人教高中数学A版必修二《事件的关系与运算》PPT课件

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探究二 事件的综合运算 [例 2] 掷一枚骰子，下列事件： A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于 3}，D＝{点数大于 2}，E＝{点 数是 3 的倍数}． 求：(1)A∩B，BC； (2)A∪B，B＋C； (3)记 H 是事件 H 的对立事件，求 D ， A C， B ∪C， D ＋ E .
R＝{(1,2)，(2,1)}，
G＝{(3,4)，(4,3)}，
M＝{(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)}，
N＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}．
(2)因为R⊆R1，所以事件R1包含事件R； 因为R∩G＝∅，所以事件R与事件G互斥；
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[解析] (1)A∩B＝∅，BC＝{出现 2 点}． (2)A∪B＝{出现 1,2,3,4,5 或 6 点}，B＋C＝{出现 1,2,4 或 6 点}． (3) D ＝{点数小于或等于 2}＝{出现 1 或 2 点}， A C＝BC＝{出现 2 点}， B ∪C＝A∪C＝{出现 1,2,3 或 5 点}， D ＋ E ＝{出现 1,2,4 或 5 点}．
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数字化——事件关系与运算的集合表示 ►数据分析、直观想象 借助于集合的关系与运算来表示事件的关系与运算，以便我们准确地求出并事件、 交事件．课本这道例题就是有力的佐证．
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[典例] 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红色球(标号为 1 和 2)， 2 个绿色球(标号为 3 和 4)，从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球．设事件 R1＝“第 一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次 都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”． (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件 R 与 R1，R 与 G，M 与 N 之间各有什么关系？ (3)事件 R 与事件 G 的并事件与事件 M 有什么关系？事件 R1 与事件 R2 的交事件与事 件 R 有什么关系？
解析：因为事件P＝{1}，Q＝{3,4}，M＝{1,3}，所以P∪Q＝{1,3,4}，M∩Q＝{3}．
答案：{1,3,4} {3}
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探究一 互斥事件与对立事件的判断 [例 1] 一个射击手进行一次射击． 事件 A：命中的环数大于 7 环； 事件 B：命中环数为 10 环； 事件 C：命中的环数小于 6 环； 事件 D：命中的环数为 6、7、8、9、10 环． 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． (1)事件 A 与 B；(2)事件 A 与 C； (3)事件 C 与 D.
解析：对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则 A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．
答案：B
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3．抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件 P＝“向上的点数是 1”，事件 Q＝“向上的 点数是 3 或 4”，M＝“向上的点数是 1 或 3”，用集合表示 P∪Q＝________，M∩Q ＝________.
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[自主检测] 1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是 1 或 2”为事件 A，“向上的点数是 2 或 3”为 事件 B，则( ) A．A⊆B B．A＝B
C．A＋B 表示向上的点数是 1 或 2 或 3 D．AB 表示向上的点数是 1 或 2 或 3
解析：设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点 数为1或2或3.
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1．从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，观察红球 个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是 对立事件． (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球．
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知识点三 互斥事件与对立事件 预习教材，思考问题 如果两个事件不能同时发生，从集合角度说它们交集为空，从事件角度说它们是什 么关系呢？
[提示] 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事 件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)．
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互斥事件与对立事件的判断方法 (1)利用基本概念：判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生，若不 同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件． (2)判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发 生；二是必有一个发生，如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件， 只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．两个事件是对立事件的 前提是互斥事件．
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[解析] (1)不是互斥事件，更不可能是对立事件．理由：事件 A：命中的环数大于 7 环，包含事件 B：命中环数为 10 环，二者能够同时发生，即 A∩B＝{命中环数为 10 环}． (2)是互斥事件，但不是对立事件． 理由：事件 A：命中的环数大于 7 环，与事件 C：命中的环数小于 6 环不可能同时发 生，但 A∪C＝{命中环数为 1、2、3、4、5、8、9、10 环}≠Ω(Ω 为样本空间)． (3)是互斥事件，也是对立事件． 理由：事件 C：命中的环数小于 6 环，与事件 D：命中的环数为 6、7、8、9、10 环 不可能同时发生，且 C∪D＝{命中环数为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 环}＝Ω(Ω 为样本空间)．
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知识梳理 (1)如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说 A∩B 是一个不可能事 件，即 A∩B＝∅ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)．
(2)如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即 A∪B＝Ω，且A∩B＝∅ ，那么事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为 A .
