特殊四边形的性质和判定定理

例1 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，若AM=AB，求证：EF=BE+CF

例2 已知：如图，正方形ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，再延长DE到F，使DF=BD，连接BF交CD于Q，交CE于P。求证PD=PQ

在正方形中ABCD ∠ADB=∠DBC=∠BDC=45ºDF=BD ∴∠DBF=∠DFB

∠ADB=∠DBF+∠F ===>∠DBF=∠DFB=22.5º

===>∠QBC=45-∠DBF=45-22.5=22.5º

===>∠DQP=∠BQC=90-∠QBC=90-22.5=67.5º

DE=AD=DC DCE=45º

∠EPF=∠BPC=180-∠PBC-∠BCD-∠DCE=180-22.5-90-45=22.5º=∠F ∴EP=EF

∵DF=BD=EC EP=EF ∴PC(EC-EP)=DE(DF-EF)=DC 又∵∠DCP=45º

∴∠QDP=(180-∠DCP)/2=(180-45)/2=67.5º=∠DQP

∴PD=PQ

例3 如图，在◇ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED

例4 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE 于F，求证：

EF=FB

证明如图所示，连接AE交DC于O.

∵四边形ACED是平行四边形．

∴O是AE的中点．

∵在梯形ABCD中，

DC∥AB，在△EAB中，

OF∥AB，

又∵O是AE的中点，

∴F是EB的中点，

∴EF＝BF.

例5 如图，以△ABC的AB、AC为边向形外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM是△ABC的中线，连接EG。求证EG=2AM

延长BA至点H ,使得BA=AH

对三角形EAG和三角形HAC,因为EA=AH,AG=AC ,角EAG=90+角HAG=角HAC,所以两三角形全等,得EG=CH

又因为M是BC的中点,所以AM是三角形HBC的中位线,得CH=2*AM

所以得AM=二分之一EG

多边形

一、选择题

1.（）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，BD =4，CD =3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．11

2. （山东威海）在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ：CF ＝（）

A ．1：2

B ．1：3

C ．2：3

D ．2：5

3. （江苏泰州）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB ∥CD ，AD =BC ．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组 4. （重庆市潼南）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、 N ，交BA 、DC 的延长线于点

E 、

F ，下列结论： ①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是

A. ①②

B. ②③

C. ②④

D.③④ 5. （广东东莞,）正八边形的每个内角为（ ）

A ．120°

B ．135°

C ．140°

D ．144°

6. （浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC ，AE=DE ，在BC ，DE 上分别找一点M,N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）

A . 100°

B ．110°

C . 120°

D . 130°

9题图

A

B

C

E

M N O

…

A 1

A A 2

A 3

B B 1

B 2

B 3

C 2 C 1 C 3

D

D 2 D 1 D 3

第10题图

7. （浙江省舟山）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） （A ）48cm （B ）36cm （C ）24cm

（D ）18cm

8. （山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是

（A ） （B ） （C ） （D ）

9. （山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为

A.17

B.17

C.18

D.19 10. （浙江杭州）在矩形ABCD 中，有一个菱形B F D E (点E ，F 分别在线段AB ，CD 上)，

记它们的面积分别为．现给出下列命题：（ ） ①若，则．②若则． 则:

A ．①是真命题，②是真命题

B ．①是真命题，②是假命题

C ．①是假命题，②是真命题

D ，①是假命题，②是假命题

11. （浙江温州）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( )

A ．2条

B ．4条

C ．5条

D ．6条

12. （山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ）

A ．12cm 2

B ． 24cm 2 C

． 48cm 2 D ． 96cm 2 13. （重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形

A 2

B 2

C 2

D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( )

（第10题）

F A

B

C

D

H

E

G ①

②

③

④ ⑤

图1 图2

图3

E D C

B A

（第12题图）