角，可以画出唯一三角形，故本选项符合题意；B 、538AB BC AC ===，，，538+=，不能构成三角形，故本选项不符合题意；C 、906C AB ∠=︒=，，可画出多个三角形，故本选项不符合题意；D 、4330AB BC A ∠===︒，，，A ∠并不是A B B C ，的夹角，所以可画出多个三角形；故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．8.如图，D 和E 分别是A B C 的边BC 和A C 上的点，若AB AC AD AE ==，，则下列说法正确的是（）A.当1∠为定值时，CDE ∠为定值B.当2∠为定值时，CDE ∠为定值C.当3∠为定值时，CDE ∠为定值D.当B ∠为定值时，CDE ∠为定值【答案】A【解析】CDE ∠与123∠∠∠、、有无确定关系，通过等边对等角可知：B C ∠=∠，3ADE AED Ð=Ð=Ð，又因AED C C D E ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，即3C CDE Ð=Ð+Ð，31C D E B Ð+Ð=Ð+Ð，代换可得21C D E Ð=Ð．【详解】解：∵AB AC=∴B C ∠=∠；∵AD AE =，∴3ADE AED Ð=Ð=Ð；∵A E D C C D E A D C B B A D =，，即3C CDE Ð=Ð+Ð，31C D E B Ð+Ð=Ð+Ð，代换可得21C D E Ð=Ð．∴当1∠为定值时，CDE ∠为定值．故选A ．9.如图，在等边A B C 中，已知1AE =，2CD =，将BDE △沿D E 折叠，点B 与点F 对应，且D F A C ⊥，则等边A B C 的边长为（）A.3+B.4C.4+D.4+【答案】A【解析】【分析】设D F A C ⊥于G ,EF 交A C 于H ，由等边三角形的性质可得60C A B ∠=∠=∠=︒，根据折叠的性质可得60F B ∠=∠=︒，根据垂直的定义得到90DGC HGF ∠=∠=︒，根据勾股定理得到EH DG ===,2FG x FH x ==,根据等边三角形的性质列方程求解即可．【详解】解：设D F A C ⊥于G ,EF 交A C 于H ，∵A B C 是等边三角形，∴60C A B ∠=∠=∠=︒，∵将BDE △沿D E 折叠，点B 与点F 对应，∴60F B ∠=∠=︒，∵D F A C ⊥，∴90DGC HGF ∠=∠=︒，∴30CDG FHG AHE ∠=∠=∠=︒，∴90AEH ∠=︒，∵12A E C D ==，，∴12212AH AE CG CD ====，∴EH DG ===，设,2FG x FH x ==,∴AE BE AE EF CD BD +=+=+，∴122x x+=+∴1x =，∴123BC BD DC DF DC DG FG DC =+=+=++=++=．故选：A．【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．10.如图所示，在A O B 中，AO BO =，90AO B ∠=︒，BD 平分ABO ∠交A O 于点D ，AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．给出下列四个结论：①22.5EAD ∠=︒；②2BD AE =；③AB O B AD =+；④ABD OBD S AD AB S OD OB ==△△，其中正确的结论有（）A.①④B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根据等角的余角相等可判断①；延长B O A E ，交于点F ，证明ABE FBE △≌△和O BD O AF ≌，可得BD AF =可判断②；由ABE FBE △≌△，O BD O AF ≌，可判断③；过点D 作DH AB ⊥于点H ，根据角平分线的性质可得OD HD =，进而可判断④．【详解】解：在A O B 中，O A O B =，90AO B ∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵BD 平分ABO ∠，∴22.5OBD ABD ∠=∠=︒，∵90AO B ∠=︒，AE BD ⊥，ADE BDO ∠=∠，∴22.5EAD OBD ∠=∠=︒，故①正确；延长B O A E ，交于点F ，∵BD 平分ABO ∠，AE BD ⊥，∴90AEB FEB ∠=∠=︒，在ABE 和FBE 中，∵90AEB FEB BE BE ABE FBE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE FBE ≌，∴AE EF =，∵9090AOB AED ∠=︒∠=︒，，ADE BDO ∠=∠，∴OBD OAF ∠=∠，∵90AOB ∠=︒，∴90DOB FOA ∠=∠=︒，在O BD 和OAF △中，∵OBD OAF BO AO BOD AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴O BD O AF ≌，∴BD AF =，∵AE EF=∴2BD AE =，故②正确；∵ABE FBE △≌△，O BD O AF ≌，∴AB FB OD OF ==，，∴AB FB OB OF OB OD ==+=+，故③正确；过点D 作DH AB ⊥于点H ，∵90AO B ∠=︒，BD 平分ABO ∠，DH AB⊥∴OD HD =，∴12ABD S AB HD =⋅ ，12OBD S OD OB =⋅ ，∴ABD OBD S AB S OB=△△，∵12ABD S AD OB =⋅ ，12OBD S OD OB =⋅ ，∴ABD OBD S AD S OD=△△，∴ABD OBD S AD AB S OD OB==△△，故④正确，故选D【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定和性质．二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）11.点P (m ，2)在第二象限内，则m 的值可以是(写出一个即可)______．【答案】－1（答案不唯一，负数即可）【解析】【分析】根据第二象限的点符号是“-，+”，m 取负数即可．【详解】∵点P (m ，2)在第二象限内，∴0m <，m 取负数即可，如m=-1，故答案为：－1（答案不唯一，负数即可）．【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解题的关键．12.如果不等式()33a x a ->-的解集是1x <，那么a 的取值范围是_____________【答案】3a <##3a>【解析】【分析】由把未知数的系数化“1”时，不等号的方向改变可得30a -<，从而可得答案．【详解】解：∵不等式()33a x a ->-的解集是1x <，∴30a -<，解得：3a <，故答案为：3a <．【点睛】本题考查的是利用不等式的性质解不等式，理解把未知数的系数化“1”时，不等号的方向问题是解本题的关键．13.如图，已知A B C 中，点D ，E 分别是AB AC 、的中点．若A B C 的面积等于12，则BDE △的面积等于_____．【答案】3【解析】【分析】本题考查了三角形中线，三角形的面积的计算，根据三角形的面积公式即可得到结论，正确的识别图形是解题的关键．【详解】解：∵E 是边A C 的中点，A B C 的面积等于12，∴162ABE ABC S S == ，∵点D 是边AB 的中点，∴BDE △的面积116322ABE S ==⨯= ，故答案为：3．14.如图，在A B C 中，D E 是A C 的垂直平分线，4AB =，6A C =，8BC =，则A B D △的周长为______．【答案】12【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．根据垂直平分线的性质，可知AD CD =，进而可知BC BD CD BD AD =+=+，即可求出A B D △的周长．【详解】解：∵D E 是A C 的垂直平分线，∴AD CD =，∴BC BD CD BD AD =+=+，∴ABD 的周长4812=++=+=+=AB BD AD AB BC ，故答案为：12．15.若等腰三角形的一个外角为130︒，则它的底角为______．【答案】50︒或65︒【解析】关键．【详解】∵等腰三角形的一个外角为130︒，∴等腰三角形有一个内角为18013050︒-︒=︒，当等腰三角形底角为50︒时，另两个角为50︒或80︒，符合题意，当等腰三角形顶角为50︒时，两个底角为18050652°-°=°，故答案是：50︒或65︒16.如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,3A ，以O 点为圆心，OA 为半径画弧，交网格线于点B ，则点B 的坐标是______．【答案】)【解析】【分析】本题考查勾股定理，坐标与图形性质，过点B 作B C x ⊥轴于C ，利用勾股定理可求得OA =，即OB =OC ，从而可确定点B 的坐标．【详解】解：过点B 作B C x ⊥轴于C ，如图，∵13A （，），∴OA ==，∵以O 点为圆心，OA 为半径画弧，交网格线于点B ，∴OB OA ==，∵2BC =，∴AC ==∴点B 的坐标为：)．故答案为：)．17.用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，若x ，y 表示直角三角形的两直角边长（x y >），给出下列四个结论：①2225x y +=；②2x y -=；③221xy =；④7x y +=．其中正确的结论有______．【答案】①②③【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，算术平方根的应用，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．本题利用算术平方根的含义可判断②，再利用勾股定理可判断①，利用等面积法可判断③，结合完全平方公式可判断④，从而可得答案．【详解】解：如图，∴2x y CE -===，故②符合题意，∵A B C 为直角三角形，∴根据勾股定理：22225x y AB +==，故①符合题意，由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得：144252xy ⨯+=，即221xy =；故③符合题意；∵2222125xy x y =⎧⎨+=⎩，∴222252146x xy y ++=+=，整理得，()246x y +=，∵0x y +>，∴x y +=；故④不符合题意，∴正确结论有①②③．故答案为：①②③．18.如图，在A O B ∠的边OA 、OB 上取点M 、N ，连接M N ，M P 平分AMN ∠，N P 平分MNB ∠，若4M N =，PMN 的面积是6，OMN 的面积是9，则O M O N +的长是______．【答案】10【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积公式，过点P 作PE OB ⊥于E ，PF M N ⊥于F ，PG OA ⊥于G ，连接OP ，根据角平分线的性质及三角形的面积得出3PF PG PE ===，再根据9OPN OPM MNP S S S +-= ，代入数据进行计算即可得到答案，熟练掌握“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解此题的关键．【详解】解：如图，过点P 作PE OB ⊥于E ，PF M N ⊥于F ，PG OA ⊥于G ，连接OP ，，M P 平分AMN ∠，PF M N ⊥，PG OA ⊥，PF PG ∴=，同理可得PF PE =，PF PE PG ∴==，4M N = ，PMN 的面积是6，114622MN PF PF ∴⋅⋅=⨯=，3PF ∴=，3PF PG PE ∴===，OMN 的面积是9，9OPN OPM MNP S S S ∴+-= ，116922ON PE OM PG ∴⋅+⋅-=，即11336922ON OM ⨯+⨯-=，10OM ON ∴+=，故答案为：10．三、解答题（本题有6小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）解不等式：314x x ->-．（2）解不等式()2142113x x x x ⎧-->-⎪⎨->-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】（1）54x >；（2）<2x -，作图见解析．【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，（1）按照解一元一次不等式的步骤求解即可；（2）先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【详解】解：（1）314x x ->-，移项得，341x x +>+，合并同类项得，45x >，把x 的系数化为1得，54x >；（2）()2142113x x x x ⎧-->-⎪⎨->-⎪⎩①②，由①得，<2x -，由②得，2x <，故不等式组的解集为：<2x -，在数轴上表示为：．20.ABC 在平面直角坐标系中的位置如图．（1）请画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出1A ，1B ，1C 三点的坐标．1A （______，______），1B （______，______），1C （______，______），（2）判断ABC 的形状并说明理由．（3）直接写出四边形11ACC A 的面积．【答案】（1）画图见解析，3，4；1-，1；1，0；（2）ABC 为直角三角形，证明见解析；（3）16【解析】【分析】（1）分别确定A ，B ，C 关于y 轴的对称点1A ，1B ，1C ，再顺次连接，再根据点的位置可得其坐标；（2）先利用勾股定理分别计算2AC ，2BC ，2AB ，再利用勾股定理的逆定理可得答案；（3）直接利用梯形面积公式计算即可．【小问1详解】解：如图，111A B C △即为所求作的三角形；()13,4A ，()11,1B -，()11,0C ．【小问2详解】∵2222420AC =+=，222125BC =+=，2223425AB =+=，∴222AC BC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∴ABC 为直角三角形．【小问3详解】四边形11ACC A 的面积为()12+64162⨯⨯=．【点睛】本题考查的是画关于y 轴对称的图形，坐标与图形，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，求解网格图形的面积，熟练的利用勾股定理的逆定理证明直角三角形是解本题的关键．21.如图，在ABC 中，AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥，BD 与CE 相交于点O．（1）求证：BD CE =；（2）若50ABC ∠=︒，求BOC ∠的度数．【答案】（1）见解析（2）100︒【解析】【分析】（1）由AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥，可证ABD ACE ≌△△，从而得出BD CE =；（2）由AB AC =，得50ACB ABC ∠=∠=︒，则80A ∠=︒，而90ADB AEC ∠=∠=︒，所以360909080100DOE ∠=︒-︒-︒-︒=︒，从而求得BOC ∠的度数．【小问1详解】证明： BD AC ⊥，CE AB ⊥，∴90ADB AEC ∠=∠=︒，在ABD △和ACE △中，ADB AEC A A AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABD ACE ≌，∴BD CE =；【小问2详解】AB AC =，∴50ACB ABC ∠=∠=︒，∴180505080A ∠=︒-︒-︒=︒，90ADB AEC ∠=∠=︒，∴360909080100DOE ∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴100BOC DOE ∠=∠=︒，∴BOC ∠的度数是100︒．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，四边形内角和等知识，解题的关键是证明ABD ACE ≌△△．22.湖州某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A 、B 两种型号的污水处理设备共10台，具体情况如下表：A 型B 型价格（万元/台）1512月污水处理能力（吨/月）250200经预算，企业最多支出136万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于2150吨．（1）该企业有哪几种购买方案？（2）哪种方案更省钱？并说明理由．【答案】（1）有3种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备；第二种是购买4台A 型污水处理设备，6台B 型污水处理设备；第三种是购买5台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备；（2）购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备更省钱.【解析】【分析】（1）设购买A 型号的污水处理设备x 台，则购买B 型号的污水处理设备（10-x ）台，根据购买资金不超过136万元及月处理污水能力不低于2150吨，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围，再由x 为整数即可得出各购买方案；（2）根据总价=单价×数量，分别求出3种购买方案所需总费用，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设购买A 型号的污水处理设备x 台，则购买B 型号的污水处理设备()10x -台，根据题意得：()()151210136250200102150x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：1633x ≤≤，∵x 是整数，∴3x =或4或5，当3x =时，107x -=；当4x =时，106x -=；当5x =时，105x -=．答：有3种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备；第二种是购买4台A 型污水处理设备，6台B 型污水处理设备；第三种是购买5台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备．（2）当3x =时，购买资金为15×3+12×7=129（万元），当4x =时，购买资金为15×4+12×6=132（万元），当5x =时，购买资金为15×5+12×5=135（万元）．∵135＞132＞129，∴为了节约资金，应购污水处理设备A 型号3台，B 型号7台．答：购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备更省钱．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据总价=单价×数量，分别求出3种购买方案所需总费用．23.如图,在等边三角形ABC 中,D 是AB 上的一点,E 是CB 延长线上一点,连结CD,DE,已知∠EDB=∠ACD ，（1）求证:△DEC 是等腰三角形.（2）当∠BDC=5∠EDB,BD=2时,求EB 的长.【答案】（1）证明见解析；（21-.【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得60ABC ACB ∠=∠=︒，再根据角的和差、外角的性质可得E DCE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定定理即可得证；（2）先根据角的和差倍分求出E ∠的度数，从而可得DEF ∆是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质、等边三角形的性质求出,BF DF 的长，然后由线段的和差即可得．【详解】（1）ABC ∆ 是等边三角形60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒E ABC EDB∠=∠-∠E ACB EDB∴∠=∠-∠EDB ACD∠=∠ E ACB ACD DCE∴∠=∠-∠=∠DEC ∴∆是等腰三角形；（2）如图，过点D 作DF BC ⊥于点F6055BDC A ACD ACD BDC EDB ACD∠=∠+∠=︒+∠⎧⎨∠=∠=∠⎩ 15ACD ∴∠=︒45E DCE ACB ACD ∴∠=∠=∠-∠=︒DEF ∴∆是等腰直角三角形DF EF∴=60,90,2DBF DFB BD ∠=︒∠=︒=11,2BF BD DF ∴====1EB EF BF DF BF ∴=-=-=故EB 1．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定定理、直角三角形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．24.在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为ABC 内一点，连结BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得CE DC =．（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连结AF ，EF ．①求证：BDC FEC ≌△△；②若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥．（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2．若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析（2）CD CH =，证明见解析【解析】【分析】（1）①利用已知条件直接证明()SAS FCE BCD ≌即可，②由全等三角形的性质得出CFE CBD Ð=Ð，推出EF BD ∥，再由AF EF ⊥即可证明BD AF ⊥；（2）延长BC 到点M ，使CM CB =，连接EM ，AM ，先证()SAS MEC BDC ≌，推出ME BD =，通过等量代换得到222AM AE ME =+，利用平行线的性质得出90BHE AEM Ð=Ð=°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH =．【小问1详解】证明：①在BCD △与FCE △中，CB CF BCD FCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BDC FEC ≌△△；②∵BDC FEC ≌△△，∴CFE CBD Ð=Ð，∴EF BD ∥，∵AF EF ⊥，∴BD AF ⊥．【小问2详解】补全后的图形如图所示，CD CH =，证明如下：延长BC 到点M ，使CM CB =，连接EM ，AM ，第21页/共21页∵90ACB ∠= ，CM CB =，∴AC 垂直平分BM ，∴AB AM =，在MEC 和BDC 中，CM CB MCE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS MEC BDC ≌，∴ME BD =，CME CBD Ð=Ð，∵222AB AE BD =+，∴222AM AE ME =+，∴90AEM ∠=︒，∵CME CBD Ð=Ð，∴BH EM ∥，∴90BHE AEM Ð=Ð=°，即90DHE ∠=︒，∵12CE CD DE ==，∴12CH DE =，∴CD CH =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，直角三角形斜边中线的性质等，正确作辅助线，证明90DHE ∠=︒是解题的关键．。