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10．1 随机事件与概率 10．1.2 事件的关系与运算
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内容标准 1.了解随机事件的并、交与互斥、互为对立的含义． 2.能结合实例进行随机事件的并、交运算． 3.学会利用集合间的基本关系与集合的基本运算探究事件的 关系与运算.
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2．向指定的目标射三发子弹，若Ai＝“第i发子弹击中目标”(i＝1,2,3)，试用A1， A2，A3表示下列事件： (1) 只击中第一发；(2)只击中一发；(3)三发都没有击中；(4)至少击中一发 ；(5)最 多击中一发．
解析：(1)A1 A2 A3 (2)A1 A2 A3 ＋ A1 A2 A3 ＋ A1 A2 A3 (3) A1 A2 A3 (4)A1＋A2＋A3 (5)＝ A1 A2 A3 ＋A1 A2 A3 ＋ A1 A2 A3 ＋ A1 A2 A3
答案：C
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2．下列各组事件中，不是互斥事件的是( ) A．一个射手进行一次射击，命中环数大于 8 与命中环数小于 6 B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于 90 分与平均分不高于 90 分 C．播种 100 粒菜籽，发芽 90 粒与发芽 80 粒 D．检验某种产品，合格率高于 70%与合格率低于 70%
知识梳理 (1)一般地，若事件A发生，则事件B 一定发生，则称事件B包含事件A(或 事件A包含于事件B)，记作 B⊇A (或 A⊆B )． (2)如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B ⊇ A且A ⊇ B，则称事件A与事件 B相等，记作A ＝ B.
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事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，于是 R1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}；
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事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，于是 R2＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)}． 同理，有
知识点二 并事件与交事件 预习教材，思考问题 结合集合中的并集和交集，思考并事件和交事件的含义？
[提示] 一般地，事件 A 与事件 B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或 者在事件 A 中，或者在事件 B 中，我们称这个事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或 和事件)； 一般地，事件 A 与事件 B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 A 中，也 在事件 B 中，我们称这样的一个事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)．
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那么事件之间又有哪些关系和运算呢？
[提示] 事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随 机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法．类似于集合间的 关系，事件之间也有包含和不包含关系．
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学科素养
数学抽象 逻辑推理 直观想象
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课前 • 自主探究
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课堂 • 互动探究
课后 • 素养培优
课时 • 跟踪训练
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[教材提炼] 知识点一 事件的包含与相等 预习教材，思考问题 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件．这些事 件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以 需要研究事件之间的关系和运算．
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知识梳理 (1)并事件：事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本 点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件称为事件A与事件B的 并 事件 (或 和 事件)，记作 A∪B (或 A＋B )． (2)交事件：事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也 在事件B中，我们称这个事件称为事件A与事件B的 交 事件(或积事件)，记作 A∩B (或 AB )．
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解析：(1)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白 球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件． (2)不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至 少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是 互斥事件． (3)是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时 发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．
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事件的混合运算的方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验的所有样本点，分析并利用这些 样本点进行事件间的运算． (2)利用 Venn 图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有样本点，把这 些样本点在图中列出，进行运算．
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因为M∪N＝Ω，M∩N＝∅，所以事件M与事件N互为对立事件．
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[解析] (1)所有的试验结果如图所示．用数组(x1，x2)，表示可能的结果，x1是第一 次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)， (1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．