2020-2021备战中考数学培优专题复习圆的综合练习题含答案

2020-2021备战中考数学培优专题复习圆的综合练习题含答案

2020-2021备战中考数学培优专题复习圆的综合练习题含答案一、圆的综合1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（3）已知⊙O 的半径为3．①若AB AC =53，求BC 的长； ②当AB AC为何值时，AB•AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）；②32【解析】 分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC ，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC ，据此得证；（2）以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，与BC 交于点F ，于BC 延长线交于点G ，则CF=CG=AC=CE=CD ，证△BEF ∽△BGA 得BE BG BF BA=，即BF•BG=BE•AB ，将BF=BC-CF=BC-AC 、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得；（3）①设AB=5k 、AC=3k ，由BC 2-AC 2=AB•AC 知k ，连接ED 交BC 于点M ，Rt △DMC 中由DC=AC=3k 、MC=12k 求得，可知OM=OD-，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2可得答案．②设OM=d ，则MD=3-d ，MC 2=OC 2-OM 2=9-d 2，继而知BC 2=（2MC ）2=36-4d 2、AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3-d ）2+9-d 2，由（2）得AB•AC=BC 2-AC 2，据此得出关于d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．详解：（1）∵四边形EBDC 为菱形，∴∠D=∠BEC ，∵四边形ABDC 是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC ，∴AC=CE ；（2）以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，与BC 交于点F ，于BC 延长线交于点G ，则CF=CG ，由（1）知AC=CE=CD ，∴CF=CG=AC ，∵四边形AEFG 是⊙C 的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF ，∵∠EBF=∠GBA ，∴△BEF ∽△BGA ， ∴BE BG BF BA=，即BF•BG=BE•AB ， ∵BF=BC ﹣CF=BC ﹣AC 、BG=BC+CG=BC+AC ，BE=CE=AC ，∴（BC ﹣AC ）（BC+AC ）=AB•AC ，即BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（3）设AB=5k 、AC=3k ，∵BC 2﹣AC 2=AB•AC ，∴k ，连接ED 交BC 于点M ，∵四边形BDCE 是菱形，∴DE 垂直平分BC ，则点E 、O 、M 、D 共线，在Rt △DMC 中，DC=AC=3k ，MC=12k ，∴=，∴OM=OD ﹣DM=3k ，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2得（3）2+k ）2=32，解得：k=0（舍），∴；②设OM=d ，则MD=3﹣d ，MC 2=OC 2﹣OM 2=9﹣d 2，∴BC 2=（2MC ）2=36﹣4d 2，AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3﹣d ）2+9﹣d 2，由（2）得AB•AC=BC 2﹣AC 2=﹣4d 2+6d+18=﹣4（d ﹣34）2+814， ∴当d=34，即OM=34时，AB•AC 最大，最大值为814， ∴DC 2=272，∴AC=DC=2，∴32AB AC =． 点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．2．如图1，已知扇形MON ，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y.（1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.【答案】 (1)证明见解析;(2)=y 0<≤x =x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =12x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°．∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ．∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ，∴AC =AM ．（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ．∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ．∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM，∴AE =12x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD==，∴2DM OA y OD OE =∴=，0x ≤＜ （3）（i ） 当OA =OC 时．∵111222DM BM OC x ===．在Rt △ODM中，OD ==．∵1x DM y OD ==，2x =，或2x =（舍）． （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ．∵∠ACO ＞∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO ＞∠AOC ，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO =α．∵∠CAO ＞∠M ，∠M =90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA =2α＞90°．∵∠BOA ≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC 为等腰三角形时，x的值为2．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y 关于x 的函数关系式是解答本题的关键．3．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）（性质应用）①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．求证：AD+BC=AB+CD．证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．故答案为：B，D；②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40．故答案为：40；③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．4．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，△AFG的面积.【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：如答图1，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.∵∠B=∠D ，∠PAC=∠B ，∴∠PAC=∠D.∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA ⊥PA.∵点A 在圆上，∴PA 与⊙O 相切．（2）证明：如答图2，连接BG ，∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG.∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG.∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF•AB.（3）如答图3，连接BD ，∵AD 是直径，∴∠ABD=90°.∵AG 2=AF•AB ，∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°.∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AFAB AD ==，解得：AE=2.∴1EF ==.∵4EG ==，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322AFG S FG AE ∆=⋅⋅=⨯⨯=．考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.5．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD 的边AB 为直径作⊙O ，交对角线AC 于点E ． （1）图1中，线段AE= ；（2）如图2，在图1的基础上，以点A 为端点作∠DAM=30°，交CD 于点M ，沿AM 将四边形ABCM 剪掉，使Rt △ADM 绕点A 逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD 与⊙O 交于点F ．①当α=30°时，请求出线段AF 的长；②当α=60°时，求出线段AF 的长；判断此时DM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； ③当α= °时，DM 与⊙O 相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM 与⊙O 相切【解析】（1）连接BE ，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠BAC =45°，∴△AEB 是等腰直角三角形，又∵AB =8，∴AE =4；（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此时DM与⊙O的位置关系是相离；③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得α=∠NAD=90°．点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E(1) 求证：BE是⊙O的切线(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA3 5【解析】分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即∠EBF=90°，可得出结论.（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD∵BD＝BA，OA＝OD∴BF为线段AD的垂直平分线∵AC为⊙O的直径∴∠ADC＝90°∵BE⊥DC∴四边形BEDF为矩形∴∠EBF＝90°∴BE是⊙O的切线(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点∴OF＝12CD＝32∵BF＝DE＝1＋3＝4∴OB＝OD＝35 422 -=∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝332552 OFOD==点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.7．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin∠ABE=3，CD=2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为2．【解析】分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下：连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE．又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED，∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =sin ABE ∠=∴DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴BC =．∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2DC AE AEAE BC AB ，，==∴=，由勾股定理求得BE =在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．设⊙O 的半径为r ，则222r r +=（），∴r =2， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =sin ABE ∠=．设DC x BD ==，，则BC =．∵CD =2，∴BC =．∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2DC AE AEAE BC AB ，，==∴=， ∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴12DF BD ==O 的半径为2．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．8．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

浙江省杭州市文澜中学2020年九年级综合测试卷数学卷-解析版

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浙江省杭州市⽂澜中学2020年九年级综合测试卷数学卷-解析版浙江省杭州市⽂澜中学2019年九年级综合测试卷数学卷⼀、选择题（本⼤题共15⼩题，共45.0分）1.某地今年计划栽插这种超级杂交⽔稻3000亩，预计该地今年收获这种超级杂交⽔稻的总产量．⽤科学记数法表⽰是（）A. 2.5×106千克B. 2.5×105千克C. 2.46×106千克D. 2.46×105千克2.下列运算正确的是（）A. a6?a2=a4B. (a2)3=a5C. a2?a3=a5D. a6÷a2=a33.在函数y=√x+2中，⾃变量x的取值范围是（）A. x≠?2B. x>0C. x>?2D. x≥?24.已知三⾓形的两边a=3，b=7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是（）A. 4B. 7C. 4D. 75.已知y=x+a，当x=-1，0，1，2，3时对应的y值的平均数为5，则a的值是（）A. 185B. 195C. 4D. 2156.某种型号的空调器经过3次降价，价格⽐原来下降了30%，则其平均每次下降的百分⽐（精确到1%）应该是（）A. 26.0%B. 33.1%C. 8.5%D. 11.2%7.已知⼀个直⾓三⾓形的两条直⾓边的长恰好是⽅程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直⾓三⾓形的斜边长是（）A. √3B. 3C. 6D. 98.在直⾓坐标系中，若⼀点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点⼀定不在（）A. 直线y=?x上B. 抛物线y=x2C. 直线y=x上D. 双曲线y=1x9.已知⼆次函数y=ax2+bx+c，且a＜0，a-b+c＞0，则⼀定有（）A. b2?4ac>0B. b2?4ac=0C. b2?4ac<0D. b2?4ac≤010.轮船往返于⼀条河的两码头之间，如果船本⾝在静⽔中的速度是固定的，那么，当这条河的⽔流速度增⼤时，船往返⼀次所⽤的时间将（）A. 增多B. 减少C. 不变D. 增多、减少都有可能11.⼀个圆形餐桌直径为2⽶，⾼1⽶，铺在上⾯的⼀个正⽅形桌布的四个⾓恰好刚刚接触地⾯，则这块桌布的每边长度（⽶）为（）A. 2√2B. 4C. 4√2D. 4π12.如图，已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC，交BC于D，交⊙O于E，若AB、AC的长是⽅程x2-ax+12=0的两实根，AD=2，则AE的长为（）B. 6C. 7D. 813.请你估计⼀下，(22?1)(32?1)(42?1)…(992?1)(1002?1)12?22?32?42?992?1002的值应该最接近于（）A. 1B. 12C. 1100D. 120014. 如图，在等腰直⾓三⾓形ABC 中，∠C =90°，AC =6，D 是BC 上⼀点，若tan ∠DAB =15，则AD 的长为（）A. 2√2B. √13C. 2√13D. 815. 这是⼀个古⽼的传说，讲⼀个犯⼈利⽤概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，⼀个⾥⾯装着5个⿊球，另⼀个⾥⾯装着除颜⾊不同外其它都⼀样的5个⽩球．把他的眼睛蒙着，然后要选择⼀个碗，并从⾥⾯拿出⼀个球，如果他拿的是⿊球就要继续关在监狱⾥⾯，如果他拿的是⽩球，就将获得⾃由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想⼀下这个犯⼈怎么做，使得⾃⼰获得⾃由的机会最⼤？则犯⼈获得⾃由的最⼤机会是（）A. 12B. 23C. 35D. 1318⼆、填空题16. 在正数范围内定义⼀种运算“△”，其规则是a △b =1a +1b ，根据这⼀规则，⽅程x △（x +1）=3是______．17. 如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，且AB =5，BC =3，则CDAD 的值为______．18. 已知如图⼆次函数y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）与⼀次函数y 2=kx +m （k ≠0）的图象相交于点A （-2，4），B （8，2）（如图所⽰）则能使y 1＜y 2成⽴的x 的取值范围是______．19. 已知实数x 满⾜（x 2-x ）2-4（x 2-x ）-12=0，则代数式x 2-x +1的值为______．20. 在⽇常⽣活中，你会注意到有⼀些含有特殊数字规律的车牌号码，如：浙A 80808，浙A 22222，浙A 12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的⼀个数字“对称”的，给⼈以对称美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作______个．三、解答题21. （1）计算-32+（15）-1-√?83×(18)0+2cos45°×tan60° （2）已知a ，b 为实数，试⽐较2a+b 3与a+2b 3的⼤⼩．22. 解⽅程（组）（1）x1?x +3?3x x-4=0（2）{√x +1+√y ?2=5x +y =1423. 请你依据右⾯图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：（1）⽤树状图表⽰出所有可能的寻宝情况；（2）求在寻宝游戏中胜出的概率．24. 已知a ，b 互为相反数，（1）计算：a +b ，a 2-b 2，a 3+b 3，a 4-b 4，……的值．（2）⽤数学式⼦写出（1）中的规律，并证明．25. 已知直线l ：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）与函数y =2x 的图象交于点A （-1，m ）（1）求m ；（2）当k =______时，则直线l 经过第⼀、三、四象限（任写⼀个符合题意的值即可）；（3）求（2）中的直线l 的解析式和它与两坐标轴围成的三⾓形⾯积．26. 如图，将⼀块直⾓三⾓形纸板的直⾓顶点放在C （1，12）处，两直⾓边分别与x ，y 轴平⾏，纸板的另两个顶点A ，B 恰好是直线y =kx +92与双曲线y =mx （m ＞0）的交点．（1）求m 和k 的值；（2）设双曲线y =mx （m ＞0）在A ，B 之间的部分为L ，让⼀把三⾓尺的直⾓顶点P 在L 上滑动，两直⾓边始终与坐标轴平⾏，且与线段AB 交于M ，N 两点，请探究是否存在点P 使得MN =12AB ，写出你的探究过程和结论．1.【答案】C【解析】解：将3 000×820=2460000⽤科学记数法表⽰为：2.46×106．故选：C．科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，⼩数点移动了多少位，n的绝对值与⼩数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表⽰⽅法．科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表⽰时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】C【解析】解：A、a6和a2不能合并，故本选项错误；B、（a2）3=a6，故本选项错误；C、a2?a3=a5，故本选项正确；D、a6÷a2=a4，故本选项错误；故选：C．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘⽅分别求出，再进⾏判断即可．本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘⽅的应⽤，主要考查学⽣的计算能⼒．3.【答案】D【解析】解：根据⼆次根式有意义得：x+2≥0，解得：x≥-2．故选：D．根据⼆次根式的性质，被开⽅数⼤于等于0，就可以求解．本题考查函数⾃变量的取值范围：⼆次根式的被开⽅数是⾮负数．4.【答案】B【解析】解：根据三⾓形三边关系可得4＜c＜10，∵a＜b＜c，∴7＜c＜10．故选B．⾸先根据三⾓形的三边关系：第三边＞两边之差4，⽽＜两边之和10，根据a＜b＜c即可得c的取值范围．已知三⾓形的两边，则第三边的范围是：＞已知的两边的差，⽽＜两边的和．需注意本题的第三边要⽐其余两边较⼤的边要⼤．5.【答案】C【解析】解：把x=-1，0，1，2，3分别代⼊y=x+a得-1+a、a、1+a、2+a、3+a，由题意知：（-1+a+a+1+a+2+a+3+a）÷5=5，解之得：a=4．故选：C．把x=-1，0，1，2，3分别代⼊y=x+a得到五个含有a的代数式，根据平均数为5，列关于a 的⽅程解答即可．本题的关键是利⽤平均数为5建⽴等式，解⽅程即可．6.【答案】D【解析】解：设平均每次下降的百分⽐为x，则（1-x）3=1-30%，解得x=11.2%．故选D．降低后的价格=降低前的价格×（1-降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第⼀次降低后的价格是（1-x），那么第⼆次后的价格是（1-x）2，第三次降价后的价格是（1-x）3，即可列出⽅程求解．本题考查的是⼀元⼆次⽅程的应⽤．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出⽅程是解决问题的关键．7.【答案】B【解析】解：设直⾓三⾓形的斜边为c，两直⾓边分别为a与b．∵直⾓三⾓形的两条直⾓边的长恰好是⽅程2x2-8x+7=0的两个根，∴a+b=4，ab=3.5；根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，∴c=3，故选：B．根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直⾓三⾓形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代⼊两根之积与两根之和的值进⾏计算．此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是⼀种经常使⽤的解题⽅法．8.【答案】D【解析】解：A、y=-x即表⽰x与y互为相反数，正确；B、例如（-1，1），就符合此解析式，正确；C、当该点坐标为（0，0）时就成⽴，正确；D、因为xy=1，所以x和y同号，该点不在双曲线上，错误．故选：D．根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．本题考查⼀定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．根据函数不同特点，都对符号作出判断即可．9.【答案】A【解析】解：∵a＜0，∴抛物线的开⼝向下．∵a-b+c＞0，∴当x=-1时，y=a-b+c＞0，画草图得：抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0．故选：A．由a＜0可以得到抛物线的开⼝向下，⼜a-b+c＞0，所以当x=-1时，y=a-b+c＞0，画草图可以推出抛物线与x轴有两个交点，由此可以得到b2-4ac＞0．此题考查了⼆次函数的性质和图象、点与函数的对应关系，也考查了b2-4ac与抛物线与x 轴交点的个数的关系．10.【答案】A【解析】解：设两码头之间距离为s，船在静⽔中速度为a，⽔速为v0，则往返⼀次所⽤时间为t0= +，设河⽔速度增⼤后为v，（v＞v0）则往返⼀次所⽤时间为t=+．∴t0-t=+--=s[（-）+（-）]=s[+]=s（v-v0）[-]由于v-v0＞0，a+v0＞a-v0，a+v＞a-v所以（a+v0）（a+v）＞（a-v0）（a-v）∴＜，即-＜0，∴t0-t＜0，即t0＜t，因此河⽔速增⼤所⽤时间将增多．故选：A．分别计算出⽔流速度增⼤前后往返⼀次所⽤的时间，再⽤求差法⽐较⼤⼩即可．本题是⼀道综合题，难度较⼤，考查了分式的加减法和⽐较两个数⼤⼩的⼀种⽅法，求差法．11.【答案】A【解析】解：正⽅形桌布对⾓线长度为圆形桌⾯的直径加上两个⾼，即2+1+1=4（⽶），设正⽅形边长是x⽶，则x2+x2=42，解得：x=2，所以正⽅形桌布的边长是2⽶．故选：A．根据题意，圆形餐桌的直径为2⽶，⾼为1⽶．铺在桌⾯上的正⽅形桌布的四⾓恰好刚刚接触地⾯，说明正⽅形对⾓线长度为圆形桌⾯的直径加上两个⾼，即2+1+1=4⽶，所以正⽅形边长是2⽶．本题考查了正⽅形和圆的有关知识，以及勾股定理，此题解答关键是求出正⽅形桌布的对⾓线的长度，进⽽求出边长．12.【答案】B【解析】解：连接BE，如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，⽽∠E=∠C，∴△ABE∽△ADC，∴=，即AD?AE=AB?AC，∵AB、AC的长是⽅程x2-ax+12=0的两实根∴AB?AC=12，⽽AD=2，∴2AE=12，∴AE=6．故选：B．连接BE，如图，利⽤⾓平分线定义得到∠BAE=∠CAD，再根据圆周⾓定理得到∠E=∠C，则可判定△ABE∽△ADC，利⽤相似⽐得到AD?AE=AB?AC，然后根据根与系数的关系得到AB?AC=12，从⽽可计算出AE的长．本题考查了三⾓形的外接圆与外⼼：三⾓形外接圆的圆⼼是三⾓形三条边垂直平分线的交点，叫做三⾓形的外⼼．也考查了根与系数的关系和相似三⾓形的判定与性质．13.【答案】B【解析】解：∵=∴=××…×××=×∴的值应该最接近于，故选：B．利⽤平⽅差公式=，对所求式⼦进⾏化简，从⽽进⾏求解．此题主要考查平⽅差公式的性质及其应⽤，解题的关键是利⽤平⽅差公式进⾏展开．14.【答案】C【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵等腰直⾓三⾓形ABC中，∠C=90°，AC=6，∴AB=6，∠B=45°，且DE⊥AB∴∠EDB=∠B=45°，∴DE=BE，∵tan∠DAB==，∴AE=5DE，∵AB=AE+BE=5DE+DE=6DE=6∴DE=，AE=5∴AD==2故选：C．过点D作DE⊥AB于点E，由等腰直⾓三⾓形的性质可得AB=6，∠B=45°，可得DE=BE，由题意可得AE=5DE，即可求AE，DE的值，由勾股定理可求AD的长．本题考查了解直⾓三⾓形的应⽤，等腰直⾓三⾓形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直⾓三⾓形是本题的关键．15.【答案】D【解析】解：可以先将所有的球放⼊⼀个碗，再拿出⼀个⽩球放在另⼀个碗⾥．这样，他若选择只有⼀个⽩球的碗获得⾃由的概率1，如果他选择错了碗，从另⼀个碗⾥摸到⽩球的概率是，从⽽所以获得⾃由的概率最⼤是．故选：D．可以先将所有的球放⼊⼀个碗，再拿出⼀个⽩球放在另⼀个碗⾥．这样，他选择只有⼀个⽩球的碗的概率是，如果他选择错了碗，将还有近的概率从另⼀个碗⾥摸到⽩球，从⽽使⾃⼰获得⾃由的概率最⼤．本题考查概率的相关计算．确定出摸到⽩球最⼤概率⽅案是解答关键．16.【答案】x=1【解析】解：由题意，⽅程x△（x+1）=可化为：，去分母得，2（x+1）+2x=3x（x+1）去括号得，4x+2=3x2+3x移项合并同类项得，3x2-x-2=0解得x1=，x2=1经检验x1=，x2=1是原⽅程的解∵规则是a△b=中，a，b均为正数∴⽅程x△（x+1）=的解为x=1故答案为：x=1注意到题⼲中的规则是a△b=，则⽅程x△（x+1）=可化为：，解分式⽅程即可此题考查的是解分式⽅程，在求解过程中要注意检验，对于此类题型考查的是分式⽅程的变形，在做题时要注意新定义的规则，否则会容易出错．17.【答案】34【解析】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠CAD=∠BAC∴△ACD∽△ABC，∴．故答案为：．先求出AC，根据垂直，可以得出∠CDA=90°，∠ACB=90°，所以△ACD和△ABC相似，根据相似三⾓形对应边成⽐例列出⽐例式即可求出．本题主要考查相似三⾓形对应边成⽐例的性质，⾸先判定两三⾓形相似是解本题的关键．18.【答案】-2＜x＜8【解析】解：由图可知，-2＜x＜8时，y1＜y2．故答案为：-2＜x＜8．根据函数图象，写出抛物线在直线下⽅部分的x的取值范围即可．本题考查了⼆次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之⼀，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．19.【答案】7【解析】解：设x2-x=m，则原⽅程可化为：m2-4m-12=0，解得m=-2，m=6；当m=-2时，x2-x=-2，即x2-x+2=0，△=1-8＜0，原⽅程没有实数根，故m=-2不合题意，舍去；当m=6时，x2-x=6，即x2-x-6=0，△=1+24＞0，故m的值为6；∴x2-x+1=m+1=7．故答案为：7．将x2-x看作⼀个整体，然后⽤换元法解⽅程求出x2-x的值，再整体代值求解．本题的关键是把x2-x看成⼀个整体来计算，即换元法思想．20.【答案】200【解析】解：若第1个数字是8，则第5个数字也是8，中间的数字分别是0～9时，第2、4个数字分别为0～9各有10种可能，所以，共有10×10=100种，同理第1个数字是9时，也有100种，所以，最多可制作100+100=200种．故答案为：200．根据数字对称的定义，分第1个数字是8，中间的数字分别是0～9和第1个数字是9，中间的数字分别是0～9解答．本题考查了轴对称，从最中间的数字考虑求解是解题的关键．21.【答案】解：（1）原式=-9+5-（-2）×1+2×√22×√3=-2+√6；（2）∵2a+b3-a+2b3=2a+b?a?2b3=a?b3当a ＞b 时，a -b ＞0，所以a?b 3＞0即2a+b 3＞a+2b 3；当a =b 时，a -b =0，所以a?b 3=0即2a+b 3=a+2b 3；当a ＜b 时，a -b ＜0，所以a?b 3＜0即2a+b 3＜a+2b 3．【解析】（1）根据负整数指数幂、0指数幂、平⽅、⽴⽅的意义及特殊⾓的三⾓函数值，先计算32、（）-1、、、cos45°、tan60°的值，再按实数的运算法则进⾏计算即可；（2）先计算两个整式的差，再分类讨论得结果．本题主要考查了实数运算和整式⼤⼩的⽐较，掌握0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊⾓的三⾓函数值及整式⽐较⼤⼩的⽅法是解决本题的关键． 22.【答案】解：（1）去分母，得x 2+（1-x ）（3-3x ）-4x （1-x ）=0，去括号，得x 2+3-3x -3x +3x 2-4x +4x 2=0，合并同类项，得8x 2-10x +3=0，分解因式，得（2x -1）（4x -3）=0，∴2x -1=0或4x -3=0，∴x 1=12，x 2=34，检验：将x 1=12代⼊分式⽅程，左边=0=右边，将x 2=34代⼊分式⽅程，左边=0=右边，因此x 1=12，x 2=34是分式⽅程的根．所以原分式⽅程的根为x 1=12，x 2=34；（2）设√x +1=m ，√y ?2=n ，则x =m 2-1，y =n 2+2，原⽅程组可化为由①，得m =5-n③③代⼊②，得（5-n）2+n2=13，整理，得2n2-10n+12=0，即n2-5n+6=0，解这个⽅程，得n =2或3，∴{n1=2m1=3，{n2=3m2=2∴原⽅程组的解为{y1=6x1=8，{y2=11x2=3．【解析】（1）先去分母，将分式⽅程化为⼀元⼆次⽅程，然后解答即可，注意分式⽅程验根；（2）先设=m，=n，则x=m2-1，y=n2+2，然后将⽅程化为⼀元⼆次⽅程，然后解答即可．本题考查了解分式⽅程与⽆理⽅程，将分式⽅程与⽆理⽅程转化为⼀元⼆次⽅程是解题的关键．23.【答案】解：（1）树状图如下：房间柜⼦结果（6分）（2）由（1）中的树状图可知：P（胜出）=16（8分）【解析】本题考查的是⽤画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率．⽤树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常⽤⽅法．⽤到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之⽐．24.【答案】（1）∵a=-b，∴a+b=0，a2-b2=（a+b）（a-b）=0，a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=0，a4-b4=（a2-b2）（a2+b2）=（a+b）（a-b）（a2+b2）=0…（2）通过上⾯的计算可得：a n+（-1）n+1b n=0证明：①当n为奇数时，a n+（-1）n+1b n=a n+b n，∵由杨辉三⾓知a n+b n总可以表⽰为（a+b）乘以⼀个整式的积的形式，∴a n+b n=0，②当n为偶数时，设n=2m，m为整数，a n+（-1）n+1b n=a n-b n=a2m-b2m=（a m）2-（b m）2=（a m-b m）（a m+b m）⽽（a m-b m）（a m+b m）也是最终总可以表⽰为（a+b）和⼀个整式的乘积，∴若a=-b，a n+（-1）n+1b n=0成⽴．【解析】（1）⽤平⽅差公式计算a2-b2 、a4-b4，⽤降次的⽅法将a3+b3化为（a+b）（a2-ab+b2）的形式求解；（2）总结代数式的规律为a n+（-1）n+1b n=0，然后分n为奇偶数讨论证明即可．本题考查了两个数的奇数次和偶数次差总可以表⽰为这两个数相加再乘以⼀个代数式的形式，这是⼀个规则，也是解答此题的关键所在．25.【答案】1【解析】解：（1）把A（-1，m）代⼊y=中，得m=-2；（2）由（1）知，m=-2，∴A（-1，-2），把A（-1，-2）代⼊y=kx+b中，得-2=-k+b，∴b=k-2，∵直线l经过第⼀、三、四象限，∴，∴，解得，0＜k＜2，∴k可以取1，故答案为：1；（3）由（2）知，k=1，b=k-2=-1，∴直线l 的解析式为：y=x-1，∴直线l 与坐标轴的交点坐标为B （0，-1），A （1，0），如图所⽰，∴OA=1，OB=1，∴．（1）把A （-1，m ）代⼊y=中，便可求得m 的值；（2）先把A 点的坐标代⼊y=kx+b 中，⽤k 的代数式表⽰b ，再根据直线直线l 经过第⼀、三、四象限，必须满⾜k ＞0，b ＜0，列出k 的不等式组，求得k 的取值范围，便可在此取值范围中任写⼀个k 值；（3）求出直线l 与坐标轴的交点坐标，再根据三⾓形的⾯积公式便可求得结果．本题是⼀次函数与反⽐例函数图象的交点问题，考查了待定系数法，⼀次函数的图象与性质，关键是熟记性质，数形结合．26.【答案】解：（1）∵A ，B 在双曲线y =mx （m ＞0）上，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，∴A ，B 的坐标分别（1，m ），（2m ，12）．⼜点A ，B 在直线y =kx +92上，∴{m =k +9212=2mk +92解得{k =?4m =12或{k =?12m =4当k =-4且m =12时，点A ，B 的坐标都是（1，12)，不合题意，应舍去；当k =-12且m =4时，点A ，B 的坐标分别为（1，4），（8，12)，符合题意．∴k =-12 且m =4．（2）假设存在点P 使得MN =12AB ．∵AC ∥y 轴，MP ∥y 轴，∴AC ∥MP ，∴∠PMN =∠CAB ，∴Rt △ACB ∽Rt △MPN ，∴MPAC =MN AB=12，设点P 坐标为P （x ，4x ）（1＜x ＜8），∴M 点坐标为M （x ，-12x +92），∴MP =-12x +92?4x ．⼜∵AC =4-12=72，∴?12x +92?4x =74，即2x 2-11x +16=0（※）∵△=（-11）2-4×2×16=-7＜0．∴⽅程（※）⽆实数根．∴不存在点P 使得MN =12AB ．【解析】（1）由题意易知点A 横坐标为1，代⼊Y=，可⽤含m 的代数式表⽰它的纵坐标；同理可表⽰点B 坐标，再代⼊⽅程组即可求m 和k 的值；（2）⽤反证法证明．假设存在，运⽤⼀元⼆次⽅程判别式即可解出．此题难度中等，考查反⽐例函数的性质及坐标意义．解答此题时同学们要注意运⽤数形结合的思想．。

七年级上册浙江省文澜中学数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

七年级上册浙江省文澜中学数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

七年级上册浙江省文澜中学数学期末试卷（培优篇）（Word版含解析）一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）1．如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，当直角顶点E 移动时，写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合)，∠PQD，∠APQ 与∠ BAC 有何数量关系？写出结论，并说明理由．【答案】（1），理由如下：CE 平分，AE 平分，；（2），理由如下：如图，延长AE交CD于点F，则由三角形的外角性质得：；（3），理由如下：，即由三角形的外角性质得：又，即即．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．2．已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2018＝0，O为原点（1）试求a和b的值（2）点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍，求点C的运动速度？（3）点D以1个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以5个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以20个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.【答案】（1）解：a＝－3，b＝9（2）解：设3秒后，点C对应的数为x则CA＝|x＋3|，CB＝|x－9|∵CA＝3CB∴|x＋3|＝3|x－9|＝|3x－27|当x＋3＝3x－27，解得x＝15，此时点C的速度为当x＋3＋3x－27＝0，解得x＝6，此时点C的速度为（3）解：设运动的时间为t点D对应的数为：t点P对应的数为：－3－5t点Q对应的数为：9＋20t点M对应的数为：－1.5－2t点N对应的数为：4.5＋10t则PQ＝25t＋12，OD＝t，MN＝12t＋6∴为定值.【解析】【分析】（1）根据几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程，求出a、b的值，就可得出点A、B所表示的数。

浙江省文澜中学数学几何模型压轴题(培优篇)(Word版 含解析)

浙江省文澜中学数学几何模型压轴题(培优篇)(Word版 含解析)

浙江省文澜中学数学几何模型压轴题（培优篇）（Word 版 含解析）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【解析】【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．2．如图1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F＝30°.（1）求证：BE ＝CE（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动.若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62 4.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+3+3m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+362246EHEB m==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，3．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题4．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，连接BE，在△BCE和△ACG中，，∴△BCE≌△ACG，∴BE=CG=2CF，即：BE=2CF．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．5．(1)问题发现如图1,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D 在一条直线上.填空:线段AD,BE 之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE 的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B 是线段PA 外一点,PB=5,连接AB,将AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B 的位置的变化,直接写出PC 的范围.【答案】(1) AD=BE ，AD⊥BE．(2) AD=BE ，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠EBC=∠CAD延长BE交AD于点F，∵BC⊥AD，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案为AD=BE，AD⊥BE．（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD和Rt△BCE中AC BCACD BCECD CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22）【解析】【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ， 故答案为CB 的延长线上，a+b ；（2）①CD=BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即∠CAD=∠EAB ，在△CAD 与△EAB 中，AD AB CAD EAB AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△CAD ≌△EAB ，∴CD=BE ；②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵AN=2AP=22，∴最大值为22+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴2，∴22，∴P（22）．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG ，FH ⊥FG ．连接AD ，BE ，两线交于Z ，AD 交BC 于X ，同（1）可证 ∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∵三角形ECD 、ACB 是等腰直角三角形，∴CE=CD ，AC=BC ，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD ⊥BE ，∵FH ∥AD ，FG ∥BE ，∴FH ⊥FG ，即FH=FG ，FH ⊥FG ，结论是FH=FG ，FH ⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．8．已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE=BD ．将△ABE 绕点A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB ′E ′，点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′．（1）如图1，当α=30°时，求证：B ′C=DE ；（2）连接B ′E 、DE ′，当B ′E=DE ′时，请用图2求α的值；（3）如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为．【答案】（1）证明见解析（2）45°或22.5°（3）22-2≤PQ≤42+2【解析】【分析】（1）先由正方形的性质得到直角三角形AOE，再经过简单计算求出角，判断出△ADE≌△AB′C即可；（2）先判断出△AEB′≌△AE′D，再根据旋转角和图形，判断出∠BAB′=∠DAB′即可；（3）先判断出点Q的位置，PQ最小时和最大时的位置，进行计算即可．【详解】解：（1）如图1，连接AC，B′C，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°，∵AE=BD，∴AC=AE=2OA，在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA，∴∠E=30°，∴∠DAE=∠ADB-∠E=45°-30°=15°，由旋转有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°，∴∠DAE=15°，在△ADE和△AB′C中，'' AD ABDAE CAB AE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△AB′C，∴DE=B′C，（2）如图2，由旋转得，AB′=AB=AD，AE′=AE，在△AEB′和△AE′D中，''''AE AEAD ABDB DE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AEB′≌△AE′D，∴∠DAE′=∠EAB′，∴∠EAE′=∠DAB′，由旋转得，∠EAE′=∠BAB′，∴∠BAB′=∠DAB′，∵∠BAB′+∠DAB′=90°，∴α=∠B AB′=45°，或α=360°-90°-45°=225°；（3）如图3，∵正方形ABCD的边长为4，∴122，连接AC交BD于O，∴OA⊥BD，OA=12AC=12BD=22在旋转过程中，△ABE在旋转到边B'E'⊥AB于Q，此时PQ最小，由旋转知，△ABE≌△AB'E'，∴AQ=OA=12BD（全等三角形对应边上的高相等），∴PQ=AQ-AP=12BD-AP=22-2在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E'重合，∴AE'=AE=42，∴PE'=AE'+AP=42+2，故答案为22-2≤PQ≤42+2．．二、初三数学圆易错题压轴题（难）9．如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点D是AC边上一点（不与C 重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F．（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长；（2）若AF＝BF，求⊙O的半径；（3）如图②，若CE＝CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离．【答案】（1）CE＝2；（2）⊙O的半径为3；（3）G、E两点之间的距离为9.6【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；（2）由勾股定理求得BC，然后通过证得△OEC∽△BCA，得到OE OCBC BA=，即8610r r-=解得即可； （3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GE AB AC=，即12108GE =，解得即可. 【详解】解：（1）如图①，连接OE ，∵CE 切⊙O 于E ，∴∠OEC ＝90°，∵AC ＝8，⊙O 的半径为2， ∴OC ＝6，OE ＝2，∴CE ＝2242OC OE -= ；（2）设⊙O 的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴BC 22AB A C -＝6，∵AF ＝BF ，∴AF ＝CF ＝BF ，∴∠ACF ＝∠CAF ，∵CE 切⊙O 于E ，∴∠OEC ＝90°，∴∠OEC ＝∠ACB ，∴△OEC ∽△BCA ，∴OE OC BC BA =，即8610r r -= 解得r ＝3，∴⊙O 的半径为3；（3）如图②，连接BG ，OE ，设EG 交AC 于点M ，由对称性可知，CB＝CG，∵CE＝CG，∴∠EGC＝∠GEC，∵CE切⊙O于E，∴∠GEC+∠OEG＝90°，∵∠EGC+∠GMC＝90°，∴∠OEG＝∠GMC，∵∠GMC＝∠OME，∴∠OEG＝∠OME，∴OM＝OE，∴点M和点D重合，∴G、D、E三点在同一直线上，连接AE、BE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，又CE＝CB＝CG，∴∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，∴GB GEAB AC=，即12108GE=∴GE＝9.6，故G、E两点之间的距离为9.6．【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关10．已知：图1 图2 图3（1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC = （2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值． （3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BN PC BP =，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，∴24,4PB BN BC =⋅=，∴2PB BN BC =⋅， ∴BN BP BP BC=，∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BC PBG PBC BG PB=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽，∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD •sin60°=23CF=2，在Rt△GDF中，DG=22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤，当点P在DG的延长线上时，12PD PC-的值最大，∴最大值为：37DG=.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．11．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．（1）如图1，求证：AC＝BC；（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，求证：AT平分∠DAB；（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2【解析】【分析】（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，由S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，可得AQ=52h，再根据sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，∵2∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠ABC＝∠BDC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，∵∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，∴∠ABF＝12∠ABD，∴BT平分∠ABD，∵AE＝BE∴∠ADE＝∠BDE，∴DT平分∠ADB，∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∴TR＝TL，TR＝TH，∴TL＝TH，∴AT平分∠DAB．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．∵AE＝BE∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，∴∠TAE＝∠ATE，∴AE＝TE，∵DT＝TE，∴AE＝DT，∵∠AGE＝∠DHT＝90°，∴△EAG≌△TDH（AAS），∴AG＝DH，∵AE＝EB，EG⊥AB，∴AG＝BG，∴2DH＝AB，∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，设DH＝x，则AB＝2x，∵AD＝8，DB＝12，∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，∴x＝5，∴DH＝5，AB＝10，设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，∵S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，∴12AQ＝（8+12+10）h，∴AQ＝52 h，∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得hm＝APAD＝AP8，sin∠AED＝sin∠ABD，可得APm＝AQAB＝AQ10＝5210h，∴AP m＝52810mAP，解得m＝42或﹣42（舍弃），∴DE＝2m＝82．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．12．如图，∠ACL＝90°，AC＝4，动点B在射线CL，CH⊥AB于点H，以H为圆心，HB为半径作圆交射线BA于点D，交直线CD于点F，交直线BC于点E．设BC＝m．（1）当∠A＝30°时，求∠CDB的度数；（2）当m＝2时，求BE的长度；（3）在点B的整个运动过程中，①当BC＝3CE时，求出所有符合条件的m的值．②连接EH，FH，当tan∠FHE＝512时，直接写出△FHD与△EFH面积比．【答案】（1）60°；（2）45；（3）①m＝2或226【解析】【分析】（1）根据题意由HB＝HD，CH⊥BD可知：CH是BD的中垂线，再由∠A＝30°得：∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）由题意可知当m＝2时，由勾股定理可得：AB＝5cos∠ABC5，过点H作HK⊥BC于点K，利用垂径定理可得结论；（3））①要分两种情况：I．当点E在C右侧时，II．当点E在C左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；②根据题意先证明EF∥BD，根据平行线间距离相等可得：△FHD与△EFH高相等，面积比等于底之比，再由tan∠FHE＝512可求得DHEF的值即可．【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵HB＝HD，CH⊥BD，∴CH是BD的中垂线，∴CB＝CD，∴∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，当m＝2时，BC＝2，∴AB＝22AC BC＝25，∴cos∠ABC＝BCAB ＝5，∴BH＝BC•cos∠ABC＝25，∴BK＝BH•cos∠ABC＝25，∴BE＝2BK＝45；（3）①分两种情况：I．当点E在C右侧时，如图2，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE＝m，∴CE＝13m，BE＝23m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝23，∴DE＝23AC＝83，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：2281m33⎛⎫⎛⎫⎪⎭⎝+⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝22；II．当点E在C左侧时，如图3，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE，∴CE＝13m，BE＝32m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝32，∴DE＝32AC＝6，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：62+21m3⎛⎫⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝2；综上所述，①当BC＝3CE时，m＝2或2．②如图4，过F作FG⊥HE于点G，∵CH ⊥AB ，HB ＝HD ，∴CB ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ，∴DFE BEF =，即DF EF BE EF +=+，∴DF BE =，∴EF ∥BD ，∴FHD EFH S S ＝DH EF， ∵在Rt △FHG 中，FG HG ＝tan ∠FHE ＝512， 设FG ＝5k ，HG ＝12k ，则FH 22FG HG +22(5)(12)k k +＝13k ，∴DH ＝HE ＝FH ＝13k ，EG ＝HE ﹣HG ＝13k ﹣12k ＝k ，∴EF 22FG EG +22(5)k k +26k ，∴FHD EFH SS ＝26k 26． 【点睛】本题考查的是圆的几何综合题，主要考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定及性质，解直角三角形知识等；综合性较强，有一定难度，解题要求对所学知识点熟练掌握和运用数形结合思维分析．13．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）PQ长最短是1.2；（3）四边形ADCF面积最大值是81313+，最小值是81313-．【解析】【分析】（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短． 在Rt △ABC 中22228610AB AC BC =+=+=，1122ABC S AC BC AB CP ∆=•=•， ∴68 4.810AC BC CP AB •⨯===， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2，∴22226 4.8 3.6BP BC CP =-=-=．当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2．（3）△ACF 的面积有最大和最小值．如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ．∵∠EAF ＝90°，1tan 3AEF ∠=， ∴13AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，∴AC ＝GB ＝3，又∵AD ＝9，∴3193AG AD ==， ∴DAF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，∴∠FAG ＝∠EAD ，∴△FAG ～△EAD ，∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，∴FG ＝1，∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，在Rt △ABC 中，AC ===∴sinBC BAC AC ∠===在Rt △ACH 中，sin 3GH AG BAC =•∠==∴111F H GH GF =-=-，∴△ACF 面积有最小值是：11127(1)22132AC F H -•=⨯-=；∴四边形ADCF 面积最小值是：27812722--+=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，∴GH ＝MN ，在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，∴PG ＞PN ，又∵F 2G ＝PG ，∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，∴面积有最大值，∵221F H GH GF =+=+，∴△ACF 面积有最大值是2111)22AC F H •=⨯+=；∴四边形ADCF 面积最大值是27812722+++=综上所述，四边形ADCF 面积最大值是812+，最小值是812- 【点睛】本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．14．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．【答案】（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】【分析】（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可；（2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】 （1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ====∴52AE BE == ∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中： ()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=①又∵//MD AN∴AFN DFM ∆~∆∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5； （3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM = O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．15．如图，在O 中，AB 为直径，过点A 的直线l 与O 相交于点C ，D 是弦CA 延长线上一点，BAC ∠，BAD ∠的平分线与O 分别相交于点E ，F ，G 是BF 的中点，过点G 作MNAE ，与AF ，EB 的延长线分别交于点M ，N ．（1）求证：MN 是O 的切线； （2）若24AE =，18AM =． ①求O 的半径；②连接MC ，求tan MCD ∠的值． 【答案】（1）见解析；（2）①13；②2741 【解析】【分析】（1）如图1，连接 GO 、GA ，先根据角平分线的定义证明∠MAE=12（∠BAC+∠BAD ）=90°，由圆周角定理和同圆的半径相等得∠OGA=∠FAG ，则OG ∥AM ，所以∠MGO=180-∠M=90，从而得结论；（2）①延长GO 交AE 于点P ，证明四边形 MGPA 为矩形，得GP=MA=18，∠GPA=90°，设OA=OG=r ，则OP=18-r ，根据勾股定理列方程解出即可；②如图3，过M 作MH ⊥l ，连接BC ，延长NE 交l 于I ，连接GO 交延长交AE 于P ，tan ∠MAH=tan ∠ABE=tan ∠BIA=125，BI=2BE=20，根据三角函数计算MH ，AH ，CI 的长，最后计算MH 和HC 的长，代入tan ∠MCD=MH HC，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接GO ，GA ，∵BAC ∠，BAD ∠的平分线与O 分别相交于点E ，F ， ∴1()902MAE BAC BAD ∠=∠+∠=︒． ∵MN AE ，。

浙江省文澜中学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试卷(包含答案解析)

浙江省文澜中学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知直线:2l x y +=和圆222:C x y r +=，若r 是在区间()1,3上任意取一个数，那么直线l 与圆C 相交且弦长小于22的概率为（ ） A ．12B ．22C ．214-D ．212-2．圆4)2()1(22=+++y x 与圆9)2()2(22=-+-y x 的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．已知圆22:40C x y x +-=, 直线03:=--y k kx l , 则直线l 与圆C 的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种均有可能4．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（ ） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交5．（2004•天津）若P （2，﹣1）为圆（x ﹣1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A ．x ﹣y ﹣3=0B ．2x+y ﹣3=0C ．x+y ﹣1=0D ．2x ﹣y ﹣5=06．已知点()2,3M ,点P 在y 轴上运动，点Q 在圆()()4=2++1-:22y x C 上运动，则MQ MP +的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．152－D ．1+527．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ） A ．10B ．20C ．30D ．408．已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点， P 点关于直线210x y +-=的对称点在圆上，则实数a 等于（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 9．设集合(){},|A x y y x a ==+，集合(){}2,|34B x y y x x ==-， 若A B ∅⋂≠的概率为1，则a 的取值范围是（ ）A ．122,122⎡-+⎣B ．12,3⎡⎤⎣⎦C ．1,122⎡⎤-+⎣⎦D ．122,3⎡⎤-⎣⎦10．当曲线24x y --=与直线042=-+-k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A ．3(0,)4 B ．53(,]124 C ．3(,1]4D ．3(,)4+∞ 11．已知点(0,2)A 为圆22:220(0)C x y ax ay a +--=>外一点，圆C 上存在点使得45CAP ∠=，则实数a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.[31,1)-C.(0,31]-D.[31,31]---12．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且3AB =，则实数k 的值等于（ ）A ．3B ．1C ．3或3-D ．1或-1二、填空题13．已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________．14．若实数a ，b ，c 成等差数列，点()P 3,2-在动直线ax by c 0++=上的射影为H ，点()Q 3,3，则线段QH 的最小值为______．15．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长为时，的值等于________.16．已知AC BD 、为圆22:9O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(1,3)M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为____________________17．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，点P 在圆()222(0)x a y a -+=>上运动，若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是__________．18．已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －)2=6上的动点，则的最大值为_______ ；19．以点为圆心且与直线相切的圆的方程为______．20．设圆x 2+y 2﹣4x ﹣5＝0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是__三、解答题21．选修4-1：几何证明选讲如图，已知ABC ∆的两条角平分线 AD 和CE 相交于H ， 060B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =．（Ⅰ）证明：B 、D 、H 、E 四点共圆； （Ⅱ）证明：CE 平分 DEF ∠．22．已知动点M 到点(4,0)A 的距离是它到点(2,0)B -的距离的两倍． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过坐标原点O 作直线l 与轨迹E 交于两点，若这两点间的距离为43，求直线l 的方程．23．如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ，过B 作圆O 的切线交CD 于点E ，12DE EC =. 求证：3CA CD =.24．（本题12分）已知圆()22:21M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，,QA QB 分别切圆M 于,A B 两点．（1）若点Q 的坐标为()1,0-，求切线,QA QB 的方程； （2）求四边形QAMB 的面积的最小值．25．一束光线通过点()25,18M 射到x 轴上，被反射到圆:C ()22725x y +-=上．（1）求通过圆心的反射光线所在直线方程； （2）求在x 轴上入射点A 的活动范围．26．已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点圆的切线CD ，过A 点作AD CD ⊥于D ，交半圆于点E D ，．（1）证明：AC 平分BAD ∠； （2）求BC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】先据题意求出满足条件的r 的范围，利用区间长度之比求出满足条件的概率即可. 【详解】由点到直线的距离公式可得d ==因为直线与圆相交，所以r >相交弦的长度为由题知<2r <<所以弦长小于1p == 故选：D. 【点睛】本题目考查了直线与圆相交问题和几何概型的综合知识，注意直线与圆相交r 的取值，属于中档题.2．C解析：C 【解析】试题分析：两圆圆心距()()325222122+==--+--=d ，所以两圆相外切，那么公切线有3条，故选C. 考点：圆与圆的位置关系3．A解析：A 【解析】试题分析：()03:=--y x k l ，所以直线恒过定点()0,3，代入圆03-12-9<=，所以定点恒在圆内，所以直线恒与圆相交，故选A. 考点：直线与圆的位置关系4．A解析：A【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为ab-，所以//n m ，圆心到直线n 的距离为222r a b+，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，所以222r r a b>+，所以直线n 与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．5．A解析：A 【解析】试题分析：由圆心为O （1，0），由点P 为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB 求解其斜率，再由点斜式求得其方程． 解：已知圆心为O （1，0） 根据题意：K op =k AB k OP =﹣1k AB =1，又直线AB 过点P （2，﹣1）， ∴直线AB 的方程是x ﹣y ﹣3=0 故选A考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．6．A解析：A 【解析】试题分析：方法1：作y 轴关于点M 的对称直线6=x ，P 关于M 的对称点P '在直线6=x 上运动，P M PM '-=，故QP P M MQ MQ MP '='=,则P Q '的最小值为325=-．方法2：设)2,3(),,(),,0(00M y x Q a P ，)2,3(),2,3(00--=--=y x MQ a MP()20204)6(-++-=a y x MQ MP ，表示4)2()1(:22=++-y x C 上的点),(00y x 与)4,6(a -的距离，可看作圆4)2()1(:22=++-y x C 上的点到定直线6=x 距离的最小值，为325=-，故选择A考点：圆上点到直线的最小距离7．B解析：B 【解析】试题分析：把圆的方程为化成标准方程，过点的最长弦为最短弦为则故选B考点：本题考查了直线与圆的位置关系点评：掌握过圆内一点的最长弦和最短弦的结论是解决此类问题的常用转化方法8．B解析：B【解析】试题分析：将圆22:450C x y x ay +++-=化成标准方程()2222924a a x y ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，故圆心为2,2a C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依意可知直线210x y +-=过点圆心C ，所以()2210102aa ⨯---=⇒=-，故选B ． 考点：1．圆的方程；2．直线与圆的位置关系．9．D解析：D 【解析】 【分析】先求出集合A 、集合B 表示的几何意义，然后结合题意中A B ∅⋂≠的概率为1转化为直线与圆相交，运用直线与圆的位置关系求出结果 【详解】集合A 表示在直线y x a =+上的点，化简234y x x =-，可得()()22324y x -+-=3y ≤，则集合B 表示半圆A B ∅⋂≠的概率为1，即直线与半圆有交点 如图：将（0，3）代入可得：3a =()2223d 211a -+=≤+-，即122a -≤122221a -≤≤+，综上，1223a -≤≤则a 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦故选D 【点睛】本题较为综合考查了集合的运算、直线与圆的位置关系，解题关键是转化为直线与圆的位置关系，然后运用相关知识来求解，需要掌握此类题目解题方法。

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浙江省文澜中学数学圆几何综合（培优篇）（Word版含解析）一S初三数学圆易错题压轴题（难）1.如图，二次函数y=×2-2mx+8m的图象与X轴交于A、B两点（点A在点B的左边且0A≠0B）,交y轴于点C,且经过点（m , 9m ） , OE过A、B、C三点。

（1）求这条抛物线的解析式：（2）求点E的坐标；（3）过抛物线上一点P （点P不与B、C重合）作PQ丄X轴于点Q,是否存在这样的点P 使APBQ和ABOC相似？如果存在，求出点P的坐标：如果不存在，说明理由【答案】（1） y二x'+2χ-8 （2）（-1, -- ）（3）（-8, 40）i（, ）r（-2 4 16 4—）16【解析】分析：（1 ）把（加,9加）代入解析式，得：一2加2 +8,π = 9m ,解这个方程可求出m的值：（2）分别令尸0和x=0,求岀OA I OB I OC及处的长，过点E作EG丄X轴于点G, EF丄y轴于点F涟接CE I陆设OF=GE=a,根据AE = CE ,列方过程求岀a的值，从而求出点F的坐标；（3）设点P（a l o2+2α-8）,则PQ = ∖a2+2a-^BQ = ∖a-2∖ t然后分△ PBQS /B O 时和厶PBQrBeo时两种情况，列比例式求岀α的值，从而求岀点P的坐标•详解：⑴把（加,9加）代入解析式，得：m2 -2nr +Snι = 9m解得：加1=_1,叫=0 （舍去）.β. y = x2 +2x-8(2)由(1)可得：y = F+2x-8,当y = 0 时，x1 = -4, X2 = 2 ；T点A在点B的左边/. OA = 4, OB = 2 ,.,.AB = OA + OB = 6 ,当X = O 时，y = -8 ,∙∙. OC = S过点E作EG丄X轴于点G1EF丄y轴于点F,连接CE , AE,则AG = -AB =-×6 = 3 I2 2OG = EF = OA-AG = 4-3=∖设OF = GE =则CF = OC-OF=Ia,在RtMGE中，/f£2= ∕1G2 + GE2=9÷Λ2>在R他CEF中，CE l = EF2 +CF2=I + (8-a)∖∙.∙ AE = CE I∙∙. 9 + /=1+(8-"F ,7解得：6/ = -,2•• T L^2J ；(3)设点%∕+2α-8),则PQ = ∖a2+2a-^,BQ = ∖a-2∖,a.当APBQ- ACBO 时，PQ CO/+2α-8 8—=——,即_______________ = _ ,BQ OBμ-2∣ 2解得：5=0 (舍去)：“2 =2 (舍去)：a 3 =一8 rA(—&40);b.当 ZBQ- ΔBCO 时， PQ _ BO 山卜2+2—8 ^BQ~CO ,即 ”_2|综上所述，点P 的坐标为：片（一8,40） , g （一孕—話j ，Λ^-^~-*γ∣∙ \点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径立理，勾股泄 理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关 系、相似三角形的性质是解答本题的关键.2.已知：在△ ABC 中，AB=6, BC=8, AC=10, 0为AB 边上的一点，以0为圆心，OA 长为 半径作圆交AC 于D 点，过D 作Oo 的切线交BC 于E.（1） 若0为AB 的中点（如图1）,则ED 与EC 的大小关系为:ED_EC （填" > < "或"="）（2） 若0A<3时（如图2） ,（1）中的关系是否还成立？为什么？ （3）当OOiiBC 中点时（如图3）,求CE 长. 【答案】（1）ED=EC: （2）成立；（3） 3【解析】试题分析：（1）连接0D,根据切线的性质可得ZODE=90。

，则ZCDE+Z ADO=90o ,由 AB=6, BC=& AC=IO 根据勾股左理的逆左理可证得Z ABC=90o ,贝IJZ A+Z C=90o ,根据圆的 基本性质可得Z A=Z ADO,即可得到Z CDE=Z C,从而证得结论：（2） 证法同（2）；（3） 根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.解得：5=2 （舍去），①一弓 -<-τ ⑶ 16丿17（1）连接ODC∙∙∙ DE为OO的切线・•・ Z ODE=90o ・•・ Z CDE+Z ADO=90oT AB二6, BC=8, AC=IO••・ Z ABC=90o・•・ Z A+Z C=90o•・・AO=DO.∙. Z A=Z ADO・•・ Z CDE=Z C ・•・ ED=EC;T DE为C)O的切线・•・ Z ODE=90o ・•・ Z CDE+Z ADO=90oTAB二6, BC=8, AC=IO ・•・ Z ABC=90o ・•・ Z A+Z C=90o•・・AO=DO/. Z A=Z ADO・•・ Z CDE=Z C••・ ED=EC;(3) CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型.3.如图，∆ABC内接于Θ0, AB是直径，过点&作直线且ZMAC= ZABC.(1) 求证：MΛ∕是00的切线.(2) 设D是弧AC的中点，连结8D交AC于点G,过点D作DF丄AB于点F,交AC于点F.①求证：FD=FG・②若BC= 3, /48=5,试求处的长.【答案】(2)见解析：(2)①见解析；®AE=I【解析】【分析】(1)由为直径知ZACB=90∖ ZABC^ZCAB = 90φ.由ZMAC= ZABC可证得ZMAC^ZCAB=90\则结论得证：(2)①证明ZBDE=ZDGF即可.ZBDE=90° - ZABD；ZDGF=ZCGB=90° - ZCBD・因为D是弧AC的中点，所以ZABD=ZCBD.则问题得证；②连接4D、CD,作DH丄BC,交BC的延长线于H点.证明RtΔ>4Df^Rt∆CDH,可得AE= CH.根据AB=BH可求出答案.【详解】(1〉证明：VAB是直径，∙∙∙ ZACB = 90°,ΛZCAB+ZABC=90o:VZMAC= ZABC.AZMAC+ZCAB = 90% 即IVIAdAB.ΛMN是OO的切线：(2)①证明：TD是弧AC的中点，AZDBC= ZABD,VAB是直径，ΛZCBG+ZCGB = 90%TDE 丄AB,ΛZFDG+ZABD=90∖VZDBC= ZABD,∙∙∙ ZFDG = ZCGB= ZFGD,Λ FD = FG：②解：连接AD. CD,作DH丄BC,交BC的延长线于H点.VZDBC= ZABD, DH丄BC, DE丄AB,ΛDE = D H.在Rt∆BDE 与Rt∆BDH 中，DH = DEBD = BD，■ΛRt∆BDE^Rt∆BDH (HL),ABE = BHtTD是弧AC的中点，AAD = DC f在Rt∆ADE 与Rt∆CDH 中，DE = DHAD = CD，■Λ Rt∆ADE^Rt∆CDH (HL).ΛAE = CH.ABE=AB - AE = BC+CH = BH,即 5 - AE=3+AE,ΛAE = 1.【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判左，圆周角左理，全等三角形的判左与性质，等腰三角形的判泄，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键.4 .如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点,AABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在X轴的正半轴上，点C的坐标为(0,8),将MBC沿直线AB折屋，点C落在X轴的负半轴D ( -4 ,0)处.(1 )求直线AB的解析式；(2 )点P从点A出发以W4√5个单位长度的速度沿射线AB方向运动,过点P作PQ丄AB , 交X轴于点Q , PR 〃AC却由于点R ,设点噬动时间为r (秒)，线段QR长为d ,求d与t的函数关系式(不要求写出自变呈t的取值范围)；(3 )在(2 )的条件下,点Λ/是射线Λ3上一点，以点/V为圆心,同时经过/?、Q两点作0/V f 。

佼井由于点F , F .是否存在r ,使得EaRQ ?若存在，求岀啲值，并求出圆心Λ/的坐标；若不存在,说明理由•6 , 6 )或(2 , 2 ).【解析】试题分析：(i )由C(0,8) , D ( -4 , 0 ),可求得OC , OD的长,然后设OB=a ,则BC=8- a ,在Rt∆BOD 中，由勾股定理可得方程：(8-a ) 2=a2+42.解此方程即可求得B的坐标,然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；(2 )在RtMOB中，由勾股走理可求得AB的长,继而求得ZBAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR ,则可求得d与t的函数关系式；(3 )首先过点分别作NT丄RQ于T , NS丄EF于S ,易证得四边形NToS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解；试题解析：(1 ) VC (0,8) , D ( -4 , 0 ),Λ0C=8,0D=4 ,设OB=a f则BC=8-a ,由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ,在Rt∆BOD中,ZBOD=90o , DB2=OB2+OD2 ,则(8-a ) 2=a2+42 ,解得:a=3 ,则OB=3 ,则B(0,3),OB 3ta∩ZODB=--------- =—,OD 4一亠OA 3在Rt∆AOC中I ZAOC=90o I tanZACB=——=-fOC 4则0A=6 J则A(6,0) f设直线AB的解析式为：y=kx÷b ,4 6k+b = 0 ,解得：k = ~-, b = 3 .故直线AB 的解析式为：y=-| x+3 ；（2）如图所示：在Rt∆AOB 中，ZAOB=90o z 0B=3,0A=6 ,则 AB= y∣OB 2 + OA 2 = 3√5, tan ZBAO =罟= 在Rt∆ PQA 中 f AAPQ = 90。

，AP = 4√5r,AP贝UAQ 二 ------- = IOr,COS ZBAOV PR√AC , ∙∙∙ ZAPR=ZCAB r由折叠的性质得：ZBAO=ZCAB rΛ ZBAO=ZAP R ,APR=AR ,V ZRAP+ZPQA=ZAPR+ZQPR=90o ,Λ ZPQ A =ZQPR ,ARP=RQ rΛ RQ=AR r1∙∙∙QR 二一 AQ=5t z2即 d=5t;(3 )过点分别作NT 丄RQ 于T , NS 丄EF 于S JVEF=QR ,ANS=NT ,•••四边形NToS 是正方形f则TQ 二TR 二]QR = ] z2 2∙∙∙ NT = -AT = -CAQ-TQ) = ^(∖0t --t) =22 2 215—t分两种情况，若点N 在第二象限，则设N (n f -n),即斗=6 ,4Q解得：/ = I ；若点N 在第一象限，设N(N f N),可得:7? = --7/ + 3 ,2解得：n=2 ,故N ( 2 , 2 ) r NT=2 ,即芋r = 2,4Q解得:t 壬8 8•••当匸一，或=r 时，QR=EF ,2(-6, 6)或(2, 2)。

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